立体几何截图和作图课件

立体几何专题
(1)☆多面体的截面
多面体的截面在课本 P59─例3、P63─B─1处体现。
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1
一、定义及相关要素
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这
个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做
截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点．
二、作多面体截面
1．方法(交线法)．该作图关键在于确定截点，有了位于多
(4)连接BE，CF。则多边形B学C习F交E流P为PT 所求。
10
作图题8．在侧棱和高的夹角为α的正四棱锥中，求作一个过底面 顶点且与这点所对侧棱垂直的截面(α＜45°)。 S
S
E
H
N
D
G
C
D
C
a
A
B
A
B
作法：(1)在平面SAC中，作AE⊥SC于点E。
M
(2)在底面ABCD内过A作a∥BD。
(3)延长CB、CD分别交a于点M、N。
(2)在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K．
(3)在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L．
(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N．
(5)连结FN、MH．则五边形FGHMN即为所求的截面．
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6
2°截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上，其余点
在棱上．
作图题5．如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F在两条棱上，
8
作法：(1)过P作PP⊥CD于点P，过Q作Q Q⊥AD于Q。
(2)在底面ABCD内连接AP、BQ，并交于H。
(3)由平行线QQ、RB作平面QQBR，连接QR。
(4)在平面QQBR内过H作KH⊥面ABCD交QR于K。
(5)由平行线PP、AA1作平面PPAA1，则K必落在面PPAA1内。 (6)在面PPAA1内，连接PK，并延长交AA1于M。 (7)在面A1ADD1内，连接MQ，并延长交DD1于S。 (8)在面D1DCC1内，连接SP，并延长交CC1于T。 (9)连接RT、RM。则多边形SMRT即为所求。
面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截
面．
2．作截线与截点的主要根据有：
(1)确定平面的条件．
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于
过此点的一条直线．
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上
所有的点都在这个平面内．
(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与
3
作图题2．P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和 DD1上，试画出过P、Q、R三点的截面．
作法：(1)连接QP、QR并延长，分
D1 A1
C1
B1
Q
别交CB、CD的延长线于E、F.
R
(2)连接EF交AB于Ｔ，交AD于S．
D
PC
(3)连接RS、TP。则多边形PQRST
A
B
即为所求截面。
(4)连结ME并延长与BA延长线交于Q，连接QF交AD于H．
(5)连结EH，FN．则五边形EHFNM为所求的截面．
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7
作图题6．已知直四棱柱AC1，P在面D1DCC1内，Q在面A1ADD1 内，R在棱BB1上，画出过P、Q、R三点的截面。
D1
C1
A1
B1 P
Q D
A
R C
B
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F O1
D1 C1
B1
B1
M
M
A
C
O
D
A
C
O
D
B
B
作法：(1)过A1A和OO1作平面AOO1A1，交BC于D，交B1C1于D1，
则D、D1分别为BC、B1C1的中点。
(2)在平面A1AM内，作直线DM交上底面A1B1C1于点G。
(3)在平面A1B1C1内，过G作EF∥B1C1交A1B1于E，交A1C1于F。
(4)连接EM、EN，分别交SB、SD于点G、H。
(5)连接AG、AH。则多边形AGEH即为所求。
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4°截面经过的三个已知点两两不在同一面内的棱
上作．图题9．P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和
AB上，试画出过P、Q、R三点的截面． D1
C1
(2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。
(3)连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。
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5
作图题4．如图，五棱锥P―ABCDE中，三条侧棱上各有一已知
点F、G、H，求作过F、G、H的截面．
P
P
F H
E
D
A
G
C
K
F NM
L
S
H
T
E
D
A
G
C
B
B
作法：(1)将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥P―BST．
这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条
交线平行．
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2
三、作图题型
1°截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上，且其中有 两点在同一个面的棱上．
作图题1．如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G分别
在AB、BC、DD1上，求作过E、F、G三点的截面．
D1 A1
C1
B1
Q
R
F
SD
AT E
PC B
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4
作图题3．已知P、Q、R分别是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、 DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面。
D1 A1
Q C1
RD
B1
D1
A1
Q
C1
RD
B1
A
P
A
P
C
I
M
C
B
B
作法：(1)连接QP并延长交DA延长线于点I。
D1
C1
D1
C1
A1
B1 P
A1 S
B1 P T
Q D
R C
K Q
M
D
Q'
R P' C
A
B
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H
B
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3°截面经过的三个已知点中，有两个点在同一棱上，第三点在
多面体内．
作图题7．试画出过正三棱柱ABC―A1B1C1的底边BC及两底中心
连线OO1中点的截面。
A1
O1 D1 C1
A1 G E
D1
C1wk.baidu.com
D1
C1
A1
G
B1
G
A1
B1
H
D
C
CM
F
K
D
F
A
E
B
LA
E
B
作法：(1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别与DA、DC的
延长线交于L、M．
(2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于K． (3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于H． (4)连结KE、FH．则五边形EFHFK即为所求的截面．
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G在底面A1C1内，求过E、F、G的截面．
D1
C1
D1
C1
G
A1
B1
F1
A1 M
G
N
B1
P
E
E
D
C F
D
C F
H
A
B
Q
A
B
作法：(1)过E、F作辅助面。在面BC1内，过F作FF1∥BB1，交
B1C1于点F1，则面AFF1A1为所作的辅助面．
(2)在面AFF1A1内，延长F1A1交FE的延长线于P．
(3)在面A1B1C1D1内，连接PG交A1B1于M．并延长交B1C1于M。