中职数学立体几何部分重要题型练习

立体几何重点例题例1：已知正三棱锥46

A BCD A

B BC

-==

，，，E为CD中点①求证：CD⊥平面ABE

②求证：平面ACD⊥平面ABE

③求：二面角A CD B

--的余弦值

④求：点A到平面BCD的距离

⑤求：AB与平面BCD所成角的余弦值

例2：在正三角形ABC中，AD BC

⊥于D，如图所示，沿AD折成二面角B AD C

--后，

1

2

BC AB

=，求二面角B AD C

--的大小.

例3：已知SA⊥正方形ABCD所在平面，O为AC与BD的交

点，5

AB SC

==

（1）求证：BD SC

⊥

A

B

C

D

E

A

B

D

C

D

A

B

S

O

（2）求证：平面SBC⊥平面SAB

（3）求：点S到平面ABCD的距离（4）求：点S到直线BC的距离

（5）求：直线SC与AB所成角的余弦值（6）求：直线SB与平面ABCD所成角的正切值

（7）求：平面SAB与平面SAC所成的二面角的度数

例4：已知正方体

1111

ABCD A BC D

-中，E是AB的中点

（1）求

1

BA与

1

CC夹角的度数；

D

A

B C

D1

A1

B1

C1

E

（2）求1BA 与1CB 夹角的度数；

（3）求1A E 与1CB 夹角的余弦

例5：已知正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 对角线的交点 （1）求证：1//C O 平面11AB D （2）求证：1

AC ⊥平面11AB D

C

D

B

C 1

D 1

A 1

B 1

O

A

立体几何重点例题 答案

例1：已知正三棱锥46

A BCD A

B B

C -==，，，E 为C

D 中点 ① 求证：CD ⊥平面AB

E .

证明：

连接BE AE ，，

因为E 为CD 中点，

在正三棱锥中AC AD BC BD ==， 所以AE CD BE CD AE BE E ⊥⊥=，且

所以CD ⊥平面ABE .

② 求证：平面ACD ⊥平面ABE .

证明：由上题可知，CD ⊥平面ABE

又CD ⊂平面ACD

所以平面ACD ⊥平面ABE .

③ 求：二面角A CD B --的余弦值.

解：由AE CD BE CD ⊥⊥，

所以AEB ∠即二面角A CD B --的平面角 在Rt ACE ∆中，可求得AE ==

在BCD ∆中，可求得622

BE BC =

== 所以222cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠===

所以所求二面角A CD B --. ④ 求：点A 到平面BCD 的距离. 解：过点A 作AF BE ⊥于点F

由CD ⊥平面ABE ，得CD AF ⊥，又因为BE CD E = 所以AF ⊥平面BCD

所以AF 即所求点A 到平面BCD 的距离

由正三棱锥的定义可得，F 是BCD ∆的中心，也是重心

可得22

33

BF BE =

⨯=⨯=2AF == 所以所求点A 到平面BCD 的距离为2. ⑤ 求：AB 与平面BCD 所成角的余弦值. 解：由上题可知，AF ⊥平面BCD

故BF 为AB 在平面BCD 内的射影

所以ABF ∠即AB 与平面BCD 所成的角

在ABF ∆中，24AF AB ==， 所以可知21

sin 42

ABF ∠=

= 所以30ABF ∠=︒，cos cos30ABF ∠=︒=

例2：在正三角形ABC 中，AD BC ⊥于D ，如图所示，沿AD 折成二面角B AD C

--后，1

2

BC AB =，求二面角B AD C --的大小.

解：由已知可得BD AD CD AD ⊥⊥，

所以BDC ∠即二面角B AD C --的平面角

由正三角形ABC 可得，

12BD DC AB ==

，又因为1

2

BC AB = 所以BD DC BC ==，所以BDC ∆为等边三角形 故60BDC ∠=︒

所以所求二面角B AD C --为60︒. 所以SA BD ⊥

又四边形ABCD 为正方形

所以BD AC ⊥，又SA AC A =

所以BD SAC ⊥平面 所以BD SC ⊥

（2）求证：平面SBC ⊥平面SAB . 证明：因为SA ⊥正方形ABCD 所在平面

A

B

C

D

E

A

B

C

D

C

D

A

B

S

O

所以SA BC ⊥，又因为BC AB ⊥，AB BC B =

所以BC SAB ⊥平面

又BC SBC ⊂平面，所以平面SBC ⊥平面SAB .

（3）求：点S 到平面ABCD 的距离.

解：因为SA ⊥正方形ABCD 所在平面

所以SA 即所求点S 到平面ABCD 的距离

在Rt SBC ∆中，SB ===所以在Rt SAB ∆中，3SA == 因此所求点S 到平面ABCD 的距离为3.

（4）求：点S 到直线BC 的距离.

解：由前面所证可知BC SAB ⊥平面，所以BC SB ⊥

所以SB 即所求点S 到直线BC 的距离 由前可知SB =

所以点S 到直线BC .

（5）求：直线SC 与AB 所成角的余弦值.

解：因为//AB CD

所以SCD ∠即SC 与AB 所成的角

由前可知SD =

=所以222cos 25SC CD SD SCD SC CD +-∠===

因此所求直线SC 与AB 所成角的余弦值.

（6）求：直线SB 与平面ABCD 所成角的正切值. SA ⊥ABCD 所以AB 即为SB 在平面ABCD 内的射影

所以SBA ∠即所求的直线SB 与平面ABCD 所成的角 在Rt SAB ∆中，tan 4

SA SBA AB ∠=

==

，即所求角的正切值为4 （7）求：平面SAB 与平面SAC 所成的二面角的度数. 解：因为SA ⊥正方形ABCD 所在平面

所以SA AC SA AB ⊥⊥，

所以CAB ∠即二面角C SA B --的平面角 因为ABCD 为正方形，所以45CAB ∠=︒

即所求平面SAB 与平面SAC 所成的二面角的度数为45︒.

例4：已知正方体1111ABCD A BC D -中，

E 是AB 的中点 （1）求1BA 与1CC 夹角的度数； （2）求1BA 与1CB 夹角的度数； （3）求1A E 与1CB 夹角的余弦.

解：（1）因为11//BB CC

所以11B BA ∠即所求1BA 与1CC 的夹角 因为四边形11BAA B 为正方形 所以1145B BA ∠=︒

即所求1BA 与1CC 夹角的度数为45︒ （2）连接111CD B D ， 因为1111//A D BC A D BC =且 所以四边形11A D CB 为平行四边形 所以11//BA CD

所以11B CD ∠即所求1BA 与1CB 所成的角 易证1111B D CD B C ==

所以1160B CD ∠=︒，即所求的1BA 与1CB 所成的角为60︒

D

A B

C

D 1

A 1

B 1

C 1

E