三参数威布尔分布的置信限
西南交《可靠性理论》离线作业
西南交《可靠性理论》离线作业一、单项选择题(只有一个选项正确，共10道小题)1. 失效率的浴盆曲线的三个时期中，不包括下列的（C）(A) 早期失效期(B) 随机失效期(C) 多发失效期(D) 耗损失效期2. 指数分布具有的特点中，不包括下列的（D）(A) 失效率为常数(B) 概率密度函数单调下降(C) 无记忆性(D) 多适用于机械产品3. 可靠性的特征量中，不包含下列的（D）(A) 可靠度(B) 失效率(C) 平均寿命(D) 性价比4. 失效率为常数的可靠性分布是（B）(A) 威布尔分布(B) 指数分布(C) 正态分布(D) 二项分布5. 可靠性特征量失效率的单位可以是（A）(A) 菲特(B) 小时(C) 个(D) 秒6. 常见的冗余系统结构中，不包含下列的（A）(A) 串联结构(B) 并联结构(C) n中取k结构(D) 冷储备系统结构7. 三参数威布尔分布的三个参数中，不包含下列的（B）(A) 位置参数(B) 特征参数(C) 尺度参数(D) 形状参数8. 一个由三个相同的单元组成的3中取2系统，若该单元的可靠度均为0.8，则系统的可靠度为：（C）(A) 0.512(B) 0.992(C) 0.896(D) 0.7649. 有四个相同的单元组成的系统中，其可靠度最高的系统结构是：（B）(A) 四个单元串联(B) 四个单元并联(C) 两两串联后再互相并联(D) 两两并联后再互相串联10. 故障树分析方法的步骤不包括以下的：（D）(A) 系统的定义(B) 故障树的构造(C) 故障树的评价(D) 故障树的拆散三、判断题(判断正误，共5道小题)11.（T）产品的故障密度函数反映了产品的故障强度。
12.（T）与电子产品相比，机械产品的失效主要是耗损型失效。
13.（F）相似产品可靠性预计法要求新产品的预计结果必须好于相似的老产品。
14.（T）故障树也是一种可靠性模型。
15.（F）一个由两个相同的单元并联组成的系统，若该单元服从指数分布且失效率为λ，则系统也服从指数分布且失效率为λ/2。
滚动轴承疲劳寿命威布尔分布三参数的研究
绘制出一条直线。该直线与Ｆ（三）＝６３．２％水平线相交的点所对应的寿命值，即 为三。值。若该直线与横坐标的夹角为０，则可得
二参数威布尔分布的研究重点是形状参数ｂ值的确定，其代表性研究成果 为Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论。三参数威布尔分布的研究重点则是在二参 数威布尔分布研究的基础上，主要关注最小寿命参数岛值的确定，其代表性研 究成果为Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论。ＩＳＯ标准和有关国家标准则对轴承寿命的威布尔形 状参数作了权威性认同与规定。但是，由于威布尔参数的精确（高可靠性与高 置信度的）确定，特别是位置参数即最小寿命参数岛值的确定，需要大量的试 验作支撑，以寻求其统计规律性，财力、物力与时间耗费巨大，因此，有关研 究成果在种种局限性之下所导致的或者难以涉及，或者做不深入，或者做不准 确，就成为必然之事。也正因为如此，继续深入开展相关研究，以求不断完善 威布尔分布、尤其是三参数威布尔分布在轴承寿命方面的应用，其理论意义与 实用价值就十分重大。
１．３本论文的主要研究内容、技术难点与研究方法 １．３．１主要研究内容
１）对轴承寿命的威布尔分布三参数进行研究，其中重点为形状参数ｂ值和 最小寿命参数如值的确定（特征寿命参数Ｌ系尺度性参数，无需特意研究）。
２）将研究结果与Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论、Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论和ＩＳＯ 标准等权威研究成果进行验证性比较研究。 １．３．２技术难点
＃
图２－－３ ｒ＝Ｏ，ａ＝２，而∥取不同数值时的，（ｆ）曲线
威布尔分布三参数置信限估计及分布类型检验(精)
∑ n
i =1
(Y
i
-Y
i 2
874航 空 学 报第17卷
通过研究,知变量Y i -Y ii =1, 2, … , n ,仅有n -2个是独立的。因此Ρ
δ2的自由度为n -2,所以得到
Ρ
2
Ρδ2
~X 2(n -2 (17还可证明B δ和Ρ
δ2相互独立。(4分布检验判别式 如果试验数据在显著性水平Α下服从威布尔分布, X , Y回归
效果是显著的,否则回归效果不显著。根据B δ和Ρ
δ2分布规律及B δ和Ρδ2相互独立得B δ
-B
Ρ
∑ n
i =1
(X
i
-X
{(n -2 (18
如果
2n
i =i 2
(n -2 (19
Α下, ,即在显著性水平Α下,数据服从威布尔分布。3分布参数置信限
(1t 0(尺度参数区间估计A δ服从正态分布,容易得到下式
D ISTR IBUT I ON AND EXA M INAT I ON OF D ISTR IBUT I ON T Y PE
Xu Zili , J iang X ingw ei
(H arbin Institute of T echno logy , arbin 150001
摘 要布检验判别式,。V 14, V 21517
AbstractA calculati on fo r m ula of po int esti m ati on fo r W eibull th ree param eter distributi on is given . Based on the analysis p rinci p le of significance of linear regressi on , the exam inati on crite 2ri on of W eibull distributi on is derived . A fter studying the W eibull th ree param eter distributi on law , a m athem atical exp ressi on to deter m ine param eters confidence li m it is deduced . Key wordsW eibull distributi onexam inati on of distributi onconfidence li m it
可靠性分析威布尔三参数估计方法比较分析
可靠性分析威布尔三参数估计方法比较分析郭必柱;邓建【摘要】对可靠性分析中疲劳寿命Weibull分布的参数估计方法进行研究.在研究相关系数优化法的基础上,提出一种新的参数估计方法--割线优化法.在MATLAB的基础上改进了概率权重矩法,使此参数估计方法精度提高并使之更方便于工程计算.给出了计算Weibull三参数的MATLAB语言程序,并对这三种参数估计方法进行了分析比较.运用这些方法进行工程实例计算,计算结果表明割线优化法有较高的精度.通过实例计算确定了各方法工程应用上的差异及其适用范围,对工程人员选用合适参数估计方法起一定指导作用.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2010(010)025【总页数】6页(P6117-6122)【关键词】可靠性;威布尔分布;相关系数;割线优化法;超过概率权重矩【作者】郭必柱;邓建【作者单位】中南大学资源与安全工程学院,长沙,410083;中南大学资源与安全工程学院,长沙,410083【正文语种】中文【中图分类】O213.2;TB114.3自从 W.Weibull1951年在二参数威布尔分布的基础上建立了三参数模型[1,2],并用之建模处理大量的失效数据以来,三参数的威布尔分布模型在结构疲劳可靠性理论乃至整个可靠性学科中都成为了十分常用和重要的概率分布[3—6]。
在可靠性领域常见的几种概率分布,如指数分布、瑞利分布等,可看作是威布尔分布的特例。
而常见系统中元件的可靠性参数(如失效概率);工程材料的疲劳寿命和强度分布都可用威布尔分布很好地描述,因此,研究威布尔分布就有十分广泛的实际意义[7]。
然而,三参数威布尔分布模型的参数估计正因为含有 3个参数而变得复杂,所以能根据样本失效数据对三个参数进行准确估计,在结构疲劳可靠性研究方面具有十分重要的意义。
因此,国内外一直有人在致力于相关研究。
早期的做法通常是先由作图法得到位置参数,然后线性回归分析得形状参数和尺度参数[8,9],然而小样本作图法误差大,相关研究人员找到了新的参数估计方法。
三参数威布尔分布
三参数威布尔分布引言在统计学和概率论中，分布函数是描述随机变量的概率分布的函数。
三参数威布尔分布是一种常见的概率分布，它被广泛应用于可靠性工程和生物学领域。
本文将详细介绍三参数威布尔分布的定义、特性、参数估计方法以及在实际问题中的应用。
定义和性质三参数威布尔分布是一种连续分布，它由三个参数所决定：形状参数（shape parameter ）k 、尺度参数（scale parameter ）λ和位置参数（locationparameter ）δ。
其概率密度函数（Probability Density Function ，简称PDF ）可以表示为：f (x;k,λ,δ)={k λ(x −δλ)k−1exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ,其中，k >0表示形状参数，λ>0表示尺度参数，δ表示位置参数。
三参数威布尔分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function ，简称CDF ）可以表示为：F (x;k,λ,δ)={1−exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ.三参数威布尔分布具有以下性质：1. 分布函数单调递增：对于任意两个取值x 1<x 2，若x 1≥δ且x 2≥δ，则F (x 1)≤F (x 2)；2. 形状参数的取值对分布形态的影响：当k >1时，分布函数右偏，而当0<k <1时，分布函数左偏；3. 尺度参数的取值对分布的定位和尺度的变动起到作用：当λ增大时，分布函数向右平移，且尖峰逐渐变宽；4. 位置参数的取值决定了分布函数的起点。
参数估计方法在实际问题中，我们通常需要根据样本数据来估计三参数威布尔分布的参数。
常用的估计方法包括最大似然估计法和矩估计法。
最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它通过最大化样本的似然函数来估计参数值。
对于三参数威布尔分布，最大似然估计法的步骤如下：1.假设样本X1,X2,...,X n是独立同分布的三参数威布尔分布随机变量；2.构建似然函数L(k,λ,δ)，即样本的联合概率密度函数；3.对似然函数取对数得到对数似然函数l(k,λ,δ)；4.求解对数似然函数的一阶偏导数，令其为零，解得参数的最大似然估计值。
基于三参数威布尔可靠性模型的航空装备故障预测研究
基于三参数威布尔可靠性模型的航空装备故障预测研究作者：孙扩赵波杨航来源：《航空维修与工程》2020年第10期摘要：针对目前我军装备保障任务维修中存在的设备故障率高和过度检修等问题，以三参数威布尔为基础，基于某飞机历年的故障记录数据，针对该型飞机的几个重要设备开展可靠度建模，并在故障預测中加以验证，与历年同时段同架次飞机故障数据进行对比，验证了该模型和预测方法具有可行性。
关键词：三参数威布尔；可靠度建模；航空设备；故障预测Keywords：three parameters Weibull；reliability modeling；aviation equipment；failure prediction0 引言航空装备维修保障主要有三类：事后维修、定期维修和视情维修[1]。
目前，我军装备保障任务维修基本采用的是事后维修与定期维修相结合的方式，该方式虽然有着简单、可操作性强的特点，但是存在设备故障率高和过度检修的风险和挑战。
随着设备状态监控技术的兴起，视情维修方式必定成为今后很长一段时间内装备维修保障的发展方向。
为此，针对某型飞机的重要电子设备，利用三参数威布尔构建可靠性模型，对设备进行故障预测和实验验证，为该设备的视情维修提供分析依据。
1威布尔分布威布尔分布[2]因瑞典教授Wallodi Weibull在进行材料强度统计时首次使用而得名，目前已广泛应用于电子元器件寿命试验和机械产品的疲劳寿命试验中。
两参数威布尔分布的参数估计简单、适应能力较强，但是某些机电设备特别是航空机电设备，其威布尔概率并非均匀分布，这种情况下三参数威布尔模型更能够描述复杂机电类产品磨损累计失效的分布形式。
因此，本文将三参数威布尔模型作为飞机设备可靠性建模的核心模型。
三参数威布尔分布的概率分布函数为：三参数威布尔分布的失效率函数为：2 威布尔模型可靠度建模与故障预测针对航空设备故障开展可靠度建模和故障预测[3]的基本流程如图1所示。
三种估计疲劳极限方法的比较
三种估计疲劳极限方法的比较作者：朱学超,李泉珍来源：《科学之友》2010年第03期摘要:文中阐述了3种估计疲劳极限的方法,即加权平均法、按正态分布(或对数正态分布)估计疲劳极限应力值和三参数威布尔分布理论。
并对3种方法进行了比较。
相比之下三参数威布尔分布理论可求出任意可靠度下的疲劳极限,应用更广泛。
关键词:疲劳极限;正态分布;威布尔分布;置信度;可靠度中图分类号:O211.4 文献标识码:A文章编号:1000-8136(2010)03-0009-02疲劳极限是表征材料与结构疲劳性能的重要参量之一,其试验与测定方法一直受到国内外的关注。
当研究其概率值时,试验方法主要有大子样升降法和小子样升降法。
大子样升降法测定结果精度较高,但花费试样较多,一般大于30个,这一试验方法已写入了英、日、法等国的试验标准。
小子样升降法测定结果精确度稍差,但花费试样较少,约13个～20个,在我国得到了广泛应用。
疲劳极限的早期理解是,材料不发生疲劳损伤(无限疲劳寿命)的临界疲劳强度;后来被理解为一定疲劳寿命(如107循环数)下的中值疲劳强度估计值。
因材料的疲劳极限随加载方式和应力比的不同而异,通常以对称循环(即应力比R=-1)下的疲劳极限作为材料的基本疲劳极限。
[1]扩展到概率领域,则应理解为一定疲劳寿命下疲劳强度的概率(包含存活概率和置信度两方面含义)估计值。
本文阐述了3种估计计算方法,并进行了比较。
1加权平均法为了区别对待不同精度条件下的测量结果,在计算平均值时需要采用加权平均。
所谓权,就是权衡轻重的意思,某个测量值越可信赖,则在数据分析中应该使它占有越大的比重,即需要赋予它越大的权。
测量值的可信赖程度与测量值的误差密切相关,误差越小,可信赖程度就越高,权也就越大;反之亦然。
在加权平均时,习惯上将权值取得与测量结果的方差成反比。
采用加权平均法对其小子样升降法的疲劳试验结果进行处理时,其缺点是加权平均值只可以作为可靠度为50%的疲劳极限。
加速寿命试验三参数威布尔分布的极小变异-极大似然估计
装备环境工程第20卷第5期·12·EQUIPMENT ENVIRONMENTAL ENGINEERING2023年5月加速寿命试验三参数威布尔分布的极小变异-极大似然估计马小兵，刘宇杰，王晗（北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院，北京 100191）摘要：目的在加速试验中，对寿命服从三参数威布尔分布的产品进行可靠性评估与寿命预测，解决形状参数小于1时传统方法难以计算的问题。
方法利用三参数威布尔分布与指数分布之间的转换关系，以变异系数误差最小为优化目标，在确定最优位置参数估计值的基础上，应用拟极大似然方法估计分布模型中的其余参数，建立极小变异–极大似然估计（MV-MLE）。
根据加速寿命试验中失效机理不变的原则，在失效机理等同条件下，将该方法推广至多应力水平下的可靠寿命评估。
结果在单一应力与多应力水平下，通过仿真模拟验证了所提方法的有效性。
与传统方法相比，在小样本条件下，所提方法可提高形状参数（机理等同性参数）估计精度40%以上。
结论所提方法对于三参数威布尔分布的参数估计和寿命评估具有较高精度，能够有效克服传统方法的不足，在加速寿命试验评估中具有良好的应用效果。
关键词：三参数威布尔分布；变异系数；加速寿命试验；机理等同性；可靠性评估；寿命预测中图分类号：TB114 文献标识码：A 文章编号：1672-9242(2023)05-0012-07DOI：10.7643/ issn.1672-9242.2023.05.003Minimum Variation-Maximum Likelihood Estimation of Three-parameterWeibull Distribution under Accelerated Life TestMA Xiao-bing, LIU Yu-jie, WANG Han(School of Reliability and Systems Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)ABSTRACT: The work aims to estimate the reliability and predict the lifetime of the products subject to three-parameter Weibull distribution under accelerated life test, so as to solve the problem that the traditional methods are difficult to complete the calculation when the shape parameter is less than 1. Through the conversion relationship between three-parameter Weibull distribution and exponential distribution, the best estimated value of the location parameter was determined with the error of co-efficient of variation as the optimization objective. Then, the analogue maximum likelihood method was used to estimate the remaining parameters of the Weibull distribution, based on which the minimum variation-maximum likelihood estimation收稿日期：2023–04–13；修订日期：2023–05–04Received：2023-04-13；Revised：2023-05-04基金项目：国家自然科学基金（72201019，52075020）；可靠性与环境工程技术重点实验室项目（6142004210105）；国防技术基础项目（JSZL2018601B004）Fund：The National Natural Science Foundation of China (72201019, 52075020); Reliability and Environmental Engineering Science & Tech-nology Laboratory (6142004210105); Basic Technical Research Project of China (JSZL2018601B004).作者简介：马小兵（1978—），男，博士。
weibull分布参数置信区间
weibull分布参数置信区间
Weibull分布是一种描述可靠性和寿命数据的概率分布，通常
用于可靠性工程和寿命测试领域。
在统计学中，我们经常需要估计Weibull分布的参数，并计算它们的置信区间。
Weibull分布有两个参数，形状参数（通常记为β）和尺度参
数（通常记为λ）。
估计这些参数的置信区间需要使用统计方法，
最常见的是最大似然估计（MLE）和贝叶斯方法。
对于最大似然估计，我们可以使用样本数据来估计Weibull分
布的参数，然后基于估计值计算置信区间。
通常使用参数估计的标
准误差来计算置信区间。
对于Weibull分布，参数估计的标准误差
可以通过Fisher信息矩阵来计算。
另一种方法是使用贝叶斯方法，它基于先验分布和样本数据来
估计参数的后验分布。
然后可以使用后验分布来计算参数的置信区间，通常是使用最高后验密度（Highest Posterior Density, HPD）区间。
无论使用哪种方法，计算Weibull分布参数的置信区间都需要
考虑样本大小、参数估计的精度和置信水平等因素。
通常情况下，我们使用95%的置信水平来计算置信区间，这意味着我们可以有95%的信心认为真实参数值落在计算的置信区间内。
总之，估计Weibull分布参数的置信区间涉及到统计方法和概率分布理论，需要考虑多个因素来确保估计的准确性和可靠性。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来计算参数的置信区间，并理解置信区间的解释和应用。
三参数威布尔分布参数估计及在可靠性分析中的应用
可靠 性分 析 的首要 问题 是 寻 找 能够 确 切 反 映系 统 故 障机 理 并与故 障 数据 的分 析 结生任何故障 ， 这些设备 的故 障数 据经过威布尔 变 换后 在威 布 尔 概 率 纸 上 呈 现 的不 再 是 一 条 直线 ， 此 时如果仍然采用两参数威布尔分布模型拟合故障数据
体 。遗传 迭代 前 ， 需 要 首 先建立一个 由若干初始解 （ 也称为个体 ） 组成的群体 ，
即初始群体。初始群体 中的每个个体都是通过随机方 法得到的参数编码 。
生成 初始 群 体 前 通 常 要 确 定 每个 参 数 的 范 围 ， 称 作搜 索空 间 。搜 索 空 间必 须 足 够 大 ， 能 够 涵 盖 每 一 个
法的可行性 。
关键词 ：三参数威布尔分布 ； 参数估计 ； 图解法 ； 遗传算法 ； 数控机 床
极值波高Weibull分布的参数估计方法对比分析
极值波高Weibull分布的参数估计方法对比分析王志旭;陈子燊【摘要】介绍了三参数威布尔分布及其4种参数估计方法:极大似然估计法、相关系数优化法、灰色估计法和概率权重矩法.利用蒙特卡罗法对以上参数估计方法进行不同样本尺度的模拟,通过偏差、标准差和均方误差对比分析各种方法的特点、精度和适用性.运用上述方法结合涠洲站34a实测年极值波高,推算涠洲岛的设计波高,从相关系数、均方根误差和Q统计值分析各种方法的差异及优劣性.结果表明,小样本情况下各估计法的差别较大,而大样本时差别较小,极大似然估计法能较好拟合各种大小的样本,相关系数优化法次之；选取合适的经验频率会提高参数估计精度；各种参数估计方法计算而得的设计波高相差不大,其中极大似然估计法的精度最高.【期刊名称】《海洋通报》【年(卷),期】2013(032)002【总页数】6页(P127-132)【关键词】设计波高;威布尔分布;参数估计方法;涠洲岛海域【作者】王志旭;陈子燊【作者单位】中山大学水资源与环境系,广东广州 510275;中山大学水资源与环境系,广东广州 510275【正文语种】中文【中图分类】P426在海岸工程建设设计中，最重要的又难以决定的问题之一是设计波浪标准的选择，选用的设计波高有少量变化就会明显影响到工程的费用、涉及工程安全和维修方案。
在得到波高长期样本数据后，可通过概率分布函数来拟合实测数据，并推算设计波高。
Goda等（1990）、Ferreira等（2000）和Todd（2000）对各种分布函数做过分析比较，发现各种函数有其适用性。
目前常用的分布函数有对数正态分布、Gumbel分布、皮尔逊Ⅲ型分布、Weibull分布。
我国海港水文规范规定，对于年极值波高及其对应的周期的理论频率曲线，一般采用皮尔逊Ⅲ型曲线，也可以实测经验累积频率点拟合最佳为原则，选用其他理论频率曲线。
1927年，Fréchet首先给出威布尔分布的定义，即极值Ⅲ型分布。
【doc】三参数威布尔分布的置信限
三参数威布尔分布的置信限北京航空航天大学Journa|ofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics1991阜第2期Ng-21991三参数威布尔分布的置信限傅惠民高镇同徐人平(飞行器1殳计与应用力学粟)摘要:本文给出了三参数威布尔分布置信限曲线的一般函数关系武,提出了一种利用秩分布确定该关系武中参数的方法,从而求得三参数威布尔分布的单侧置信限和双侧置信区问.谈方法便于工程应用,并且可以推广到其他连续分布的情况.?关键词:三参数威布尔分布,单侧置信限,双剁置信区问.威布尔分布的置信限在工程中有着广泛的应用,但是至今仍然没有一种方法能够很好地确定三参数威布尔分布的置信限,以至于在工程中根据三参数威布尔分布得出的结果的可信程度(置信度)无法保证.为此,本文对三参数戚布尔分布,正态分布,极值分布,伽玛分布和其他常用的连续分布的置信限曲线变化规律进行了研究,分别给出了其相应的数学关系式,提出了一种利用秩分布确定该关系式中参数的方法.虽然秩分布是非参数的,但通过该方法求得的置信限却是参数的.文中对三参数威布尔分布的置信限进行了详细的讨论,目前该方法巳用于处理大量的疲劳试验数据,效果很好.并且巳为国标所采用.1任意连续分布的置信限设t.,t:,…,(|J≤t:≤…≤)是一个来自分布函数为F(t,,,…,L)的母体的有序随机样本,其中,,…,L为分布参数.夸一F(t,,^2,…,L)(i一1,2,…,n)(1)即为该母体中个体小于第i个有序观测值t,-的百分率.由于的值随着样本的不同而不同,所以,只的值也随着样本而变化,即是一个随机变量(本文中随机变量甩黑体字母表示).被称为第i个秩统计量,它的概率密度函数为"(PD一P;'.(1一P)(2)如果定义尸和P如下;rPIg.(PDdP~一7(3)本文于I991年4月20日收翻79『(P&dP,一(4)J,则P和P分别被称为置信度为y的非参数单侧置信上限和单侧置信下限,即P(≤尸,)一y(5)P(≥P)一(区问[,P]被称为置信度为27--1的非参数置信区间,即P(≤P,≤)一2y一1(7)式中y≥50%.由于秩分布是一个贝塔分布,所以对式(3)和式(4)进行变换,可以求得:一1善半i1㈣一+[/(月一+)]F卜r2(一+1)..一i/(n--i+1)='9)为了便于应甩,表1和表2分别给出了对应于置信度y一90%和7=95%,样本大小为一≤30的P值.P值可由下式换算得到P一1一P.c一+"(10)设f.,tF.'t.是有序随机样本t,t一,t.的一个取值,则分布函数F(t,,,…,L)的置信度为y的单侧置信上限P(f,0,,…,)可以由下面的方程组求得:詈一0(f—1.2,……)式中Q一∑{(,,0t,,…,岛)]一(P山))(12)其中,巩'..?,为待定参数,(?)是为了计算方便而引进的一个函数.通过MonteCarlo模拟和模糊数学方法研究发现:对于三参数威布尔分布,正态发布,极值分布,伽玛分布和其他一些常甩的连续分布,函数P(,0-,巩,…,巩)一般均能表示为F(t,,,….),即,P(,,,…,)=F(t,0l,以,:-.,)(13)式中g—m.同样.分布函数F(t,.,.._?,L)的置信度为y的单侧置信下限(f--,,…,)可以由下列方程组求得鼍一0(一1'2'……)式中Q'一∑{[只(,-,'..?,)]一事(P))(15)其中,",为待定参数,(?)是为使方程线性化而引进的一个函数.F(t,^t,,…-L)的单侧置信下限PAt,,.._?,珈)一般可以表示为PAt,l,,…,)一F(t,l,,…,)(16)式中k=m.文献[2]从理论上证明了分布函数F(t,,:'..?,L)的置信度为的单侧置信上(下)限曲线,同时也是具有该分布函数的母体百分位值的置信度为的单置信下(上)限曲线.因此,概率为P:F(t,,,…,L)的母体百分位值的置信度为y的单侧置信下限可由下式求得8O?衰1置信廑=9o%的值惮车大小1267BlO190.000I;B37753.5844376636.90431.8712BO3l22.574ZO5672{4.B6B80.42067.95458.38951.O,245.25640.62536.83633.6B5396.54985.74475.33666.6Bl596lB53.B224.008497.400B877779.90972.14065.53B59.9{255.173507.们59074083.03669.90369B.25992.1lBB5.$15TB.帖O73.%B798.50693.1a787.050B1."489869293.923B8.4l799B.B36,\样奉大小12l6lB1920l18.B87l7.460l6.232l5.166l4.23012.667l2.008ll413lm875 231.0242B.75O26.7842506723.55722.z17zJO2l18.977l8.096341.5l6a8.55235.97B33.72l31.72920.9562B.37026.04225.65l24.477'51.0764752744.4264l_69839.27937.12233.44l31.85030.4l9559.94755.gO052.3'a40.19743.80241.63939.60237.753.066668.Z2B63.7725982456.3ll53.I7lS0.35lt7.B074550243.405{Ll4B9775.94771.1B366.9l46a.08759.64756.54453."5'B.B5646.727B83.0777B.13273.62769.54565.84B62.4965口.'4口56.67254.1525l8039B9!;2384.58l7g95075.6B471.78268.2l764.96l61.08050.Z4556.733l005.055B5.839Bl_4B777.44173.7OB67.1l564.20761.5251l95.47686.0O682.8037B.95075.3B672.0786口.Ol766.1B3l290.12605.B3l9l_B52B7.B238a.0"80.28476.86173.67370.707l309.19396.13492.41'8B.62084.94281.45178.16875.094l496.39692.003B9.3l885.B23B2.48779.334l599.30096.6Z$80.036B6.60683.4lal690.34496827们.7l490.48687.3071799.3829405490.970lB97.16594.358l999"797.3O0悻奉大小2l22Z3Z4z5262282目30llO.3B59.:79.5269.1488.口0I.4758.1757.80'7.633.3B8217.20'16..915.B8415.262l4.68L153l3.657l3.1口'2.762l2.35323.40522..:221.5l02m685l目.914}.197l8.530l7.9OB..32l6.7Bl 429.10227.l'26.78l25.75424.802I.91723.0942&325}1.60520.930 534.52233.I'31.7973m588Z9.46}.4Z52.'5'26.546l5.624.809639.733_736.62635.Z4733.966}.77●31.6653m62':9.65028.736 ".77l'2.041.3帖30.7∞38.331;r0口737523'.587【3.49532.469B49.66147..44S.856".16O'2.5B2【.11l39.73口38.453【7.24836.11' 954.4l652.550.20l48."0'6.73';.13445.638'2.23710.口乱30.68'lO59.04756.254.62252.64150.705,.07l47.45845.945l4.5"43.1871l63.5576.958.85356.7425'.772:.口2口51.20449.584l8.06246.62B l267.0'965.l62.98860.75558.6铭;.l454.B8l53.15口l1.53950.0l3 132.22l69.767.02964.68362.4B6,.42658.'9l56.62l4.95953.3'3 1476.3683.470.97368.52566.226'.06862.03760.126-8.32'56.622 1580.3Bl●774.BlB2.Z7969.B80f.63口65.5l063.52l;1.63459.85l 1684.245●_67B.55B75.口'273.47l1.1386B.∞76e.857;'.89163.030 l787.938_●882.1"79.S昕968'.5647Z.2BB7仉133;8.0936e.160lB91.42588.:085.铭2B2.96780.376._9l175.57073.3481.2'o69.239l094.633●_:589.O2086.3O683.683.17378.77B749B4.35972.267 2097.438.:392.19Z89.50386.8771.34181.90779.580.35975."l2l99.60097.:695.1lO92.52789.938—『.'O384.9'882.5870.32378.158 2299.!207.66395.3lB92.834?33987.88885.5l0l3.ZI7B1.Ol'2309.54397.76295.5∞I.11700.7O88B.337l6.03183.80Z2490.56207.852,.铭503.37891.05O瞎.754B6.5l62509.579r.03605."793.62lI1.3688914Z26I.5口608.01395.09BI3."60l_6652709.6ll98.084I6l38口'.0562B99.624嚏.15196.26020.6379B.2l381衰2置信度y一95%的.值样车大小l26B9l95.013077.63963.16052.71345.O72393043481631.2342831325.88 297.46BB6.46575.14065.7415B.18o5207047.068429l439.4163983O590.23981.O'/472.B6665.B7459.96954.96450.690498=72692.35684.6847746B71.07665.50660.66259B.97993.71537.124807l074.B6369646699.14994.662BB.8898l2577.7S67e9.270953d$190,225B^,907B90.36195.89891.27499943296.323样车大小l213l5l6l718l23.B'O22.09220.5B2l9.264lB.104l7.075l6.1571533214.58713.9ll 236.43633.B6B3l63●29.67327.94026.39625.Dl2236622.63721.6l1 347.009'3.Bll38.53936.34434.3B332.6193l_02629.5B02B262456.43752.73349.46546.56643.97841.65739.5643766B34.366565.O196O.01457.2625'.O0151.0754B.440'6.135543.8884l9l2672.8756B476".52060.95952.192'9.7834758045.55B780.0~275.47067.4976'.360.89958.O2952.99513.7￡2BB6.'0281.B9B77.60473.6'270.00l66.66363.5996O.7B'5B.19455.803 902.1l887.7l579.39375.62772l4O68.9l765.94063.18860.642 11306.66892.8l388.73gB4.72BB0.9l477.33l73.98970.88067.99l65.3O7n09.53596.95'93.395B0.5B5.B3'B2.22373B.9,5.6Ot72.60569.aO5 1299.57397.19593.B909O.334B6.78983.364B0.1O577.O2B74.135 1399.60697.40094.3159O.975B7.62384.36681.2507B.2931499.63497.57794.68591.53588.357B5.25382.269lS99.65997.73295.0113B9.0O986.0451699.68097.B6895.29B92'7l89.592l799.6999555'92.B651899.7l59809795.7B3l99e.730eB.193样车大小2l2223242526272820113.295l2.73l11.735lL29310.88310.5O210.1479.8149.5O3220.673l9.8l2l0.132O18.28017.6l2l6.983l6.307l5.85l15.33914.860 327.05525.9●724.02523.08023.10422.28021.53020.82l20.15619.$33 '32.92l31.59l30.36429.2272B.17227.19026.27425.41724.61423.860 538.44136.90935.4933'.18l32.06l31.B2430.76329.7692B.B3727.9616'3.608'O.39O3B.01437.54036.26O35.O6233.9'032.B8731.8977'B.73946.8●9'5.098'3.469'1.9524o.53530.21133796736.80035.701 853.59451.5'6'9.6●'47.873'6.22l'4.67743.23041.B73'0.59739.39595B.Z8056.08754.04652.142513.36'4B.700'7.13945.673".20''2.993 1062.B11360.'8458.3l656.2B954.39352.6l6513.948'9.379'7.9Ol46.507 1167.1896'.7'662.46l60.32258.31656.'3'54.66452.99851.427l271.4206B.B7466.4B56'.2¨62.13B60.15B58.20356.53654.B7753.309 137S.5Ol72.B607n39l63.05865.86l63.79l61.839S8.2H56.6O61'79.'2576.7287'.17671.76'69.'8767.33665.30363.38061.56l59.83715B3.18280."477.B3675.36l73.13l570.79268.68666.69l64.801363.005 l6B6.755".00681.3667B.84376.,L4174.15B71.98869.92B67.97O66.1ll l787.39784.75279.76277.43075.20773.08971.O7369.1541803.2l990.58987.97085.'3lB2.07O80.60478.33B7毛17374.10672.133 190S.99093.$4088.50086.05283.67281.37879.17677.06675.0472098.2Bl96.17893.83291.'ll88.99'86.62384.31BB2.O口279.95077.B942l0g.75698.3∞e6.3I89'.0g0e1.7l87.1n84.0l582."/548o.6692209.7679B.'3396.50594.3"92.10180.B5287.633B5.46883.367239B.'0996.6●894.56992.40688.08385.9822'99.7B798.$6096.78094.77792.68990.5858B.50l2599.79398.6l696.9O294.96992.95190.9l32699.80398.66897.o1595.14893.10'2799.8109B.7l697.12005.315Z899.8l798.76l07.2l82999.B2308.80Z82?P(,巩,,…,)一P(17)或F(,,,…,)一P(18)同样,母体百分位值t的置信度为y的单侧置信上限f可由下式求得P,(f,玑,,…,,/D=P(19)或F(t,,2,.I?,)一P(20)医间[抽,t,.]是母体百分位值的置信度为2y一1的置信区间.即P(t≤)一y(21)P(t≥tp)=y(22)P(t≤≤f)一2y一1(23)由此可见,虽然P.和n是非参数的,但是和却是参数的.可靠度R一1一F(t,^,,…,L)的置信度为y的单倒置信下限日和单侧置信上限凰可分别由式(24)和式(25)求得:R,=1一P.(f,巩,以,…,)(24)R一1一开(f,,.…,)(25)区间[日,Ru]是可靠度R的置信度为2y一1的置信区间.2三参数威布尔分布的置信限设--#数威布尔分布函数为)一l—exp{一(n(26)式中a>0,卢>o和e≥0,它们分别被称为威布尔形状参数,尺度参数和位置参数?'由式(13)和式(16)可知;三参数威布尔母体百分位值的单侧置信下限(f,?以'..',)和单侧置信上限(f,.,…,协)可以分别表示为F(t,嘶,岛,Ef)和F(t?,,),即P(f,巩,,….)一F(f,啦,,日)一?一H和Pt(t,,,…,)=F(f,,,)=?一exr}式中∞,岛,目和口u,,均为待定参数.它们可分别由式(11)和式(14)求得,即詈=o,象=0,詈一o,(29)面仉丽一式中Q:宝Iq,EF(t.,∞,岛,白)]一巾())一n[-nF卜ln(1n而1一一蝴一nI~ln(tIIn)](30)一∑l一日)一n岛一"】l30)●'10一一和警一o,鼍=o,鼍一o,㈣式中Q'=c—cu卜(-n)]如果令xt—In(一),y.=In(1n瓦j则式(29)成为哥一LxY/上H岛=exp(X—YLxx/LxY)E(St)=Lx0/Lxx—L/工xY=0式中x=置y工n=∑脚一1--(∑X.)I'1一|.1(32)(33)(34)(35)(36)Lw=∑y卜(∑yI)厶.Y=∑置一(∑置)(∑)Lxo=客一c耋置(砉1)工一客一c耋,(耋)首先,可以由式(36)求得￡『t然后再通过式(34)和式(35)求得∞和卢,.式(36)较复杂需用迭代法求解.设为￡『的预佶值,则由文献[3]可知:当~t>st时,E()<0l当玉<￡『时,E()>0.所以.可按如下步骤进行计算-首先计算E(0),因为￡『位于区间[0,f.]内,所以.①如果E(O)≤0,则取￡『=0}②如果E(0)>0,则将区间[O,]对半分为两个区间[0,t]和[,],并计算E().如果E(a)<0,则￡『必位于区间[O.f]内}如果E(f)>0.则￡『必位于区间[.]内.不管哪种情况出现?都可以将原来的区间缩小一半.接着再将剩下的那个区间又一分为二,并计算E(f").E()<0,则￡『位于左边那个区间}E()>O.则￡『位于右边那个区间,这样又可将所剩下的区间缩小一半.如此做下去,即可按所需要的精度求得上述计算巳编有BASIC程序和FORTRAN程序(略).线性相关系数,由下式求出:r=厶/.;(37),和也可以同样计算.3应用举例表3给出了某材料在同一应力水平下测得的一组试件的疲劳寿命M,以及相应的平均秩=i/("+1),置信度y=95%的单翻置信上限P(由表2查得)和置信下限凡[由式(10)换算].84表3瘴劳试验数据序数矗劳寿命平均筏置信上限置信下限序数矗劳寿命平均茌置信上限置倌下限^(10jl.Ⅳ.(ioa)135o4.?613910.261155052.3869.8134.69238095221.6l1.8l1257057.1474.I4a9.363400】42928264.22l360061.9078.2944.20443019.05a4.377.1a1461066.6782.2749.Z25450柏.8140.10lo411563071.4386.0554.44647028.57455613.951665076.1989.5959.90748033.3350.8l7.731767080959Z.8765.6a850038.1o558O21.71l873085.7195.7871.74952042.86606425861977090.4898.1978.391o54047.6265.3130.192084095.2499.7486.09利用本文方法分别对表3中三组数据(Ⅳ…P.),(Ⅳ…P.)和(M,Pn)进行处理,从而分别求得分布函数F(N,n,,￡)的估计值为F(Ⅳ,;.声,;)=1一expf—fN——2764713211492,0414t(38)其线性相关系数r=0.9993~F(N,n,,￡)的置信度y=95%的单侧置信上限,也就是母体百分位值的单侧置信下限曲线为F(Ⅳ,m,,)=1一ex{一(型).")(§9)其线性相关系数,;0.9991?F(N,口,p,￡)的置信度为95%的单侧置信下限.也就是母体百分位值的单侧置信上限曲线为F(Ⅳ,‰,~u)Eu):1一exp{一(垒L)"""}(4o)其线性相关系数r=0.9992.如果令F=0.1%,则由式(38),式(39)和式(40)分别隶得破坏率P=0.1%,即可靠度R =99.9%的母体百分位值NP(安全疲劳寿命)的估计值一287366{置信度7=95%的单侧置信下限Ⅳ=189055和单侧置信上限Ⅳ=343500,以及置信度为90%的置倍区间C189055.343500~.参考文献KapurKC.L~mbersonLR.R胁rinEn肿e一嵋D朗j.JnWiley&SDn?1977.傅惠民?高周,僚人平.任誊连续分布的I信限-|匕京航空航天大学辩学研究报告BH～]34034,1991?傅惠民.高周.琦定破布尔升布三参数的相关幕靛优化莹.胄I窑,l990.12(7)A303～A3085?CONFU)ENCELIM1TSOFTHREE—PARAMETERWE1BULLPOPULATIONPERCENTILES FuHuiminGaoZhentongXuRenping(Dept.ofFlighlVehicleandAppliedMech.)ABSTRACTAgeneralfunctionrelationbetweentheconfidencelimitofthree—parameterWeibullpopula —tionpercentileanditspercentageisgiveninthispaper.Andamethodofcalculatingtheparame —ingthemethod,one—sidedconfidencelimitsandtWO—-sidedconfidenceintervalsofthree—-parameterWeibullpopulationpercentilescanhe determinedatagivenconfidenceleve1.Thismethodissimpleandconvenientforapplicationi nengineering,andmayalsobeappliedtoothercontinuousdistributions.Keywords:threeparameterWeibulldistribution,one—sidedconfidencelimit,two—sidedconfdence[nterva1.'(上接第66页)币J包括公开发行和内部发行两种.公开发行的期刊可以在国内外公开征订和锚售,内部发行的期刊只限在国内征订和铺售,不能出口和对外交接..非正式期刊是指经中央各主管部门审拔同意或省,自治区,直辖市科委商新闻出版局审拔同意,并在省,自治区,直辖市新闭出版局登记注册.领取内部枉刊准印证的期刊.非正式期刊不煽入国内统一刊号,只能用于本未统,本行业,本单位指导I作,交流经验,交接信息,可收取I本费,但不得在社套上公开证订和黼售.第三章审批程序第八条出版科学技术期刊应当其鼻以下条件:(一)有明确的主管部门和主办单位.(二)有明确的办刊宗旨,煽辑方针和枉道范围.(三)有健全的编辑部.专职煽辑人员按任务定煽,一般季刊(或半年刊)不少于三人,双月刊不少于五人,月刊不少于七人,并设一定数量的专职编务人员.外文版期刊煽辑部应配鼻外文专职编辑.(四)有固定的出版,印酬和发行单位以及必要的经费和舳质条件. (下转第9s页)86?。
威布尔分布三参数置信限估计及分布类型检验
威布尔分布函数[1～ 3 ]为
F ( t) = 1 - exp [ - ( t - r) m t0 ]
(1)
式中: t0为尺度参数; r 为位置参数; m 为形状参数。分布类型检验及三参数置信限估计
很少有人研究。为此, 本文对文献[ 1 ]的相关系数优化法作了进一步简化和改进; 利用线性回
归显著性分析得到了威布尔分布检验判别式; 在分析了各参数分布规律后, 给出了各参数置
信限的数学表达式。本法便于编程及工程应用。
1 三参数点估计
对式 (1) 变形并取两次自然对数
ln ln 1 -
1 F (t)
=
m ln ( t -
r) -
ln t0
(2)
令
ln ln 1 -
1 F (t)
=
Y ; ln ( t -
r) = X
(3)
- ln t0 = A ; m = B
(4)
则式 (2) 可写成
(8)
式中: D (Y ) 为随机变量 Y 的方差。
由上可知A , B , Θ都是 r 的函数。由威布尔分布函数定义知, r 应该使随机变量 X , Y 完
全成线性即相关系数等于1, 事实上数据存在分散性, r 应是 X 和 Y 相关程度最好的一个,
基于LSM的LED寿命的计算与分析
０ 引言
近年来 我 国在发 光二极 管 （ Ｅ 技术 方面不 断 Ｌ Ｄ）
取 得突破 ， 用越来 越 广 泛 ， 别是 “ 应 特 国家半 导 体 照
用 于 Ｌ Ｄ 的可靠 性 分 析 。由于 威 布尔 分 布 的参 数 Ｅ 计算 较 复杂 ， 采用 ＭＡ Ｌ Ｂ语 言编 制数 据处 理 的核 ＴＡ 心程序 ， 只要所 测得失 效 Ｌ Ｄ的时 间以及相应 的个 Ｅ
： 一
②通 过对 已知 数据 的用 Ｍ ｔｂ画 图分析 ， ａａ ｌ 其线
形相 关系 数 （ ０ ９ ４ ８ ） 别接 近 １ 由此 可 以 Ｒ ＝ ． ９７ ４ 特 。
说明红外 Ｌ Ｄ的加速模型完全符合逆幂律。 Ｅ
③比较精确地计算 出预测红外 Ｌ Ｄ寿命所用 Ｅ 的关键性参数 ， 确保以后能在很短的时间能 内估算 出正 常应力下 的寿命 ， 大大 降低 的成本 。
表 １ ３ ０ ３０ ２ ０ Ａ 恒 定应 力 实 验 样 品 的失 效 时 间 ７ 、０ 、２ ｍ
由图 ２ 可见，ｔ ｌ ｎ １ （） 成基本线形 ｌ 与 ｎ ［ 一 ｔ］ ｎ ｌ 关系 ， 中 ３０３０２０ Ａ拟合 直线 的相关系数 分别 其 ７ 、０、２ｍ 为 ： ＝ ．６８ ＝ ．５９ ＝ ．６０两条 直线 ０９７ ， ０ ９９ ， ０９３ 的斜率和截距 ａ ＝ ．１７ｂ ＝一 ．７ ９ａ ＝１２０ ， １ ０ ８５ ，１ ４ ３２ ， ．２３
汽车可靠性设计提纲(20051110打印)解读
汽车可靠性设计讲课提纲（部分）重庆大学机汽车系 舒红第二章 汽车可靠性评价指标2.1可靠性指标 一、可靠度的定义汽车或零部件在规定的条件，规定的时间内无故障地完成规定功能的概率。
可靠度是在一定置信度下的条件概率（0~1），置信度指的是所求得的R 在多大程度上是可信的。
二、可靠度函数R （t ）设规定时间为t ，产品寿命为T （随机变量）。
R(t)=P(T ≥t) 0≤t<∞(2-1)设有N 件产品，从开始工作到时刻t 发生的故障的件数N f (t)。
平均可靠度估计值置信度50% (2-2)置信度100% 一般当N 足够大三、不可靠度（失效概率）F(t)F(t)表示产品在规定的时间t 内不能完成规定功能的概率，即发生故障的时刻T 小于t 时的概率。
它与R(t)是互补的，即产品失效和不失效是互逆事件。
)(1)()(t R t T t F -=<P = （2-3）1)()(=+t R t F四、失效概率密度函数f(t) 1、失效频率直方图1）取N 件产品作寿命试验（也可以是实际使用的失效统计数据），测量其失效时间；2）将失效时间分为K 个区段：[t o ,t 1]，[t 1,t 2]…[t k-1,t k ]),2,1(1k i t t t i i =-=∆-，共有k 组3）第i 个区段],[1t t i -内，产品失效频数为i N ∆， 失效频率工作到t i 时刻的累积失效频率在处理实际问题时，F i 就是F(t i )的估计值。
4）作出直方图当以单位时间的失效频率tN N i∆⋅∆作为纵坐标时，作出的图称为失效频率密度分布直方图。
每一小方块面积代表这区间的失效频率。
所有矩形的面积之和为1∑∑===∆→=∆⋅∆⋅∆ki iki i N N t t N N 1111 2、失效概率密度函数f(t)N t N N t R f )()(ˆ-=Nt N N t R f )()(-≈)(ˆ)(t R tim t R N ∞→=Nt N t F f )()(≈NN W ii ∆=∑∑===∆=ij jij ji W NNF 11tN t N t N imt f f ∆⋅∆→∆∞→=)(0)( （2-4）设工作到t 时刻的失效数为)(t N f 工作到)(t t N t t f ∆+∆+tN t N t t N t N imt N t N t N im t f f f f ∆⋅-∆+→∆∞→=∆⋅∆→∆∞→=)()(0)(0)( dtdFt t F t t F t N im=∆-∆+→∆∞→=)()(0（2-5）f(t)反映了失效概率随时间变化的平均变化率。
三种风速威布尔分布参数算法的比较
⎡ ⎛υg P (υ ≤ υ g ) = 1 − exp ⎢− ⎜ ⎜ c ⎢ ⎣ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
k
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
(2)
141
取对数整理后，有
ln{− ln 1 − p (υ ≤ υ g )
令 y = ln − ln 1 − P
[
] } = k lnυ
g
g
− k ln c
(3)
{ [
(υ ≤ υ ) ] }， x = lnυ
2 i i i i 2 i 2 i
i i i i 2 i 2 i
i
由式(4)、式(5)，得
⎛ a⎞ c = exp⎜ − ⎟ ⎝ b⎠
k =b
1.2 根据平均风速 υ 和标准差 S v 估计威布尔分布参数 原理为：
−
⎛σ ⎞ 2 1 ⎜ ⎜µ⎟ ⎟ = Γ 1+ k / Γ 1+ k ⎝ ⎠
2Leabharlann {()[ (c
2.66 2.96 2.46 2.41 2.47 2.52 2.37 2.42 2.25 2.56 2.51
k
1.12 1.78 1.42 1.53 1.45 1.72 1.48 1.43 1.29 1.52 1.21
c
2.48 2.95 2.42 2.39 2.42 2.52 2.35 2.38 2.17 2.54 2.38
2 计算结果[8]
收集了鄱阳县气象站 1991-2000 年的自记风资料，分别用三种方法计算每年及整 10 年的风 速威布尔分布参数 k 、 c ，结果见表 1。 表1 计算方法 时间 1991 年 1992 年 1993 年 1994 年 1995 年 1996 年 1997 年 1998 年 1999 年 2000 年 整 10 年 方法 1 计算结果 方法 2 方法 3
威布尔分布下平均寿命置信限的评估方法研究
威布 尔分布 下平均寿命置信 限的评估方法研 究 术
李 学 京
（ 北京工业 大学应用数理学院， 北京 ，０ １４ １０ ２）
摘 要
设备 的平均 寿命是可靠性研究 中的的一个重要指标． 对威布尔分布来 说， 由于平 均寿命没有 明显 的枢轴量 ， 因此给 出平均寿命 的精确的置信 限较 为 困难． 本文分 别利用广义枢 轴量、Ｗ Ｃ 展 开以及三 Ｆ 阶法三种方法， 得到 了设备寿命服从威布尔分布 时的平均寿命 的（ 近似１ 置信下限． 最后对上述三种方法 分别进 行了模拟 比较， 结果显示 文中给 出的方法对于 中小样本情形下得 到的平均寿命 的置信限是 比较
命 的置信下限． 做变换
＝
Ｉ ｎ／ ７ ，
＝１ｍ， ／
＝ＩＸｋ ｎ ，
（ ｋ＝１… ，） ， 佗，
（． ２） ２
则 ， ， ｉ．．且ｙ的分布函数为 … ．ｄ， ｉ
Ｆ （） 一ｅｐ －ｅｐ （ —ｕ／ ｝， ｙ ：１ ｘ ｛ ｘ ｛ ｙ ）ｏ ｝ －
一 ＜Ｙ ∞ ＜＋ ∞，
本研究 受国家 自然科￣ （Ｏ７ ０ｏ 、 １７ １１ ） 数学天元基金（０ ２０ ７、 １９６ ４） 北京市 属市管高等学校 人才强教计划资助项 目以
及北京工业大学博士启动基金（ ０ Ｏ Ｏ ３ Ｏ ９ ２ 资助． ｘ Ｏ ６ １２Ｏ Ｏ ）
本文２ ０年１ ３ ０ ７ 月２ 曰收 到 ， ０ ７ １ 月 ２ 日收 到 修 改 稿 ． ２ ０年 ０ ９
精确的． 关 键 词 ： 平 均 寿 命 置 信 限， 义 枢 轴 量 ， Ｃ 广 Ｗ Ｆ展 开 ， 阶法 ． 三 学 科 分 类 号 ： ０２ ３２ １ ．．
§． 引 １
言
三参数威布尔分布的蒙特卡洛点估计方法
三参数威布尔分布的蒙特卡洛点估计方法南东雷;贾志新;李威【摘要】现阶段可靠性分析过程中,首发故障时间并非绝对从零开始,而三参数威布尔分布多使用相关系数法转换为极值问题从而使用极值法或右逼近法进行参数估计,然而此方法精度主要依赖初值和步长选择.结合某中走丝电火花线切割机床可靠性数据,分析了模型形状参数与位置参数对对数似然函数值的影响趋势,提出使用蒙特卡洛方法结合极大似然估计法对三参数威布尔分布模型进行参数点估计数值求解,同时使用D检验和NRMSE评估两种参数点估计方法的精度.结果显示此方法便于计算机自动求解,精度可控.【期刊名称】《机械设计与制造》【年(卷),期】2017(000)001【总页数】4页(P142-144,148)【关键词】可靠性;三参数威布尔分布;蒙特卡洛;D检验【作者】南东雷;贾志新;李威【作者单位】北京科技大学机械工程学院,北京100083;北京科技大学机械工程学院,北京100083;北京科技大学机械工程学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】TH16;TH17目前可靠性研究过程中，一般多使用两参数威布尔分布进行分析[1]。
为计算方便多将三参数威布尔分布的位置参数视为零点，从而简化为两参数威布尔分布模型，并对其进行多次对数处理，进而简化为线性模型使用最小二乘法即可完成模型拟合，最后使用KS假设检验对分析结果进行检验[2]。
文献[3]针对小样本可靠性数据，提出了基于径向基函数神经网络的扩充算法从而判定故障样本数据服从两参数威布尔分布。
文献[4]使用两参数威布尔分布对风电密度进行了分析，并比较了6种参数估计方法的优劣。
在机床部件及系统可靠性分析中，两参数威布尔分布被广泛应用[5-6]。
然而在实际可靠性分析中，首发故障时间并非为零，因此简化的两参数威布尔分布模型在故障分析过程中不够精确。
文献[7]等使用基于线性模型相关系数为目标函数采用右逼近法对三参数威布尔分布进行了拟合并和两参数威布尔分布进行了比较，结果显示三参数威布尔分布拥有更高的精度。
三参数威布尔分布
三参数威布尔分布威布尔分布是一种常用的概率分布函数，它常常用于描述寿命数据和可靠性分析中的失效率。
三参数威布尔分布是威布尔分布的一种常见形式，它具有更灵活的参数化形式，可以更好地拟合实际数据。
f(x; γ, β, η) = γ/β * [(x - η)/β]^(γ-1) * exp[-((x - η)/β)^γ]其中，x是随机变量，γ、β和η是分布的参数，γ>0，β>0，η为实数。
参数γ被称为形状参数，控制分布的形状。
当γ=1时，威布尔分布变为指数分布。
当γ>1时，分布呈现右偏形态，当γ<1时，分布呈现左偏形态。
参数β被称为尺度参数，控制威布尔分布的变异程度和概率密度函数变化的速率。
当β越大时，分布越陡峭；当β越小时，分布越平缓。
参数η被称为位置参数，控制分布在横轴的位置。
当η=0时，分布在原点处。
F(x; γ, β, η) = 1 - exp[-((x - η)/β)^γ]威布尔分布具有重要的可靠性分析应用。
利用该分布，可以计算系统在不同寿命下的失效概率。
由于三参数威布尔分布更灵活，因此在实际应用中更为常见。
在可靠性工程中，三参数威布尔分布通常用于描述已经运行一段时间的系统的可靠性分析。
通过对系统失效数据进行统计，可以得到最适合的参数估计，从而预测系统在不同寿命下的失效概率。
为了估计三参数威布尔分布的参数，可以使用最大似然估计法。
该方法通过最大化似然函数，找到最适合的参数估计值。
同时，也可以使用图形法和统计软件进行参数估计。
对于随机变量X满足三参数威布尔分布，其期望和方差分别为：E(X)=η+β*Γ(1+1/γ)Var(X) = β^2 * [ Γ(1+2/γ) - Γ^2(1+1/γ) ]其中，Γ(·)表示伽玛函数。
总之，三参数威布尔分布是一种常用的概率分布函数，适用于可靠性分析和寿命数据分析。
通过研究该分布的特性和参数估计方法，可以更好地理解和应用该分布，为工程师提供决策支持和改进策略。