线性代数第一章课件§7

ai 1,n
ann
an1 an, j1 bn an, j1 ann
7
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down
例：
3 5 2 1
设
1 D
1
0 5 , D的（i , j）元的余子式和代
1 3 1 3 数余子式记为Mij与Aij，求:
2 4 1 3
(1) A11 A12 A13 A14
(2)M11 M21 M31 M41
18
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down
二、重要定理
定理4 如果线性方程组1的 系数行列式 D 则0, 一定1有 解,且解是唯一的 .
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22
x2
a2n xn
b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
定理4’ 如果线性方程组 1无 解或有两个不同的
3x2 4x4 x1 x2 x3
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
35 21
解
03 D
0 4 67 0,
11 11
1 1 3 2
27
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down
3 5 21
3 3 21
43 D1 11 6 1
0 1
4 67 , 13
04 D2 1 11 6
0 1
4 0, 1
5 6 1 3 2
1 5 6 3 2
35 3 1
35 2 3
0 D3 1
3 1
4 11 6
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
28
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x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x2
D2 D
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
a21 x1
a22
x2
a2n xn
b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
14
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那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
相同
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
5
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关于代数余子式的重要性质
n aki Akj
解：
1111
11
(1)
A11 A12 A13 A14
1
3
0 5 r4 r3 1 3 r3 r1
2 4 1 3
8
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说明：此例利用了余子式与aij的值无关，而只与下标有关。
r4 r3 r3 r1
1 111
1 1 5
1 1 0 5 (1)13 2 2 2 4 .
2 2 0 2
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
x1
D1 , D
x2
D2 , D
x3
D3 ,L D
, xn
Dn . D
17
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由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
x1
D1 , D
x2
D2 , D
x3
D3 ,L D
, xn
Dn . D
也是方程组的 1 解.
81,
2 8 5 1
1 9 0 6 D2 0 5 1 2
1 0 7 6
108,
23
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21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
24
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例2 问λ 取何值时，方程组 有非零解？
1
2
x1 x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
1 2 4 1 3 4
解 D 2 3 1 2
1
1
1
1 1 1
0 1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解. 25
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解法2
1
2
x1 x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
1 2 4
x1 x2 1 x3 0,
c2 c1
D 2 3 1
1
1 1 c3 (1 )c1
0 67
0,
x4
D4 D
67 67
1.
29
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三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
b1a21 a12a21
.
b1 a21 b2 a22
a11 a12 a21 a22
a11 b1
a12 b2 a11 a12
a21 a22
12
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齐次与非齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
元素除
a
外都为零，那末这行列式等于
ij
aij
与它的
代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
2
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行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
证
a11
a12
M
M
i 1,2, ,n
1 1 0
1 1 0 0
(2) M11 M21 M31 M41 A11 A21 A31 A41
1 5 1 1
13
21
1 5 2 1
0 5 r4 r3 1 1 0 5 0
13
1 31 3
1 4 1 3
0 1 0 0
9
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§7 克拉默法则
一、克拉默法则 二、几个重要的定理 三、小结 思考题
nn
15
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证明
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
?
分析： Ai1 Ai2 Ai3 Ain
ai1,1
1 Ai1 1 Ai2 1 Ai3 1 Ain 1
a1n
ai 1,n 1
同理
b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j bn Anj
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n
ai1,1
an1
回顾 §6 行列式按行(列)展开
在 n 阶行列式中，把元素 aij所在的第 i行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
解，则它的系数行列式必为零.
19
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齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x
2
a2
xn n 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理5 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D , 0 则齐次线性方程组(2)没有非零解.
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a1n
M
D ai1 0 L 0 0 ai2 L 0 L 0 L 0 ain
M
M
M
an1
an2
L
ann
3
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推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组;
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零,
则称此方程组为非齐次线性方程组。
13
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一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
10
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用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
11
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再把 n 个方程依次相加，得
16
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n
n
n
ak1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
D1 , D
x2
D2 , D
x3
D3 ,L D
, xn
Dn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
n
n , j1
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
21
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例1 用克拉默法则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
定理5’ 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系 数行列式必为零.
20
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定理5’ 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0 （见第三章证明）
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2 a2n xn
1 3 ( 3)( 1)
2 1
2 1
1
0
0
(3 )(2 1) (1 )( 3)( 1)
( 3)( 2)
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0,或 2 时齐 次 3方程组有非零解.
26
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例3 用克拉默法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11
ai1 a j1 A j1 a jn A jn
a j1
an1
a1n
ain ,
a jn
ann
4
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把 a jk 换成 aik (k 1, ,n),可得
a11 a1n
ai1 ai1 Aj1 ain Ajn
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
22
up
down
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 3
27,
7 2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
1
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down
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一 个代数余子式.
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
6
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考虑： (1)
Ai1 Ai2 Ai3 Ain ?
(2)
b1 A1 j
b2 A2 j
b3 A3 j
ban1A1 nj