人教B版高中数学选修排列教案
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.2.1 排列》47
(3)在解题过程中,学会用分类讨论、数形结合、转化思想去分析解决问题
3、情感态度价值观
在解决实际问题中,培养学生积极参与,大胆探索的精神,体会各种数术原理,和排列的定义,排列数公式,但排列和分步原理的关系不是特别明确。
方法探究
提出问题引发猜想
例2
有6个人排成一排:(1)甲和乙两人相邻的排法有多少种?
(2)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?
观察由资源区拉出的人像,安排人物位置,并总结方法
将学生照片用美图秀秀秀抠图功能抠成人像放在自愿区,通过图片拖拽进入白板区,学生能直观地得出研究问题的方法,将两人看成一个整体,并自然形成数学思想——捆绑。
方法探究
勇攀高峰
例4
将2个男生和4个女生排成一排:
(1)男生排在中间的排法有多少种?
(2)男生不在头尾的排法有多少种?
(3)男生不相邻的排法有多少种?
(4)男生不相邻且不再头尾的排法有多少种?
(5)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种?
列式
探究
小组讨论
抢答加分
归纳方法
通过幕布功能揭晓答案,白板倒计时功能,小组抢答加分软件给小组加分,利用盖章功能给冠军组送花,批注功能小结方法。
四、教学重难点分析及解决措施
教学重点:利用排列解决实际问题
解决措施:充分利用交互式白板功能,由学生的主动探究完成
教学难点:在排列中使用分类加法原理和分步计数原理
解决措施:利用交互式白板的拖拽功能,对比发现区别,并利用映射原理区分
五、教学设计
教学环节
环节目标
教学内容
学生活动
媒体作用及分析
检复
新人教B版高中数学选修231.2.1排列
1.2.1 排列课标要求:知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想,并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题.教学重点:排列、排列数的概念教学难点:排列数公式的推导授课类型:新授课课时安排:2课时教 具:多媒体、实物投影仪内容分析:分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分,依分类计数原理解题,首先明确要做的这件事是什么,其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准,最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏,保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤,必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事,每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的,分类计数原理更具有一般性,解决复杂问题时往往需要先分类,每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段,不能嫌罗嗦,教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰,才会做到分类有据、分步有方,为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础,也是解决排列、组合问题的主要依据,并且还常需要直接运用它们去解决问题,这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系. 教学过程:一、复习引入: 1分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++L 种不同的方法2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么;2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立,“步”间互相联系;3.有无特殊条件的限制二、讲解新课:1问题:问题1.从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?分析:这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学,按照参加上午的活动在前,参加下午活动在后的顺序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有6种不同的排法:甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙,其中被取的对象叫做元素解决这一问题可分两个步骤:第 1 步,确定参加上午活动的同学,从 3 人中任选 1 人,有 3 种方法;第 2 步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选,于是有 2 种方法.根据分步乘法计数原理,在 3 名同学中选出 2 名,按照参加上午活动在前,参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种,如图 1.2一1 所示.图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题可叙述为:从3个不同的元素 a , b ,。
新人教B版高中数学(选修2-3)1.2.2《组合》word教案
1.2.2组合课标要求:知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。
明确组合与排列的联系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数m n A 与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。
教学重点:组合的概念和组合数公式教学难点:组合的概念和组合数公式授课类型:新授课课时安排:2课时教 具:多媒体、实物投影仪内容分析:排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学的真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察,有些同学之所以学习中感到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程:一、复习引入:1分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同m n C的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3.排列的概念:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序.....排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列....4.排列数的定义:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号m n A 表示5.排列数公式:(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ (,,m n N m n *∈≤)6阶乘:!n 表示正整数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘规定0!1=.7.排列数的另一个计算公式:m n A =!()!n n m - 8.提出问题:示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的引出课题:组合... 二、讲解新课:1组合的概念:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同例1.判断下列问题是组合还是排列(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?(4)10个人互相通信一次,共写了多少封信?(5)10个人互通电话一次,共多少个电话?问题:(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗?(2)什么样的两个组合就叫相同的组合 2.组合数的概念:从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数....用符号mn C 表示. 3.组合数公式的推导:(1)从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢?启发:由于排列是先组合再排列.........,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得,故我们可以考察一下34C 和34A 的关系,如下:组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有34C 个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有33A 种方法.由分步计数原理得:34A =⋅34C 33A ,所以,333434A A C =. (2)推广:一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ,可以分如下两步:① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ;② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ,根据分步计数原理得:m n A =m n C m mA ⋅. (3)组合数的公式:(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 规定: 01n C =.三、讲解范例:例2.用计算器计算710C .解:由计算器可得例3.计算:(1)47C ; (2)710C ; (1)解: 4776544!C ⨯⨯⨯==35; (2)解法1:710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯==120.解法2:71010!10987!3!3!C ⨯⨯===120. 例4.求证:11+⋅-+=m n m n C m n m C . 证明:∵)!(!!m n m n C m n -= 111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- =1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- =!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n m n C mn m C 例5.设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解:由题意可得:⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ,解得24x ≤≤, ∵x N +∈, ∴2x =或3x =或4x =,当2x =时原式值为7;当3x =时原式值为7;当4x =时原式值为11.∴所求值为4或7或11.例6. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?分析:对于(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题.解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C }手= 12 376 (种) .(2)教练员可以分两步完成这件事情:第1步,从17名学员中选出 n 人组成上场小组,共有1117C 种选法;第2步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有111C 种选法.所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136(种).例7.(1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即线段共有 2101094512C ⨯==⨯(条). (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段共有21010990A =⨯=(条).例8.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有 31001009998123C ⨯⨯=⨯⨯= 161700 (种). (2)从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,包括有1件次品和有 2件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种,因此根据分类加法计数原理,抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 (种) .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数,即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 (种). 说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。
高中数学排列讲解课教案
高中数学排列讲解课教案
课题:排列
教学目标:
1. 了解排列的概念和性质;
2. 掌握排列的计算方法;
3. 能够应用排列解决实际问题。
教学重点和难点:
重点:排列的定义和计算方法;
难点:理解排列的概念和性质。
教学准备:
1. 教师准备:课件、黑板、彩色粉笔、教材;
2. 学生准备:笔记本、铅笔、书包。
教学过程:
一、导入(5分钟)
教师引导学生回顾组合的内容,指出排列和组合的区别,引出本课主题排列。
二、概念解释(10分钟)
1. 排列的概念:将一定个数的元素按一定顺序排列起来,称为排列。
2. 排列的性质:排列的个数是阶乘的运算。
三、排列的计算方法(15分钟)
1. 已知排列个数,求排列的方法;
2. 已知排列中某些元素的位置,求排列的方法;
3. 排列中元素可以重复的情况。
四、实例分析(15分钟)
教师通过例题引导学生掌握排列的计算方法,解析排列的相关问题。
五、实践演练(15分钟)
学生进行排列的练习题,巩固计算方法。
六、课堂小结(5分钟)
教师总结本节课的重点内容,强化学生对排列的概念和计算方法的理解。
七、作业布置(5分钟)
布置相关练习题作业,巩固排列的理解和运用。
教学反思:
通过本节课的讲解,学生对排列的概念和计算方法有了更深刻的理解,但是学生在实际运用中还存在一些困难,需要加强练习提高解题能力。
高中数学排列思想教案模板
高中数学排列思想教案模板
教学目标:
1. 了解排列的定义和基本性质。
2. 掌握排列问题的解法。
3. 能够运用排列思想解决实际问题。
教学重点:
1. 排列的定义和性质。
2. 排列问题的解法。
教学难点:
1. 排列问题的实际应用。
2. 复杂排列问题的解决方法。
教学准备:
1. 教材《高中数学》
2. 讲义和习题集
3. 小黑板和粉笔
4. PowerPoint演示文稿
教学过程:
一、导入(5分钟)
引导学生回顾排列的定义和基本性质,提出排列的概念是什么,为什么要学习排列。
二、讲解(20分钟)
1. 介绍排列的概念和基本性质。
2. 讲解排列问题的解法,包括全排列和部分排列的计算方法。
3. 解答学生提出的疑问和疑难。
三、练习(15分钟)
1. 让学生分组进行练习,解决一些基础的排列问题。
2. 汇总学生的答案,讨论解题思路。
四、拓展(10分钟)
1. 给出一些实际问题,让学生运用排列思想进行解答。
2. 引导学生思考排列在生活中的应用。
五、总结(5分钟)
总结本节课的重点和难点,强调排列思想在解决问题中的重要性。
六、作业布置(5分钟)
布置相关的作业,巩固学习成果。
教学反思:
通过本节课的教学,学生对排列的概念和基本性质有了更深入的了解,能够灵活运用排列思想解决问题。
同时,也意识到排列在生活中的广泛应用,培养了学生对数学的兴趣和探索精神。
下节课将继续深入探讨排列思想的相关内容,拓展学生的数学思维。
高中数学排列微课教案
高中数学排列微课教案
一、教学目标
1. 知道排列的定义和常见符号;
2. 掌握计算排列的方法;
3. 理解排列的性质和应用。
二、教学重点和难点
1. 排列的定义和性质;
2. 排列的计算方法。
三、教学准备
1. 教材:高中数学教材;
2. 课件:包含排列的定义、性质和计算方法的课件;
3. 教具:黑板、彩色粉笔。
四、教学过程
1. 引入(5分钟)
介绍排列的概念和作用,引发学生对排列的兴趣。
2. 讲解(15分钟)
(1)排列的定义:从n个不同元素中取出m个元素按一定顺序排成一列,称为排列,记作P(n, m)。
(2)排列的计算方法:公式计算和实际例题演练。
3. 练习(15分钟)
让学生做几道排列的练习题,检验他们对排列的理解和掌握程度。
4. 拓展(10分钟)
讲解排列的性质和应用,如排列的计算公式、排列与组合的关系等。
5. 总结(5分钟)
对本节课所讲的内容进行总结,并提醒学生课后复习。
五、课堂反馈
1. 学生提出问题进行解答;
2. 老师布置作业,让学生继续巩固所学内容。
六、板书设计
排列的定义:P(n, m) = n!/(n-m)!
基本性质:P(n, m) = n!/(n-m)!, P(n, m) = n!/(n-m)!
七、教学反思
本微课主要针对排列的基本概念和性质进行讲解和练习,通过实际例题帮助学生理解和掌
握排列的计算方法。
在教学过程中,要注重引导学生思考和提出问题,加深对排列的理解,并在课后加强练习,巩固所学内容。
高中数学排列数教案
高中数学排列数教案教学内容:排列数
教学目标:
1. 理解排列数的概念,能够正确地进行排列数的计算;
2. 掌握排列数的性质和相关公式;
3. 能够灵活运用排列数解决实际问题。
教学重点:
1. 排列数的定义和性质;
2. 排列数的计算方法;
3. 排列数在实际问题中的应用。
教学难点:
1. 排列数的计算过程;
2. 排列数的应用题解决方法。
教学方法:
讲授、示范、练习、讨论。
教学准备:
1. 教材《高中数学》第三册;
2. 教学投影仪及相关教学软件;
3. 排列数练习题;
4. 讲义、笔记及教学课件。
教学流程:
一、导入 (5分钟)
1. 引入概念:什么是排列数?
2. 通过举例子让学生理解排列数的定义。
二、讲解排列数的性质和公式 (15分钟)
1. 排列数的性质:无重复排列数、有重复排列数;
2. 讲解排列数的计算方法和相关公式,如nPm和An的计算公式。
三、示范和练习 (20分钟)
1. 示范排列数的计算方法;
2. 让学生进行排列数的练习,加深理解和巩固知识。
四、讨论和总结 (10分钟)
1. 分享学生答案,讨论排列数的解题思路;
2. 总结排列数的重点和难点。
五、课堂作业 (5分钟)
布置排列数相关的练习作业,巩固知识。
教学反思:
通过本节课的教学,学生基本掌握了排列数的计算方法和应用,但在实际问题中还需要继续加强练习。
下节课将继续拓展排列数的应用,并引导学生解决更复杂的排列数问题。
高中数学排列问题教案模板
高中数学排列问题教案模板
一、教学目标:
1. 理解排列的概念;
2. 能够解决简单的排列问题;
3. 能够掌握排列的计算方法;
4. 能够应用排列知识解决实际问题。
二、教学内容:
1. 排列的概念和性质;
2. 排列的计算方法;
3. 排列的应用问题。
三、教学重点和难点:
1. 排列的计算方法;
2. 排列的应用问题。
四、教学准备:
1. 讲义;
2. 教学PPT;
3. 习题及解答;
4. 实例练习题。
五、教学步骤:
1. 引入:通过举例引入排列的概念;
2. 讲解排列的概念和性质;
3. 讲解排列的计算方法;
4. 示例讲解排列的应用问题;
5. 学生练习:让学生进行练习;
6. 检查与讨论:检查学生练习的情况,并讨论解题方法;
7. 总结:对排列知识进行总结。
六、教学评价:
1. 课堂表现:学生是否积极参与互动,是否主动思考并提出问题;
2. 习题练习:学生是否能够独立解决习题;
3. 实际问题应用:学生是否能够将排列知识应用到实际问题中解决。
七、教学反思:
1. 教学过程中是否存在不足之处;
2. 学生表现情况如何,有哪些可以改进之处;
3. 下一堂课的备课注意事项。
高中数学排列与组合教案
高中数学排列与组合教案教学目标:1. 理解排列与组合的概念。
2. 能够应用排列与组合的知识解决实际问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容:1. 排列的概念及其性质。
2. 组合的概念及其性质。
3. 排列与组合的应用。
教学过程:第一课时:1. 引入排列与组合的概念,通过实际例子引发学生对排列与组合的认识。
2. 讲解排列的定义和性质,例如排列中元素不重复出现的特点。
3. 给学生布置一些排列练习题,让他们熟悉排列的运算方法和规律。
第二课时:1. 复习排列的概念和性质。
2. 讲解组合的定义和性质,例如组合中元素可重复出现的特点。
3. 给学生布置一些组合练习题,让他们熟悉组合的运算方法和规律。
第三课时:1. 复习排列与组合的概念和性质。
2. 讲解排列与组合的应用,例如在排队、选做题目等实际问题中的运用。
3. 给学生布置一些综合排列与组合的练习题,让他们能够灵活运用排列与组合的知识解决问题。
教学反馈:1. 对学生在排列与组合方面的理解进行总结和反馈。
2. 引导学生思考排列与组合在日常生活中的应用,并展开讨论。
教学评价:通过作业、课堂表现和练习题的表现评价学生对排列与组合的掌握程度和应用能力。
教学延伸:鼓励学生深入学习排列与组合知识,并拓展到更高级的数学领域,如概率论等。
教学资源:教科书、课件、练习题。
教学提醒:教师应注意引导学生通过实例来理解排列与组合的概念,激发学生的学习兴趣和思考能力。
同时,要关注学生的学习状态,及时调整教学方法,确保学生的学习效果。
高中数学排列二的教案
高中数学排列二的教案
年级:高中
课时:1课时
一、教学目标
1. 了解排列与组合的基本概念与性质。
2. 掌握排列与组合的计算方法。
3. 能够运用排列与组合的知识解决实际问题。
二、教学重点与难点
重点:排列与组合的基本概念及计算方法。
难点:灵活运用排列与组合知识解决实际问题。
三、教学准备
1. 教材:高中数学教材《数学排列与组合》相关章节内容。
2. 教具:黑板、彩色粉笔、教学PPT、习题练习册等。
四、教学步骤
步骤一:导入(5分钟)
教师通过引入现实生活中的例子来引起学生的兴趣,如:排队买餐、选班干部等。
然后引入排列和组合的概念。
步骤二:概念讲解(15分钟)
1. 讲解排列与组合的定义及区别。
2. 介绍排列与组合的计算公式并通过示例进行说明。
3. 教师讲解排列组合知识要点,引导学生掌握。
步骤三:练习与讨论(20分钟)
1. 按照课本上的排列与组合的练习题进行训练。
2. 学生自主讨论解题思路,并解析答案。
3. 老师针对难点继续讲解。
步骤四:总结与作业布置(10分钟)
1. 整理本节课的重点知识点与难题。
2. 布置相关作业,要求学生查漏补缺,巩固提高。
五、课后反思
通过教学实施,评估学生对排列与组合的理解程度和能力,为下节课教学提供参考。
高中数学排列课例设计教案
高中数学排列课例设计教案
目标:学生能够理解排列和组合的概念,能够运用排列和组合的知识解决实际问题。
教学重点:排列、重复排列、循环排列、组合、应用题解答。
教学难点:排列与组合的区分,解决应用题的能力。
教学准备:计算器、白板、彩色粉笔、教学PPT、练习题。
教学过程:
一、导入(5分钟)
1. 导入排列与组合的概念,通过举例子引起学生的兴趣。
二、讲解排列(15分钟)
1. 解释排列的概念,并讲解排列的计算公式。
2. 通过实例演示计算排列的方法。
三、讲解组合(15分钟)
1. 解释组合的概念,并讲解组合的计算公式。
2. 通过实例演示计算组合的方法。
四、练习与应用(20分钟)
1. 给学生一些练习题让他们运用排列和组合的知识做题。
2. 组织学生进行小组讨论,解决实际问题。
五、总结与反馈(5分钟)
1. 总结今天所学的内容,强调排列与组合的应用。
2. 请学生回答几个问题,检查学生的掌握情况。
教学设计思路:通过讲解排列和组合的概念,以及实例演示和练习题的形式,让学生掌握排列与组合的基本概念和计算方法,培养学生的逻辑思维和解题能力。
扩展活动:让学生自主设计一些排列和组合的问题,并交换解答,提高学生的创造性和交流能力。
教学反思:排列与组合是高中数学中的基础知识,对于学生的逻辑思维和解题能力很有帮助。
在教学中要注重理论和实践相结合,通过实例演示和练习题的形式巩固学生的学习效
果。
同时,也要关注学生的学习兴趣和实际运用能力,引导学生积极参与课堂活动,提高教学效果。
高中数学排列概念导入教案
高中数学排列概念导入教案
1. 引入话题:今天我们将学习排列的概念。
在生活中,我们经常会遇到各种排列的情况,比如排队买票、整理书架等。
那么你们知道什么是排列吗?排列又有哪些特点呢?
2. 引入例子:比如有5只不同的颜色的气球,我们想要将这5只气球排成一排,这种排列方式有多少种呢?我们要如何计算呢?
3. 引入问题:现在,请大家思考一下,如果有n个不同的物品,要将它们排成一列,共有多少种不同的排列方式呢?
【概念引入】
1. 什么是排列:排列是指将一组不同的元素按照一定的顺序排列起来的方式。
2. 排列的特点:排列的元素是不同的,且顺序是有固定要求的。
3. 讨论排列的应用场景,如组合问题、密码锁的密码等。
【小结】
在今天的课程中,我们学习了排列的概念,了解了排列的特点和应用场景。
接下来,我们将进一步学习排列的计算方法和相关性质。
希望大家能够认真学习,掌握排列的基本概念和方法。
高中数学排列教案教材分析
高中数学排列教案教材分析
教材分析:
教学内容:本节课主要介绍排列的概念、性质及相关公式,以及排列的应用问题。
教材选取:从高中数学教材中选取相关章节,如《高中数学必修1》第三章节排列的相关内容。
教学目标:
1. 熟练掌握排列的概念及性质。
2. 掌握排列的计算方法和公式。
3. 能够灵活应用排列知识解决实际问题。
教学重难点:
重点:排列的定义、性质和计算公式。
难点:排列的应用问题解答。
教学方法:
1. 讲授法:通过讲解理论知识,引导学生理解排列的概念和性质。
2. 练习法:通过练习题目,提升学生解决排列问题的能力。
3. 实践法:通过实际问题的讨论和解答,拓展学生的应用能力。
教学过程:
1. 引入:通过提问引入排列的概念,让学生思考排列和组合的区别。
2. 讲解:介绍排列的定义、性质和计算方法,并举例说明。
3. 练习:让学生进行排列计算的练习,加深理解。
4. 实践:给学生相关应用问题,让他们灵活运用排列知识解决问题。
5. 总结:对本节课所学内容进行总结,并强调排列的重要性和应用。
教学评价:
通过本节课的教学,学生能够掌握排列的基本概念、性质和计算方法,并能够灵活运用排列知识解决实际问题,达到了教学目标。
人教版高中数学《排列组合》教案设计
排列与组合一、教学目标1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力二、教材分析1.重点:加法原理,乘法原理。
解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.2.难点:加法原理,乘法原理的区分。
解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.三、活动设计1.活动:思考,讨论,对比,练习.2.教具:多媒体课件.四、教学过程正1.新课导入随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成。
排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键.2.新课我们先看下面两个问题.(l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有 2班,轮船有 3班,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?板书:图因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法.一般地,有如下原理:加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1十m2十…十m n种不同的方法.(2) 我们再看下面的问题:由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条.从A 村经B村去C村,共有多少种不同的走法?板书:图这里,从A村到B村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又有2种不同的走法.因此,从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法.一般地,有如下原理:乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1 m2…m n种不同的方法.例1 书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书.1)从中任取一本,有多少种不同的取法?2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法?解:(1)从书架上任取一本书,有两类办法:第一类办法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法;第二类办法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法.根据加法原理,得到不同的取法的种数是6十5=11.答:从书架L任取一本书,有11种不同的取法.(2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:第一步取一本数学书,有6种方法;第二步取一本语文书,有5种方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是 N=6X5=30.答:从书架上取数学书与语文书各一本,有30种不同的方法.练习:一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1)从中任取一枚,有多少种不同取法? 2)从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法?例2:(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数?(2)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?(3)由数字0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:第一步确定百位上的数字,从5个数字中任选一个数字,共有5种选法;第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复,这仍有5种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有5种选法.根据乘法原理,得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125.答:可以组成125个三位数.练习:1、从甲地到乙地有2条陆路可走,从乙地到丙地有3条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法?(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法?2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片,从中任抽一张,把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片,从中任抽一张,把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子?3.题2的变形4.由0-9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?小结:要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类时用加法,分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习练习1.(口答)一件工作可以用两种方法完成.有 5人会用第一种方法完成,另有4人会用第二种方法完成.选出一个人来完成这件工作,共有多少种选法?2.在读书活动中,一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法?3.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?5.一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有这些小球的颜色互不相同.(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?作业:排列【复习基本原理】1.加法原理做一件事,完成它可以有n类办法,第一类办法中有m1种不同的方法,第二办法中有m2种不同的方法……,第n办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…m n种不同的方法.2.乘法原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有m n种不同的方法,.那么完成这件事共有N=m1⨯m2⨯m3⨯…⨯m n种不同的方法.3.两个原理的区别:【练习1】1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的机票?2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数?请一一列出.【基本概念】1.什么叫排列?从n个不同元素中,任取m(nm≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序.....排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列....2.什么叫不同的排列?元素和顺序至少有一个不同. 3.什么叫相同的排列?元素和顺序都相同的排列. 4. 什么叫一个排列?【例题与练习】1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数?2.已知a 、b 、c 、d 四个元素,①写出每次取出3个元素的所有排列;②写出每次取出4个元素的所有排列.【排列数】1. 定义:从n 个不同元素中,任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号m n p 表示.用符号表示上述各题中的排列数.2. 排列数公式:m n p =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=1n p ;=2n p ;=3n p ;=4n p ;计算:25p = ; 45p = ;215p = ;【课后检测】1. 写出:① 从五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列;② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.2.计算: ① 3100p ② 36p ③ 2848p 2p - ④ 712812p p 排 列课题:排列的简单应用(1)目的:进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式,会用排列数公式计算和解决简单的实际问题.过程:一、复习:(引导学生对上节课所学知识进行复习整理)1.排列的定义,理解排列定义需要注意的几点问题;2.排列数的定义,排列数的计算公式)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!(!m n n A m n -= (其中m ≤n m,n ∈Z ) 3.全排列、阶乘的意义;规定 0!=14.“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用.二、新授:例1:⑴ 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?解:问题可以看作:7个元素的全排列——77A =5040⑵ 7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040 ⑶ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——66A =720⑷ 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有22A 种;第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种 则共有22A 55A =240种排列方法⑸ 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?解法一(直接法):第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法;第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有55A 种方法 所以一共有25A 55A =2400种排列方法.解法二:(排除法)若甲站在排头有66A 种方法;若乙站在排尾有66A 种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有77A -662A +55A =2400种.小结一:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑.例2 : 7位同学站成一排.⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有66A 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有66A 22A =1440⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?解:方法同上,一共有55A 33A =720种.⑶甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有25A 种方法;将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有25A 44A 22A =960种方法.解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有255A 种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有14A 55A 22A =960种方法.小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).例3: 7位同学站成一排.⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?解法一:(排除法)3600226677=⋅-A A A解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有55A 种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有26A 种方法,所以一共有36002655=A A 种方法.⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? 解:先将其余四个同学排好有44A 种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法,所以一共有44A 35A =1440种.小结三:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑). 三、小结:1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻); ⑶某些元素要求分离(即不能相邻); 2.基本的解题方法:⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法);⑵ 某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;⑶ 某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”;⑷ 在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基.四、作业:《课课练》之“排列 课时1—3” 课题:排列的简单应用(2)目的:使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题,进一步培养分析问题、解决问题的能力,同时让学生学会一题多解.过程: 一、复习:1.排列、排列数的定义,排列数的两个计算公式; 2.常见的排队的三种题型:⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法;⑵某些元素要求连排(即必须相邻)——捆绑法; ⑶某些元素要求分离(即不能相邻)——插空法. 3.分类、分布思想的应用. 二、新授:示例一: 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?解法一:(从特殊位置考虑)1360805919=A A 解法二:(从特殊元素考虑)若选:595A ⋅ 若不选:69A 则共有 595A ⋅+69A =136080解法三:(间接法)=-59610A A 136080 示例二:⑴ 八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,则共有多少种不同的排法?略解:甲、乙排在前排24A ;丙排在后排14A ;其余进行全排列55A . 所以一共有24A 14A 55A =5760种方法. ⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排,其中a , b 两种商品必须排在一起,而c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种? 略解:(“捆绑法”和“插空法”的综合应用)a , b 捆在一起与e 进行排列有22A ;此时留下三个空,将c, d 两种商品排进去一共有23A ;最后将a ,b “松绑”有22A .所以一共有22A 23A 22A =24种方法.⑶ 6张同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,若要求师生相间而坐,则不同的坐法有多少种?略解:(分类)若第一个为老师则有33A 33A ;若第一个为学生则有33A 33A所以一共有233A 33A =72种方法. 示例三:⑴ 由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数?略解:3255545352515=++++A A A A A ⑵ 由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13 000大的正整数?解法一:分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有3313A A 种方法;另一类是首位不为1,有4414A A 种方法.所以一共有3313A A 1144414=+A A 个数比13 000大.解法二:(排除法)比13 000小的正整数有33A 个,所以比13 000大的正整数有-55A 33A =114个.示例四: 用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列.⑴ 第114个数是多少? ⑵ 3 796是第几个数?解:⑴ 因为千位数是1的四位数一共有6035=A 个,所以第114个数的千位数应该是“3”,十位数字是“1”即“31”开头的四位数有1224=A 个;同理,以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个,所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上,所以“3 968” 是第114个数.⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60+12+12=84个,而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个(倒数第二个),故3 796是第95个数.示例五: 用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中 ⑴ 能被25整除的数有多少个? ⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个?解: ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25,50两种,末尾为50的四位数有24A 个,末尾为25的有1313A A 个,所以一共有24A +1313A A =21个.注: 能被25整除的四位数的末两位只能为25,50,75,00四种情况.⑵ 用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,一共有3003515=A A个.因为在这300个数中,十位数字与个位数字的大小关系是“等可..能的..”,所以十位数字比个位数字大的有150213515 A A 个. 三、小结:能够根据题意选择适当的排列方法,同时注意考虑问题的全面性,此外能够借助一题多解检验答案的正确性.四、作业:“3+X ”之 排列 练习 组 合 ⑴课题:组合、组合数的概念目的:理解组合的意义,掌握组合数的计算公式. 过程:一、复习、引入:1.复习排列的有关内容:以上由学生口答. 2.提出问题:示例1: 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?示例2: 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的.引出课题:组合..问题.二、新授:1.组合的概念:一般地,从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 注:1.不同元素 2.“只取不排”——无序性 3.相同组合:元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题:⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览;(组合) ⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记.(排列)2.组合数的概念:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号m n C 表示.例如:示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为:甲乙,甲丙,乙丙.即有323=C 种组合.又如:从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合:AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD 一共6种组合,即:624=C在讲解时一定要让学生去分析:要解决的问题是排列问题还是组合问题,关键是看是否与顺序有关.那么又如何计算m n C 呢?3.组合数公式的推导⑴提问:从4个不同元素a ,b ,c ,d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢?启发: 由于排列是先组合再排列.........,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得,故我们可以考察一下34C 和34A 的关系,如下:组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知:每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有34C 个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有33A 种方法.由分步计数原理得:34A =⋅34C 33A ,所以:333434A A C =.⑵ 推广: 一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ,可以分如下两步:① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ;② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ,根据分布计数原理得:m n A =m n C m m A ⋅⑶ 组合数的公式:!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m mn mn+---==或 )!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且⑷ 巩固练习:1.计算:⑴ 47C ⑵ 710C2.求证:11+⋅-+=m n m n C mn m C 3.设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值.解:由题意可得:⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x 即:2≤x ≤4 ∵,+∈N x ∴x =2或3或4当x =2时原式值为7;当x =3时原式值为7;当x =2时原式值为11.∴所求值为4或7或11. 4.例题讲评例1. 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法?略解:90222426=⋅⋅C C C例2.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组,问组成方法共有多少种?解法一:(直接法)小组构成有三种情形:3男,2男1女,1男2女,分别有34C ,1624C C ⋅,2614C C ⋅,所以一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅=100种方法.解法二:(间接法)10036310=-C C5.学生练习:(课本99练习)三、小结:此外,解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理.四、作业:课堂作业:教学与测试75课课外作业:课课练课时7和8组合⑵课题:组合的简单应用及组合数的两个性质目的:深刻理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式;掌握组合数的两个性质,并且能够运用它解决一些简单的应用问题.过程:一、复习回顾:1.复习排列和组合的有关内容:强调:排列——次序性;组合——无序性.2.练习一:练习1:求证:11--=m n m n C mn C . (本式也可变形为:11--=m n m n nC mC ) 练习2:计算:① 310C 和710C ; ② 2637C C -与36C ;③ 511411C C +答案:① 120,120 ② 20,20 ③ 792 (此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础.) 3.练习二:⑴ 平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?⑵ 平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?答案:⑴45210=C (组合问题) ⑵90210=A (排列问题) 二、新授:1.组合数的 性质1:m n n m n C C -=.理解: 一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后,剩下n - m 个元素.因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的n -m 个元素的每一个组合一一对应....,所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数,即:mn n m n C C -=.在这里,我们主要体现:“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想.证明:∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -=∴m n n m n C C -= 注:1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标. 3︒ 此性质作用:当2n m >时,计算m n C 可变为计算m n n C -,能够使运算简化.例如:20012002C =200120022002-C =12002C =2002.4︒ y n x n C C =y x =⇒或n y x =+2.示例一:(课本101例4)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.⑴ 从口袋内取出3个球,共有多少种取法?⑵ 从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? ⑶ 从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解:⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现:=38C +27C 37C .为什么呢?我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.一般地,从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+,这些组合可以分为两类:一类含有元素1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的,共有1-m n C 个;不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有m n C 个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,我们主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想.3.组合数的 性质2:m n C 1+=m n C +1-m n C . 证明: )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴ m n C 1+=m n C +1-m n C .注:1︒ 公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数.2︒ 此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用.4.示例二:⑴ 计算:69584737C C C C +++⑵ 求证:n m C 2+=n m C +12-n m C +2-n m C ⑶ 解方程:3213113-+=x x C C⑷ 解方程:333222101+-+-+=+x x x x x A C C ⑸ 计算:4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++ 推广:n nn n n n n nC C C C C 21210=+++++- 5.组合数性质的简单应用: 证明下列等式成立:⑴ (讲解)11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C ⑵ (练习)1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C⑶ )(23210321nn n n n n n n n C C C nnC C C C +++=++++6.处理《教学与测试》76课例题 三、小结:1.组合数的两个性质; 2.从特殊到一般的归纳思想. 四、作业: 课堂作业:《教学与测试》76课 课外作业:课本习题10.3;课课练课时9 组 合 ⑶课题:组合、组合数的综合应用⑴目的:进一步巩固组合、组合数的概念及其性质,能够解决一些较为复杂的组合应用问题,提高合理选用知识的能力.过程: 一、知识复习:1.复习排列和组合的有关内容:依然强调:排列——次序性;组合——无序性. 2.排列数、组合数的公式及有关性质性质1:m n n m n C C -= 性质2:m n C 1+=m n C +1-m n C 常用的等式:111010====+++k k k k k k C C C C 3.练习:处理《教学与测试》76课例题 二、例题评讲:例1.100件产品中有合格品90件,次品10件,现从中抽取4件检查.⑴ 都不是次品的取法有多少种?⑵ 至少有1件次品的取法有多少种? ⑶ 不都是次品的取法有多少种?解:⑴ 2555190490=C ; ⑵ 13660354101903102902103901104904100=+++=-C C C C C C C C C ; ⑶ 39210154901103902102903101904104100=+++=-C C C C C C C C C . 例2.从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法?解:分为三类:1奇4偶有4516C C ;3奇2偶有2536C C ;5奇1偶有56C所以一共有4516C C +2536C C +23656=C . 例3.现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法?解:我们可以分为三类:① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有2324C C ;② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有1334C C ;③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有2334C C .所以一共有2324C C +1334C C +2334C C =42种方法.例4.甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表 ?解法一:(排除法)422131424152426=+-C C C C C C 解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有2414C C ;另一类为甲不值周一,但值周六,有2324C C .所以一共有2414C C +2324C C =42种方法.例5.6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法?解:第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法;第二步将5个“不同元素(书)”分给5个人有55A 种方法.根据分步计数原理,一共有26C 55A =1800种方法.变题1:6本不同的书全部送给5人,有多少种不同的送书方法? 变题2: 5本不.同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法?变题3: 5本相.同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法?答案:1.1562556=; 2.72056=A ; 3.656=C . 三、小结:1.组合的定义,组合数的公式及其两个性质;2.组合的应用:分清是否要排序. 四、作业:《3+X 》 组合基础训练 《课课练》课时10 组合四 组 合 ⑷课题:组合、组合数的综合应用⑵。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.2 排列与组合》
〔2〕:间接计算法:作差法。
练习:
4男4女排一排,〔1〕女生不排两头;〔2〕男女生分别集中;〔3〕男生不相邻;〔4〕甲不排首,乙不排尾。
应用题中排列组合可以有直接计算法和间接计算法,具体要分析题目。
二、排队问题
例3:5人排成一排,
(1)共有多少种排法;
(2)甲必须在中间;
(3)甲不在中间;
(4)甲不在第一也不在第二;
(5)甲、乙相邻;
(6)甲、乙不相邻;
(7)甲、乙两人不站排头和排尾;
(8)甲不站排头,乙不站排尾;
(9)甲不在第一,乙不在第五;
(10)甲在乙前面。
解:〔略〕
总结:对于有限制条件的排队问题,有直接计算法和间接计算法。
授课章节
名称
排列组合的应用
课型
专题
课时
1
课题
序号
授课
时间
授课
班级
高二10班
教师
姓名
王秀海
教学目标
1、了解排列组合的意义,掌握计算公式;
2、会对实际问题进行区分属于排列还是组合;
3、利用排列组合解决一些常见的应用题。
教学重点
利用排列组合解决一些典型的应用题。
教学难点
判断排列还是组合。
学情处理
在理解排列组合的定义的根底上,利用它们解决一些典型的应用题,重点是数字问题和排队问题。在解题时,注重培养学生的分析能力和解题能力。
练习册
提问法
讲解法
讲练结合法
讲解法
讲练结合法
选用教材
教材名称
江苏省中等职业学校试用教材数学源自出版社江苏教育出版社
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 复习课 第1课时 排列、组合与二项式定理
答案:40
专题二
排列组合的应用
【例2】 6名女生(其中有1个领唱)和2名男生分成两排表演.
(1)每排4人,共有多少种不同的排法?
(2)领唱站在前排,男学生站在后排,每排4人,有多少种不同的排法?
解:(1)要完成这件事,可以分为三步:
第一步,从 8 人中选 4 人站在前排,另 4 人站在后排,共有C84 C44 种不同的排法;
(
)
A.122
B.135
C.154
D.165
(2)如图,给矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形涂色不同,现有4种不同的颜
色可供选择,则不同的涂法有(
A.72种
B.48种
C.24种
D.12种
)
解析:(1)可以组成7×8×8=448个三位数,
其中无重复数字的三位数有7×7×6=294个,
故有重复数字的三位数有448-294=154个.
3
答案:2
=
专题四
项的系数和问题
【例4】 (1)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次项的系数之和为32,则
a=
.
(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-
(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为
.
解析:(1)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
高中数学排列组合教案(6篇)
高中数学排列组合教案(6篇)高中数学排列组合教案(精选篇1)教学主题:主要涉及到简洁排列组合问题,相同元素和不同元素排列组合问题。
捆绑法插空法特别元素法特别位置法定序法分组安排教学内容及分析:排列组合问题是高中数学学问的一个重要组成部分,在高考中也是必考内容,难度一般在中等偏上,只要把握的排列组合的几种典型方法,就能快速理解题型题意,快速找到突破口,对症下药,事半功倍,关键是要把握住什么题型用什么方法,通过题型对比分析相同点和不同点,区分易错的,难点。
另外,排列组合在适应新高考有着自然出题优势,由于排列组合更贴近显示生活,可以把我们课本上的抽象概念和数学公式和实际生活联系起来,数学学问走进生活,学问来与是但高于生活,最终回归于生活,才是我们学习学问,专研学问的立足点。
本文就对数学中概率统计中的一小点内容——排列组合,做一个简洁的对比分析。
教学对象及特点:排列组合在高中数学选修2—3。
人教版教材,高二的同学在日常生活中,有许多需要用排列组合来解决的学问。
作为二班级的同学,已有了肯定的生活阅历及解决问题的力量。
因此,在设计中,我通过创设一个完整的、好玩的生活情境来进行教学,力求使同学在经受日常生活最简洁的事例中体验到重要的数学思想方法,从而也感受到数学思想也是依托于生活,来源于生活,是有生命活力的。
教学目标:基于对教材的理解,我把本节课的教学重点定为:在经受简洁事物排列与组合规律的过程中体会排列与组合的数学思想。
教学难点定为:培育同学全面有序的思索问题的意识。
通过观看、猜想、比较、试验等活动,培育同学学习初步的观看、分析力量和有序、全面地思索问题的意识。
培育同学大胆猜想、乐观思维的学习方法,使同学感受学习数学的欢乐,进一步激发同学学习数学的爱好。
教学过程:一、排列问题例1:有4个男生,5个女生站队,在下列条件下,有多少种状况?(1)9个人全部站成一排;(2)9个人站成两排,前排站4人,后排站5人;(3)9个人全部站一排,全部女生站在一起;(捆绑法)(4)9个人全部站一排,全部男生都不相邻;(插空法)(5)9个人全部站一排,甲乙相邻,丙丁不相邻;(6)9个人全部站一排,甲不在两端;(特别元素法,特别位置法)(7)9个人全部站一排,甲不在最左边,乙不在最右边;(8)9个人全部站一排,甲在乙的左边,可以不相邻;(定序)(9)9个人全部站一排,甲在乙的前面,乙在丙的前面,可以不相邻;(10)9个人全部站一排,甲在乙和丙的中间,可以不相邻;二、组合问题例2:有25件产品,其中5件次品,从中任取3件,在下列条件下,有多少种状况?(1)次品甲在内;(2)次品甲不在内;(3)恰有1件次品;(4)至少1件次品;(5)至少2件次品;三、分组安排问题(不同元素)例3:有6名同学安排到三个班级,在下列条件下,有多少种状况?(1)随机安排;(2)每个班表达对一名同学的争取意愿,6名同学实力相当;(3)安排到三个班的人数分别为1、2、3人;(4)安排到三个班的人数分别为1、1、4人;(5)安排到三个班的人数分别为2、2、2人;四、分组安排问题(相同元素)例4:9个相同的乒乓球分给3个不同的人,在下列条件下,有多少种状况?(1)3个人分别分到2个乒乓球,3个乒乓球,4个乒乓球;(2)3个人分别分到2个乒乓球,2个乒乓球,5个乒乓球;(3)3个人平均分,每人得到3个乒乓球;(4)3个人每人至少分到1个乒乓球;(5)3个人每个人至少分到2个乒乓球;(6)3个人随机安排这9个乒乓球;五、分组安排问题(部分元素相同)例5:有外形大小相同,颜色不全相同的乒乓球,其中红色乒乓球,黄色乒乓球,黑色乒乓球分别有5个,从中取出四个乒乓球排一排,在下列条件下,有多少种状况?(1)取3个红色乒乓球,1个黄色乒乓球;(2)取2个红色乒乓球,2个黄色乒乓球;(3)取2个红色乒乓球,1个黑色乒乓球,1个黄色乒乓球;(4)取出的4个乒乓球中刚好3个乒乓球颜色相同;(5)取出的4个乒乓球中刚好2个乒乓球颜色相同,其他两个乒乓球颜色也相同;取出的4个乒乓球中刚好2个乒乓球颜色相同,其他两个乒乓球颜色不同;所选技术以及技术使用的目的:选取的技术是PPT演示文稿,电子文档,交互式电子白板,目的是能和同学共享资源,实时授课,不用边抄题目边讲课,节省时间,集中精力。
学新教材高中数学排列组合与二项式定理排列与组合排列数的应用教案新人教B版选择性必修第二册
第2课时排列数的应用学习目标核心素养1.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解题方法.(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题.(难点)1.通过排列知识解决实际问题,提升逻辑推理的素养.2.借助排列数公式计算,提升数学运算的素养.无限制条件的排列问题(2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?[思路点拨] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题;(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本,各人得到哪本书相互之间没有联系,要用分步乘法计数原理进行计算.[解] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是A错误!=5×4×3=60,所以共有60种不同的送法.(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125,所以共有125种不同的送法.1.没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可.2.对于不属于排列的计数问题,注意利用计数原理求解.错误!1.(1)将3张电影票分给10人中的3人,每人1张,则共有________种不同的分法.(2)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,不同的选法共有________种.(1)720 (2)60 [(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来,这是一个排列问题.故不同分法的种数为A错误!=10×9×8=720.(2)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,应有A错误!=5×4×3=60种选法.]排队问题【例2】3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法的种数.(1)全体站成一排,男、女各站在一起;(2)全体站成一排,男生必须站在一起;(3)全体站成一排,男生不能站在一起;(4)全体站成一排,男、女各不相邻.!种排法;[解] (1)男生必须站在一起是男生的全排列,有A错误!种排法;女生必须站在一起是女生的全排列,有A错误!种排法.全体男生、女生各视为一个元素,有A错误!·A错误!·A错误!=288种排队方法.由分步乘法计数原理知,共有A错误!种方法,把所有男生视为一个元素,与4名女生组成5个(2)三个男生全排列有A错误!种排法.故有A错误!·A错误!=720种排队方法.元素全排列,有A错误!种排法;男生在4个女生隔成的五个空中安排,共有A (3)先安排女生,共有A错误错误!种排法,故共有A错误!·A错误!=1440种排法.(4)排好男生后让女生插空,共有A错误!·A错误!=144种排法.“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.错误!2.5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A.18 B.24C.36 D.48C[5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A错误!×A错误!=36(种).]角度二元素“在”与“不在”问题【例3】六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙站在两端;(3)甲不站左端,乙不站右端.[解] (1)法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有A错误!种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A错误!种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法A错误!·A 错误!=480种.法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有A错误!种站法,然后其余4人有A错误!种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法A错误!·A错误!=480种.法三:若对甲没有限制条件共有A错误!种站法,甲在两端共有2A错误!种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即得所求的站法数,共有A错误!—2A错误!=480种.(2)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有A错误!种,再让其他4人在中间位置作全排列,有A错误!种,根据分步乘法计数原理,共有A错误!·A错误!=48种站法.(3)法一:甲在左端的站法有A错误!种,乙在右端的站法有A错误!种,且甲在左端而乙在右端的站法有A错误!种,共有A错误!—2A错误!+A错误!=504种站法.法二:以元素甲分类可分为两类:a.甲站右端有A错误!种,b.甲在中间4个位置之一,而乙不在右端有A错误!·A错误!·A错误!种,故共有A错误!+A错误!·A错误!·A错误!=504种站法.“在”与“不在”问题的解决方法错误!3.4名运动员参加4×100接力赛,根据平时队员训练的成绩,甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则不同的出场顺序有()A.12种B.14种C.16种D.24种B[用排除法,若不考虑限制条件,4名队员全排列共有A错误!=24种排法,减去甲跑第一棒有A错误!=6种排法,乙跑第四棒有A错误!=6种排法,再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A错误!=2种排法,共有A错误!—2A错误!+A错误!=14种不同的出场顺序.]角度三定序问题【例4】将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻).则有多少种不同的排列方法?[解] 5个不同元素中部分元素A,B,C的排列顺序已定,这种问题有以下两种常用的解法.法一:(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A错误!种,由于字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”或“C,B,A”,因此,在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方式的排列有错误!×2=40(种).法二:(插空法)若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”,将字母D,E插入,这时形成的4个空中,分两类:第一类,若字母D,E相邻,则有A错误!·A错误!种排法;第二类,若字母D,E不相邻,则有A错误!种排法.所以有A错误!·A错误!+A错误!=20(种)不同的排列方法.同理,若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不同的排列方法.因此,满足条件的排列有20+20=40(种).在有些排列问题中,某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻),解决这类问题的基本方法有两种:1.整体法:即若有m+n个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,先将这m+n个元素排成一列,有A错误!种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他n个元素的位置不动,把这m个元素交换顺序,有A错误!种排法,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有错误!种满足条件的不同排法.2.插空法:即m个元素之间的先后顺序确定不变,因此先排这m个元素,只有一种排法,然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中.错误!4.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有________个七位数符合条件.210 [若1,3,5,7的顺序不定,有A错误!=24(种)排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的错误!.故有错误!A错误!=210(个)七位数符合条件.]数字排列问题1.偶数的个位数字有何特征?从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数?[提示] 偶数的个位数字一定能被2整除.先从2,4中任取一个数字排在个位,共2种不同的排法,再从剩余数字中任取一个数字排在十位,共4种排法,故从1,2,3,4,5中任取两个数字,能组成2×4=8(个)不同的偶数.2.在一个三位数中,身居百位的数字x能是0吗?如果在0~9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数,如何排才能使百位数字不为0?[提示] 在一个三位数中,百位数字不能为0,在具体排数时,从元素0的角度出发,可先将0排在十位或个位的一个位置,其余数字可排百位、个位(或十位)位置;从“位置”角度出发可先从1~9这9个数字中任取一个数字排百位,然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置.【例5】(教材P12例6改编)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数?(2)个位数字不是5的六位数?[思路点拨] 这是一道有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外,还可以用间接法求解.[解] (1)法一:从特殊位置入手(直接法)分三步完成,第一步先填个位,有A错误!种填法,第二步再填十万位,有A错误!种填法,第三步填其他位,有A错误!种填法,故共有A错误!A错误!A错误!=288(个)六位奇数.法二:从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A错误!种排法,从1,3,5中任选一个排在个位有A错误!种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有A错误!种排法,故共有A错误!A错误!A错误!=288(个)六位奇数.法三:排除法6个数字的全排列有A错误!个,0,2,4在个位上的六位数为3A错误!个,1,3,5在个位上,0在十万位上的六位数有3A错误!个,故满足条件的六位奇数共有A错误!—3A错误!—3A错误!=288(个).(2)法一:排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A错误!个,0在十万位且5在个位的六位数有A错误!个.故符合题意的六位数共有A错误!—2A错误!+A错误!=504(个).法二:直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类:第一类:当个位排0时,符合条件的六位数有A错误!个.第二类:当个位不排0时,符合条件的六位数有A错误!A错误!A错误!个.故共有符合题意的六位数A错误!+A错误!A错误!A错误!=504(个).(变结论)用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数.(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?(2)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数?(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n},则240 135是第几项?[解] (1)符合要求的五位数可分为两类:第一类,个位上的数字是0的五位数,有A错误!个;第二类,个位上的数字是5的五位数,有A错误!·A错误!个.故满足条件的五位数的个数共有A错误!+A错误!·A错误!=216(个).(2)符合要求的比1325大的四位数可分为三类:第一类,形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共A错误!·A错误!个;第二类,形如14□□,15□□,共有A错误!·A错误!个;第三类,形如134□,135□,共有A错误!·A错误!个.由分类加法计数原理知,无重复数字且比1325大的四位数共有:A错误!·A错误!+A错误!·A 错误!+A错误!·A错误!=270(个).(3)由于是六位数,首位数字不能为0,首位数字为1有A错误!个数,首位数字为2,万位上为0,1,3中的一个有3A错误!个数,∴240 135的项数是A错误!+3A错误!+1=193,即240 135是数列的第193项.解数字排列问题常见的解题方法1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行,要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.1.解排列应用题的基本思想错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!2.求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列间接法正难则反,等价转化的方法1.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为()A.36 B.120C.720 D.240C[由于6人排两排,没有什么特殊要求的元素,故排法种数为A错误!=720.]2.某段铁路所有车站共发行132种普通车票,那么这段铁路共有的车站数是()A.8 B.12C.16 D.24B[设车站数为n,则A错误!=132,n(n—1)=132,∴n=12.]3.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数,要求在其偶数位上必须是偶数,奇数位上必须是奇数,则这样的七位数有________个.144[先排奇数位有A错误!种,再排偶数位有A错误!种,故共有A错误!A错误!=144个.]4.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有________种.24[把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,共A错误!=24种.]5.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;(2)2个唱歌节目互不相邻;(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.!种排法,再排其他节目有A错误!种排法,所以[解] (1)先排唱歌节目有A错误!·A错误!=1440(种)排法.共有A错误!种排法,再从其中7个空(包括两端)(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A错误!种插入方法,所以共有A错误!·A错误!=30 2中选2个排唱歌节目,有A错误40(种)排法.!种排法,再将(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共A错误!种插入方法,最后将2个唱歌节目互换位置,有A错误!3个舞蹈节目插入,共有A错误!·A错误!·A错误!=2880(种)排法.种排法,故所求排法共有A错误。
人教版高中数学选修2-3第2讲:排列组合(教师版)
人教版高中数学排列组合__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意:○1如无特别说明,取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知,只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n,如果m=n,称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.○6如何判断一个具体问题是不是排列问题,就要看从n个不同元素中取出m个元素后,再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序,有顺序就是排列,无顺序就不是排列.(2)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.注意:○1如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序如何,都是相同的组合,组合的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“并成一组”,“并成一组”即表示与顺序无关.○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同),就是不同的组合.○3组合与排列问题的共同点,都要“从n个不同元素中,任取m(m≤n)个不同元素”;不同点:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要“按照一定顺序排成一列”.○4根据定义区分排列问题、组合问题.2.排列数与组合数:(1)排列数的定义:一般地,我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号mn A 表示.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号mn C 表示.3.排列数公式与组合数公式: (1)排列数公式:(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ,n *∈N ,且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.○1全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘:自然数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,用n !表示,即!.nn A n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)mnA n n n n m =---+(1)(2)(1)()21()21n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅!.()!n n m =-所以!.()!mn n A n m =-(3)组合数公式:!.!()!m n n C m n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1:.mn mn nC C -=性质2:11.m mm n n n C C C -+=+类型一.排列的定义例1:判断下列问题是不是排列,为什么?(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,其中一名同学参加上午的活动,另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题,因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关. (2)不是排列问题,因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1:判断下列问题是不是排列,为什么?(1)从2、3、4这三个数字中取出两个,一个为幂底数,一个为幂指数.(2)集合M ={1,2,…,9}中,任取相异的两个元素作为a ,b ,可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题,一个为幂底数,一个为幂指数,两个数字一旦交换顺序,产生的结果不同,即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上的椭圆,则必有a >b ,a ,b 的大小一定;在双曲线22221x y a b -=中,不管a >b 还是a <b ,方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线,且是不同的双曲线,故这是排列.类型二.组合的定义例2:判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A ={a ,b ,c ,d ,e },则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个? (2)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价? [解析] (1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.(2)因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题.练习1:判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法?(2)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分配方法?[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种,按一定次序分给3个人去干,故是排列问题.(2)因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,故是组合问题. 类型三.排列数与组合数例3:计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520; (2)213A =13×12=156;(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1:乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2m A B.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大,故n =m +20,而项数是21故可表示为2120.m A + 例4:计算98100C [答案] 98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2:计算972959898982C C C ++[答案] 原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +==类型四.排列问题例5:3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同5个男生合在一起共有6个元素,排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法,3个女生之间又都有33A 种不同的排法,因此共有63634320A A ⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把5个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档,这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把3个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法,因此共有535614400A A ⋅=种不同的排法.练习1:3个女生和5个男生排成一排.(1)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (2)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?[解析] (1)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有25A 种不同排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有66A 种排法,所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法,从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种,就能得到两端不都是女生的排法种数,因此共有82683636000A A A -⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例6:高中一年级8个班协商组成年级篮球队,共需10名队员,每个班至少要出1名,不同的组队方式有多少种?[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去,共有1288C C +36=种方案.练习1:有、甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这,三项任务,不同的选法共有多少种?[解析] 共分三步完成,第一步满足甲任务,有210C 种选法,第二步满足乙任务有18C 种选法,第三步满足丙任务,有17C 种选法,故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例7:某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人,选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛),共有多少种不同参赛方法?[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种,从9名女运动员中选3名有39C 种;选出的6名运动员去配对,这里不妨设选出的男运动员为A ,B ,C ;先让A 选择女运动员,有3种不同选法;B 选择女运动员的方法有2种;C 只有1种选法了,共有选法3×2×1=6种;最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ,根据分步计数原理,共有33310936362880C C A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1:在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] A[解析] 由各位数字之和为偶数,可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成,由乘法原理,各位数字之和为偶数的数共有21332336C C A ⋅⋅=个.1.89×90×91×…×100可表示为( ) A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( )A.5B.6C.7D.8 [答案] C3.将6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数有( ) A.36 B.120 C.720 D.140 [答案] C4.6名同学排成一排,其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( ) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 [答案] C5.若266,xC C =则x 的值是( ) A.2B.4C.4或2D.0[答案] C 6.1171010r r C C +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班,二年级有7个班,三年级有4个班,分年级举行班与班之间的篮球单循环赛,共需进行比赛的场数是( )A.222574C C C ++ B.222574C C C C.222574A A A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法有( )A.90种B.180种C.270种D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人,现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合,由于在男队员中有2人主攻单打项目,不参与双打组合,这样一共有64种组合方式,则乒乓球队中男队员的人数为( ) A.10人 B.8人 C.6人 D.12人 [答案] A2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子,使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A A B.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] B3.有3名男生和5名女生照相,如果男生不排在是左边且不相邻,则不同的排法种数为( ) A.3538A A B.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] C4.8位同学,每位相互赠照片一张,则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排,其中学生不相邻的站法有________种. [答案] 864006.由0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案] 3007.有10个三好学生的名额,分配给高三年级6个班,每班至少一个名额,共有________种不同的分配方案.[答案] 1268.从10名学生中选出5人参加一个会议,其中甲、乙两人有且仅有1人参加,则选法种数为________. [答案] 140能力提升1.(2015四川卷)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个[答案] B2.(2014四川卷)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )A.60条B.62条C.71条D.80条[答案] B3.(2014辽宁卷)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A .144 B .120 C .72 D .24[答案] D4.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案] C5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】 966.(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有__________种.[答案] 367.(2015上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为_________(结果用数值表示).[答案] 1208.从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0?其中有实根的方程有多少个?[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题:首先确定a ,只能从1,3,5,7中选一个,有14A 种,然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ,有24A 种.所以由分步计数原理,共组成一元二次方程:124448A A ⋅=个.方程更有实根,必须满足240.b ac -≥分类讨论如下:当c =0时,a ,b 可在1,3,5,7中任取两个排列,有24A 个;当c ≠0时,分析判别式知b 只能取5,7.当b 取5时,a ,c 只能取1,3这两个数,有22A 个;当b 取7时a ,c 可取1,3或1,5这两组数,有222A 个,此时共有22222A A +个.由分类计数原理知,有实根的一元二次方程共有:2224222A A A ++=18个.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1.2.1 排列课标要求:知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想,并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题.教学重点:排列、排列数的概念教学难点:排列数公式的推导授课类型:新授课课时安排:2课时教 具:多媒体、实物投影仪内容分析:分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分,依分类计数原理解题,首先明确要做的这件事是什么,其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准,最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏,保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤,必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事,每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的,分类计数原理更具有一般性,解决复杂问题时往往需要先分类,每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段,不能嫌罗嗦,教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰,才会做到分类有据、分步有方,为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础,也是解决排列、组合问题的主要依据,并且还常需要直接运用它们去解决问题,这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系.教学过程:一、复习引入:1分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++L 种不同的方法2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么;2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立,“步”间互相联系;3.有无特殊条件的限制二、讲解新课:1问题:问题1.从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?分析:这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学,按照参加上午的活动在前,参加下午活动在后的顺序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有6种不同的排法:甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙,其中被取的对象叫做元素解决这一问题可分两个步骤:第 1 步,确定参加上午活动的同学,从 3 人中任选 1 人,有 3 种方法;第 2 步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选,于是有 2 种方法.根据分步乘法计数原理,在 3 名同学中选出 2 名,按照参加上午活动在前,参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种,如图 1.2一1 所示.图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题可叙述为:从3个不同的元素 a , b ,。
中任取 2 个,然后按照一定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法?所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 种.问题2.从1,2,3,4这 4 个数字中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?分析:解决这个问题分三个步骤:第一步先确定左边的数,在4个字母中任取1个,有4种方法;第二步确定中间的数,从余下的3个数中取,有3种方法;第三步确定右边的数,从余下的2个数中取,有2种方法由分步计数原理共有:4×3×2=24种不同的方法,用树型图排出,并写出所有的排列由此可写出所有的排法显然,从 4 个数字中,每次取出 3 个,按“百”“十”“个”位的顺序排成一列,就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题:第 1 步,确定百位上的数字,在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个,有 4 种方法;第 2 步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取,有 3 种方法;第 3 步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取,有 2 种方法.根据分步乘法计数原理,从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中,每次取出 3 个数字,按“百”“十”“个”位的顺序排成一列,共有4×3×2=24种不同的排法,因而共可得到24个不同的三位数,如图1. 2一2 所示.由此可写出所有的三位数:123,124, 132, 134, 142, 143,213,214, 231, 234, 241, 243,312,314, 321, 324, 341, 342,412,413, 421, 423, 431, 432 。
同样,问题 2 可以归结为:从4个不同的元素a, b, c,d中任取 3 个,然后按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.共有4×3×2=24种.树形图如下a b cdbcdacdabdabc2.排列的概念:从n个不同元素中,任取m(m n≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一.定的顺序....排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列....说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列;(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同3.排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(m n≤)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号mnA表示注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从n个不同元素中,任取m个元素按照一定的顺序.....排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中,任取m(m n≤)个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号mnA只表示排列数,而不表示具体的排列4.排列数公式及其推导:由2n A 的意义:假定有排好顺序的2个空位,从n 个元素12,,n a a a K 中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数2n A .由分步计数原理完成上述填空共有(1)n n -种填法,∴2n A =(1)n n -由此,求3n A 可以按依次填3个空位来考虑,∴3n A =(1)(2)n n n --,求m n A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L , 排列数公式:(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L(,,m n N m n *∈≤)说明:(1)公式特征:第一个因数是n ,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是1n m -+,共有m 个因数;(2)全排列:当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数:(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=L (叫做n 的阶乘) 另外,我们规定 0! =1 .例1.用计算器计算: (1)410A ; (2)518A ; (3)18131813A A ÷.解:用计算器可得:由( 2 ) ( 3 )我们看到,51813181813A A A =÷.那么,这个结果有没有一般性呢?即!()!n mn nn m n m A n A A n m --==-. 排列数的另一个计算公式:(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L(1)(2)(1)()321()(1)321n n n n m n m n m n m ---+-⋅⋅=---⋅⋅L L L =!()!n n m -=n n n m n mA A --. 即 m n A =!()!n n m - 例2.解方程:3322126x x x A A A +=+.解:由排列数公式得:3(1)(2)2(1)6(1)x x x x x x x --=++-,∵3x ≥,∴ 3(1)(2)2(1)6(1)x x x x --=++-,即2317100x x -+=,解得 5x =或23x =,∵3x ≥,且x N *∈,∴原方程的解为5x =. 例3.解不等式:2996x x A A ->. 解:原不等式即9!9!6(9)!(11)!x x >⋅--, 也就是16(9)!(11)(10)(9)!x x x x >--⋅-⋅-,化简得:2211040x x -+>, 解得8x <或13x >,又∵29x ≤≤,且x N *∈,所以,原不等式的解集为{}2,3,4,5,6,7.例4.求证:(1)n m n m n n n m A A A --=⋅;(2)(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅L . 证明:(1)!()!!()!m n m n n m n A A n m n n m --⋅=-=-n n A =,∴原式成立 (2)(2)!2(21)(22)43212!2!n n n n n n n n ⋅-⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅L 2(1)21(21)(23)312!n n n n n n n ⋅-⋅⋅--⋅=⋅L L !13(23)(21)!n n n n ⋅⋅--==L 135(21)n ⋅⋅-=L 右边 ∴原式成立 说明:(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数m n A 中,,m n N *∈且m n ≤这些限制条件,要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围;(2)公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L 常用来求值,特别是,m n 均为已知时,公式m n A =!()!n n m -,常用来证明或化简 例5.化简:⑴12312!3!4!!n n -++++L ;⑵11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯L ⑴解:原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!n n =-+-+-++-=-L 11!n - ⑵提示:由()()1!1!!!n n n n n n +=+=⨯+,得()!1!!n n n n ⨯=+-,原式()1!1n =+-说明:111!(1)!!n n n n -=--. 例7.(课本例2).某年全国足球甲级(A 组)联赛共有14个队参加,每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛?解:任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛,对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列.因此,比赛的总场次是214A =14×13=182.例8.(课本例3).(1)从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法?(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 解:(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列,因此不同送法的种数是 35A =5×4×3=60.(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法,因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125.例 8 中两个问题的区别在于: ( 1 )是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题;而( 2 )中,由于不同的人得到的书可能相同,因此不符合使用排列数公式的条件,只能用分步乘法计数原理进行计算.例9.(课本例4).用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?分析:在本问题的。