初二数学上册北师大版知识点总结

北师大版八年级上册数学知识点总结

第一章勾股定理

1、勾股定理

（1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2

2

2

c

b

a

（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）

（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2

2

2

c b

a ，那

么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：满足2

2

2

c b

a 的三个正整数a ，

b ，

c ，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……

规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……

（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组

勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1

如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4、常见题型应用：

（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……

（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……

（3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~

判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的

平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状

（4）构建直角三角形解题

例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。

解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知：∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。中考突破

（1）中考典题

例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得

得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？

思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。

解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2

∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5

答：梯子顶端下滑了0.5米。点拨：要考虑梯子的长度不变。

例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结

BD ，似乎不

解：连结AC ，在Rt △ADC 中，在△ABC 中，AB2=1521

答：这块地的面积是216平方米。

点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角

形判定条件。

第二章实数

基本知识回顾

1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。

得要领，连结，求出即可。

AC S

S

ABC

ACD

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数

实数负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如32,7等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/3+8等；

（3）有一定规律，但并不循环

（4）某些三角函数值，如sin60o等

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做

该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可

看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|= -a，则

a≤0。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与

数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算

利用非负数解题的常见类型

例1.

解：

点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。

三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于

a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算

术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即

x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“a”，读作“正、

负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零

的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

注意a的双重非负性：被开方数与结果均为非负

数。即a≥0，

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那

么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一

个负的立方根；零的立方根是零。

注意：3

3a

a，这说明三次根号内的负号可以

移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正

已知，求的值。

x y x y

5302

2

||

x y x y

5030530

，，且

||||