第八章第七节

菜 单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1．(教材改编题)若双曲线经过点 A(－7，－6 2)，B(2 7，3)， 则双曲线方程为( )
高 考 体 验 · 明 考 情
x2 y2 y2 x2 A. － ＝1 或 － ＝1 25 75 25 75
典 例 探 究 · 提 知 能
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
a2＋b2 7 7 2 7 又双曲线的离心率 e＝ ＝ ，所以 ＝ ， a a a 4 x2 y2 所以 a＝2，b ＝c －a ＝3，故双曲线的方程为 － ＝1. 4 3
2 2 2
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
1 3 A. 或 2 2 1 C. 或 2 2
(2)已知定点 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)；以点 C 为一个焦点作 过 A、B 的椭圆，则另一个焦点 F 的轨迹方程为________．
菜 单
课 时 知 能 训 练
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］


x2 y2 故双曲线方程为 － ＝1. 25 75
高 考 体 验 · 明 考 情
【答案】 C
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
2．双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( 2 A．( ，0) 2 C．( 6 ，0) 2 5 B．( ，0) 2 D．( 3，0)
(2)设 F(x，y)为轨迹上的任意一点， ∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上， ∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长半轴长)， ∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|， ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA| ＝ 122＋92－ 122＋－52＝2，
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【答案】 2
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
(见学生用书第 168 页)
(1)(2011· 福建高考)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1， F2，若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线 Γ 的离心率等于( ) 2 B. 或 2 3 2 3 D. 或 3 2
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
【尝试解答】
x2 y2 (1)椭圆 ＋ ＝1 的焦点坐标为 F1(－ 7，0)， 16 9
7 x2 y2 x2 y2 F2( 7，0)，离心率为 e＝ .由于双曲线 2－ 2＝1 与椭圆 ＋ ＝1 4 a b 16 9 有相同的焦点，因此 a2＋b2＝7.
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
c 3 若圆锥曲线为双曲线，则 2a＝4k－2k＝2k,2c＝3k，e＝ ＝ . a 2 1 3 综上知，曲线 Γ 的离心率为 或 . 2 2
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
(1)已知动圆 M 与圆 C1： (x＋4)2＋y2＝2 外切， 与圆 C2：(x－4)2＋y2＝2 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为________． (2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的顶点 A(－6,0)和 sin A－sin C x2 y2 C(6,0)，若顶点 B 在双曲线 － ＝1 的左支上，则 ＝ 25 11 sin B
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
a＞0，c＞0； (1)当 2a＜|F1F2| (2)当 (3)当
2a＝|F1F2| 2a＞|F1F2|
时，P 点的轨迹是双曲线； 时，P 点的轨迹是两条射线； 时，P 点不存在．
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
x2 y2 4．(2011· 辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线 C： 2－ 2＝1(a＞0，b a b ＞0)上，C 的焦距为 4，则它的离心率为________． 4 9 【解析】 由题意知 2－ 2＝1，c2＝a2＋b2＝4 得 a＝1，b＝ 3， a b ∴e＝2.
自 主 落 实 · 固 基 础
3．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，一曲线上的动点P到F1，F2距离之 差为6，该曲线方程是________．
【解析】 ∵|PF1|－|PF2|＝6＜8， ∴P 的轨迹是双曲线的右支， 又 a＝3，c＝4，∴b2＝c2－a2＝7， x2 y2 ∴该曲线的方程为 － ＝1(x＞0)． 9 7 2 2 x y 【答案】 － ＝1(x＞0) 9 7
x2 y2 y2 x2 B. － ＝1 或 － ＝1 75 25 75 25 x2 y2 C. － ＝1 25 75 y2 x2 D. － ＝1 75 25
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
【解析】 设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 1 1 m＋9n＝1， 解得 m＝ ，n＝－ ， 则 49m＋72n＝1， 28 25 75
自 主 落 实 · 固 基 础
x2 y2 (2)设所求双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0)， 9 16 1 将点(－3,2 3)代入得 λ＝ . 4 x2 y2 1 x2 y2 所以双曲线方程为 － ＝ ，即 － ＝1. 9 16 4 9 4 4
自 主 落 实 · 固 基 础
【思路点拨】 (1)分曲线Γ为椭圆和双曲线两种情况求解． (2)利用椭圆的定义求解．
【尝试解答】 (1)由|PF1|来自百度文库|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，可设|PF1|＝ 4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，若圆锥曲线为椭圆，则 2a＝6k,2c＝3k，e c 1 ＝ ＝ . a 2
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
∴|FA|－|FB|＝2＜14. 由双曲线的定义知，F 点在以 A、B 为焦点，2 为实轴长的双曲 线的下支上， x2 ∴点 F 的轨迹方程是 y2－ ＝1(y≤－1)． 48 x2 【答案】 (1)A (2)y2－ ＝1(y≤－1) 48
典 例 探 究 · 提 知 能
高 考 体 验 · 明 考 情
2．双曲线的离心率是怎样影响双曲线“张口”大小的？
x2 y2 c 【提示】 对于双曲线 2－ 2＝1，由 e＝ ＝ a b a b2 1＋ 知，e 越 a
课 时 知 能 训 练
b 大， 越大， 则 即双曲线渐近线的斜率绝对值越大， 从而双曲线的“张 a 口”越大．
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
第七节
典 例 探 究 · 提 知 能
双曲线
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
(见学生用书第 167 页) 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用． 考纲 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1． 在平面内满足|PF1|－|PF2|＝2a(其中 0＜2a＜|F1F2|)的动点 P 的 轨迹是双曲线吗？
【提示】 不是双曲线．|PF1|－|PF2|＝2a，表示的几何图形只能 说是离焦点 F2 较近的双曲线的一支．
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
(2)如图，由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又在△ABC |BC| |AB| |AC| 中，有 ＝ ＝ ＝2R， sin A sin C sin B
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
3.等轴双曲线
实轴
和 虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线， 其渐近线方 ，离心率为 e＝ 2 .
程为
y＝±x
菜 单
课 时 知 能 训 练
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
1．在运用双曲线的定义解决问题时，要分清是差的绝对值为常 数，还是差为常数，后者仅是双曲线的一支．
典 例 探 究 · 提 知 能
2．已知双曲线上一点，应用定义解题时，应明确这点在双曲线 的哪一支上．
sin A－sin C |BC|－|AB| 从而 ＝ sin B |AC| 5 ＝ . 6
x2 y2 5 【答案】 (1) － ＝1(x≥ 2) (2) 2 14 6
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
x2 y2 (1)(2011· 山东高考)已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)和 a b x2 y2 椭圆 ＋ ＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两 16 9 倍，则双曲线的方程为________．
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
传真 知道其简单几何性质． 3．了解双曲线的简单应用． 4．理解数形结合的思想.
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1．双曲线定义 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝 对值为常数 2a(2a＜2c) ，则点 P 的轨迹叫做双曲线． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a、c 为常数且
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
x2 y2 (2)与双曲线 － ＝1 有共同的渐近线，且过点 B(－3，2 3)的 9 16 双曲线方程为________．
课 时 知 能 训 练
【思路点拨】 (1)根据椭圆的焦点和离心率确定 a、b 的值． x2 y2 (2)设所求双曲线方程为 － ＝λ，将点(－3,2 3)代入求 λ 的值． 9 16
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1(－4,0)、C2(4,0) 为焦点的双曲线的右支． 又 a＝ 2，c＝4， ∴b2＝c2－a2＝14， x2 y2 ∴点 M 的轨迹方程是 － ＝1(x≥ 2)． 2 14
菜 单
课 时 知 能 训 练
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
________.
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
【解析】 (1)设动圆 M 的半径为 r，
自 主 落 实 · 固 基 础
则由已知|MC1|＝r＋ 2，|MC2|＝r－ 2， ∴|MC1|－|MC2|＝2 2， 又 C1(－4,0)，C2(4,0)， ∴|C1C2|＝8， ∴2 2＜|C1C2|.
)
高 考 体 验 · 明 考 情
y2 【解析】 双曲线的方程可化为 x2－ ＝1， 1 2
典 例 探 究 · 提 知 能
1 3 ∴a2＝1，b2＝ ，c2＝a2＋b2＝ ， 2 2 6 6 ∴c＝ ，∴右焦点为( ，0)． 2 2
课 时 知 能 训 练
【答案】 C
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］