工程信号处理_1

X(ω)
0
-31.4
-15.7
0 ω [rad/sec]
15.7
31.4
当 T 0 时， A ， X ( ) 1 ，这时的 x (t)称之为单位脉冲函数 δ (t)。
(2) 单位脉冲函数 δ (t)
(t )
, 0,
t0 t0



(t )dt 1
n 1 n 1
或
x (t ) cn 1 T
n
c e
n

in0t

T /2
T / 2
x (t )e in0t dt
例2.
方波脉冲的复数形式的傅立叶级数 2 T 2 ， 0 T 1 c0 2
cn
1 T

T /2
T / 2
x (t )e in0t dt
cos 0 t ( 0 ) ( 0 )
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工程信号处理_Wu _1~2
能量谱(Parseval 等式)：



x 2 (t )dt
1 2



X ( ) d
2


X ( f ) df
2
傅立叶变换的几个重要性质： F 代表傅立叶变换，X(ω)代表 x(t)的傅立叶变换，*代表卷积（上标表示共轭）
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工程信号处理_Wu _1~2
2 傅立叶变换 2-1 周期信号的傅立叶级数 对周期信号
x (t ) x (t T )
T
展开得
x (t )
a0 a n cos n0 t bn sin n0 t 2 n 1
式中：ω0 = 2π/T 为基频，T 为周期； 2 T /2 a0 x (t )dt T T / 2 2 T /2 a n x (t ) cos n0 tdt T T / 2 2 T /2 bn x (t ) sin n0 tdt T T / 2 例1. 方波脉冲的傅立叶级数
f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t0 )dt f (t0 )


(3) 简谐函数 cos 0 t

F[ (t )] 1
x (t )
1 2



X ( )e it d
将 X ( ) 2 ( 0 ) 代入可得 x (t ) e i0t ，于是 cos 0 t 的傅立叶变换为
x (t )e in0t dt x (t )e it dt X ( )

lim Tc lim
T n T
T /2
2
T / 2

sin

2
1
0.5 TCn 0 -10π
-8π
-6π
-4π
-2π
0
2π
4π
6π
8π
10π
nω0 [rad/sec]
傅立叶变换的定义：
6
7
8
9
10
1.5
1 Ak 0.5 0 0
1
2
3
4 5 6 Frequency [rad/sec]
7
8
9
10
50
x(t)
0
-50 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 Time [s]
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2 1.5 Spectrum
1
0.5
0
0
50
100 Frequency [Hz]
150
200
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x (t )e in0t dt
2 n0
sin
n0 2
(sinc x
sin x ) x
ω0 = π
0.5 TCn 0 -10π
T=2
-8π
-6π
-4π
0 -2π 2π nω0 [rad/sec]
4π
6π
8π
10π
1
ω0 = 0.4π
0.5
T=5
TCn 0 -10π
-8π
-6π
-4π
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工程信号处理_Wu _1~2 x(t) 1
t – 0.5 0 0.5
cn
1 T

T /2
T / 2
x (t )e in0t dt
2 n0T
sin
n0 2
若周期 T 取不同的值，便有不同的频谱，频谱用 Tcn 来表示：
Tcn
1
T /2
T / 2
0.5
0 -3 -2 -1 0 1 2 3
1
n = 10
0.5
0 -3 -2 -1 0 1 2 3
1
n = 20
0.5
0 -3 -2 -1 0 1 2 3
2-2 复数形式的傅立叶级数
利用 e i cos i sin ，可得
a n in0t e e in0t 2 ib bn sin n0 t n e in0t e in0t 2 用来代替 cos 和 sin 项，傅立叶级数可写成 a n cos n0 t
工程信号处理_Wu _1~2
1 概论 应用广泛: (1) 家用音像电器 (2) 生物医学工程 (3) 电信技术 (4) 军事领域 (5) 石油勘探 (6) 声与振动 信号与信息：信号是信息的载体，信息蕴藏在信号中。为了获取信息，必须对信 号进行处理。 信号的转换、传输、记录与处理过程：
信号的表示：随时间（或空间）变化的数学函数 信号的分类： (1) 确定性信号 周期信号



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工程信号处理_Wu _1~2
a0 1 1 a n ibn e in0t a n ibn e in0t 2 n 1 2 n 1 2
x (t )
令 c0
a0 a ibn a n ibn * ， cn n ， cn c ， 可有 n 2 2 2 x (t ) c0 cn e in0t cn e in0t
与例 1 的结果相同。 （cos: 奇函数×奇函数×偶函数，sin: 奇函数×奇函数×奇函数） 通过傅立叶级数的分解，一个周期信号可以看作由不同频率的简谐函数叠加 而成。从另一个角度理解，就是知道了周期信号的各个频率分量，得到了蕴含在 信号中的某些信息(频率分量)。 周期信号的平均功率(Parseval 等式)：
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2
工程信号处理_Wu _1~2
本课程内容： 介绍信号处理最基本的理论与方法及其应用，包括 MATLAB 信号处理工具包 的一些常用函数。具体内容分成五个板块： (1) 傅立叶变换与随机信号处理 30%
3 2 1 x(t) 0 -1 -2 0
1
2
3
4
5 Time [s]
X ( ) x (t )e it dt ，

傅立叶反变换的推导：
x (t )
当 T → ∞时有
n
c e
n

in0t
Tc 1 n e in0t 2 n T

n
Tc e
n


in0t
0
x (t )
3
工程信号处理_Wu _1~2
(2) 线性系统分析 10%
系统的输入
系统的输出
系统的频率 特性
(3) z-变换、离散时间系统与滤波器设计 25%
信号+噪声
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4
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噪声信号
滤去噪声后 的信号
(4) 时频信号处理 20% (5) 应用 Matlab 进行信号处理 15%
非周期信号
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物理对象 非电信号
传感器
中间变换
纪录储存
处理分析
电信号
1
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(2) 随机信号
(3) 离散信号
系统：
输入
系统
输出
(1) 线性系统与非线性系统 线性系统具有叠加性和齐次性，因此分析计算很方便。非线性系统不满足叠 加性和齐次性。 (2) 时变与时不变系统 时不变系统的参数不随时间变化。 (3) 连续系统与离散系统 若系统的输入与输出都是连续时间信号，则称此系统为连续系统；若系统的 输入与输出都是离散时间信号，则称此系统为离散系统。 (4) 时间域与频率域 系统的分析计算可以在时间域进行，如用微分方程、差分方程、卷积等；也 可以在频率域进行，如用传递函数、频率响应函数等。
-2π
0
2π
4π
6π
8π
10π
nω0 [rad/sec] 1
ω0 = 0.2π
0.5
T = 10
TCn 0 -10π
-8π
-6π
-4π
-2π
0
2π
4π
6π
8π
10π
nω0 [rad/sec]
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工程信号处理_Wu _1~2
由此可见，当
T , 0
于是有
2 0, n0 n T
1 T

0.5
0.5
(cos n0 t i sinn0 t )dt
2 n0T
sin
n0 2
x (t )
n
n sin

1
n in0t 1 2 e 2 2
1 1 cos 0 t cos 30 t cos 50 t 3 5
x(t) 1
t – 0.5 0 0.5 1.5 2.5
T 2 ， 0
2 T
a0 1 ， bn 0 an 2 T

T /2
T / 2
x (t ) cos n0 tdt cos ntdt
0.5
0.5
n 2 sin n 2
6
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P
1 T

T /2
T / 2
x 2 (t )dt
n
c

2
n
2-3 傅立叶变换及其性质 对于非周期信号，可以把它当作周期为无限长的信号来处理，此时有 2 T , 0 0 T
于是 n0 n ，所以离散频谱(nω0 的函数)会演变成连续频谱(ω 的函数)。由 此可以得到傅立叶变换的概念和定义，举例说明如下：
参考书籍： (1) 徐科军，信号处理技术. 武汉理工大学出版社 2004 (2) 邹鲲、袁俊泉、龚享铱，MATLAB 6.x 信号处理. 清华大学出版社 2002 (3) W. K. Edward and S. H. Bonnie, Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and MATLAB. 2nd Edn, Prentice Hall, 2000（影印本：科学出版社 2002） (4) D. E. Newland, An Introduction to Random Vibrations, Spectral and Wavelet Analysis. Prentice Hall, 1993 (5) J. H. McClellan, R. W. Schafer and M. A. Yoder, Signal Processing First. Prentice Hall, 2003（中译本：信号处理引论，电子工业出版社 2005） (6) A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing. Prentice Hall，1989（中译本：离散时间信号处理，科学出版社 1998）
或写成
1 2
in t lim Tcn e 0 0 T n

1 2
X ( )e lim
0 n
int

1 X ( )e it d 2 所以当周期 T 为无穷大时，傅立叶级数(cn)就变成了傅立叶变换(Tcn 的极限)。 x (t )
A
– T/2
0
T/2
A sin T / 2 /2 如果 A 1 / T ，即保持方波脉冲的面积 AT = 1，则有 sin T / 2 X ( ) T / 2 X ( ) x (t )e it dt

X (ω)与脉冲宽度 T 的关系：
1
T=5
0.5
T=2 T=1
傅立叶变换对的另一种表示：
X ( f ) x (t )e i 2ft dt ， f

x (t ) X ( f )e i 2ft df


式中 f 的单位为 Hz。 几种典型函数的傅立叶变换： (1) 方波脉冲
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x (t )
1 1 cos t cos 3 t cos 5 0 t 0 0 3 5 n 1 1 2 ( 1) cos(2n 1) 0 t 2 n 1 2n 1 1 2 2
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