直线与圆锥曲线的综合应用(学生版)

直线与圆锥曲线的综合应用

1. (选修11P 44习题4改编)以双曲线x 24－y 2

5

＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为

焦点的拋物线方程是__________．

2. 以双曲线－3x 2＋y 2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________．

3. 若抛物线y 2

＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22

＝1的右焦点重合，则p ＝________．

4. 已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x

2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．

5. 已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为______________．

1. 圆锥曲线的统一定义

平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的轨迹． 当01时，它表示双曲线；

当e ＝1时，它表示抛物线． 2. 曲线的方程与方程的曲线

在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．

3. 平面解析几何研究的两个主要问题

(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程；

(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质． 4. 求曲线方程的一般方法(五步法)

求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：

(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M|p(M)}； (3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0；

(4) 化方程f(x，y)＝0为最简形式；

(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

题型1 最值问题

例1 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)、B(0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx(k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

(1) 若ED →＝6DF →

，求k 的值；

(2) 求四边形AEBF 面积的最大值．

变式训练

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．

(1) 求证：A 、C 、T 三点共线； (2) 如果BF →＝3FC →

，四边形APCB 的面积最大值为6＋23

，求此时椭圆的方程和P 点坐

标．

题型2 定值问题

例2 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，右准线方程为x ＝3

3

.

(1) 求双曲线C 的方程；

(2) 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P(x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，求证：∠AOB 的大小为定值．

题型3 定点问题

例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.

(1) 若直线l 过点A(4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；

(2) 设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．

(提示：本题模拟高考评分标准，满分14分)

备选变式（教师专享）

已知椭圆x 24

＋y 2

＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N

两点．

(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；

(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

(理)题型4 轨迹问题

例4 如图，已知梯形ABCD 中|AB|＝2|CD|，点E 满足AE →＝λEC →

，双曲线过C 、D 、

E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤3

4

时，求双曲线离心率e 的取值范围．

备选变式（教师专享）

在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P 与A 、B 连线的斜

率之积为－1

4

.

(1) 求点P 的轨迹方程；

(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.

(ⅰ) 求圆M 的方程； (ⅱ) 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．

、

1. 已知椭圆x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点P 22，1

2

，记椭圆的左顶点为A.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B 、C 两点，试求△ABC 面积的最大值；

(3) 过点A 作两条斜率分别为k 1、k 2的直线交椭圆于D 、E 两点，且k 1k 2＝2，求证：直线DE 恒过一个定点．

(1) 解：由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2

2

，12a 2

＋1

4b

2

＝1，a 2

＝b 2

＋c 2

，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，

b ＝22，

c ＝2

2，

所以椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝1.

(2) 解：设B(m ，n)，C(－m ，n)，则S △ABC ＝1

2

×2|m|×|n|＝|m|·|n|，又1＝m 2＋2n 2≥22m 2n 2

＝22|m|·|n|，所以|m|·|n|≤24，当且仅当|m|＝2|n|时取等号，从而S △ABC ≤2

4

，即△ABC

面积的最大值为2

4

.

(3) 证明：因为A(－1，0)，所以AB ：y ＝k 1(x ＋1)，AC ：y ＝k 2(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋1），

x 2＋2y 2

＝1，

消去y ，得(1＋2k 21)x 2＋4k 21x ＋2k 2

1－1＝0，解得x ＝－1或x ＝1－2k 2

11＋2k 2

1

， ∴ 点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 211＋2k 21，2k 11＋2k 21.同理，有C ⎝

⎛⎭⎪⎫

1－2k 221＋2k 22，2k 21＋2k 22，而k 1k 2＝2， ∴ C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫k 21－88＋k 21，4k 18＋4k 21∴ 直线BC 的方程为y －2k 1

1＋2k 21＝4k 1

8＋k 2

1－2k 1

1＋2k 21k 21－88＋k 2

1－1－2k 211＋2k 21

·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2k 211＋2k 21，即y －2k 1

1＋2k 21＝3k 1

2（k 21＋2）·⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －1－2k 211＋2k 21，即y ＝3k 12（k 21＋2）x ＋5k 12（k 2

1＋2），所以2yk 2

1＋(3x ＋5)k 1＋y ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，3x ＋5＝0，

得直线BC 恒过定点⎝⎛⎭

⎫－5

3，0. (注：第(3)小题也可采用设而不求的做法，即设D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，然后代入找关系)

2. 已知椭圆E ：x 2a

2＋y 2

＝1(a ＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M 的动弦MA 、MB 满足

MA ⊥MB.

(1) 当坐标原点到椭圆E 的准线距离最短时，求椭圆E 的方程；

(2) 若Rt △MAB 面积的最大值为27

8

，求a ；

(3) 对于给定的实数a(a ＞1)，动直线AB 是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a 表示)；反之，说明理由．