5-4广义坐标与广义力
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Q 2Qa sin 7 Pa cos
2
B
C Q
x
由广义力等于零可得： Q 7 P cot
例3
如图所示，圆柱半径为 R ，重为 W，搁置在倾斜平 板 AB 上， AB ＝ l 。 B 点用细绳拉在墙上。设各接触 点都是光滑的，求平衡时绳的拉力T。
B
E
o
W
D
A
解
解除绳的约束，代之以约束 力 T，作用在 B 处。取坐标系 Axy，主动力的虚功为：
广义坐标形式的平衡方程
ri ri (q1 , q2 ,, qk , t ) xi (q, t )i yi (q, t ) j zi (q, t )k
k ri ri ri ri δri δq1 δq2 ... δqk δq j q1 q2 qk q j j 1
δrB δrD 2δrC l1δ
δA PδrC sin PδrD sin 1 Pδr cos B 2
O
δrC
C
δ
x
δrA
PA
D
δrD
Q 1 Pl1 (cos 3sin ) 2
δrB
y
P
B
S
例2
惰钳机构由六根长杆和 两根短杆组成，长杆长 2a，短杆长a，各杆之间 用铰链相连。它在顶部 受力P的作用，问下部 力 Q 的大 小为 多 少才 能 使系统处于平衡状态。 图中 为已知角。
δA WδyO TδxB
y
T
B
E
o
W
取 角为广义坐标，则 1 2 δy R csc δ y R cot
O
D
xB l sin
2
2 2 δxB l cos δ
O
A
x
由广义力等于零可得： T WR /(2l cos sin 2 )
2
δA ( 1 WR csc2 Tl cos )δ 2
N k
N y x z ri Q j ( Fix ) ( Fix i Fiy i Fiz i ) q j q j q j q j i 1 i 1 N
yi xi zi Q j ( Fix Fiy Fiz ) 称为对应广义坐标 q j q j q j i 1
5.4 广义坐标与广义力
第4节 广义坐标与广义力
自由度
独立的虚位移数就是质系的自由度。 思考：虚功原理给出几个独立方程？
自由度数 n 3N r s
N 是质点总数 r 是完整约束的总数 s 是非完整约束的总数
例如：沿曲面运动的质点有 两 个自由度。
广义坐标
能够唯一确定质点系可能位置的独立参数称为广义 坐标。例如单摆的摆角。 广义坐标数为 k 3N r 根据需要可以任选 k 个可以确定质系可能位置的独 立参数 q1 ,..., qk 作为广义坐标，它们可以是距离、 o 角度、面积等。 x l 如果质点系只有完整约束，广义 坐标的变化就不再受任何约束限 制，广义坐标数与自由度相同。
N
qj 的广义力。
O O
广义力是广义坐标和时间的函数。 广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定 具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积 一定具有功的量纲。
k
δA Q j δq j 0
j 1
Q j 0 这是k个平衡方程。
具有完整理想约束的质系平衡的充要条件是所有 的广义力都等于零。
刚体的自由度
自由刚体有 六个自由度。 自由刚体的位形可以用基点坐标(3个独立参数)和矩 阵A(3个独立参数)确定。 纯滚动的圆柱有一 个自由度。 圆柱位形可用一个转角确定。 纯滚动的球有三个自由度。
球的位形可用三个转角和球心坐标(2个)确定。
思考题：1）纯滚的圆盘有几个自由度？
2）自行车在粗糙地面上运动有几个自由度？
P
A
Q
B
C
Q
解
取为广义坐标
yA 7a sin δy A 7a cos δ
y
A
P
xC a cos
δxC a sin δ
xB a cos δxB a sin δ
δA Pδy A QδxB QδxC
Q
(7 Pa cos 2Qa sin )δ
A
wk.baidu.com
B
S
解（解析法）
取、 为广义坐标 xB l1 sin l2 sin
yC 1 l cos 2 1
yD l1 cos 1 l cos 2 2
O
C l1 A D l2 P
x
δxB l1 cos δ l2 cos δ
y
S
P
B
δyC 1 l sin δ 2 1 δyD l1 sin δ 1 l sin δ 2 2
δA PδyC PδyD 1 PδxB 2
解（解析法）
1 δA 1 Pl ( 3sin cos )δ Pl2 ( sin cos )δ 1 2 2
Q 1 Pl (cos 3sin ) 2 1
Q 1 Pl2 (cos sin ) 2
解(几何法)
首先取 δ 0, δ 0
δrC 0
δrB 2δrD l2δ
δA PδrD sin PδrB cos
1 2
O
C
x
A
δ
D
P
δrD
δrB
B
Q 1 Pl2 (cos sin ) 2
y
P
S
解(几何法)
再取 δ 0, δ 0
1 Q WR csc2 Tl cos 2
k xi xi xi xi δxi q δq1 q δq2 ... q δqk q δq j 1 2 k j j 1
k ri δA ( Fi δq j ) Q j δq j q j i 1 j 1 j 1
y
第2节 虚位移
y
B
x O q : x A , y A ,
l A
N=2 r = 1+2 n=k=3 O
y
A r
l
B
N=2 r = 3+2 n=k=1
x
q:
y
C
O
v
k=3 s=1 n=2
C y tan C x δyC tan δxC
x
q : xC , yC ,
利用广义坐标描述质系运动完整约束自然满足
例
δA mg δr mg (l )sin
δA Q δ Q mgl sin
o
l
x
y
例1
均质杆OA和AB用铰A连接，用铰O固定。两杆的长度 为 l1 和 l 2 ，重量均为 P 。在B端作用水平力 S 广义力。
O
1 P， 2
以两杆与竖直方向夹角 , 为广义坐标，求相应的
2
B
C Q
x
由广义力等于零可得： Q 7 P cot
例3
如图所示，圆柱半径为 R ，重为 W，搁置在倾斜平 板 AB 上， AB ＝ l 。 B 点用细绳拉在墙上。设各接触 点都是光滑的，求平衡时绳的拉力T。
B
E
o
W
D
A
解
解除绳的约束，代之以约束 力 T，作用在 B 处。取坐标系 Axy，主动力的虚功为：
广义坐标形式的平衡方程
ri ri (q1 , q2 ,, qk , t ) xi (q, t )i yi (q, t ) j zi (q, t )k
k ri ri ri ri δri δq1 δq2 ... δqk δq j q1 q2 qk q j j 1
δrB δrD 2δrC l1δ
δA PδrC sin PδrD sin 1 Pδr cos B 2
O
δrC
C
δ
x
δrA
PA
D
δrD
Q 1 Pl1 (cos 3sin ) 2
δrB
y
P
B
S
例2
惰钳机构由六根长杆和 两根短杆组成，长杆长 2a，短杆长a，各杆之间 用铰链相连。它在顶部 受力P的作用，问下部 力 Q 的大 小为 多 少才 能 使系统处于平衡状态。 图中 为已知角。
δA WδyO TδxB
y
T
B
E
o
W
取 角为广义坐标，则 1 2 δy R csc δ y R cot
O
D
xB l sin
2
2 2 δxB l cos δ
O
A
x
由广义力等于零可得： T WR /(2l cos sin 2 )
2
δA ( 1 WR csc2 Tl cos )δ 2
N k
N y x z ri Q j ( Fix ) ( Fix i Fiy i Fiz i ) q j q j q j q j i 1 i 1 N
yi xi zi Q j ( Fix Fiy Fiz ) 称为对应广义坐标 q j q j q j i 1
5.4 广义坐标与广义力
第4节 广义坐标与广义力
自由度
独立的虚位移数就是质系的自由度。 思考：虚功原理给出几个独立方程？
自由度数 n 3N r s
N 是质点总数 r 是完整约束的总数 s 是非完整约束的总数
例如：沿曲面运动的质点有 两 个自由度。
广义坐标
能够唯一确定质点系可能位置的独立参数称为广义 坐标。例如单摆的摆角。 广义坐标数为 k 3N r 根据需要可以任选 k 个可以确定质系可能位置的独 立参数 q1 ,..., qk 作为广义坐标，它们可以是距离、 o 角度、面积等。 x l 如果质点系只有完整约束，广义 坐标的变化就不再受任何约束限 制，广义坐标数与自由度相同。
N
qj 的广义力。
O O
广义力是广义坐标和时间的函数。 广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定 具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积 一定具有功的量纲。
k
δA Q j δq j 0
j 1
Q j 0 这是k个平衡方程。
具有完整理想约束的质系平衡的充要条件是所有 的广义力都等于零。
刚体的自由度
自由刚体有 六个自由度。 自由刚体的位形可以用基点坐标(3个独立参数)和矩 阵A(3个独立参数)确定。 纯滚动的圆柱有一 个自由度。 圆柱位形可用一个转角确定。 纯滚动的球有三个自由度。
球的位形可用三个转角和球心坐标(2个)确定。
思考题：1）纯滚的圆盘有几个自由度？
2）自行车在粗糙地面上运动有几个自由度？
P
A
Q
B
C
Q
解
取为广义坐标
yA 7a sin δy A 7a cos δ
y
A
P
xC a cos
δxC a sin δ
xB a cos δxB a sin δ
δA Pδy A QδxB QδxC
Q
(7 Pa cos 2Qa sin )δ
A
wk.baidu.com
B
S
解（解析法）
取、 为广义坐标 xB l1 sin l2 sin
yC 1 l cos 2 1
yD l1 cos 1 l cos 2 2
O
C l1 A D l2 P
x
δxB l1 cos δ l2 cos δ
y
S
P
B
δyC 1 l sin δ 2 1 δyD l1 sin δ 1 l sin δ 2 2
δA PδyC PδyD 1 PδxB 2
解（解析法）
1 δA 1 Pl ( 3sin cos )δ Pl2 ( sin cos )δ 1 2 2
Q 1 Pl (cos 3sin ) 2 1
Q 1 Pl2 (cos sin ) 2
解(几何法)
首先取 δ 0, δ 0
δrC 0
δrB 2δrD l2δ
δA PδrD sin PδrB cos
1 2
O
C
x
A
δ
D
P
δrD
δrB
B
Q 1 Pl2 (cos sin ) 2
y
P
S
解(几何法)
再取 δ 0, δ 0
1 Q WR csc2 Tl cos 2
k xi xi xi xi δxi q δq1 q δq2 ... q δqk q δq j 1 2 k j j 1
k ri δA ( Fi δq j ) Q j δq j q j i 1 j 1 j 1
y
第2节 虚位移
y
B
x O q : x A , y A ,
l A
N=2 r = 1+2 n=k=3 O
y
A r
l
B
N=2 r = 3+2 n=k=1
x
q:
y
C
O
v
k=3 s=1 n=2
C y tan C x δyC tan δxC
x
q : xC , yC ,
利用广义坐标描述质系运动完整约束自然满足
例
δA mg δr mg (l )sin
δA Q δ Q mgl sin
o
l
x
y
例1
均质杆OA和AB用铰A连接，用铰O固定。两杆的长度 为 l1 和 l 2 ，重量均为 P 。在B端作用水平力 S 广义力。
O
1 P， 2
以两杆与竖直方向夹角 , 为广义坐标，求相应的