工程水文学_第三章_水文统计

3.1 水文统计的意义及基本概念 3.1.1 水文统计的意义
• 水文现象具有必然性、偶然性（随机性）；
• 利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文的 随机现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统 计规律性； • 以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率意
义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营
如果有n年的水文资料。 1）将按时间顺序排列的实测资料按其数值大小进行递减顺序 的排列。成x1，x2，…xn，对应序号m为1，2，…，n 2）利用公式分别计算对应各个变量的经验频率。 3）以实测资料为变量 x 作为纵坐标，以频率P 为横坐标，在 坐标纸上点绘经验频率点距（Pi，xi），通过点群中心，目 估绘制一条光滑的曲线，该曲线为经验频率曲线。 4）根据工程设计指定的频率，在该曲线上查出设计所需的相 应设计频率的水文数据。
考虑抽样误差．作为总体的规律，应用到工程中
去解决实际问题。
3.1.4 数理统计法对水文资料的要求
• 检查资料的可靠性； • 检查资料的一致性； 要求所使用的资料系列必须是同一类型或者在同一条件下
产生的。如：暴雨洪水和雨雪洪水；瞬时水位和日平均水
位。 • 检查资料的代表性；
一般认为资料系列越长，平丰枯水段齐全，其代表性越高。
将某水文变量f 按递减顺序排列，排列中的序号不仅表示排列大 小的次序，而且也表示变量自大到小(大于或等于)的累积次数。
3.3.3 经验频率曲线的外延
概率格纸
水平：正态曲线的概率分 布制成分格制成的。
非正态曲线：两端曲线坡度 变缓，有利于曲线外延
3.4 随机变量的统计参数
• 统计参数是反映随机变量系列数值大小、变化幅度、对称 程度等情况的数量特征值，因而能反映水文现象基本的统 计规律，概括水文现象的基本特征和分布特点，也是进行 理论频率曲线估计的基础。 • 统计参数有总体统计参数和样本统计参数。在水文学中主 要应用样本统计参数，来估计总体统计参数。 • 水文频率分析主要使用的统计参数包括 均值 变差系数 偏态系数 矩
3.4.1 均值
均值是反映随机变量系列平均情况的数。 • 加权平均法 • 算术平均法 若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑 出现次数的影响，用算术平均法求均值。
1 n x xi n i 1
对于水文系列，一年内只选一个样或者几个样，水文特 征值重复出现的机会很少，一般使用算术平均值， 若系列内出现了相同的水文特征值，将相同值排在一起， 各占一个序号。
3.2.5 设计标准
• 水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法用水文特 征值出现的量值为工程设计的标准。 • 主管部门根据工程的规模、工程在国民经济中的地位以及 工程失事后果等因素，在各种工程设计规范中规定各种水 文特征值的设计频率(或重现期)作为工程设计标准。各地 工程业务部门，根据当地实测的水文资料，通过水文分析 计算，求出对应于设计频率的水文特征值，作为工程设计 的依据。
累积频率曲线。
3.2.4 累积频率和重现期
（1）累积频率和随机变量的关系 • 水文特征值属于连续性随机变量 • 在分析水文系列的概率分布时，不用单个的随机变量（x=xi） 的概率，而是用x≥xi（或者x≤xi ）的概率P（ x≥xi ）（或者P （ x≤xi ））。 • 累计频率指等于或大于（等于或小于）某水文要素出现可能 性的量度。 • 一般在实际应用中，用样本的频率分析曲线代替总体系列的 概率分布。
3.3 经验频率曲线 3.3.1 经验频率公式
我国目前采用的数学期望公式为：
m P 100 % n 1
当m=1时，P=1/（n+1）
当T=100a, 则 T=1/P=n+1=100 m—xm在n项观测资料中按递减顺序排列的序号，即在n次 观测试验中大于或等于xm的次数
3.3.2 经验频率曲线的绘制和应用
• 检查资料的随机性； • 检查资料的独立性。
3. 2 频率和概率 3.2.1概率和频率
（1）频率 指在具体重复的实验中，某随机事件A出现的次数 （频数）m与试验总次数n的比值，即：
m W ( A) n
（2）概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件 的发生率，亦称为机率。根据事件出现的可能性是能够预 先估计出来，可分为事先概率和事后概率：
推求的是 累积频率
均值特性 平均数反映了随机变量的平均水平，代表整个随机变量系 列的水平高低，故又称数学期望。 利用均值可以推求设计频率的水文特征值。 利用均值表示各种水文特征值的空间分布情况，绘制成各 种等值线图。 x 模比系数 K i
i
x
1 n x xi n i 1
K1 K 2 K n 1 n K Ki 1 n n i 1
对于样本系列有下列修正公式：
s n 1
均方差表征的意义：表示分布函数的绝对离散程度。均 方差越大，系列在均值两旁分布越分散，其值变化幅度 越大；反之，依然。 【例】 甲系列：48，49，50，51，52 乙系列：10，30，50，70，90 其均值=50 ；56均值51 其均值=50； 80均值55
P ( H 2.7) ＝W (2.7) W (3.5) W (4.0) 70%
P ( H 2.0) ＝W ( 2.0) P ( H 2.7) 22.5% 70% 92.5%
3.2.3 随机变量的概率分布
• 随机变量与其概率一一对应，这种随机变量与概率一一对 应的关系称为随机变量的概率分布规律简称概率分布 • 随机变量可分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量
设计最大流量： Cv<0.5 Cs=(3~4) Cv
Cv>0.5 Cs=(2~3) Cv
年径流及年降水： Cs=2 Cv
3.5 理论频率曲线
经验频率曲线的缺点： ① 由于实测系列的项数较小，所绘经验频率曲线往往不能 满足推求稀遇频率特征值的要求 ② 目估定线或外延会产生较大的误差。 需要借助某些数字形式的频率曲线作为定线和外延 的依据。通常在实测资料中选取或者算的2~3个有代表性 的特征值作参数，并据此选配一些数学方程作为总体系 列频率密度曲线的假想数学模型，在按一定的方法确定 累积频率曲线。这种用数学形式确定的、符合经验点据 分布规律的的曲线称为理论频率曲线【外延和内插的工 具】 我国水文分析常用到的理论频率曲线有：皮尔逊Ⅲ型曲 线；特殊情况下也可以用指数Γ分布曲线，对数Γ分布 曲线，极值分布曲线，对数正态分布和威布尔分布曲线。
本系列，推求频率作为概率的近似值。
3.2.2 概率运算定律
(1)概率相加定理 • 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件 均不能发生，这类事件称为互斥事件； • 概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率 等于各个事件发生的概率总和。 （2）概率相乘定理 • 独立事件：多个事件中，某一事件的出现并不影响其他事 件的出现。 • 概率相乘定理:几个独立事件一并出现的概率等于各事件 出现概率之积。 （3）条件概率
3.4.3 偏态系数
偏态系数：对系列在均值两旁的对称情况的反映。 表达式（对于样本系列）：
Cs
3 ( x x ) i
( n 3) s
3

3 ( K 1 ) i
( n Leabharlann Baidu 3)C v
3
当Cs=0时，系列在均值两旁对称分布； 当Cs>0属正偏分布； 当Cs<0属负偏分布；
一般认为没有上百年的资料，无法获得比较合理的Cs 值。因此一般在实际计算中往往按照Cs和Cv的经验关系确 定。 设计暴雨量： Cs=3.5 Cv
• 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗 地讲，指在随机试验中测量到的数量。对于水文现象而言， 指某种水文特征值，如某地区流域出口的年径流量和洪峰 流量等。分： – 连续性随机变量，如水位、流量； – 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。
• 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。
3.4.2 均方差和变差系数
要反映整个系列的变化幅度，或者系列在均值两侧分 布的离散程度，需要使用均方差和变差系数。 （1）均方差 2 为了避免一阶离差代数和为0，一般取 ( x x) 的平均值 的开方作为离散程度的计量标准，称为均方差。即：
s
(x
i
x )2
n
2 ( x x ) i
– 事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预 先估计出来，如 投硬币出现正面和反面的机率；
– 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预 先估计出来，必须通过大量的重复试验之后才能估计 出它出现的可能性。
（3）频率与概率的关系（表3.1）
lim W ( A) P ( A)
n
• 频率是经验值，概率是经验值； • 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性； • 样本容量越大，结果越准确； • 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成样
水文统计基本原理及方法
内 容： 3.1 水文统计的意义及基本概念 3.2 频率和概率 3.3 经验频率曲线 3.4 随机变量的统计参数 3.5 理论频率曲线 3.6 抽样误差 3.7 水文频率分析方法 3.8 相关分析 重 点： 水文频率及水文相关分析等水文统计基本知识； 水文频率及水文相关分析等水文统计计算。 难 点： 水文频率及水文相关分析等水文统计计算
• 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 • 样本容量：样本中所含随机变量的项数。
有的现象无法得到总体，例如水文现象。 水文统计：各种水文现象的调查和实测过程当作随机试验，
把已观测到的水文资料当作总体的一个随机样本
（样本应足够大，才能比较好的反应总体的近似情况），
利用数理统计的方法分析样本的统计规律，
【例】 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.2所示，试确 定水位H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
某站水位频率计算 序号 1 2 3 4 5 ∑ 水位H（m） 4.0 3.5 2.7 2.0 1.9 — 2 10 16 9 3 40 5 25 40 22.5 7.5 100 表3.2 5 30 70 92.5 100 — 频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
s 1 Cv x x
( x x)
i
n 1
用模比系数带入上式有：
Cv
2 ( K 1 ) i
n 1
【例】同上一例，计算得Cv甲=0.005, Cv乙=0.33,甲系列在均值两旁要集中， 离散程度小 【例】见教材p50例3.8 【思考】一条河流上、下游断面的年平均流量的 Cv 值哪个大？为什么？
经计算后甲系列的均方差s甲=1.58， s乙=31.4。
甲系列离散程度小，乙系列离散程度大。
例：平均值相同， 均方差不同进行比较。
均方差小的均值代表性好，均 方差大的系列均值代表性差
（2）变差系数 均方差不仅受到系列分布的影响，也与系列的水平有关。 变差系数又称离差系数或者离势系数，是一个系列的均方 差与其均值的比值 2
累积频率
• 样本足够大时，可以绘出累积频 率曲线。 • 在一个确定的随机变量系列内， 各个随机变量对应着一个累积频 率值，随机变量的大小于累积频
率成反比。
• 工程上一般把累积频率为频率。 • 根据选用样本的不同，频率分为 年频率和次频率。
（2）重现期 • 重现期：指等于及大于（或等于及小于）一定数量级的水 文要素出现一次的平均间隔年数，以该量级频率的倒数。 • 当洪峰流量、洪水位、暴雨时，使用的设计频率P﹤50%， 则 T=1/P • 当研究枯水流量、枯水位时，设计频率P常采用大于50% 的值，则 T=1/（1-P）（设计保证率） • 水文现象无固定的周期性。 注意：累积频率是指多年平均出现的机会；重现期则是平均 若干年出现一次，而不是固定的周期。 **年一遇
期间的需要。
3.1.2 事件
• 随机试验：对随机现象的观测 • 事件：随机试验的结果。包括： 1)必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的
事情。
2)不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生 的事情。
3)随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不
发生的事件。
3.1.3 总体、样本、样本容量
离散型随机变量及其概率分布
X P(X=xi)
x1 p1
x2 p2
…… ……
xi pi
…… ……
•
水文学关心随机变量取值大于等于某一定值的概率，即P （X≥xi），而该概率是x的函数 【例3.6】
F ( x ) P ( x xi ) f ( x )dx
xi
• F(X)= P(X≥x) 代表X大于某一取值x的概率，其几何曲线 称为概率分布曲线；如果用实测资料点绘的，水文上称为