高中数学-简单的逻辑联结词练习
1.3简单的逻辑联结词(新)
2.问题2 思考：命题 p∧q的真假如何确定？ 观察下列各组命题，命题p∧q的真假与p、q 的真假有什么联系？ P:12能被3整除； q:12能被4整除； p∧q:12能被3整除且能被4整除；
P:等腰三角形两腰相等； q:等腰三角形三条中线相等； p∧q:等腰三角形两边相等且三条中线相等. P:6是奇数; q:6是素数; p∧q:6是奇数且是素数.
p∨q是真命题 p∧q为真命题
★★1.3.3
1.问题1
非 (not)
思考： 下列两组命题间有什么关系？ （1）35能被5整除； （2）35不能被5整除. （3）方程 x2+x+1=0有实数根； （4）方程 x2+x+1=0无实数根 命题(2)是命题(1)的否定，命题（4）是命题 （3）的否定. 一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个 新命题，记作¬ p，读作“非p”或“p的否定”.
有些命题如含有“……和……”、
“……与……”、“既……，又…..”等词的 命题能用“且”改写成“p∧q”的形式. 例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并 判断它们的真假. （1）1既是奇数，又是素数； （2）2和3都是素数.
解：（1） 1是奇数且1是素数 ， 假命题 （2） 2是素数且3是素数，真命题
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假
﹁p
假 假 真 真
思考：命题P与┐p的真假关系如何？ p与┐p真假性相反 填空：当p为真命题时，则┐p为 假命题；当p为假 命题时，则┐p为 真命题 .
一句话概括： 真假相反
p 真 假
¬ p 假 真
活动探究
探究1：逻辑联结词“非”的含义与集合 中学过的哪个概念的意义相同呢？ 对“非”的理解，可联想到集合中的 “补集”概念，若命题p对应于集合P， 则命题非p就对应着集合P在全集U中的补 集CUP．
高中数学(1.3.2或(or))
p p
q q
例1、判断下列命题的真假： (1) 22； (2) 集合A是AB的子集或是AB的子集；
(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形 全等。 解：(1) 命题“2 2”是由命题 p: 2<2 q: 2=2
用“或”联结构成的命题。即 pq 。 所以命题pq 是真命题。 因为p真、q假，
(2) 集合A是AB的子集或是AB的子集； 解： 命题“集合A是AB的子集或是AB的子集” 是由命题： p:集合A是AB的子集； q:集合A是AB的子集； 用“或”联结后构成新命题，即 pq 因为p假q真，所以命题pq是真命题。
(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角 形全等。
1.3 简单的逻辑联结词
1.3.2 或
思考：下列三个命题间有什么关系?
(1) 27是7的倍数；
(2) 27是9的倍数；来自(3) 27是7的倍数或是9的倍数。 可发现，命题(3)是由命题(1)(2) 使用联结词“或” 联结得到的新命题。
口诀：有真“或”为真。
从并联电路来理解联结词“或”的含义： 仍旧把命题为真看作开关闭合；
命题“周长相等的两个三角形全等 解： 或面积相等的两个三角形全等” 是由命题： p:周长相等的两个三角形全等 q:面积相等的两个三角形全等 用“或”联结后构成的新命题，即pq， 因为p假q假， 所以命题pq假。
练习１、下面命题使用了什么逻辑联结词？ 并判断真假。
(1)78。
(2) x=1是方程x2-1=0的解。 (3) AB 。（其中Ａ={１,２},Ｂ={1,2,3}）
如果pq为真命题，
那么pq一定是真命题吗？ 如果pq 为真命题， 那么pq一定是真命题吗？
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时作业3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件理新人教A版
A．p∧q B．p∨(綈q) C．p∧(綈q)
D．(綈p)∧q
解析 对于命题p，若α∥β，m∥α，则还需m⊄β才能推出m∥β，所以
命题p为假命题，命题綈p为真命题；对于命题q，若m∥α，m∥β，α∩β＝
n，则由线面平行的性质可推出m∥n，所以命题q为真命题，命题綈q为假
命题。所以(綈p)∧q为真命题。故选D。 答案 D
A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x) C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)
解析 由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题， ∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题。故选C。
答案 C
5．已知命题p：∃x0∈R，cosx0＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0。则 下列结论正确的是( )
课时作业(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础过关组 一、选择题 1．下列语句是“p且q”形式的命题的是( ) A．老师和学生 B．9的平方根是3 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分的四边形是矩形
解析 根据逻辑联结词“且”的含义，可知C符合。A不是命题，B， D不是“p且q”形式。故选C。
答案 D
二、填空题 9．命题p的否定是“对所有正数x， ____。
x >x＋1”，则命题p可写为
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对
结论否定即可。 答案 ∃x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1
10．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时 为假命题，则x＝________。
C．0，14
D．0，41
高中数学选修1-1优质学案9：§1.3 简单的逻辑联结词
§1.3简单的逻辑联结词教材新知知识点一逻辑联结词“且”“或”“非”提出问题如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？问题2：乙图中，什么情况下灯亮？问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？导入新知符号含义读法p∧q 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题p∨q 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题p 对一个命题p全盘否定的一个新命题1．“且”含义的理解联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时”等词语等价，表示的是同时具有的意思．2．“或”含义的理解联结词“或”与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价，它有三层含义，如“p或q”表示：要么是p不是q；要么是q不是p；要么是p且q.3．“非”含义的理解联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价.知识点二含有逻辑联结词的命题的真假判断提出问题如“知识点一”中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，p的真与假．问题1：什么情况下，p∧q为真？问题2：什么情况下，p∨q为假？问题3：什么情况下，p为真？导入新知“p∧q”“p∨q”“p”的真假判断p假化解疑难命题“p∧q”“p∨q”“p”真假的记忆(1)对于“p∧q”，简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；(2)对于“p∨q”，简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．常考题型题型一用逻辑联结词联结新命题例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．类题通法用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．活学活用指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)方程2x2＋1＝0没有实数根；(2)12能被3或4整除．题型二含有逻辑联结词的命题的真假判断例2分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；(2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立．类题通法1．命题结构的两种类型及判断方法(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．2．判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“p”；(2)对命题p和q的真假作出判断；(3)由“p∧q”“p∨q”“p”的真假判断方法给出结论．活学活用分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；(3)A(A∪B)．题型三根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围例3已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围． 类题通法解决此类问题的方法，一般是先假设p ，q 分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p ，q 中参数的范围不易求出时，也可以利用p 与p ，q 与q 不能同真同假的特点，先求p ，q 中参数的范围．活学活用对命题p ：1是集合{x |x 2＜a }中的元素；q ：2是集合{x |x 2＜a }中的元素，则a 为何值时，“p 或q ”为真？a 为何值时，“p 且q ”为真？随堂即时演练1．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，下面使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( ) A ．(0，－3) B ．(1,2) C ．(1，－1)D ．(－1,1)2．已知命题p ：设x ∈R ，若|x |＝x ，则x >0，命题q ：设x ∈R ，若x 2＝3，则x ＝3，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(p )∧qD ．(p )∨q3．命题p ：2∉{1,3}，q ：2∉{x |x 2－4＝0}，则命题p ∧q ：2∉{1,3}且2∉{x |x 2－4＝0}是________(填“真”或“假”)命题，命题p ∨q ：____________，是________(填“真”或“假”)命题．4．若p ：不等式ax ＋b ＞0的解集为xx ＞－ba ，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，且“p ∧q ”为真命题，则a ，b 满足__________． 5．判断下列命题的真假：(1)函数y＝cos x是周期函数并且是单调函数；(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解．——★参考答案★——教材新知知识点一逻辑联结词“且”“或”“非”提出问题问题1：提示：开关p闭合且q闭合．问题2：提示：开关p闭合或q闭合．问题3：提示：开关p不闭合时．导入新知p且qp或q非p或p的否定知识点二含有逻辑联结词的命题的真假判断提出问题问题1：提示：当p真，q真时．问题2：提示：当p假，q假时．问题3：提示：当p假时．常考题型题型一用逻辑联结词联结新命题例1解：(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．活学活用解：(1)是“p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．(2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二含有逻辑联结词的命题的真假判断例2解：(1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．p：等腰梯形的对角线不相等，假命题．(2)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．活学活用解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x ＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p真，则“p”假，所以该命题是假命题.题型三根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围 例3 解：“p 或q ”为真命题，则p 为真命题或q 为真命题． 当p 为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＞0x 1x 2＝1＞0，，解得m ＜－2； 当q 为真命题时， 有Δ＝16(m ＋2)2－16＜0， 解得－3＜m ＜－1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 活学活用解：若p 为真，则1∈{x |x 2＜a }， 所以12＜a ，即a ＞1；若q 为真，则2∈{x |x 2＜a }，即a ＞4. 若“p 或q ”为真，则a ＞1或a ＞4，即a ＞1； 若“p 且q ”为真，则a ＞1且a ＞4，即a ＞4. 随堂即时演练 1．[答案]C[解析]使“p ∧q ”为真命题的点即为直线y ＝2x －3与抛物线y ＝－x 2的交点． 2．[答案]D[解析]由|x |＝x 应得x ≥0而不是x >0，故p 为假命题；由x 2＝3应得x ＝±3，而不只有x ＝3，故q 为假命题．因此p 为真命题，从而(p )∨q 也为真命题．3．[答案]假 2∉{1,3}或2∉{x |x 2－4＝0} 真 [解析]命题p ：2∉{1,3}是真命题． 因为{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，所以命题q ：2∉{x |x 2－4＝0}是假命题． 4．[答案]0＜a ＜b[解析]因为命题“p ∧q ”为真命题，所以p 、q 均为真命题，于是a ＞0，且a ＜b .5．解：(1)由p ：“函数y ＝cos x 是周期函数”，q ：“函数y ＝cos x 是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p ∧q .因为p 是真命题，q 是假命题，所以p ∧q 是假命题．(2)由p ：“x ＝2是方程x 2－4＝0的解”，q ：“x ＝－2是方程x 2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p ∨q .因为p ，q 都是真命题，所以p ∨q 是真命题．。
人教A版高中数学选修2-1课件【6】简单的逻辑联结词
) B．(綈 p)∨q
C ． p∧ q
D．p∨q
1 解析： 因为 f(x)＝sinxcosx＝2sin2x， 所以命题 p 为真命题． 又 因为
π g(x)＝sinx＋2＝cosx，所以 π g(x)＝sinx＋2的图象关于
y轴
对称，所以命题 q 为假命题，所以命题 p∨q 为真命题．
3 5 a≤ 或a≥ ， 5 2 2 若 p 假，q 真，则 得2≤a≤4； 2≤a≤4， 3 5 综上，实数 a 的取值范围为 ＜a＜2 或 ≤a≤4. 2 2
12．已知命题 A：函数 f(x)＝x2－4mx＋4m2＋2 在区间[－1,3] 上的最小值为 2； 命题 成立； 命题 C：{x|m≤x≤2m＋1}⊆{x|x2－4≥0}．
解析：由于将点(－1,1)代入 y＝loga(ax＋2a)成立，故 p 真； 由 y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，知 y＝f(x－3)的图象关于(6,0)对 称，故 q 假．
答案：C
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7．已知 p(x)：x2＋2x－m＞0，若 p(1)是假命题且 p(2)是真命 题，则实数 m 的取值范围是________．
解析：由已知，p 和 q 都是真命题，
m＜0， ∴ 2 Δ＝m －4＜0，
∴－2＜m＜0.
答案：D
5．已知命题 p：函数 f(x)＝sinxcosx 的最小正周期为 π；命 题 q：函数
π g(x)＝sinx＋2的图象关于原点对称，则下列命题中
为真命题的是( A．綈 p
答案：[1,2)
1 9．已知命题 p：x ＋2x－3＞0，命题 q： ＞1，若綈 q 3－x
2
且 p 为真，则 x 的取值范围是__________．
人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：05【基础】简单的逻辑联结词
1简单的逻辑联结词【学习目标】1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2. 会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判断命题的真假.【要点梳理】要点一、逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”。
规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题； 当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题。
要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。
若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p ∧q 的真与假。
（2）与集合中的交集类比 交集{|}AB x x A x B =∈∈且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念。
要点二、逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”。
规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题。
要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。
若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p ∨q 的真与假。
（2）与集合中的并集类比 并集{|}AB x x A x B =∈∈或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念。
（3）“或”有三层含义，以“p 或q ”为例： ①p 成立且q 不成立； ②p 不成立但q 成立； ③p 成立且q 也成立。
要点三、逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p 或p 的否定”。
规定：当p 是真命题时，p ⌝必定是假命题； 当p 是假命题时，p ⌝必定是真命题。
1.3简单的逻辑联结词
命题q：指数函数f ( x ) (5 2m) 是增函数.若“p q”为真，求 实数m的取值范围.
x
m 1
新知拓展
已知p：方程x mx 1 0有两个不等
2
负实根；q：方程4 x 4(m 2) 1 0
2
无实根，若p q为真，p q为假，求 m的取值范围.
q 真 假 真 假
p ∧q 真 真 假 真 假 真 假
一 假 则 假
当p、q都是真命题时，p∧q为真命题；
当p、q中有一个是假命题时，p∧q为假命题.
例题讲解
例1 将下列命题用“且”联结成新命题， 并判断它们的真假： （1）p：平行四边形的对角线互相平分， q：平行四边形的对角线相等； （2）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分； （3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
m 3或1 m 2
探究（一）：逻辑联结词“非” 思考1：下列各组语句是命题吗？它们之间 有什么关系？并判明真假. 真 （1）35能被5整除， 35不能被5整除； 假 （2）函数y＝lgx是偶函数， 假 函数y＝lgx不是偶函数； 真 （3）|a|≥0， 真 | a| ＜ 0 ； 假 （4）方程x2－4＝0无实根， 假 2 方程x －4＝0有实根. 真
既不充分也不必要
课堂练习 2 2. 方程 ax bx c 0(a 0) 有实数根是 ac 0 的_________ 必要不充分 条件.
x y 4 x 2 必要不充分 3. 是 的_________条件. xy 4 y 2
课堂练习
1 0, 4.已知 p : x 3x 2 0 , q : 2 x x6
例题讲解
高中数学课时达标训练(3) 简单的逻辑联结词
课时跟踪训练(三) 简单的逻辑联结词1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是________．2．由命题p：6是12的约数,q：6是24的约数,构成的“p或q”形式的命题是_________________________________________________________________________,“p且q”形式的命题是____________________________________________________,“非p”形式的命题是______________________________________________________．3．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是_____________________,否命题是__________________________________________________________________．4．若p是真命题,q是假命题,则下列说法错误的是________．①p∧q是真命题②p∨q是假命题③綈p是真命题④綈q是真命题5．已知命题p：若a>1,则a x>log a x恒成立；命题q：在等差数列{a n}中,m＋n＝p＋q是a m＋a n＝a p＋a q 成立的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*),则下面为真命题的是________．①(¬p)∧(¬q)；②(¬p)∨(¬q)；③p∨(¬q)；④p∧q.6．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)12可以被3或4整除；(2)3是12和15的公约数．7．写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0,则实数m,n,a,b全为零；(3)若xy＝0,则x＝0或y＝0.8．写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题,并判断它们的真假．(1)p：5是有理数,q：5是整数；(2)p：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞,－1),q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(3,＋∞)．答案1．解析：正方形的两条对角线互相垂直并且平分,是p且q的形式．答案：p且q2．6是12或24的约数6是12的约数且是24的约数6不是12的约数3．解析：命题的否定仅否定结论,所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论,所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除4．解析：p是真命题,则¬p是假命题．q是假命题,则¬q是真命题．故p∧q是假命题,p∨q是真命题．答案：①②③5．解析：当a＝1.1,x＝2时,a x＝1.12＝1.21,log a x＝log1.12>log1.11.21＝2,此时,a x<log a x,故p为假命题．命题q,由等差数列的性质,当m＋n＝p＋q时,a n＋a m＝a p＋a q成立,当公差d＝0时,由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m＋n＝p＋q成立,故q是真命题．故¬p是真命题,¬q是假命题,所以p∧q为假命题,p∨(¬q)为假命题,(¬p)∧(¬q)为假命题,(¬p)∨((¬q)为真命题．答案：②6．解：(1)这个命题是“p或q”的形式,其中p：12可以被3整除；q：12可以被4整除．(2)这个命题是“p且q”的形式,其中p：3是12的约数；q：3是15的约数．7．解：(1)否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0,则实数m,n,a,b不全为零；否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0,则实数m,n,a,b不全为零．(3)否定形式：若xy＝0,则x≠0且y≠0；否命题：若xy≠0,则x≠0且y≠0.8．解：(1)p或q：5是有理数或5是整数；p且q：5是有理数且5是整数；非p：5不是有理数．因为p假,q假,所以p或q为假,p且q为假,非p为真．(2)p或q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞,－1)或不等式x2－2x－3＞0的解集是(3,＋∞)；p且q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞,－1)且不等式x2－2x－3＞0的解集是(3,＋∞)；非p：不等式x2－2x －3＞0的解集不是(－∞,－1)．因为p假,q假,所以p或q假,p且q假,非p为真．。
高中数学第一章常用逻辑用语1_3简单的逻辑联结词课时自测新人教A版
1.3 简单的逻辑联结词1.已知p:2+2=5,q:3≥2,则下列判断中,错误的是( )A.p或q为真,非q为假B.p或q为真,非p为真C.p且q为假,非p为假D.p且q为假,p或q为真【解析】选C.对于命题p:2+2=5,是假命题;对于q:3≥2,是真命题.所以p∨q为真命题,p∧q是假命题,¬p为真命题,¬q为假命题.所以C判断错误.2.已知条件p:|x+1|>2,条件q:5x-6>x2,则¬p是¬q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为p:|x+1|>2,所以x>1或x<-3,因为q:5x-6>x2,所以2<x<3,所以q⇒p,所以¬p⇒¬q,所以¬p是¬q的充分不必要条件.3.设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是( )A.p为真B.¬q为假C.p∧q为假D.p∨q为真【解析】选C.由函数y=sin2x的最小正周期为π可知命题p是假命题;由函数y=cosx的图象关于直线x=k π(k∈Z)对称可知命题q是假命题,所以p∧q为假命题.4.已知p:不等式ax+b>0的解集为,q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a<x<b}.若“p∨q”是假命题,则a,b满足的条件是________.【解析】因为p∨q为假命题,所以p,q均为假命题.p假⇔a≤0,q假⇔a≥b,则b≤a≤0.答案:b≤a≤05.分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题的真假.(1)p:3是9的约数,q:3是18的约数.(2)p:菱形的对角线相等,q:菱形的对角线互相垂直.(3)p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同,q:方程x2+x-1=0的两实根绝对值相等.(4)p:π是有理数,q:π是无理数.【解析】(1)因为p是真命题,q是真命题,所以p∨q是真命题,p∧q是真命题,¬p是假命题.(2)因为p是假命题,q是真命题,所以p∨q是真命题,p∧q是假命题,¬p是真命题.(3)因为p是假命题,q是假命题,所以p∨q是假命题,p∧q是假命题,¬p是真命题.(4)因为p是假命题,q是真命题,所以p∨q是真命题,p∧q是假命题,¬p是真命题.。
高中数学 专题1.3 简单的逻辑联结词(1)练习(含解析)新人教A版选修2-1(2021年整理)
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简单的逻辑联结词（1）一、选择题1．下列命题：①5>4或4〉5；②9≥3;③“若a〉b,则a＋c>b＋c”；④“菱形的两条对角线互相垂直"．其中假命题的个数为（）A．0 B．1C．2 D．3［答案］A［解析］①②都是“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为真命题，故选A. 2．下列命题：①方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；②周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；③集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是（)A．0 B．1C．2 D．3［答案］ C3．在△ABC中，“AB，→·错误!＝错误!·错误!"是“|错误!|＝｜错误!｜”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案］C［解析］如图，在△AB C中,过C作CD⊥AB，则｜错误!｜＝|错误!｜·cos∠CAB,｜错误!｜＝｜错误!｜·cos∠CBA，错误!·错误!＝错误!·错误!⇔|错误!|·|错误!|·cos∠CAB＝|错误!|·|错误!｜·cos∠CBA⇔｜错误!｜·cos∠CAB＝｜错误!｜·cos∠CBA⇔｜错误!|＝|错误!｜⇔｜错误!|＝｜错误!｜，故选C.二、填空题4．“2≤3"中的逻辑联结词是________，它是________命题．（填“真”,“假”）[答案］或真5．若“x∈[2,5］或x∈｛x｜x〈1或x>4｝”是假命题，则x的范围是____________．[答案］［1,2）解析x∈[2,5]或x∈（－∞，1)∪（4，＋∞），即x∈(－∞,1）∪［2，＋∞），由于命题是假命题，所以1≤x<2，即x∈［1,2)．三、解答题6．已知命题p:方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－2错误!x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q"形式的复合命题,并指出其真假．。
简单的逻辑联结词
注：“命题的否定”与“否命题”的 区别
结论:
若p则q的否命题为若 条件与结论都否定;
p 则
q ;即
若p则q的否定为若p则 q,只否定结论. 原命题与它的否命题真假性无关, 而原命题与它的否定真假性相反.
常用的 正面叙述词语及其否定：
正面 词语 大于 小于 (<) 是 （>） 小于或 大于或 否定 不等于 等于 等于（≥）不是 （≤） 等于 都是
（2）p：9是质数；q：{1} {1,2}
（3）p： {0}，q： {0}
(4) p:1 {1,2};
3
q:{1} {1,2}
( 5 ) P : 函数 y x 是奇函数。 q : 函数 y x 是增函数。
3
逻辑联结词——“或”
一般地，用联结词“或”把命题p和命 一真即真 题q联结起来，就得到一个新命题， 记作p ∨ q，读作“p或q” p：10可以被3整除 q：10可以被5整除 p∨q：10可以被3或5整除
引例： 判断下列命题的真假
(1)菱形的对角线互相垂直且平分 (2)10可以被3或5整除 (3)0.5非整数 “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑 联结词
在数学中常常要使用逻辑联结词
“或”、“且”、“非”，它们与日常生 活中这些词语所表达的含义和用法是不尽 相同的，下面我们就分别介绍数学中使用 联结词“或”、“且”、“非”联结命题 时的含义与用法。
p 真
真 假 假
q 真
假 真 假
p且q 真
假 假 假
口诀：一假即假
逻辑联结词的集合语言解释
或
两者至少有一个
并集
且
两者同时兼有
交集
非
高三数学简单的逻辑联结词试题
高三数学简单的逻辑联结词试题1.已知命题p：x∈A∪B，则非p是（）A．x不属于A∩BB．x不属于A或x不属于BC．x不属于A且x不属于BD．x∈A∩B【答案】C【解析】由x∈A∪B知x∈A或x∈B．非p是：x不属于A且x不属于B．答案：C2.下列说法正确的是（）A．“”是“函数是奇函数”的充要条件B．若，，则，C．若为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【答案】D【解析】对（A）：如果，函数不一定是奇函数.故错.对（B）：，，那么，.故错.对（C）：若为假命题，则p，q至少有一个为假命题.故错.对（D）：“若，则”的否命题是“若，则”，正确.【考点】逻辑与命题.3.已知命题p：m<0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是A．[－2，0]B．(0，2)C．(－2，0)D．(－2，2)【答案】C【解析】由∀x∈R，x2＋mx＋1>0成立，Δ＝m2－4<0，所以－2<m<2.因为“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，故，即－2<m<0.4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q【答案】A【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”,应表示为(p)∨(q).故选A.5.已知命题p:若a>1,则a x>loga x恒成立;命题q:等差数列{an}中,m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不必要条件(其中m,n,p,q∈N*).则下面选项中真命题是() A．(p)∧(q)B．(p)∨(q) C．(p)∧q D．p∧q【答案】D【解析】同一坐标系内作出y1=a x,y2=logax(a>1)的图象可知p为真命题.命题q.若m+n=p+q,则an +am=ap+aq成立.反之,若{an}为常数列,则an+am=ap+aq⇒/ m+n=p+q,故q为真命题.∴p∧q为真命题.故选D.6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是() A．(p)∨q B．p∧qC．(p)∧(q)D．(p)∨(q)【答案】D【解析】不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,结合选项只有(p)∨(q)为真命题.7.已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数图象可知: 命题为假命题，命题真命题，所以为真命题.【考点】1.函数图像；2.命题真假的判断；3.逻辑连结词.8.已知命题：函数恒过（1,2）点；命题：若函数为偶函数，则的图像关于直线对称，则下列命题为真命题的是A．B．C．D．【答案】B【解析】1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x-1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x-1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=-1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B【考点】复合命题的真假点评：主要是考查了复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断9.（本题满分12分）,(1)若命题T为真命题，求c的取值范围。
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§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定1．判断下面结论是否正确(请在括号打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)2n>1 000，则綈p：∃n∈N,02n≤1 000.(×)(2)已知命题p：∃n0∈N,0(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．(×)(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√) 2．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是()A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∨綈qD ．綈p ∧綈q答案 B解析 p 是假命题，q 是真命题， ∴綈p ∧q 是真命题．3．(2013·)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D解析 因为“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，綈p (x )”，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．4．(2013·)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定围”，q 是“乙降落在指定围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q ) B. p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A解析 “至少有一位学员没有落在指定围”＝“甲没有落在指定围”或“乙没有落在指定围”＝(綈p )∨(綈q )．5．若命题“∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值围是________． 答案 [－4,0]解析 “∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则“∀x ∈R ，x 2－mx －m ≥0”是真命题．即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴－4≤m ≤0.题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断例1 命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”为真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0思维启迪 先判断命题p 、q 的真假，然后利用真值表判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 的真假． 答案 B解析 函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位后，所得函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， ∴命题p 是假命题．又y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2＝π，∴命题q 真．由此，可判断命题“p ∨q ”真，“p ∧q ”假，“綈p ”为真． 思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假．(1)若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x－1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题(2)“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的________条件． 答案 (1)D (2)必要不充分解析 (1)因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)， 所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)， 所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D. (2)若命题“p 或q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题． 若命题“p 且q ”为真命题，则p 、q 都为真命题，因此“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件． 题型二 全(特)称命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.思维启迪 否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．解 (1)綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． (4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． 思维升华 (1)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． ②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 (2)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．是( )A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1 答案 (1)C (2)C解析 (1)綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0. (2)利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用例3 (1)(2013·名校联考)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(2)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值围是__________．思维启迪 利用含逻辑联结词命题的真假求参数围问题，可先求出各命题为真时参数的围，再利用逻辑联结词的含义求参数围． 答案 (1)A (2)[e,4]解析 (1)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.(2)若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x, 得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.思维升华 以命题真假为依据求参数的取值围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．(1)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值围是 ( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}(2)命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值围为________． 答案 (1)A (2)[－22，22]解析 (1)由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1.(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即－22≤a ≤2 2.借助逻辑联结词求解参数围典例：(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，数c 的取值围． 思维启迪 (1)p 、q 都为真时，分别求出相应的a 的取值围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的取值围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假． 规解答解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.[2分] 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分]又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.[5分]又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．[6分]①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[8分] ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.[10分]综上所述，实数c 的取值围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[12分]第一步：求命题p 、q 对应的参数的围． 第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题 “p 且q ”或“p 或q ”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的围． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规．温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”． 失误与防1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可；p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真．2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q . 3．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是 ( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．2．(2013·)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D.3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．綈p ∨qB ．p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．綈p ∨綈q 答案 D解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为真命题．4．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中(其中公差d ≠0)，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面选项中真命题是 ( )A ．綈p ∧綈qB ．綈p ∨綈qC ．綈p ∨qD ．p ∧q答案 B 解析对于命题p ，如图所示，作出函数y ＝a x (a >1)与y ＝log a x (a >1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a >1时，函数y ＝a x 的图象在函数y ＝log a x 图象的上方，即当a >1时，a x >log a x 恒成立，故命题p 为真命题．对于命题q ，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充要条件，故命题q 为假命题．∴命题綈p 为假，綈q 为真，故綈p ∨綈q 为真． 5．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 D ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x >sin x 答案 B解析 对于选项A ， ∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， ∴此命题为假命题；对于选项B ，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0， ∴此命题为真命题；对于选项C ，∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， ∴此命题为假命题；对于选项D ，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x <0<sin x ， ∴此命题为假命题．故选B. 6．下列结论正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p 是q 的必要条件”知，q 可推知綈p ，则p 可推知綈q (注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p 是綈q 的充分条件，②正确；对于③，由M >N 不能得到⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N，因此③是错误的．故选C. 二、填空题7．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________． 答案 綈p 、綈q解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真． 8．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧綈q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③. 9．写出下列命题的否定，并判断真假： (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|>0.解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．10．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值围． 解 由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12， 若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值围是0<c ≤12； 当p 假q 真时，c 的取值围是c ≥1.综上可知，c 的取值围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1．下列命题中的假命题是 ( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 答案 B解析 A 正确；对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，错误； 对于C ，当x ∈(0,1)时，lg x <0<1，正确；对于D ，∃x ∈R ，tan x ＝2，正确． 2．设有两个命题，p ：不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值围是( )A ．1≤a <2B ．2<a ≤73C ．2≤a <73 D ．1<a ≤2 答案 A解析 记A ＝{a |不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R }； B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}．由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a <1}． 又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数， 故7－3a >1，即a <2，所以B ＝{a |a <2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]， 而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，(∁R B )∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅，因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)，故选A.二、填空题3．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值围是__________．答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.4．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)解析 根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}，对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝－12－4a ×a ≤0，解得a ≥12. 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝{a |a ≥12}．由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩{a |a <12}＝{a |0<a <12}；当p 假q 真时，a 的取值围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩{a |a ≥12}＝{a |a ≥1}．综上，a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)． 5．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值围．解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a的取值围为{a|a>2或a<－2}．。
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高中数学-简单的逻辑联结词练习
课时达标训练
1.命题“2017≥2016”使用逻辑联结词的情况是( )
A.使用了逻辑联结词“或”
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“非”
D.以上都不对
【解析】选A.符号“≥”读作大于或等于,使用了逻辑联结词“或”.
2.如果命题“p∨q”为假命题,则( )
A.p、q均为假命题
B.p、q中至少有一个真命题
C.p、q均为真命题
D.p、q中只有一个真命题
【解析】选A.由真值表可以直接判断,也可逆向思维,若p,q中至少有一个真命题,则“p∨q”为真命题,从而选A.
3.对于命题p和q,若p且q为真命题,则下列四个命题:
①p或¬q是真命题;
②p且¬q是真命题;
③¬p且¬q是假命题;
④¬p或q是假命题.
其中真命题是( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
【解析】选C.因为p且q为真命题,所以p为真,q为真,¬p为假,¬q为假,所以p或¬q为真,¬p 且¬q为假,故选C.
4.若p:不等式ax+b>0的解集为,q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a<x<b},且“p∧q”为真命题,则a,b满足________.
【解析】因为命题“p∧q”为真命题,所以p,q均为真命题,
于是a>0,且a<b.
答案:0<a<b
5.判断下列命题的真假:
(1)函数y=cosx是周期函数并且是单调函数.
(2)x=2或x=-2是方程x2-4=0的解.
【解析】(1)由p:“函数y=cosx是周期函数”,q:“函数y=cosx是单调函数”,用联结词“且”联结后构成命题p∧q.
因为p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.
(2)由p:“x=2是方程x2-4=0的解”,q:“x=-2是方程x2-4=0的解”,用“或”联结后构成命题p∨q.因为p,q都是真命题,所以p∨q是真命题.。