空间向量在立体几何中的应用(重点知识+高考真题+模拟精选)

空间向量在立体几何中的应用

【重要知识】

•、求平面法向量的方法与步骤:

1选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，女口AB,AC

2、设坐标：设平面法向量的坐标为n (x, y,z)

n AB 0

3、解方程：联立方程组，并解方程组

n AC 0

4、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。设定某个坐标为常

数得到其他坐标

二、利用向量求空间角：

1求异面直线所成的角：

设a,b为异面直线，点A,C为a上任意两点，点B, D为b上任意两点，a, b所成的角

AC BD

为，则cos

AC BD

【注】由于异面直线所成的角的围是：0 90，因此cos 0

2、求直线与平面所成的角：

设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n

a n

所成的角为，贝U sin cos ——-

a n

【注】由于直线与平面所成的角的围是：0 90，因此sin 0

3、求二面角：

b & L I

设mg分别为平面，的法向量，二面角I 为，则m,门 2 或

-4 -

---- 门1压

n!,n2，其中cos n仆n? + 一・

□ 压

三、禾U用向量求空间距离：

1求点到平面的距离

* 丨

- AB n 设平面的法向量为n , A , B ，则点A到平面的距离为一一

2、求两条异面直线的距离

设I i,l2是两条异面直线，n是公垂线段AB的方向向量，C,D分别为|门2上的任意两点，

_CD ni

则h与l2的距离为AB I I

【重要题型】

1、（2012,理）如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，点E在线段PC上，PC 平面BDE

（1）证明：BD 平面PAC

（2 ）若PA 1,AD 2，求二面角B PC A的正切值

2、(2013，理)如图①，在等腰三角形ABC中，A 90 , BC 6 , D, E分别是AC, AB

上的点，CD BE 2 , O为BC的中点。将ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A BCDE，其中AO ,3。

(2)求二面角A CD B的平面角的余弦值

(1)证明：A O 平面BCDE

3、(2009，理)如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F,G分别是棱C1D1、AA的中点，设E i, G i分别是点E,G在平面DCCQ的正投影。

(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC i D i的正投影为底面边界的棱锥的体积；

(2) 证明：直线FG j 平面FEE1；

3、(2009，理)如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1 (3) 求异面直线E J G J与EA所成角的正弦值。

4、( 2013课标，理)如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，D,E分别是AB, BB i的中点, AA i AC CB

(1)证明：BC1 // 平面A1CD ；

(2 )求二面角D A1C E的正弦值.

5、( 2012,理)如图，直三棱柱ABC ABC , BAC 90 , AB AC AA，点M,N 分别为AB和B C的中点

(1)证明：MN // 平面 A ACC ；

(2)若二面角A

*

MN C为直二面角，求的值.

6、（2010,理）已知三棱锥P ABC 中，PA 平面ABC , AB AC , PA AC - AB ,

2 N为AB上一点，AB 4AN , M ,S分别为PB, BC的中点。

(1) 证明：CM SN ;

(2) 求SN与平面CMN所成角的大小

7、(2010,理)如图，是半币：径为a的半圆，AC为直径，点E为的附中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB FD .5a , FE . 6a

(1)证明：EB FD ；

好是AC中点，又PA AB 4 , CDA 120°，点N在线段PB上，且PN 2 .

(1)求证：BD PC ;

(2)求证：MN//平面PDC；

(3 )求二面角A PC B的余弦值.

【参考答案】

1、( 1)证明：

PA 平面 ABCD , BD 平面 ABCD , PA BD

又 PC 平面 BDE , BD 平面 BDE , PC BD

PA PC P , BD 平面 PAC (2)解：

BD 平面 PAC , AC 平面 PAC , BD AC

矩形ABCD 是正方形

建立如图所示的坐标系 A xyz ，则

A(0,0,0)，P(0,0,1)，C(2,2,0)，B(2,0,0)

AP (0,0,1)，AC (2,2,0) BP ( 2,0,1)，BC (0,2,0)

设平面PAC 的一个法向量为n 1 (x 1, y 1, z 1)

AP n 1

0 z 1

则

1

，即1

AC n 1

0 2x 1

2y 1

令冷1,则 y 1 1,乙 0 ,即 n 1 (1, 1,0) 设平面PBC 的一个法向量为n 2 (x 2, y 2, z 2)，

tan 3

2、( 1)证明：连接OD,OE

由图①得，OC 3, AC 3,2, AD 2 2 在 OCD 中，由余弦定理可得，

BC 则

n

2

，即

y 2 0

BP n 2 0

2x 2 z 2

令X 2

1，则y

0,Z 2

2，即

(1,0,2)

丄

l J

n 1 n ? 1

cos m,门2

-

n 1 n 2

J 5

10

A 的大小为

设二面角B PC

，则 cos

10 10

sin

3 10 10