函数图象的平移,对称,翻折,伸缩变换..
函数图象变换和零点
函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数的图像
结束
角度一 确定方程根的个数
角度二 求参数的取值范围
角度三 求不等式的解集
结束
角度一 确定方程根的个数
1．(2014· 日照一模)已知
|lg x|，x>0， f(x)＝ |x| 2 ，x≤0，
则函数 y＝2f (x)
第四节
1．利用描点法作函数图像
函数的图像
结束
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数 的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④列表(尤其注意特 殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； ⑤描点，连线．
结束
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换：
4.已知函数 f(x)的图像如图所示，则函数 g(x)＝ log 2 f(x)的定义域是________．
5．设函数 f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的 x∈R， 不等式 f(x)≥g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
结束
3．函数 f(x)＝2ln x 的图像与函数 g(x)＝x －4x＋5 的图像的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 ( )
结束
关于y轴对称 y＝f(x)――――――→y＝f(－x) ；
－ f(－ 关于原点对称 y＝f(x)――――――→y＝ ．
(4)翻折变换：
x)
去掉y轴左边图，保留y轴右边图 y＝f(x)――――――――――――――――→y＝f(|x|)； 将y轴右边的图像翻折到左边去
留下x轴上方图 y＝f(x)――――――――――――→y＝|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
函数图象的四大变换
你会利用图象的直观性来解决问题吗？
函数图象的四大变换
平移
翻折
对称 伸缩
一、知识点及基本方法
1、画函数图象的依据：⑴解析式及定义域；⑵图象变换
2、图象变换类型：常用变换方法有四种，即平移变换、 伸缩变换、对称变换 和翻折变换
(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移
y=f(x)
x
x－h ( h > 0 )
练习2：
已知 f(x)=log2|x|, g(x)=－x2+2，则f(x)g(x)的图象
只能是下图中的( )
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D，
当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
(3)伸缩变换：
y=f(x)
x
ωx (ω>1)
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍 ω
y=f(x)
x
ωx ( 0 < ω < 1)
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1倍 ω
y=f(x)
纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1) 到原来的A倍，横坐标不变
y=f(ω x) y=f(ω x)
y= A f( x)
y
y
y
O
1x -1
-1 O
函数图象变换
y
y = 2|x-1|
把 y = 2|x| 图象向右平移1个单位 得到函数 y = 2|x-1| 的图象. 由图象知函数的对称轴为 x=1 ，
0
x
函数的单调增区间为 [1 ，+∞)， 单调减区间为 (-∞，1].
函数图象的四大变换之
对称变换
1 例6设f(x)= (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=x
∴ y = 2|x| 图象关于y轴对称.
y = 2|x|
0
x
例5.
先作出函数 y = 2|x| 的图象， 解： 2 x ••• x 0) x ( 2 •• x 0) ( | x| y 2 x 1 x 2 ( x 0) ( ) ( x 0) 2 又 y = 2|x| 是偶函数，
f(-x)的解析式及其定义域并分别作出它们的图象。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 称 变 换
图象关于 x轴对称
图象关于
图象关于
原点对称
y轴对称
例7.指数函数 y = 2x 的图象与函数 y = 2-x ，y=-2x ，y = -2-x 的图象的关系：
x 3
(3，4) 3 图象恒过定点 _________.
3 图象是由 y a 3
沿 x 轴向右平移 3 个单位，再
沿 y 轴向上平移 3 个单位所得 .
又 y a 图象过定点 0 ， ， （ 1 ）
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
高中函数图像变换教学设计
高中函数图像变换教学设计引言：函数图像变换是高中数学中的重要内容，它对于学生理解函数的性质和掌握函数图像的基本形态具有至关重要的作用。
本文将从教学设计的角度，探讨如何有效地教授高中函数图像变换的知识和技巧，以提高学生的学习成效。
一、教学目标本节课的教学目标设定如下：1. 学生能够理解函数图像的平移、伸缩、翻折和对称性变换。
2. 学生能够利用函数的一般式进行图像的变换和绘制。
3. 学生能够运用图像变换的知识解决实际问题。
二、教学内容本节课的教学内容包括以下几个方面：1. 函数图像的平移变换：横向平移和纵向平移。
2. 函数图像的伸缩变换：横向伸缩和纵向伸缩。
3. 函数图像的翻折变换：关于x轴的翻折和关于y轴的翻折。
4. 函数图像的对称性变换：关于原点的对称和关于其他点的对称。
5. 利用函数的一般式进行图像变换和绘制。
6. 运用图像变换的知识解决实际问题。
三、教学过程为了达到教学目标，本节课的教学过程分为以下几个环节：1. 激发兴趣：通过展示一些有趣的函数图像变换的实例，引导学生思考函数图像变换的规律和性质，激发他们的学习兴趣。
2. 知识授予：介绍函数图像的平移变换、伸缩变换、翻折变换和对称性变换的概念和基本性质，并通过实例进行详细讲解和演示。
3. 练习巩固：设计一些练习题，让学生通过计算和图像绘制来巩固所学知识，并及时给予反馈和指导。
4. 运用实际：设计一些与实际问题相关的图像变换的应用题，让学生将所学知识应用到实际情境中，培养他们的问题解决能力和创新思维。
5. 总结归纳：对本节课所学内容进行总结，并引导学生发现知识之间的联系和共性，并指导他们如何将图像变换的知识与函数性质相结合。
6. 作业布置：留下一些作业题，让学生独立完成，将所学知识运用到实际问题中，以检验他们的学习效果。
四、教学评估为了评估学生的学习情况，可以采用以下几种方式进行评估：1. 提问评估：在课堂上提出一些与图像变换相关的问题，让学生逐个回答，以检验他们对知识的理解程度。
函数图像的伸缩变换规则
函数图像的伸缩变换规则
一、伸缩变换规则
伸缩变换是一种函数图像变换，它可以改变函数图像的大小，但不改变其形状。
伸缩变换的规则如下：
1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，而不改变其形状。
2. 缩放变换：缩放变换是指将函数图像在坐标轴上按比例缩放，而不改变其形状。
3. 旋转变换：旋转变换是指将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，而不改变其形状。
4. 对称变换：对称变换是指将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，而不改变其形状。
二、伸缩变换的具体操作
1. 平移变换：平移变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的平移方向；
（2）确定函数图像的平移距离；
（3）将函数图像按照确定的平移方向和平移距离进行平移变换。
2. 缩放变换：缩放变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按比例缩放，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的缩放比例；
（2）将函数图像按照确定的缩放比例进行缩放变换。
3. 旋转变换：旋转变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的旋转角度；
（2）将函数图像按照确定的旋转角度进行旋转变换。
4. 对称变换：对称变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的对称轴；
（2）将函数图像按照确定的对称轴进行对称变换。
函数图像变换
又由于 f(x)为奇函数，图像关于原点对称．
∴f(x)的图像如图(b)．
(2)第一步作y＝lgx的图像． 第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝ lg|x|的图像． 第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1| 的图像 第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻 折，得y＝|lg|x－1||的图像，如图(c)．
【答案】 C
(2)(知图选式)(2015·广州执信、广雅、六中三校联考)函 数 y＝lnxx的图像大致是( )
【解析】 函数 y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)， 令 y＝0，得 x＝1. 所以函数 y＝lnxx只有一个零点． 当 0<x<1 时，lnx<0，所以 y＝lnxx<0； 当 x>1 时，lnx>0，所以 y＝lnxx>0. 结合图中四个选项，可知应选 A. 【答案】 A
课前自助餐
1．函数图像的三种变换 (1)平移变换． y＝f(x)的图像向左平移a(a>0)个单位，得到__y_＝__f(_x_＋__a_)_ 的 图 像 ； y ＝ f(x － b)(b>0) 的 图 像 可 由 y ＝ f(x) 的 图 像 向 __右__平__移__b_个单位而得到；y＝f(x)的图像向下平移b(b>0)个单 位，得到 y＝f(x)－b 的图像；y＝f(x)＋b(b>0)的图像可由y ＝f(x)的图像向 上平移b 个单位而得到．总之，对于平移 变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点，则点P(x，y)关于 点(1,0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)图像上，即
－y＝f(2－x)＝ln(x－1)． ∴y＝－ln(x－1)，∴g(x)＝－ln(x－1)． 【答案】 (1)D (2)g(x)＝－ln(x－1)
第8讲函数图像的变换
一、基础知识考点1函数图像的平移变换左加右减，上加下减)0,0(>>b a)()(a x f y x f y +=−→−=沿x 轴左移a 个单位；)()(a x f y x f y -=−→−=沿x 轴右移a 个单位；b x f y x f y +=−→−=)()(沿y 轴上移b 个单位；b x f y x f y -=−→−=)()(沿y 轴下移b 个单位．考点2函数图像的对称变换（1）轴对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图像关于直线0=x (y 轴)对称．②函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图像关于直线y =0(x 轴)对称．（2）中心对称函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图像关于坐标原点对称．考点3函数图像的伸缩变换（1）)(x af y =的图像，可以将)(x f y =的图像纵坐标伸长（1>a ）或缩短（10<<a ）到原来的a 倍，横坐标不变．（2） )(ax f y =（a >0）的图像，可以将)(x f y =的横坐标伸长（10<<a ）或缩短（1>a ）到原来的a1倍，纵坐标不变．考点4函数图像的翻折变换（1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分．（2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边，替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f 在y 轴右边部分．二、例题精析【例题1】作下列函数的图像：① 2)2(-=x y ②)(log 2x y -=③123--=x x y ④x y 2-= 【例题2】（1）已知)(x f 是偶函数，则函数)2(+=x f y 的图像关于 对称；（2）已知)(x f 是奇函数，则函数2)(+=x f y 的图像关于 对称；（3）已知)(x f 是奇函数，则函数)2(-=x f y 的图像关于 对称；（4）已知)(x f 是奇函数，则函数2)2(-+=x f y 的图像关于 对称；【例题3】（1）已知函数)(x f 的值域为]2,1[，则函数2)3(+-=x f y 的值域为 ．（2）已知函数)(x f 的定义域为]2,1[，则函数2)3(-+=x f y 的定义域为 ．【例题4】作下列函数的图像：① 12-=x y ②x y 2log = ③x x y 22-= ④)1(log 2+=x y【例题5】 （1）函数452+-=x x y 的单调递增区间是 ．（2）函数12--=x x y 的单调递减区间是 ． （3）函数)1(log 2+=x y 的单调递减区间是 ．（4）函数22--=x y 的单调递减区间是 ．三、课堂运用【基础】1. 已知函数)(x f 为偶函数，则函数)2(+=x f y 的图像关于 对称．２. 函数b x a x f -=)(的图像如右图 ，其中b a ,为常数，下列结论正确的是（ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10<<<b aD ．0,10><<b a【巩固】３.作出下列函数的图像：（1）)1(log 2+=x y （2）12-=x y【拔高】4. 函数)32(log 22-+=x x y 的单调递增区间为 ．5. 函数132)(++=x x x f 在(),a -∞上单调递减，则实数a 的取值范围为 ． 四、课程小结（1）左右平移不改变值域；上下平移不改变定义域．（2）对数函数的图像与指数函数的图像关系x y O 1对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）与指数函数x a y = )1,0(≠>a a 且的图像关于直线x y =对称．（3）对数函数图像特征1,0≠>a a 时，)(log x y a -=与x y a log =的图像关于y 轴对称；x xx y a aa log 1log log 1-===， x y a1log =与x y a log =的图像关于x 轴对称；（4）渐近线指数函数y ＝xa （a ＞0且a ≠1）都以x 轴为渐近线． 当10<<a 时，图像向右无限接近y 轴，当1>a 时，图像向左无限接近y 轴．对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）都以y 轴为渐近线．当10<<a 时，图像向上无限接近y 轴，当1>a 时，图像向下无限接近y 轴．五、课后作业【基础】1. 已知函数)(x f 为奇函数，则函数)2(-=x f y 的图像关于 对称．2. 函数b x a x f -=)(的图像如右图 ，其中b a ,为常数， 下列结论正确的是（ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10<<<b aD ．0,10><<b a 3. 已知函数)(x f 的定义域为]2,1[，则函数1)2(+-=x f y 的定义域为（ ）A ．]1,0[B ．]2,1[C ．]3,2[D ．]4,3[4. 函数x x f lg )(=的定义域为（ ）A ．),(+∞-∞B ． ),0()0,(+∞-∞C ．),0(+∞D ．),1()1,(+∞-∞xyO 15. 将函数x x f 2)(=的图像向左平移3个单位，再向下平移3个单位，所得函数的解析式为（ ）A ．32-=x yB ．323-=-x y C ．323+=+x y D ．323-=+x y【巩固】1. 已知函数)(x f y =的图像经过点)1,0(，则函数1)2(+-=x f y 的图像一定经过点（ ）．A ．)1,2(B ．)2,2(-C ．)2,2(D ．)0,2(-2. 将曲线x y lg =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数解析式是 ．3. 已知函数2()f x x bx c =-+，(0)3f =，且(1)(1)f x f x +=-，则)(x b f 与)(x c f 的大小关系为 ．4. 函数x a xx y ⋅= (a >1)的图像的基本形 状是右图中的__________．5. 函数xx x f +-=11ln)(的图像只可能是__________．【拔高】1. 定义在R 上的函数)(x f 的图像关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，对任意实数x 都有3()()02f x f x ++=且1)1(=-f ，2)0(-=f ，则=++++)2021()2()1()0(f f f f ． 2. 对于定义在R 上的函数)(x f ，有下列命题，其中正确的序号为 ． ①若函数)(x f 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则)(x f y =的图像关于直线1x =对称； ③若函数)1(-=x f y 的图像关于直线1x =对称，则函数)(x f 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称．3. 设)(x f 是定义在R 上的函数，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y --=的图像A ．关于直线0=x 对称B ．关于直线1=x 对称C ．关于点)0,0( 对称D ．关于点)0,1( 对称4. 已知函数112--=x x y 的图像与函数kx y =的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是A ． )1,0()0,( -∞B ．)2,1()1,0(C ．),2()1,0(+∞D ．)2,1()0,( -∞5. 函数)(x f y =的图象与xx g )41()(=的图象关于直线x y =对称，那么)2(2x x f -的单调减区间是 .课后作业参考答案【基础】1 . )0,2(2 .C 3. D 4 . B 5 . D【巩固】1 . C2 . 2)1lg(+--=x y3. )()(x x c f b f ≤解析：由题意，有3,2==c b ，)(x f y =的图像关于1=x 对称，当0≥x 时，1≥≥x x b c ，函数)(x f 在),1[+∞上是增函数，所以)()(x x c f b f ≤； 当0<x 时，10<<<x x b c ，函数)(x f 在)1,0(上是减函数，所以)()(x x c f b f <； 综上所述，)()(xx c f b f ≤． 4 . ① 5 . ①【拔高】1 . 0 解析：由3()()02f x f x ++=知)(x f 为周期函数，且周期为3． 又函数)(x f 的图像关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，且1)1(=-f ，所以1)21(-=-f ， 于是有0)2321()21(=+-+-f f ，即1)1(=f ． 再由2)0(-=f ，1)1(=f ，1)1()2(=-=f f ，周期为3，可得，0)2021()2()1()0(=++++f f f f ．2 . ① ③3 . D 4. B 5. ]1,0(。
三角函数图像变换总结
三角函数图像变换总结三角函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在学习三角函数时，我们经常会接触到三角函数的图像变换。
图像变换是指通过对原始函数的一系列操作，得到一个新的函数的过程。
一、平移变换平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的距离。
当我们将函数沿着横轴平移时，可以通过将自变量加上一个常数来实现。
例如，若将函数f(x)沿着横轴向右平移a个单位，则新函数为f(x-a)。
同样，当我们将函数沿着纵轴平移时，可以通过将因变量加上一个常数来实现。
二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变函数的自变量或因变量的取值范围来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行伸缩时，可以通过改变自变量的比例系数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量x进行伸缩，新函数为f(kx)，其中k是一个正常数。
当k 大于1时，函数图像会水平压缩；当0<k<1时，函数图像会水平拉伸。
同样，我们可以将函数的因变量进行伸缩，通过改变因变量的比例系数来实现。
三、翻折变换翻折变换是指通过改变函数的自变量或因变量的正负号来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行翻折时，可以通过将自变量取相反数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量进行翻折，新函数为f(-x)。
同样，我们可以将函数的因变量进行翻折，通过将因变量取相反数来实现。
四、迭加变换迭加变换是指将多个变换效果叠加在一起，从而得到一个新的函数的图像。
例如，我们可以将平移、伸缩和翻折等变换操作应用于原始函数，得到一个经过多次变换的新函数的图像。
通过迭加变换，我们可以获得更加丰富多样的函数图像。
总结起来，三角函数的图像变换是通过对函数的自变量和因变量进行平移、伸缩、翻折等操作来改变函数的图像形状。
通过合理地应用这些图像变换，我们可以更好地理解和应用三角函数，并在解决实际问题时提供便利。
因此，掌握三角函数的图像变换是非常重要的数学技能之一，也是我们在数学学习中需要重点关注和掌握的内容之一。
函数图像的三种变换平移变换
函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。
同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。
沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。
同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。
据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。
函数图象的变换PPT
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向 右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作，改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现，使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小 会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍 ，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样 会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。
函数的图像变换
二、图像作法步骤： （1）确定函数的定义域；（由此确定图 像的范围） （2）化简函数的表达式；（利用基本函 数图像画图） （3）研究函数的性质；（由此确定图像 特征，简化画图过程） （4）根据基本函数图像画出图像。
函数的图像变换
一、函数图像的变换： 函数图像的变换： 函数图像的基本变换－－平移、 －－平移 函数图像的基本变换－－平移、对称与 放缩 1.平移变换（左右平移） 平移变换（ 平移变换 左右平移） y=f(x+a)由y=f(x)的图像向左 的图像向左(a>0)或向右 由 的图像向左 或向右 (a<0)平移 平移 (左加右减 左加右减) 左加右减
5、图像的放缩： 伸缩变换: (1)将y=f(x)的图像上每一点纵坐 标不变，横坐标伸长（0< ω <1）或缩小
ω （ >1）到原来的
1
图像。 (2)将y=f(x)的图像上每一点横坐标不变， 纵坐标伸长（A>1）或缩小（0<A<1）到 原来的A倍，可得到y=Af(x)的图像。
ω
倍，可得到y=f( x)的 ω
4、翻折
y=|f(x)| 的图像只要将 的图像只要将y=f(x)的图像在 轴下方 的图像在x轴下方 的图像在 的部分翻折到x轴上方 其他部分不变。 轴上方， 的部分翻折到 轴上方，其他部分不变。 下翻上） （下翻上） y=f(|x|)的图像只要将 的图像只要将y=f(x)的图像在 轴右方 的图像在y轴右方 的图像只要将 的图像在 的部分翻折到y轴左方 轴左方， 轴右方部分不变 轴右方部分不变。 的部分翻折到 轴左方， y轴右方部分不变。 右翻左） （右翻左） 利用奇偶性
aห้องสมุดไป่ตู้
个单位得到。 个单位得到。
2.上下平移 上下平移 y=f(x)+b由y=f(x)的图像向上 的图像向上(b>0)或 由 的图像向上 或 向下(b<0)平移 平移 向下 (上加下减 上加下减) 上加下减
函数图像知识点归纳梳理
函数的图像【知识梳理】一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ；④描点连线，画出函数的图象。
2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．二、函数图像的变化1、平移变换： ( 1)水平平移：函数y f(x a)的图像可以把函数y f (x) 的图像沿x轴方向向左(a 0)或向右(a 0)平移| a |个单位即可得到；( 2)竖直平移：函数y f (x) a的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向上(a 0) 或向下(a 0)平移|a| 个单位即可得到．左移 h 右移 h① y f(x)y f(x h)；② y f(x) y f(x h)；上移 h 下移 hy f(x)y f(x) h；④ y f(x) y f(x) h.③2、对称变换： (1)函数y f ( x)的图像可以将函数y f (x)的图像关于y轴对称即可得到；(2)函数y f (x) 的图像可以将函数y f (x) 的图像关于x轴对称即可得到；(3)函数y f ( x)的图像可以将函数y f (x)的图像关于原点对称即可得到；1(4)函数y f 1( x)的图像可以将函数y f(x) 的图像关于直线y x对称得到．x轴y 轴直线 x a 原点y f(x) y f(x)；② y f(x) y f( x)；③ y f(x) y f(2a x)；④y f(x) y f( x).①ab提示：(i)若f(a x) f(b x),x R 恒成立，则y f (x)的图象关于x a b成轴对称图形，2ab若f(a x) f(b x),x R，则y f (x)的图象关于点( ,0) 成中心对称图形．21(ii ) 函数y f(a x) 与函数y f (b x)的图象关于直线x (b a)对称 .23、翻折变换：( 1)函数y | f (x) |的图像可以将函数y f(x)的图像的x 轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y f (x) 的x 轴上方部分即可得到；(2)函数 y f (| x |)的图像可以将函数 y f ( x)的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留 y f(x)在 y 轴右边部分即可得到．yy=f(x)y a oyy=|f(x)|yy=f(|x|)aob cxa ob c x bc xa obc x4、伸缩变(1)函数 y af(x) (a 0)的图像可以将函数 y f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐(a 1) 或压缩( 0 a 1)为原来的 a 倍得到；(2)函数 y f (ax) (a 0)的图像可以将函数 y f (x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a 1)或压缩1( 0 a 1 )为原来的 倍得到．axx y①y f(x)y f ( ) ; ② y f (x) y f (x) .【经典例题】【例 1】函数 y f(x)与 y g(x)的图像如下图：则函数 y f (x) g ( x)的图像可能是( A )yy=f(x)o例 2】说明由函数 y 2xyox的图像经过怎样的图像变换得到函数y 2 x 31的图像． y=g(x)C . B .A . D .y 2x 3的图像；解析】：( 1)将函数y 2x的图像向右平移 3个单位，得到函数2)作出函数y 2x 3的图像关于y轴对称的图像，得到函数y 2 x 3的图像；3）把函数y 2 x 3的图像向上平移 1个单位，得到函数y 2 x 3 1的图像．1例 3】（ 1）试作出函数y x 的图像；x（2）对每一个实数x ，三个数x,x,1 x2中最大者记为y，试判断y是否是x的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？【例 4】已知函数f （x） |x2 4x 3|（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（2）若关于x的方程f （x） a x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．课堂练习】1、下列每组两个函数的图象中，正确的是（）a23、已知函数y 与y ax2 bx, 则下列图象正确的是（）xy1y=ax+1 y1-1 o 1x y=loga xoA. B. C.y=a xy=a x1yy y=ax+11xy=ax+1 o xD.2 y axbx 与指数函数y （b）x的图象只可能是（a2、在下列图象中，二次函数y= ax+1y=ax+14、函数y |1 x2| 的图象是（3x 15、函数y 3x x21的图象（）A. 关于点( 2,3) 对称B. 关于点(2, 3) 对称C. 关于直线x 2对称D. 关于直线y 3对称6、设函数y f (x)定义在实数集上，则函数y f(x 1)与y f(1 x)的图象关于( )对称A. 直线x 0B. 直线x 1C. 点(0,0)D. 点(1,0)7、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确．．．的是( )1 |x|23A．y |log2 x| B. y 2 C. y log 0.5 x D. y |x 3 |9、下列命题中：①函数y f (x)的图象与x f ( y)的图象关于直线y x对称；②若f(x) f ( x),则f (x) 的图象关于原点对称；③若f (x) f( x),则f (x)的图象关于y轴对称；④ y f(x)的图象与y f(x)的图象关于y 轴对称，其中真命题是( )A、②③ B 、②③④ C 、①②③ D 、全都是10、若函数y log2 |ax 1|图象的对称轴是x 2, 则非零实数a的值为.11、函数y f (| x m |)的图象与y f(| x |)的图象关于直线对称.212、方程|x2 2x 3| a(x 2) 有四个实数根，求实数a的取值范围 .课后作业】8、已知函数y f (x) 的图象如图，则y f(1 x) 的图象是(y1-1 o 1 x-1 oB y1-2 -1 o xy1-1 o111、函数y ln 1的图象为 (|2x 3|y log 2 x 的图象重合的函数是 (D y2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数5、已知下图①的图象对应的函数为 y f (x), 则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是8、若对任意 x R,不等式 |x|≥ ax 恒成立，则实数 a 的 取值范围是 ( )A ． a <－1B ．|a|≤1C ．|a|<1D ．a ≥1 9、f ( x)定义域为 R ，对任意 x R,满足 f (x) f (4 x)且当 x 2, 时， f (x) 为减函数，则 ( )A ． f(0)< f(1)< f(5)B ． f (1)< f(5)< f(0)C ． f(5)< f(0)< f(1)D ． f (5)<f(1)< f(0) 1|1 x|10、若函数 y ( )|1 x|m 的图像与 x 轴有公共点，则 m 2的取值范围是 _____ ．11、若直线 y x m 曲线 y 1 x 2有两个不同的交 点，则 m 的取值范围是 ．． y f( |x |) D ．y f(| x|)A ． y f (| x|)B ． y | f (x)|C A ． y2xB ． y log 1 x C24xy 2 3、若函数 f (x) 在 (4, )上为减函数，且对任意的1D ． y log 2 1 x [a,b], 函数 y f (x)的图象如下图所示，则函数 f(| x |)的图象大致是 ( )A ． f(2) > f(3)B ． f(2) > f(5)C ． f (3)> f (5)D ． f(3)> f(6) 4、(2009 安徽)设 a <b,函数 y (x a)2(x b )的图象可12、设函数f ( x), g ( x)的定义域分别为F,G,且F,G .若对x F,都有g(x) f ( x),则称g(x)为f(x)在G上1x的一个“延拓函数” ．已知函数f(x) ( )x(x≤0),若g(x) 为f(x) 在R上的一个延拓函数，且g( x)是偶函数，2则函数g(x) 的解析式为___ ．【参考答案】【课堂练习】1、 D 2 、 A 3 、 C 4 、 C 5 、 A 6 、D 7 、 C 8 、 C 9 、 C10．1/2 11. x=m/2 12.x 2+(2+a)x 2a 3=0, 由Δ=0以及 (2+a)/2<1 可得 a= 6+2 5,6+2 5 <a<0 ∴ 【课下作业】1、A 2 、C 3 、D 4 、C 5 、C 6 、C 7 、B 8 、B 9 、C10、－ 1≤ m<011、 1≤m< 212、g(x)＝2|x|。
高中函数图像变换总结
高中函数图像变换总结高中数学是高中阶段的一门重要学科，其中函数图像变换是数学中非常基础和重要的内容之一。
函数图像变换是指通过一系列变换操作来改变函数的图像的位置、形状、方向等特征。
在高中教学中，函数图像变换是一个重要的考察内容，也是学生需要掌握的重要技能之一。
下面我们来总结一下高中函数图像变换的相关知识。
首先，高中函数图像变换主要涉及到平移、伸缩、翻转和对称等变换操作。
其中，平移是函数图像在平面上沿着 x 轴和 y 轴方向移动的变换操作。
通过平移操作，可以改变函数图像的位置。
平移操作可以用公式 y=f(x-a)+b 来表示，其中 (a, b) 为平移的向量。
当 a>0 时，函数图像向右平移，反之向左平移；当 b>0 时，函数图像向上平移，反之向下平移。
其次，伸缩是函数图像在 x 轴和 y 轴方向上进行拉伸或收缩的变换操作。
通过伸缩操作，可以改变函数图像的形状。
伸缩操作可以用公式 y=a*f(kx) 来表示，其中 a 表示纵向伸缩因子，k 表示横向伸缩因子。
当 a>1 时，函数图像纵向拉伸；当 0<a<1 时，函数图像纵向收缩；当 k>1 时，函数图像横向收缩；当0<k<1 时，函数图像横向拉伸。
再次，翻转是函数图像沿着 x 轴和 y 轴进行翻转的变换操作。
通过翻转操作，可以改变函数图像的方向。
翻转操作可以用公式 y=f(-x) 来表示。
当 x 取正值时，函数图像在 y 轴左侧；当x 取负值时，函数图像在 y 轴右侧；当 x 取正值时，函数图像在 x 轴下方；当 x 取负值时，函数图像在 x 轴上方。
最后，对称是函数图像关于某个轴或某个点对称的变换操作。
通过对称操作，可以改变函数图像的形状和位置。
常见的对称操作有关于 x 轴、y 轴和原点的对称。
关于 x 轴的对称操作可以用公式 y=-f(x) 来表示；关于 y 轴的对称操作可以用公式y=f(-x) 来表示；关于原点的对称操作可以用公式 y=-f(-x) 来表示。
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－ ＋ ， 0 ≤ x ≤ 1 即：y＝ 2 4 1 1 x－ － ，x＞1或x＜0 即：y＝ 2 14 1 2
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(2)作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得 到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0部分，加上其y<0的部 分关于x轴的对称部分，即得y＝|log(x＋1)|的图象(如上图 右)．
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函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图：则函数y＝ f(x)· g(x)的图象可能是( )
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解法二： (1)作出函数y＝2x的图象关于y轴的对称图象，得到 y＝2－x的图象； (2)把函数y＝2－x的图象向左平移3个单位，得到y＝2－x－3 的图象； (3)把函数y＝2－x－3的图象向上平移1个单位，得到函数y ＝2－x－3＋1的图象．
从而可以作出x>0时f(x)的图象，
又∵x>0时，f(x)≥2，
∴x＝1时，f(x)的最小值为2，图象最低点为(1,2)，
又∵f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
1 同时f(x)＝x＋ x (x>0)即以y＝x为渐近线，
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于是x>0时，函数f(x)的图象应为图①，进而得y＝f(x)的 整个图象为图②.
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变式探究 3．函数y ＝ a| x | (a > 1)的图象是( B )
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4．函数y＝－xcos x的部分图象是( D )
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说明由函数y＝2x的图象经过怎样的图象变换得到 函数y＝2－x－3＋1的图象． 解析：解法一： (1)将函数y＝2x的图象向右平移3个单位，得到函数y＝2x－3的 图象； (2)作出函数y＝2x－3的图象关于y轴对称的图象，得到函数y＝2 －x－3的图象； (3)把函数y＝2－x－3的图象向上平移1个单位，得到函数y＝2－x －3＋1的图象．
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(4)函数y＝f－1(x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于直线 y＝x对称得到． (5)函数y＝f(2a－x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于直 线____对称得到．即
答案：(5)x＝a
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3．翻折变换
(1)函数y＝|f(x)|的图象可以由函数y＝f(x)的图象(如图(1))的 ________部分沿x轴翻折到________，去掉原x轴下方部分，并 保留y＝f(x)的____________得到(如图(2))； (2)函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象(如图(1))右 边沿y轴翻折到y轴左边，替代原y轴左边部分，并保留y＝f(x) 在y轴右边部分得到(如图(3))．
(2)y是x的函数，作出g1(x)＝x，g2(x)＝－x，g3(x)＝2－x2 的图象可知，f(x)的图象是图③中实线部分．定义域为R；值 域为[1，＋∞)；单调增区间为[－1,0)，[1，＋∞)；单调减区间 为(－∞，－1)，[0,1)；当x＝±1时，函数有最小值1；函数无 最大值．
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2
12 1 ＋ －x－ ， 0 ≤ x ≤ 1 1 1 2 2 4 x－
x－ － ，x＞1或x＜0 2 4
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图象如下图(1)所示．
(1)
(2)
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12 1 作出 y＝x －x＝x－2 －4的图象，保留 y＝x2－x＝ 12 1 2
― ―→ h<0，右移
(2)竖直平移：函数y＝f(x)＋k的图象可以由函数y＝f(x)的 图象沿y轴方向______(k>0)或______(k<0)平移|k|个单位得 到．即 y＝f(x) ――→ y＝f(x)＋k.
k<0，下移 k>0，上移
答案：二、1.(1)向左 向右 (2)向上 向下
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2．(2010年大连模拟)已 知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其 中a>b)，若f(x)的图象如右图 所示，则函数g(x)＝ax＋b的 图象是( A )
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3．(2010年厦门模拟)函数y＝a2 |x| 与y＝x＋a的图象恰有
两个公共点，则实数a的取值范围是________．
答案：2.(3)平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换
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二、函数图象的变换 1．平移变换 (1)水平平移：函数y＝f(x＋h)的图象可以由函数y＝f(x)的 图象沿x轴方向______(h>0)或______(h<0)平移|h|个单位得到； y＝f(x) h>0，左移 y＝f(x＋h)，
4．(2010年广东实验中学月考)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x
＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与
函数y＝log3|x|的图象的交点的个数是________． 答案：3．a>1 4.4
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(2010年北京海淀区检测)客车从甲地以60 km/h的速 度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过 乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中， 正确的是( )
2
12 1 12 1 2 作出 y＝x －x＝ x－2 －4的图象，保留 y＝x －x＝ x－2 －4的图象
2
12 1 1 1 x－ － x≥0 2 x － － x ≥ 0 2 x －x，x≥ 0 4 2 4 x －x，x≥0 (2) y＝ ＝ ＝ (2) y＝ 2 x ＋ x ， x ＜ 0 x ＋x，x＜0 x＋1 －1 12 1 x ＜ 0 2 4 x＋ － x＜0 2 4
变式探究 2．作出下列函数图象：
1 |x|； (1)y＝
2
(2)y＝|log2(x＋1)|
1 x 1 x 解析：(1)作出y＝ 的图象，保留y＝ 的图象中x≥0的 2 2 1x的图象中x>0部分关于y轴对称部分，即 部分，加上y＝ 2 得y＝ 1 |x|的图象(见下图左)． 2
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解析：解法一：∵函数y＝f(x)· g(x)的定义域是函数y＝ f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不 经过坐标原点，故可以排除C、D.由于当x为很小的正数时 f(x)>0且g(x)<0，故f(x)· g(x)<0.故选A. 解法二：由函数f(x)，g(x)的图象可知，f(x)，g(x)分别 是偶函数，奇函数，则f(x)g(x)是奇函数，可排除B，又∵函 数y＝f(x)· g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交 集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排 除C、D，故选A. 答案：A
答案：3.(1)x轴下方 x轴上方 x轴上方部分
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y＝f(x)将x轴下方图象翻折上去 ― ― → y＝|f(x)|. y＝f(x)
保留y轴右边图象，并作关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
― ― → 去掉y轴左边图象
y＝f(|x|)．
4．伸缩变换 (1)函数y＝f(ax)(a>0)的图象可以由函数y＝f(x)的图象中 的每一点纵坐标不变，横坐标____(a>1)或____(0<a<1)为原 来的____倍得到． 答案：4.(1)缩短 伸长
2．对称变换 (1)函数y＝－f(x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于____ 对称得到；
(2)函数y＝f(－x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于____ 对称得到；
(3)函数y＝－f(－x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于 ____对称得到； 答案：2.(1)x轴 (2)y轴 (3)原点
2 2 2 2
中 x≥0 的部分， 加上 y＝x －x＝ x－2 －4(x≥0)的图象中 x>0 部分关
中 x≥0 的部分， 加上 y＝x －x＝x－2 －4(x≥0)的 点评： 对于含绝对值符号的函数，可利用“零点分区间”
(2) 1 1 于 y 轴对称部分，即得 y＝x2－|x|的图象．如上图 所示． 2 2
法去掉绝对值号，变为一个分段函数，再画图．第(1)题属于 2 作 y ＝ | f ( x )| 的图象，由上面的作图得如下画法： (1)画出y＝f(x) (2 于 y 轴对称部分，即得 y＝x －|x|的图象．如上图 的图象；(2)保留f(x)≥0 的部分，将f(x)<0的部分以x轴为对称轴 翻折上去，即得y＝|f(x)|的图象．
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第三章
函数
第十一课时
函数的图象
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考纲要求 1.掌握图象变换的规律，如：平移变换、对称变换、翻折变 换、伸缩变换等． 2.会利用函数的图象来研究函数的性质.
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知识梳理 一、函数图象的作法 函数图象的作图方法有两种：描点法和利用基本函数图 象变换作图； 1．用描点法作函数图象的步骤：①确定函数的 ________；②化简函数的________；③讨论函数的性质即 __________________________(甚至变化趋势)；④描____连 ____，画出函数的图象 . 答案：一、1.定义域 解析式 单调性、奇偶性、 周期性、最值 点 线