函数图象的平移,对称,翻折,伸缩变换..
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思路分析：根据函数解析式的特点，可按翻折变换法作 图． 2 2 x － x ， x 0 ≤ x≤1 x － x ， 0≤ ≤ 1 (1)y ＝ y ＝ 2 解析： (1) x － x ，2 x>1或x<0 － －x－x ，x>1或x<0
－ ＋ ， 0 ≤ x ≤ 1 即：y＝ 2 4 1 1 x－ － ，x＞1或x＜0 即：y＝ 2 14 1 2
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(2)作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得 到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0部分，加上其y<0的部 分关于x轴的对称部分，即得y＝|log(x＋1)|的图象(如上图 右)．
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函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图：则函数y＝ f(x)· g(x)的图象可能是( )
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解法二： (1)作出函数y＝2x的图象关于y轴的对称图象，得到 y＝2－x的图象； (2)把函数y＝2－x的图象向左平移3个单位，得到y＝2－x－3 的图象； (3)把函数y＝2－x－3的图象向上平移1个单位，得到函数y ＝2－x－3＋1的图象．
从而可以作出x>0时f(x)的图象，
又∵x>0时，f(x)≥2，
∴x＝1时，f(x)的最小值为2，图象最低点为(1,2)，
又∵f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
1 同时f(x)＝x＋ x (x>0)即以y＝x为渐近线，
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于是x>0时，函数f(x)的图象应为图①，进而得y＝f(x)的 整个图象为图②.
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变式探究 3．函数y ＝ a| x | (a > 1)的图象是( B )
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4．函数y＝－xcos x的部分图象是( D )
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说明由函数y＝2x的图象经过怎样的图象变换得到 函数y＝2－x－3＋1的图象． 解析：解法一： (1)将函数y＝2x的图象向右平移3个单位，得到函数y＝2x－3的 图象； (2)作出函数y＝2x－3的图象关于y轴对称的图象，得到函数y＝2 －x－3的图象； (3)把函数y＝2－x－3的图象向上平移1个单位，得到函数y＝2－x －3＋1的图象．
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(4)函数y＝f－1(x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于直线 y＝x对称得到． (5)函数y＝f(2a－x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于直 线____对称得到．即
答案：(5)x＝a
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3．翻折变换
(1)函数y＝|f(x)|的图象可以由函数y＝f(x)的图象(如图(1))的 ________部分沿x轴翻折到________，去掉原x轴下方部分，并 保留y＝f(x)的____________得到(如图(2))； (2)函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象(如图(1))右 边沿y轴翻折到y轴左边，替代原y轴左边部分，并保留y＝f(x) 在y轴右边部分得到(如图(3))．
(2)y是x的函数，作出g1(x)＝x，g2(x)＝－x，g3(x)＝2－x2 的图象可知，f(x)的图象是图③中实线部分．定义域为R；值 域为[1，＋∞)；单调增区间为[－1,0)，[1，＋∞)；单调减区间 为(－∞，－1)，[0,1)；当x＝±1时，函数有最小值1；函数无 最大值．
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2
12 1 ＋ －x－ ， 0 ≤ x ≤ 1 1 1 2 2 4 x－
x－ － ，x＞1或x＜0 2 4
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图象如下图(1)所示．
(1)
(2)
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12 1 作出 y＝x －x＝x－2 －4的图象，保留 y＝x2－x＝ 12 1 2
― ―→ h<0，右移
(2)竖直平移：函数y＝f(x)＋k的图象可以由函数y＝f(x)的 图象沿y轴方向______(k>0)或______(k<0)平移|k|个单位得 到．即 y＝f(x) ――→ y＝f(x)＋k.
k<0，下移 k>0，上移
答案：二、1.(1)向左 向右 (2)向上 向下
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2．(2010年大连模拟)已 知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其 中a>b)，若f(x)的图象如右图 所示，则函数g(x)＝ax＋b的 图象是( A )
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3．(2010年厦门模拟)函数y＝a2 |x| 与y＝x＋a的图象恰有
两个公共点，则实数a的取值范围是________．
答案：2.(3)平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换
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二、函数图象的变换 1．平移变换 (1)水平平移：函数y＝f(x＋h)的图象可以由函数y＝f(x)的 图象沿x轴方向______(h>0)或______(h<0)平移|h|个单位得到； y＝f(x) h>0，左移 y＝f(x＋h)，
4．(2010年广东实验中学月考)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x
＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与
函数y＝log3|x|的图象的交点的个数是________． 答案：3．a>1 4.4
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(2010年北京海淀区检测)客车从甲地以60 km/h的速 度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过 乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中， 正确的是( )
2
12 1 12 1 2 作出 y＝x －x＝ x－2 －4的图象，保留 y＝x －x＝ x－2 －4的图象
2
12 1 1 1 x－ － x≥0 2 x － － x ≥ 0 2 x －x，x≥ 0 4 2 4 x －x，x≥0 (2) y＝ ＝ ＝ (2) y＝ 2 x ＋ x ， x ＜ 0 x ＋x，x＜0 x＋1 －1 12 1 x ＜ 0 2 4 x＋ － x＜0 2 4
变式探究 2．作出下列函数图象：
1 |x|； (1)y＝
2
(2)y＝|log2(x＋1)|
1 x 1 x 解析：(1)作出y＝ 的图象，保留y＝ 的图象中x≥0的 2 2 1x的图象中x>0部分关于y轴对称部分，即 部分，加上y＝ 2 得y＝ 1 |x|的图象(见下图左)． 2
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解析：解法一：∵函数y＝f(x)· g(x)的定义域是函数y＝ f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不 经过坐标原点，故可以排除C、D.由于当x为很小的正数时 f(x)>0且g(x)<0，故f(x)· g(x)<0.故选A. 解法二：由函数f(x)，g(x)的图象可知，f(x)，g(x)分别 是偶函数，奇函数，则f(x)g(x)是奇函数，可排除B，又∵函 数y＝f(x)· g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交 集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排 除C、D，故选A. 答案：A
答案：3.(1)x轴下方 x轴上方 x轴上方部分
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y＝f(x)将x轴下方图象翻折上去 ― ― → y＝|f(x)|. y＝f(x)
保留y轴右边图象，并作关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
― ― → 去掉y轴左边图象
y＝f(|x|)．
4．伸缩变换 (1)函数y＝f(ax)(a>0)的图象可以由函数y＝f(x)的图象中 的每一点纵坐标不变，横坐标____(a>1)或____(0<a<1)为原 来的____倍得到． 答案：4.(1)缩短 伸长
2．对称变换 (1)函数y＝－f(x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于____ 对称得到；
(2)函数y＝f(－x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于____ 对称得到；
(3)函数y＝－f(－x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于 ____对称得到； 答案：2.(1)x轴 (2)y轴 (3)原点
2 2 2 2
中 x≥0 的部分， 加上 y＝x －x＝ x－2 －4(x≥0)的图象中 x>0 部分关
中 x≥0 的部分， 加上 y＝x －x＝x－2 －4(x≥0)的 点评： 对于含绝对值符号的函数，可利用“零点分区间”
(2) 1 1 于 y 轴对称部分，即得 y＝x2－|x|的图象．如上图 所示． 2 2
法去掉绝对值号，变为一个分段函数，再画图．第(1)题属于 2 作 y ＝ | f ( x )| 的图象，由上面的作图得如下画法： (1)画出y＝f(x) (2 于 y 轴对称部分，即得 y＝x －|x|的图象．如上图 的图象；(2)保留f(x)≥0 的部分，将f(x)<0的部分以x轴为对称轴 翻折上去，即得y＝|f(x)|的图象．
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第三章
函数
第十一课时
函数的图象
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考纲要求 1.掌握图象变换的规律，如：平移变换、对称变换、翻折变 换、伸缩变换等． 2.会利用函数的图象来研究函数的性质.
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知识梳理 一、函数图象的作法 函数图象的作图方法有两种：描点法和利用基本函数图 象变换作图； 1．用描点法作函数图象的步骤：①确定函数的 ________；②化简函数的________；③讨论函数的性质即 __________________________(甚至变化趋势)；④描____连 ____，画出函数的图象 . 答案：一、1.定义域 解析式 单调性、奇偶性、 周期性、最值 点 线
高考总复习·理科·ຫໍສະໝຸດ 学2．用图象变换法作图： (1)要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、幂函 数、指数函数、 对数函数、三角函数等基本初等函数的图象 及性质． (2)识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等 方面．
(3)四种图象变换：___________________________等．
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1 (1)试作出函数y＝x＋ x 的图象；
(2)对每一个实数x，三个数－x，x,2－x2中最大者记为y，试判 断y是否是x的函数？若是，作出其图象，讨论其性质(包括定 义域、值域、单调性、最值)；若不是，说明为什么？
1 解析：(1)设y＝f(x)＝x＋ ，∴f(x)为奇函数， x
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
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解析：由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1、与x 轴所围成图形面积大，则在时刻t0、时刻t1，甲车均在乙车 前面，故选A. 答案：A
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(1)作函数y＝| x－x2|的图象；
(2) 作函数y＝x2－|x|的图象．
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解析：依题意，s与t的函数关系式是
60，1<t≤3 s＝ 2 3 5 80t－60，2<t≤2
60t，0<t≤1
，故应选C.
答案：C 点评：要善于将函数的各种表示法进行互译．
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变式探究 1．(2009年广东卷)已知甲、乙 两车由同一起点同时出发，并沿同 一路线(假定为直线)行驶．甲车、 乙车的速度曲线分别为v甲、v乙(如 图所示)．那么对于图中给定t0和t1， 下列判断中一定正确的是( ) A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面
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(2)函数y＝af(x)(a>0)的图象可以由函数y＝f(x)的图象中 的每一点横坐标不变，纵坐标____(a>1)或____(0<a<1)为原 来的____倍得到；即
答案：(2)伸长 压缩
a
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基础自测 1．(2010年浦东新区质量抽测)函数f＝ln |x－1| 的图象大 致是( B )
－ ＋ ， 0 ≤ x ≤ 1 即：y＝ 2 4 1 1 x－ － ，x＞1或x＜0 即：y＝ 2 14 1 2
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(2)作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得 到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0部分，加上其y<0的部 分关于x轴的对称部分，即得y＝|log(x＋1)|的图象(如上图 右)．
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函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图：则函数y＝ f(x)· g(x)的图象可能是( )
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解法二： (1)作出函数y＝2x的图象关于y轴的对称图象，得到 y＝2－x的图象； (2)把函数y＝2－x的图象向左平移3个单位，得到y＝2－x－3 的图象； (3)把函数y＝2－x－3的图象向上平移1个单位，得到函数y ＝2－x－3＋1的图象．
从而可以作出x>0时f(x)的图象，
又∵x>0时，f(x)≥2，
∴x＝1时，f(x)的最小值为2，图象最低点为(1,2)，
又∵f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
1 同时f(x)＝x＋ x (x>0)即以y＝x为渐近线，
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于是x>0时，函数f(x)的图象应为图①，进而得y＝f(x)的 整个图象为图②.
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变式探究 3．函数y ＝ a| x | (a > 1)的图象是( B )
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4．函数y＝－xcos x的部分图象是( D )
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说明由函数y＝2x的图象经过怎样的图象变换得到 函数y＝2－x－3＋1的图象． 解析：解法一： (1)将函数y＝2x的图象向右平移3个单位，得到函数y＝2x－3的 图象； (2)作出函数y＝2x－3的图象关于y轴对称的图象，得到函数y＝2 －x－3的图象； (3)把函数y＝2－x－3的图象向上平移1个单位，得到函数y＝2－x －3＋1的图象．
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(4)函数y＝f－1(x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于直线 y＝x对称得到． (5)函数y＝f(2a－x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于直 线____对称得到．即
答案：(5)x＝a
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3．翻折变换
(1)函数y＝|f(x)|的图象可以由函数y＝f(x)的图象(如图(1))的 ________部分沿x轴翻折到________，去掉原x轴下方部分，并 保留y＝f(x)的____________得到(如图(2))； (2)函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象(如图(1))右 边沿y轴翻折到y轴左边，替代原y轴左边部分，并保留y＝f(x) 在y轴右边部分得到(如图(3))．
(2)y是x的函数，作出g1(x)＝x，g2(x)＝－x，g3(x)＝2－x2 的图象可知，f(x)的图象是图③中实线部分．定义域为R；值 域为[1，＋∞)；单调增区间为[－1,0)，[1，＋∞)；单调减区间 为(－∞，－1)，[0,1)；当x＝±1时，函数有最小值1；函数无 最大值．
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2
12 1 ＋ －x－ ， 0 ≤ x ≤ 1 1 1 2 2 4 x－
x－ － ，x＞1或x＜0 2 4
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图象如下图(1)所示．
(1)
(2)
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12 1 作出 y＝x －x＝x－2 －4的图象，保留 y＝x2－x＝ 12 1 2
― ―→ h<0，右移
(2)竖直平移：函数y＝f(x)＋k的图象可以由函数y＝f(x)的 图象沿y轴方向______(k>0)或______(k<0)平移|k|个单位得 到．即 y＝f(x) ――→ y＝f(x)＋k.
k<0，下移 k>0，上移
答案：二、1.(1)向左 向右 (2)向上 向下
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2．(2010年大连模拟)已 知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其 中a>b)，若f(x)的图象如右图 所示，则函数g(x)＝ax＋b的 图象是( A )
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3．(2010年厦门模拟)函数y＝a2 |x| 与y＝x＋a的图象恰有
两个公共点，则实数a的取值范围是________．
答案：2.(3)平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换
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二、函数图象的变换 1．平移变换 (1)水平平移：函数y＝f(x＋h)的图象可以由函数y＝f(x)的 图象沿x轴方向______(h>0)或______(h<0)平移|h|个单位得到； y＝f(x) h>0，左移 y＝f(x＋h)，
4．(2010年广东实验中学月考)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x
＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与
函数y＝log3|x|的图象的交点的个数是________． 答案：3．a>1 4.4
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(2010年北京海淀区检测)客车从甲地以60 km/h的速 度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过 乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中， 正确的是( )
2
12 1 12 1 2 作出 y＝x －x＝ x－2 －4的图象，保留 y＝x －x＝ x－2 －4的图象
2
12 1 1 1 x－ － x≥0 2 x － － x ≥ 0 2 x －x，x≥ 0 4 2 4 x －x，x≥0 (2) y＝ ＝ ＝ (2) y＝ 2 x ＋ x ， x ＜ 0 x ＋x，x＜0 x＋1 －1 12 1 x ＜ 0 2 4 x＋ － x＜0 2 4
变式探究 2．作出下列函数图象：
1 |x|； (1)y＝
2
(2)y＝|log2(x＋1)|
1 x 1 x 解析：(1)作出y＝ 的图象，保留y＝ 的图象中x≥0的 2 2 1x的图象中x>0部分关于y轴对称部分，即 部分，加上y＝ 2 得y＝ 1 |x|的图象(见下图左)． 2
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解析：解法一：∵函数y＝f(x)· g(x)的定义域是函数y＝ f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不 经过坐标原点，故可以排除C、D.由于当x为很小的正数时 f(x)>0且g(x)<0，故f(x)· g(x)<0.故选A. 解法二：由函数f(x)，g(x)的图象可知，f(x)，g(x)分别 是偶函数，奇函数，则f(x)g(x)是奇函数，可排除B，又∵函 数y＝f(x)· g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交 集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排 除C、D，故选A. 答案：A
答案：3.(1)x轴下方 x轴上方 x轴上方部分
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y＝f(x)将x轴下方图象翻折上去 ― ― → y＝|f(x)|. y＝f(x)
保留y轴右边图象，并作关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
― ― → 去掉y轴左边图象
y＝f(|x|)．
4．伸缩变换 (1)函数y＝f(ax)(a>0)的图象可以由函数y＝f(x)的图象中 的每一点纵坐标不变，横坐标____(a>1)或____(0<a<1)为原 来的____倍得到． 答案：4.(1)缩短 伸长
2．对称变换 (1)函数y＝－f(x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于____ 对称得到；
(2)函数y＝f(－x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于____ 对称得到；
(3)函数y＝－f(－x)的图象可以由函数y＝f(x)的图象关于 ____对称得到； 答案：2.(1)x轴 (2)y轴 (3)原点
2 2 2 2
中 x≥0 的部分， 加上 y＝x －x＝ x－2 －4(x≥0)的图象中 x>0 部分关
中 x≥0 的部分， 加上 y＝x －x＝x－2 －4(x≥0)的 点评： 对于含绝对值符号的函数，可利用“零点分区间”
(2) 1 1 于 y 轴对称部分，即得 y＝x2－|x|的图象．如上图 所示． 2 2
法去掉绝对值号，变为一个分段函数，再画图．第(1)题属于 2 作 y ＝ | f ( x )| 的图象，由上面的作图得如下画法： (1)画出y＝f(x) (2 于 y 轴对称部分，即得 y＝x －|x|的图象．如上图 的图象；(2)保留f(x)≥0 的部分，将f(x)<0的部分以x轴为对称轴 翻折上去，即得y＝|f(x)|的图象．
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第三章
函数
第十一课时
函数的图象
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考纲要求 1.掌握图象变换的规律，如：平移变换、对称变换、翻折变 换、伸缩变换等． 2.会利用函数的图象来研究函数的性质.
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知识梳理 一、函数图象的作法 函数图象的作图方法有两种：描点法和利用基本函数图 象变换作图； 1．用描点法作函数图象的步骤：①确定函数的 ________；②化简函数的________；③讨论函数的性质即 __________________________(甚至变化趋势)；④描____连 ____，画出函数的图象 . 答案：一、1.定义域 解析式 单调性、奇偶性、 周期性、最值 点 线
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(3)四种图象变换：___________________________等．
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1 (1)试作出函数y＝x＋ x 的图象；
(2)对每一个实数x，三个数－x，x,2－x2中最大者记为y，试判 断y是否是x的函数？若是，作出其图象，讨论其性质(包括定 义域、值域、单调性、最值)；若不是，说明为什么？
1 解析：(1)设y＝f(x)＝x＋ ，∴f(x)为奇函数， x
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
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解析：由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1、与x 轴所围成图形面积大，则在时刻t0、时刻t1，甲车均在乙车 前面，故选A. 答案：A
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(1)作函数y＝| x－x2|的图象；
(2) 作函数y＝x2－|x|的图象．
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解析：依题意，s与t的函数关系式是
60，1<t≤3 s＝ 2 3 5 80t－60，2<t≤2
60t，0<t≤1
，故应选C.
答案：C 点评：要善于将函数的各种表示法进行互译．
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变式探究 1．(2009年广东卷)已知甲、乙 两车由同一起点同时出发，并沿同 一路线(假定为直线)行驶．甲车、 乙车的速度曲线分别为v甲、v乙(如 图所示)．那么对于图中给定t0和t1， 下列判断中一定正确的是( ) A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面
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(2)函数y＝af(x)(a>0)的图象可以由函数y＝f(x)的图象中 的每一点横坐标不变，纵坐标____(a>1)或____(0<a<1)为原 来的____倍得到；即
答案：(2)伸长 压缩
a
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基础自测 1．(2010年浦东新区质量抽测)函数f＝ln |x－1| 的图象大 致是( B )