奥林匹克题解三、(1)下

第三章、几何部分

第一节平面几何证明（下）

C1－136 在△ABC中，AD、BE、CF为角平分线，分别交BC边于D，交AC边于E，交AB边于F．试证明：4S△DEF≤S△ABC，并说明等号何时成立．

【题说】 1982年芜湖市赛题6．

【证】由题意，只需证明

代入（1）即得

由b2c+a2c≥2abc，得

b2c+bc2+a2c+ac2+a2b +ab2≥6abc

所以 4（b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2）

≥3（abc+b2c+bc2+a2c+a2b+ab2+abc）

=3（a+b）（b+c）（c+a）

从而（2）成立，即4S△DEF≤S△ABC，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立．

C1-137 如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA．若

S△ABC=1，证明：S△BPE、S△PCE和S PEAF中至少有一个不小于4／9．【题说】 1984年全国联赛二试题3．

【证】把 BC等分为三等分，M、N是分点，显然，P点落在BM或NC 上时

则

AE∶AC=r， AF∶AB＝1-r

S△AEF∶S△ABC=（AF／AB）（AE／AC）

C1-138 设P是一正n边形的内点，证明：该n边形存在两个顶点A和B，使

【题说】 1985年匈牙利阿拉尼·丹尼尔数学竞赛（15年龄组）题1．

【解】设点A是正n边形的顶点中距P最近的一个顶点．从A出发向某两个相邻顶点B1、B2作连线，并使P在△AB1B2内，显然，∠B1AB2=180°/n．根据顶点A的选取，∠PB1A和∠PB2A都小于∠B1AB2，因此，如果P是△AB1B2的一个内点，则至少有一个B i，使得

如果P在线段AB i上，例如在AB1上，那么由∠PB2A≤∠PAB2可以推出

C1-139 已知六边形的各边长不超过1，试证：此六边形至少有一条主对角线不超过2．

【题说】 1986年上海市赛二试题2．题中主对角线是六边形中某一顶点与相隔二个顶点的第三顶点的连线．

【证】设ABCDEF是适合题意的六边形，AB、CD、EF三边所在直线，至少有两条，它们的夹角不超过60°（如两线平行，认为夹角为0°），不

妨设AB和CD的夹角不超过60°，过 B作 BM CD（如图），则DM BC，

且∠ABM=AB与CD的夹角≤60°．AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM≤

AB2+BM2-AB·BM．由对称性，不妨设BM≥AB，注意到BM=CD≤1，有

AB2+BM2-AB· BM=BM2+AB（AB-BM）≤BM2≤1

所以 AM2≤1，AM≤1 于是 AD≤AM+MD=AM+BC≤2．

C1-140 凸四边形ABCD的面积为S．证明：以AC、AD、BC和

【题说】第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克九年级题 4．

【证】设AC、AD、BC、BD的中点分别为K、L、M、N．易知S△MKN≤max （S△BKN，S△CKN），S△LKN≤max（S△AKN，S△DKN）．而有

C1-141 如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q、在AB 边上．求证：

【题说】 1988年全国联赛二试题2．

【证】不妨设△ABC的周长为1，分别过C、R作△ABC、△PQR的高CL、RH，则

C1-142 设C1、C2是同心圆，C2的半径是C1的半径的2倍．四边形 A1A2A3A4内接于C1，将A4A1延长交圆C2于B1，A1A2延长交圆C2于B2，A2A3延长交圆C2于B3，A3A4延长交圆C2于B4．试证：四边形B1B2B3B4的周长≥2×四边形A1A2A3A4的周长，并请确定等号成立的条件．

【题说】第三届（1988年）全国冬令营赛题2．

【证】如图是两个同心圆，中心记为O，内圆的半径不妨设为1，从而外圆的半径等于2．

连OA1、OB2和B1B2，讨论四边形OA1B1B2．由托勒密不等式可知

OB1×A1B2≤OA1×B1B2-OB2×A1B1（1）

式中的等号成立当且仅当O、A1、B1、B2四点共圆时成立，注意到OA1=1，OB1=OB2=2，A1B2=A1A2+A2B2，不等式（1）又可写为

B1B2-2A1A2≥2（A2B2-A1B1）（2）

式中等号当且仅当O、A1、B1、B2四点共圆时成立，依次地轮换下标，可得出另外三个类似于（2）的不等式，注意到以上4个不等式的右方之和显然为零，因此，将此4式两边分别相加，得出不等式

B1B2+B2B3+B3B4+B4B1≥2（A1A2+A2A3+A3A4+A4A1）

这正是我们需证的结论．

上式中等号成立，当且仅当O、A1、B1、B2共圆，O、A2、B2、B3共圆，O、A3、B3、B4共圆，O、A4、B4、B1共圆．即：等号成立的充要条件是A1A2A3A4为一正方形．

C1-143 在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高．连接△ABD的内心与△ACD的内心的直线，分别与边 AB及 AC交于K及L两点．△ABC与△AKL的面积分别记为S与T．求证：S≥2T．

【题说】第二十九届（1988年）国际数学奥林匹克题5．本题由希腊提供．

【证】设△ABD的内心为M，△ACD的内心为N．由于△ADB∽△CDA，并注意到DM与DN是由D出发的两条分角线，故有

从而得△NMD∽△ABD

所以，△DMN与△ABD的对应边的交角相等，即∠LKA=∠BDM=45°．故△ALK是等腰直角三角形．

又由∠AKM=45°=∠MDA

△AMK≌△AMD

得 AK=AD=AL

于是

即

S≥2T

C1－144 设ABCD是一凸四边形，其三边AB、BC、AD满足AB=AD+BC，形内有一点P，它距CD为h，且使AP=h+AD，BP=h+BC．

【题说】第三十届（1989年）国际数学奥林匹克题4．本题由冰岛提供．