第三章 环与域

13
注 1) R 中左零因子和右零因子这两个概念是彼 此依赖,彼此依托 —“共存亡”:有左零因子 有右零因子.
由上可知,欲说明 a 0 是左零因子,则只需 证明存在 b 0 使 ab = 0. 欲说明 a 0 不是左 零因子,则只需证明任一个 b 0 都有 ab 0(或 一旦 ab = 0 b = 0).
证毕. 定义3 如果环 R 中有元素 e, 它对R 中每个 元素 a 都有e a = a,则称 e 为环 R 的一个左单位 元;如果环 R 中有元素 e,它对 R 中每个元素 a 都有 ae = a,则称 e 为环 R 的一个右单位元.
6
环 R 中既是左单位元又是右单位元的元素, 叫做 R 的单位元. 实际上,由于环 R 对其乘法显然作成一个半群， 故 R 的左,右单位元或单位元也是该半群的左,右 单位元或单位元. 例3 证明:集合 M 的幂集 P(M) 对运算 A + B = A∪B A ∩ B AB = A ∩ B A, B M 作成一个有单位元的交换环.这个环称为 M 的幂集环. 证明：显然,上述加法是P(M)的代数运算且满足 交换律;又显然空集是 P(M) 的零元，而 A 的负元为 A 自身. 因此,欲证 P(M ) 作成加群只剩下证该代数 运算满足结合律.
17
对没有零因子的环 R 中任意元素 a 0 , b, c 有 ab = ac b = c
ba = ca b = c
,左消去律成立; ,右消去律成立.
推论 当环 R 无左(或右)零因子时,则消去律 成立;反之,若 R 中有一个消去律成立,则 R 中无 左及右零因子,且另一个消去律也成立. 定义2 无零因子、有单位元的交换环称为整环.
n m n m
a )( b ) a b
i 1 i j 1 j i 1 j 1 i
j
10
性质6: (ma)(nb) = (na)(mb) = (mn)(ab) 性质7: am = aaa, aman = am+n, (am)n = amn
性质8: (n)a = (a) + (a) + + (a)
(-x)y = x(-y) = -xy, -(-x) = x,其中 x,y属 于{1, i, j, k}
1 i j k
1 i j ki 1 k jj k 1 ik j i 1
20
根据 G 的乘法现在再规定： 1) a1 + a2i + a3j + a4k = b1 + b2i + b3j + b4k 当且 仅当对应系数相等; 2) (a1 + a2i + a3j + a4k) + (b1 + b2i + b3j + b4k)
9
二
环的基本性质
设 R 是一个环,那么有如下性质: a, b, c R, m, n N 性质1: c(a b) = ca cb 且 (a b) c = ac bc 性质2: 0a = a0 =0 性质3: (a)b = a(b) = ab 性质4: (a)(b) = ab 性质5: (
(mn) a = n(ma), 0a = 0 n(a + b) = na + nb
三
子环的定义及其判定
定义4 设 S 是环 R 的一个非空子集.如果 S 对于 R 的加法和乘法也作成一个环，则称 S 是 R 的一个子环，记为S R 或 R S .
11
定理1 环 R 的非空子集 S 作成子环的充分必 要条件是： a, b S a b S a, b S ab S 设 S 是环 R 的一个子环.应注意，当 R 有单 位元时，S 不一定有；当 S 有单位元时，R 不一定 有；即使二者都有单位元，此二单位元也未必相同 .
2) 若a 是 R 的左零因子,一般 a 未必同时是 R 的右零因子.
14
例1 设 R 为由一切形如
x 0 , (x, y 为有理数) y 0 的方阵作成的环,则 1 0 是 R 的一个左零因 子,因为有 0 0 1 0 但 不是 R 的的右零因子, 0 0 因为,若 x 0 0 0 0 0 ,只有 x = y = 0 y 0 1 0 0 0 15 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
= (a1 + b1) + ( a2 + b2)i + (a3 + b3)j + (a4 + b4)k 3) 两个四元数相乘可按通常分配律先展开,再 合并各项中的实系数,最后根据四元数群的乘法带 入相应元素,即
(a1 + a2i + a3j + a4k)(b1 + b2i + b3j + b4k) = (a1b1 a2b2 a3b3 a4b4) + ( a1b2 + a2b1 + a3b4 a4b3 )i + (a1b3 + a3b1 + a4b2 a2b4 )j + (a1b4 + a4b1 + a2b3 a 3b 2 ) k
第三章 环与域
1
§1 环的定义
一 环的基本概念
定义1 设非空集合 R 具有两个代数运算, 一个 叫做加法并用加号 + 表示,另一个叫做乘法并用乘 号 表示.如果 1) (R,+)作成一个交换群; 2) (R,)作成一个半群;
3) 乘法对加法满足左右分配律: a( b + c ) = ab +ac, ( b + c )a = bc + ca, a, b, c R 则称(R,+, )是一个环,在不产生混淆的前提下,可 2 以记这个环为 R.
16
定理1
在环 R 中，当 a 不是左零因子时,则 ab = ac, a 0 b = c
当 a 不是右零因子时,则 ba = ca, a 0 b = c 证明： 由 ab = ac，得 a(b c) = 0. 由于 a 0 且a 不是左零因子,故 b c = 0. b = c . 同理可证另一结论.
21
因此,任意两个四元数的和与积仍是一个四元
数.
对以上规定的加法和乘法,可以验算 D 作成 一个环,1是它的单位元.又因为
(a bi cj dk)(a + bi + cj + dk) = a2 + b2 + c2 + d2) 故当 a + bi + cj + dk 0时有逆元,且
a bi cj dk ( a bi cj dk ) 2 a b2 c 2 d 2
1
因此,D 作成一个除环,通常称为四元数除环.
22
定理2 有限环若有非零元素不是零因子,则必有 单位元,且每个非零又非零因子的元素都是可逆元.
证明：设a 0 是有限环 R 的任意非零因子元素, 则 a, a2, a3,…中必有相等的.不妨设 am = an, 1 m < n, 于是有 am1 (a an m +1) = 0, 但a 0 且a不是零因子, 故 a an m +1 = 0, a = anm+1 , 从而对任意 x R 有, ax = an m +1x , a (x an m x） = 0 于是 x an m x = 0, x = an m x ; 同理有 x = xan m. 即 an m 是环 R 的单位元. 再由aan m 1 = an m 1a = an m, 可知,a 是R 的 23 逆元. 证毕
5
(a b) (b c) = ( a + b ab) (a + c ac) = (a + b ab) + (b + c bc ) 1
= 2a + b + c ab + ac 1 故a (b c) = (a b) (b c). 因此,R 对 , 作成环,且是一个交换环.
8
2)若 x (A + B), x C ; 则类似推理也可得上式. 因此,上式式总成立. 同理可得 A + ( B + C ) (A + B) + C 故 (A + B) + C = A + ( B + C ). 因此,P(M ) 对上述 加法作成一个加群. 又显然乘法满足结合律和交换律.至于乘法对 加法的分配律,可类似于加法满足结合律的证法知 也成立.又 M P(M)，且显然 M 是P(M )的单位 元。因此，P(M )对以上二运算作成一个有单位元 的交换环. 证毕.
1 0 例2 数域 F 上二阶全阵环中, 既是 2 0
左零因子又是右零因子,因为有
1 0 0 0 2 2 0 1 3 0
1 1 0 0 0 0 2 0 0 0
数环以及数域上的多项式环,都无零因子.
12
§2 环的零因子
在数的普通乘法中，如果 a 0, b 0, 则必 有ab 0 . 但这一性质在一般环中不再成立.
定义1 设 a 0 是环 R 的一个元素. 如果在 R 中存在元素 b 0 使 ab = 0，则称 a 为R 的一个左零 因子. 同样可定义右零因子.
左或右零因子统称为零因子，只在有必要区分 时才加以指明左，右. 不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正 则元.
19
例1 令 D = {a1 + bi + cj + dk| a, b, c, d为实数}， 并称 D 中的元素为四元数.另规定系数为零的项 可以略去不写，且 a1 = a, 1i = i, 1j = j, 1k = k. 于 是 G = {1, i , j , k, i, j,k } D 由第二章§1例4知,G 对所规定的乘法作成一个 群,即四元数群. 1 i j k
定义2 如果环 R 的乘法满足交换律,即对 R中 任意元素 a, b 都有 ab = ba，则称 R 为交换环（可 换环），否则，称 R 为为非交换环(非可换环).
例① 设R为整数集,“+”和“·”为中通常的 整数加法和乘法.易知 (R,+, )
习惯上称它为整数环,记为 Z
同理还有有理数环,实数环,复数环. 上述的四个环都是由数组成.故称为数环. ② 偶数集 2Z = {… , 6 , 4 , 2 0 , 2, 4, 6, …},对 于整数通常的加法和乘法也是一个环.
4
例2 设 R 为整数集.则对以下二运算作成环:
a b = a + b 1, a b = a + b ab 证明：容易验算 R 对作成一个加群,1是零元,
2a 是元素 a 的负元.
此外,对乘法显然满足交换律,且易验证也满 足结合律.下面仅证乘法对加法也满足分配律:
因为 a (b c) = a(b + c 1) = a + (b + c 1)a (b + c 1) = 2a + b + c ab + ac 1
3
数域 F 上的全体多项式的计划 F[x],数域 F上的 全体 n 阶方阵的集合以及 F 上一个向量空间的全 体线性变换的集合，对各自通常的加法和乘法都作 成环.我们分别称其为数域 F 上的多项式环，n 阶 全阵环，线性变化环 例1 设 R 是一个加群，在对于 R 中任意元素 a, b规定 ab = 0，则 R 显然作成一个环.这种环 称为零乘环.
若为前者,即 xA , x B，xC ; 则得 x B + C ; 从而 xA ∪(B + C ) A ∩ (B + C) = A + (B + C ) 若为后者,即 xA , x B，xC ，则得 x B + C 也可得上式.因此 (A + B) + C A + ( B + C )
7
先证:(A + B) + C A + ( B + C ) 任取 x(A + B)+ C = (A + B) ∪C (A + B) ∩C 则 x(A + B), x C ; 或 x (A + B), xC . 1) 若 xA + B = A∪B A∩B, xC , 则 x A , x B ; 或 x A , x B ;
18
§3 除环和域
一 除环与域的概念与性质
定义1 设 R 是一个环,如果 |R| > 1，又有单 位元且每个非零元素都有逆元,则称 R 是一个除环 . 可换的除环称为域. 由以上定义，数域都是域；整数环是有单位元 的可换环，但不是域.
定理1
除环和域都没有零因子.
证明： 设R是一个除环，a R.如果 a 0, ab = 0 则 a1 (ab) = b = 0, 即R 无零因子.