三角函数练习题及解析

三角函数练习题及解析
19. 已知0?x??
2，化简：
x?lg?x?)]?lg.2
解析：原式?lg?lg?lg2?0．
16.
已知函数f?sin2x?2sin2x
求函数f的最小正周期。

求函数f的最大值及f取最大值时x的集合。

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C??1
求sinC的值；
当a=2，sinA=sinC时，求b及c的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。

解：因为cos2C=1-2sin2C=?1，及0＜C＜π
所以
ac?，得 sinAsinC解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理
c=4
由cos2C=2cos2C-1=?1，J及0＜C＜π得
cosC=
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
b2
b-12=0
解得
或
所以
c=4或
?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?53，cos?ADC?，求AD． 135
本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
由cos∠ADC=＞0，知B＜.
由已知得cosB=，sin∠ADC=.
从而sin∠BAD=sin=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==. 由正弦定理得，所以=.
三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵
活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.
17.
在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
解在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
AD2?DC2?AC2100?36?1961??, cos?=2?10?622AD?DC
??ADC=120°, ?ADB=60°
在△ABD中，AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°，由正弦定理得ABAD?, sin?ADBsinB
?AB
=AD?sin?ADB10sin60sinBsin45?10?
在?ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，
且2asinA?sinB?sinC
求A的大小；
若sinB?sinC?1，试判断?ABC的形状.
解：由已知，根据正弦定理得2a2?b?c
即a2?b2?c2?bc 由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA 故cosA??1,A?120?
由得sin2A?sin2B?sin2C?sinBsinC.
又sinB?sinC?1，得sinB?sinC?因为
0??B?90?,0??C?90?， 1
故B?C
所以?ABC是等腰的钝角三角形。

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 2asinA?sinB?sinC.
求A的大小；
求sinB?sinC的最大值.
解：
由已知，根据正弦定理得2a2?b?c
222即 a?b?c?b c
22由余弦定理得 a?b?c?2bccosA
A??故 cos1，A=120° ……6分
由得：
sinB?siCn?sBin?sin??
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

……12分
?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?53，cos?ADC?，求AD。

135
本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。

由?ADC与?B的差求出?BAD，根据同角关系及差角公式
求出?BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。

17.
已知函数
f?x???1?cotx?sin2x?msin?x??sin?x??4??4?。

?
??3f?x?84?上的取值范围；当m=0时，求在区间?
当tana?2时，f?a??35，求m的值。

考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。

依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.
解：当m=0时，f?sin2x?sin2x?sinxcosx?
sinx2
1??3x?)?1]，由已知x?
[,]，得2x??[?48442
从而得：f的值域为f?sin2x?msinsin sinx44
11化简得：f?[sin2x?cos2x]?2
当tan??2，得：sin2a?
代入上式，m=-2.sinacosa2tana43??cos2a?，，22sina?cosa1?tana55
16、
?ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA?12。

13
求AB?AC；
若c?b?1，求a的值。

本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
根据同角三角函数关系，由cosA?12得sinA的值，再根据?ABC面13
222积公式得bc?156；直接求数量积AB?AC.由余弦定理a?b?c?2bccosA，代入已
知条件c?b?1，及bc?156求a的值. 解：由cosA?
又512，得sinA??. 13131bcsinA?30，∴bc?156.12?144. AB?AC?bccosA?156?13
2222a?b?c?2bccosA??2bc?1?2?156??25， 13
∴a?5.
根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知?ABC的面积是30，cosA?12，所以先求sinA 的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问13 中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.
., 小问5分，小问8分.)
222设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,
且3b+3c-3a
求sinA的值；
2sinsin的值. 求1?cos2A??
三角函数题解
1.把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移下平移1个单位，得到的曲线方程是
A.sinx+2y－3=0
B.sinx+2y－3=0
C.sinx+2y+1=0
D.－sinx+2y+1=0 1.答案：C
解析：将原方程整理为：y=
?2
个单位，再沿y轴向
1?
，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位
22?cosx1
和1个单位，因此可得y=
2?cos
2
评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：cossinx+2y+1=0.
?
2
）+2－1=0，即得C选项.
2.若角α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限.答案：B
解析：sin2α＝2sinαcosα＜0 ∴sinαcosα＜0 即sinα与cosα异号，∴α在二、四象限，又cosα－sinα＜0 ∴cosα＜sinα
由图4—5，满足题意的角α应在第二象限
3.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是 A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形.答案：C
解析：2sinAcosB＝sin＋sin又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin＝0，∴A＝B
4.函数y=2sinx的单调增区间是 A.［2kπ－
?2
，2kπ＋
?2
］
B.［2kπ＋
?
2
，2kπ＋
3?］
C.［2kπ－π，2kπ］
D.［2kπ，2kπ＋π］
4.答案：A
解析：函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.
5.在内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为 A.∪ ?
B.
4
C.
D.∪
5.答案：C
解法一：作出在区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标由图4—6可得C答案
.
?
4
和
5?，4
图4—6图4—7
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.
6.已知f是定义在上的函数，f的图象如图4—1所示，那么不等式fcosx＜0的解集是
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪.答案：
C
?f?0?f?0??
解析：解不等式fcosx＜0??cosx?0或?cosx?0
?0?x?3?0?x?3??
?1?x?3
?0?x?1??
∴?? ∴0＜x＜1或＜x＜或?
2?x0?x?1??2
7.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间
A.y=cos2x
C.y＝3
7.答案：B
解析：A项：y=cos2x=上为增函数.
B项：作其图象4—8，由图象可得T=π且在区间22 ?
2
，π）上
?2
，π)区间上为减函数,数y=为减函数.因此y=cosx33
在区间上为增函数.
D项：函数y＝－cotx在区间上为增函数.
8.函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是 8.答案：C
解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数
.
选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数.
9.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限.答案：B
解析：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞90°，∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故选B.
10.tan300°+cot405°的值是 A.1＋
3
B.1－
3
C.－1－
D.－1＋
3
10.答案：B
解析：tan300°＋cot405°＝tan＋cot＝－tan60°＋cot45°＝1－
11.已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ C.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ 11.答案：D
解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.
12.函数y＝－xcosx的部分图象是
.
12.答案：D
解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈函数f=Msin，在区间［a，b］上是增函数，且f=－M，f=M，则函数g=Mcos在［a，b］上
A.是增函数C.可以取得最大值－
?
）时，y＝－xcosx＜0.
B.是减函数
D.可以取得最小值－m
13.答案：C
??
＋2kπ≤ωx＋?≤＋2kπ，故有g在22
［a，b］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx＋?＝2kπ时g可取到最大值M，答
解法一：由已知得M＞0，－案为C.
解法二：由题意知，可令ω＝1，?＝0，区间［a，b］为［－
??，］，M＝1，则2
g为cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C.
评述：本题主要考查函数y=Asin的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.
14.若sinα＞tanα＞cotα
??
A.
24
C.
4
D.
??，）2
?6
14.答案：B 解法一：取α＝±
??，±36
代入求出sinα、tanα、cotα之值，易知α＝－适合，
又只有－
?
6
∈，故答案为B.
?
∈，再由tanα
2
＞cotα得:α
解法二：先由sinα＞tanα得：α
?∈
评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类
题型，运用特殊值法求解较好.
15.若fsinx是周期为π的奇函数，则f可以是
A.sinx
B.cosx
C.sin2x
D.cos2x 15.答案：B
解析：取f=cosx，则f2sinx=
1
sin2x为奇函数，且T=π.
评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.
16.已知点P在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是
三角函数综合测试题
学生：用时：分数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.y??1是 A．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为π的奇函数
2
2.为得到函数y?cos?x?
?
?
π?
?的图象，只需将函数y?sinx的图像
3?
π
个长度单位5π
C．向左平移个长度单位
6
A．向左平移
π
个长度单位5π
D．向右平移个长度单位
6
B．向右平移
3.若sin??0且tan??0是，则?是 A．第一象限角
B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4.．函数f?sinx?cosx的最大值为 A．1 B． C． D．2.函数y?sin图像的对称轴方程可能是 C．x?
?
6
B．x??
?
12
?
6
D．x?
?
12
6.函数y=cosx的图象向左平移
?
个单位后，得到函数y=g的图象，2
则g的解析式为 A.-sinx B.sinxC.-cosx D.cosx 7.已知函数f?sinx,x?R，则f是
2
?
的奇函数?
C、最小正周期为?的偶函数
D、最小正周期为的偶函数
2
A、最小正周期为?的奇函数
B、最小正周期为
8.函数f?cos2x?2sinx的最小值和最大值分别为
33D. －2，2?
9.将函数y?sin的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若
3
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
F′的一条对称轴是直线x?
?
1511511
A.?
B.??
C.?
D.??
12121212
sinx
10.函数f?是
sinx?2sin
2
A．以4?为周期的偶函数 B．以2?为周期的奇函数C．以2?为周期的偶函数 D．以4?为周期的奇函数
11.若动直线x?a与函数f?sinx和g?cosx的图像分别交于M，N两点，则
,则?的一个可能取值是
MN的最大值为
A．1
B
C
D．2
12.已知cos
??
π?7π??
?sin??sin的值是
6?6??
A
． B
4D．5
13.sin330?等于 A
． B．?
11 C．2
2
D
14.?tanx?cotx?cosx? Ａ.tanxＢ.sinx Ｃ.cosx Ｄ.cotx 15.把函数y?sinx的图象上所有的点向左平行移动再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
?
个单位长度，3
1
倍，得到的图象所表示的函2
数是 A．y?sin?2x?
??
?，x?R
?，x?R?
B．y?sin?
??，x?R ?26?
?，x?R?
C．y?sin?2x?D．y?sin?2x?
??
16.设a?sinA．a?b?c
5?2?2?
，b?cos，c?tan，则77
B．a?c?b C．b?c?a D．b?a?c
2
17.函数y??1的最小正周期是
3??
B.?
C.
D.2?
22
x3?
18.在同一平面直角坐标系中，函数y??)的图象和 22
1
直线y?的交点个数是
2
A.
A.0
B.1
C.
D.1-18题答案：
1.D .C .C .B .B .A .D .C.A 10.A 11.B 1
2.C 1
3.B
14.D 15.C 16.D17.B 18.C
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上.
19.若角?的终边经过点P，则tan2?的值为． 0.f?x??cos??x?
?
?
??
6?
?的最小正周期为
?，其中??0，则?=．
2sin2x?1
21.设x??0?，则函数y?的最小值为．
sin2x2??
22.若sin?，则cos2??_________。

5
?
23.函数f＝3sin x +sin的最大值是
219-23题答案： 19.
20. 10 1.22. ? 3.225
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤4. 求函数y?7?4sinxcosx?4cosx?4cosx的最大值与最
小值。

4. 解：y?7?4sinxcosx?4cosx?4cosx
2
4
2
4
?7?2sin2x?4cos2x?1?cos2x?
?7?2sin2x?4cos2xsin2x
?7?2sin2x?sin22x ??1?sin2x??6
2
，由于函数z??u?1??6在??11?中的最大值为
2
zmax1?1??6?10 最小值为
zmin??1?1??6?6
故当sin2x??1时y取得最大值10，当sin2x?1时y 取得最小值6
：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；
：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
25. 已知函数f?sin2?x?xsin??x?
2
2
??
π?
?的最小2?
正周期为π．求?的值；求函数f在区间?0?上的取值范围．
3
?2π
25. 解：
f?
1?cos2?x11
?2?x?2?x?cos2?x?
222
π?1?
?sin?2?x．
6?2?
因为函数f的最小正周期为π，且??0，所以
2π
?π，解得??1．?
??
π?1??．?2
由得f?sin?2x?
2π，
ππ7π所以?≤2x?≤，
666
因为0≤x≤所以?
1π?≤sin?2x≤1，6??
因此0≤sin?2x?
?
?
π?13?3?
，即的取值范围为?≤0?． f??6?22?2?
26. 已知函数f?2cos?x?2sin?xcos?x?1的最小值正周期是
2
?
．求?的值；
求函数f的最大值，并且求使f取得最大值的x的集合．
26. 解：
f?x??2?
1?cos2?x
?sin2?x?12
?sin2?x?cos2?x?2
??? ?
?2?sin2?xcos?cos2?xsin??2
44
?2sin?2?x2
4??
由题设，函数f?x?的最小正周期是由知，f?x??
2
，可得?，所以??2．
2?22
2sin?4x2．
4??
当4x?
?
4
?
?
2
?2k?，即x?
?
16
?
kk?Z?时，sin??4x??取得最大值1，所以函数
4?2?
?k
f?x?的最大值是2?2，此时x的集合为?x|x??,k?Z? 162??
27. 已知函数f?cos?2sinsin44
??
求函数f的最小正周期和图象的对称轴方程求函数f 在区间[?
,]上的值域
122
??
27. 解：?f?cos?2sinsin
344
??
?
1cos2x?2x?
21cos2x2x?sin2x?cos2x
21cos2x?2x?cos2x2
?
?。