三角函数练习题及解析

三角函数练习题及解析

19. 已知0?x??

2，化简：

x?lg?x?)]?lg.2

解析：原式?lg?lg?lg2?0．

16.

已知函数f?sin2x?2sin2x

求函数f的最小正周期。

求函数f的最大值及f取最大值时x的集合。

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C??1

求sinC的值；

当a=2，sinA=sinC时，求b及c的长．

解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。解：因为cos2C=1-2sin2C=?1，及0＜C＜π

所以

ac?，得 sinAsinC解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理

c=4

由cos2C=2cos2C-1=?1，J及0＜C＜π得

cosC=

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得

b2

b-12=0

解得

或

所以

c=4或

?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?53，cos?ADC?，求AD． 135

本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.

由cos∠ADC=＞0，知B＜.

由已知得cosB=，sin∠ADC=.

从而sin∠BAD=sin=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==. 由正弦定理得，所以=.

三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵

活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

17.

在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，

AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

解在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,

由余弦定理得

AD2?DC2?AC2100?36?1961??, cos?=2?10?622AD?DC

??ADC=120°, ?ADB=60°

在△ABD中，AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°，由正弦定理得ABAD?, sin?ADBsinB

?AB

=AD?sin?ADB10sin60sinBsin45?10?

在?ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，

且2asinA?sinB?sinC

求A的大小；

若sinB?sinC?1，试判断?ABC的形状.

解：由已知，根据正弦定理得2a2?b?c

即a2?b2?c2?bc 由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA 故cosA??1,A?120?

由得sin2A?sin2B?sin2C?sinBsinC.

又sinB?sinC?1，得sinB?sinC?因为

0??B?90?,0??C?90?， 1

故B?C

所以?ABC是等腰的钝角三角形。

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 2asinA?sinB?sinC.

求A的大小；

求sinB?sinC的最大值.

解：

由已知，根据正弦定理得2a2?b?c

222即 a?b?c?b c

22由余弦定理得 a?b?c?2bccosA

A??故 cos1，A=120° ……6分

由得：

sinB?siCn?sBin?sin??

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。……12分

?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?53，cos?ADC?，求AD。 135

本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。

由?ADC与?B的差求出?BAD，根据同角关系及差角公式

求出?BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。

17.

已知函数

f?x???1?cotx?sin2x?msin?x??sin?x??4??4?。 ?

??3f?x?84?上的取值范围；当m=0时，求在区间?

当tana?2时，f?a??35，求m的值。

考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.

解：当m=0时，f?sin2x?sin2x?sinxcosx?

sinx2

1??3x?)?1]，由已知x?

[,]，得2x??[?48442

从而得：f的值域为f?sin2x?msinsin sinx44

11化简得：f?[sin2x?cos2x]?2

当tan??2，得：sin2a?

代入上式，m=-2.sinacosa2tana43??cos2a?，，22sina?cosa1?tana55

16、

?ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA?12。 13

求AB?AC；

若c?b?1，求a的值。

本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.

根据同角三角函数关系，由cosA?12得sinA的值，再根据?ABC面13

222积公式得bc?156；直接求数量积AB?AC.由余弦定理a?b?c?2bccosA，代入已

知条件c?b?1，及bc?156求a的值. 解：由cosA?

又512，得sinA??. 13131bcsinA?30，∴bc?156.12?144. AB?AC?bccosA?156?13

2222a?b?c?2bccosA??2bc?1?2?156??25， 13

∴a?5.

根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知?ABC的面积是30，cosA?12，所以先求sinA 的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问13 中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.

., 小问5分，小问8分.)

222设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,