控制系统的分析

eAt I At 1 A2t2 1 Aktk Aktk
2!
k!
k0 k!
（1）微分公式：
d e At AeAt e At A dt (2)乘法公式一：e Ate A e A（t ）
(0) A
乘法公式二：e AteBt e（A B）t ，
但如果A与B是可交换矩阵，即AB BA，则有
则有
dP(t) dQ(t) R(t) Q(t) dR(t) （1）
dt
dt
dt
1.直接求解法
现在来求状态方程
x(t) Ax(t) Bu(t)
（2）
在初值条件x(0)= x0 下的解，移项后用 e At
左乘上式两端，得
eAt x(t) eAt Ax(t) eAt Bu(t)
e At x(t) e At Ax(t) d [e At x(t)] dt
e AteBt e（A B）t
（3）矩阵反号后的矩阵指数函数
e At e A（t）
（4）逆矩阵
eAteAt In，可知eAt的逆矩阵是eAt。既然eAt总是存在的， 所以矩阵指数函数总是非奇异矩阵，即使A是奇异矩阵也如
此。
（5）对角矩阵的矩阵指数函数
如果是对角矩阵
1
2
n
e1t
有et
所以有 d [e At x(t)] e At Bu(t) dt
在从t0到t的区间上积分，得到
eAt x(t) eAt0 x(t0)
t eABu()d
t0
即
x(t) eA(tt0)x(t0)
t eA(t)Bu()d
t0
t0 0, x(t) eAt x(0)
t eA(t)Bu()d
b2
1 2
Ab1
1 2!
A2b0
b3
1 3
Ab2
1 3!
A3b0
X (t)
b0
Ab0t
1 2!
A2b0t
2
1 k!
Akb0t
k
(I
At
1 A2t 2 2!
1 Akt k k!
)b0
bk
1 k
A bk 1
1 k!
Ak
b0
X (t) [I At 1 A2t2 1 A3t3 1 Aktk ]X (0)
e2t
ent
(6)相似变换
Pe At P 1 e pAp t1
对一个矩阵做相似变换，相当于对它的矩阵指数函数做同样的相似变换
(7)特征值。设矩阵A没有重特征值
1
A PP1 P
2
P1
n
e1t P
e2t
P1 Pet P1 ePP1t eAt
ent
可见诸eit是eAt的特征值。就是说，矩阵eAt的特征值分别是矩阵A的 特征值的标量指数函数，而且eAt与A的特征向量矩阵相同。
X (t) L1[(sI A)1]X (0)
e At L1[(sI A)1]
3.状态转移矩阵
我们已经知道，在没有外作用即u=0的情况下， 状态方程的解就是系统的自由运动
x(t) e At x0
x(t)是系统在时刻t的状态向量，
x0 是系统在时刻t=0的初始状态向量。这两个向量由
矩阵 e At 联系起来。每给定一个x0 ，就有一个
x(t)与之相对应。矩阵 e At 可以表明，在没有外作用 下，从时刻0到时刻t,系统状态如何演化。因此把 e At
称为系统的状态转移矩阵.记作 (t)
显然，系统自由运动的状态转移性能完全取决于系统内部固有 特性的A阵。这样，X(t) AX (t)的解可表示为X (t) (t)X (0)
矩阵指数函数有以下重要性质
两种常见的状态转移矩阵
设A对角阵，且有互异元素，则
e1t
0
(t
)
0
ent
1
设A为约当阵A
0
et tet
, (t )
0
et
1
0
0
t 2 et 2 tet
0
t m1 et (m 1)!
t m2 et (m 2)!
tet
et
4.状态转移矩阵的几种算法
1)根据矩阵指数函数的定义计算
2!
3!
k!
定义e At I At 1 A2t 2 1 Akt k
2
k!
1 Akt k k0 k!
则，X (t) eAt X (0)
2.用拉氏变换法求解
将X AX两端取拉氏变换有sX (s) X (0) AX (s),
即，(sBiblioteka Baidu A)X (s) X (0)
于是，X (s) (sI A)1 X (0) 取拉氏反变换得齐次状态方程的解
eAt I At 1 A2t 2 1 Aktk
2!
k!
2)利用拉氏变换法进行计算
eAt L1[(sI A)1]
例9
2.1已知系统矩阵A
0 2
1 3,
求e
At
解：（1）先求(sI A)
sI
A
s 2
1 s 3
(2)(sI
A)1
adj(sI A) sI A
(s
1 1) (s
e1t
eAt P
e2t
P1
ent
例9 2.2已知一线性定常系统的系统矩阵
0 1 1
A 6
11
5
6 11 6
试用对角规范型求其状态转移矩阵
§2-2 . 非齐次状态方程的解
为了说明怎样利用矩阵指数函数直接解状态方程，我们先证明如下命题： 设
P(t)=Q(t)R(t)
其中P(t),Q(t)和R(t)都是以t为自变量的维数合适的矩阵，
0
若用状态转移矩阵表示，有
t
x(t) (t t0)x(t0)
(t )Bu()d
t0
t
x(t) (t)x(0) 0 (t )Bu()d
如果没有外作用，即u=0，则得到系统的自由运动：
x(t) e At x0
2. 拉氏变换法
以上的结果也可以用Laplace变换来求得。对（2)的两端取Laplace变换， 得
第二章：控制系统的分析
§ 2-1 . 线性定常系统齐次方程的解 X(t) AX (t) 1.直接求解法
X (t) b0 b1t b2t2 bktk ,b0,b1, 为待定的实向量系数
b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k1 A(b0 b1t b2t 2 )
b1 Ab0
2)
s 3
2
1 s
2
s 1 2
s
1
2
2
s 1 s 2
(3)e At
L1[(sI
A)1]
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
1
s 1 1
s
1
2
2
s 1 s 2
3)利用对角规范型或约当规范型进行计算
A为任意形式，具有个互异特征值1,2, , 存在一个变换矩阵 P，可将A化为对角线型。其状态转移矩阵可按下式求得。