数学建模所需知识及方法

解 法
规划 问题
图论
差微 分方 程
数据拟合 模拟处理
优化
数据 分析 理论
其它 （排 队运 输离 散）
相关 93A,93B 93B 赛 94A,95A 94A 题
合 计
96A 03A 95B,96B 94B 07A 97A,98A 95B 08A 99B,01B 97B 09A 02A,03B 98B 06A,06B 99B 07B,09B 07B 10A 17 8 5
插值方法
一维插值的定义—已知n个节点，求任意
点处的函数值。
分段线性插值 多项式插值 样条插值
y=interp1(x0,y0,x,'method')
二维插值—节点为网格节点
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)
97A零件的参数设计 97B截断切割的最优排列 98A一类投资组合问题 98B灾情巡视的最佳路线 99A自动化车床管理 99B钻井布局 00A DNA序列分类 00B钢管订购和运输 01A血管三维重建 01B 公交车调度问题 02A车灯线光源的优化
非线性规划 随机模拟、图论 多目标优化、非线性规划 图论、组合优化 随机优化、计算机模拟 0-1规划、图论 模式识别、Fisher判别、 人工神经网络 组合优化、运输问题 曲线拟合、曲面重建 多目标规划 非线性规划

07A 人口问题 微分方程、数据处理、优化 07B 乘公交，看奥运 多目标规划、动态规划、图论 0-1规划 08A 照相机问题 非线性方程组、优化 08B 大学学费问题 数据收集和处理、统计分析、 回归分析 09A 制动器试验台的控制方法分析 微元分析法 09B 眼科病床的合理安排 层次分析法 整数规划 动态 规划 排队论 10A 储油罐的变位识别与罐容表标定 非线性规划 多元 拟合 10B 2010年上海世博会影响力的定量评估 数据收集和 处理，层次分析法 时间序列分析

建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式） 对回归模型的可信度进行检验 判断每个自变量对因变量的影响是否显著 判断回归模型是否适合这组数据 利用回归模型进行预报或控制


[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) （线性回归） rstool（x，y，’model’, alpha）（多元二项式回归） 学会使用工具箱 （matlab 界面——〉start） [beta,r,J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）（非线性回归）
02B彩票问题 单目标决策 03A SARS的传播 微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排 整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计 统计分析、数据处理、优化 04B电力市场的输电阻塞管理 数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测 预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁 随机规划、整数规划 06A出版社书号问题 整数规划、数据处理、优化 06B Hiv病毒问题 线性规划、回归分析
问题—给定一批数据点（输入变量与输
出变量的数据），需确定满足特定要求 的曲线或曲面 插值问题—要求所求曲线（面）通过所 给所有数据点 数据拟合—不要求曲线（面）通过所有 数据点，而是要求它反映对象整体的变 化趋势
数据拟合
一元函数拟合
多项式拟合
非线性函数拟合
多元函数拟合（回归分析） MATLAB实现 函数的确定

百度文库
1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛 题的解决依赖计算机。某些题目的数据较多， 手工计算不能完成；某些问题需要使用计算机 软件进行图象处理；有些问题还需调用统计软 件包等等。
2. 赛题的开放性增大解法的多样性，一 道赛题可用多种解法。开放性还表现在 对模型假设和对数据处理上。 3. 求解算法和各类现代算法的融合， 4更关注于当年的实事问题。例如：04A 奥运会临时超市网点设计，07B 乘公交， 看奥运，10B 2010年上海世博会影响力 的定量评估等；
优化模型求解

无约束规划
fminsearch fminbnd

线性规划
linprog


非线性规划
fmincon
多目标规划（计算有效解）
目标加权、效用函数
动态规划（倒向、正向） 整数规划（分支定界法、枚举法、LINDO）
三、统计方法（回归分析）

回归分析—对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一 个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的 一种统计方法 （一元线性回归、多元线性回归、非线性回归） 回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：
图，使总造价最低（prim算法、Kruskal算法 ）

图的匹配问题
人员分派问题：n个工作人员去做件n份工作，每人适
合做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工 作？如果不能，最多几人可以有适合的工作？(匈牙利 算法)
图论方法（二）
遍历性问题
中国邮递员问题—邮递员发送邮件时，要从
邮局出发，经过他投递范围内的每条街道至 少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择 一条行程最短的路线
92A,93A 97B,99A 01A,04A 04B,05A 06A,07A 08B,10A 10B
92B,96A 98A,98B 99A,00B 02B,04A 04B,06A 07A,08A
93B 04A 09A 09B 10B
92B 94A 94B 95B 00A 00B
13
12
6
6
赛题发展的特点：
最大流问题
运输问题
最小费用最大流问题
在运输问题中，人们总是希望在完成运输任
务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的 运输方案
历年回顾:
92A题施肥效果分析 92B题实验数据分解 93A非线性交调的频率设计 93B足球队排名 94A逢山开路 94B锁具装箱问题 95A飞行管理问题 95B天车与冶炼炉的作业调度 96A最优捕鱼策略 96B节水洗衣机 回归分析 数据拟合 离散模型、组合最优化 拟合、规划 图论、层次分析、整数规划 图论、插值、动态规划 图论、组合数学 非线性规划、线性规划 动态规划、排队论、图论 微分方程、优化 非线性规划
这么多资源，我们怎么利用?从哪里下手？ 这就要回到我们的目的是什么？
掌握解决问题的方法。 那我们需要掌握哪一些方法呢？ 怎么去学？
数学建模需要的知识（部分）
运筹学 多元统计分析
微分方程
数学建模常用的方法
类比法 量纲分析法 差分法 变分法 图论法 层次分析法 数据拟合法 回归分析法 数学规划（线性规划，非线性规划，整数规 划，动态规划，目标规划）

数学建模常用的方法
机理分析法 排队方法 对策方法 决策方法 模糊评判方法 时间序列方法 灰色理论方法 现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火 算法，遗传算法，神经网络）

数学模型分类
优化模型 微分方程模型
统计模型
概率模型 图论模型 决策模型
一、拟合与插值方法
四 时间序列分析方法
时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且 相互关联的数据序列—通过对预测目标自身时 间序列的处理，来研究其变化趋势（长期趋势 变动、季节变动、循环变动、不规则变动） 自回归模型

一般自回归模型AR(p)—系统在时刻t的响应X(t)仅与
其以前时刻的响应X(t-1),…， X(t-p)有关，而与其以 前时刻进入系统的扰动无关 移动平均模型MA(q)—系统在时刻t的响应X(t) ，与 其以前任何时刻的响应无关，而与其以前时刻进入 系统的扰动u(t-1),…,u(t-q)存在着一定的相关关系 自回归移动平均模型 ARMA(p,q)—系统在时刻t的响 应X(t)，不仅与其前p个时刻的自身值有关，而且还 与其前q个时刻进入系统的扰动存在一定的依存关 系
二维插值—节点为散点
z1=griddata(x,y,z,x1,y1)
二、优化方法
优化模型四要素
决策变量
目标函数（尽量简单、光滑） 约束条件（建模的关键）
求解方法 （MATLAB,LINDO）
优化模型分类




线性规划模型（目标函数和约束条件都是线性 函数的优化问题） 非线性规划模型（目标函数或者约束条件是非 线性的函数） 整数规划（决策变量是整数值得规划问题） 多目标规划（具有多个目标函数的规划问题） 目标规划（具有不同优先级的目标和偏差的规 划问题） 动态规划（求解多阶段决策问题的最优化方法）
五、图论方法（一）

最短路问题
两个指定顶点之间的最短路径—给出了一个连接若干
个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线 （Dijkstra算法 ） 每对顶点之间的最短路径 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）

最小生成树问题
连线问题—欲修筑连接多个城市的铁路设计一个线路