数学思想与数学文化——第一讲 数学是什么

2）期中成绩占20%（期中小论文）；
3）期末成绩占50%（闭卷笔试或论文报告）； 4）加分部分占10%（课堂演讲）。
《数学思想与数学文化》第一讲---
数学是什么
内容


一.前言
二.数学是什么
1. 数学是一种语言，是一切科学的共同语言
2. 数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙 3. 数学是一种工具，一种思维的工具 4. 数学是一门艺术，一门创造性艺术
特别是理性的精神。”

审美说：“数学家无论是选择题材还是判断能
否成功的标准，主要是美学的原则。” 艺术说：“数学是一门艺术。” 万物皆数说：数的规律是世界的根本规律，一 切都可以归结为整数与整数比。

附：中国现象
---大学校长是综合素质比较好的学者；
众多大学校长都是数学教授，这也说明数
学教育对人的综合素质的提高，影响很大。 ---有些人把它叫做有趣的中国现象。
哲学说


亚里士多德：“新的思想家把数学和 哲学看作是相同的。” 来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。 《几何原本》：点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度。
牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说，他是把这本书 “作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数 学问题呈现出来”。
二. 数学是什么 1. 数学是一种语言，是一切科学的共同语言
享有“近代科学之父”尊称的大物理学家伽利略（Galileo） 说过：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的 大书，如不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡， 什么也认识不清。”由于在量子电动力学方面做出突出贡 献于1965年获得了Nobel奖的物理学家理查德· 费格曼 （Richard Fegnman）曾说过：“若是没有数学语言，宇宙 似乎是不可描述的。” 例子 1)牛顿（Issac Newton）：微积分学---万有引力定律。 2)爱因斯坦（Albert Einstein）： Riemann几何---广义相对论。 3) 伽罗瓦（Galois）：群论---统一能量守恒定律、动量守恒 定律、电荷守恒定律等。
作为数学教授的大学校长




丁石孙——北京大学 苏步青——复旦大学 谷超豪——中国科大 潘承洞——山东大学 齐民友——武汉大学 伍卓群——吉林大学 侯自新——南开大学 李岳生——中山大学曹策问——郑州大学 杨思明——湘潭大学 展 涛 ——山东大学




黄达人——中山大学 吴传喜——湖北大学 周明儒——徐州师大 王梓坤——北师大 陆善镇——北师大 王建磐——华东师大 史宁中——东北师大 路 钢——华中师大 邱玉辉——西南师大 王国俊——陕西师大 庾建设——广州大学 房灵敏——西藏大学
丁石孙：北京大学校长（1984-1989）
全国人大常委会副委员长， 民盟中央名誉主席。汉族， 1927年9月生，江苏镇江人， 民盟成员、中共党员，1950 年参加工作，清华大学数学 系毕业，大学学历，教授。 专长:代数、数论。
（在北京大学一百多年的校史上，第26任 校长丁石孙并不算是非常著名的人物。但 是北大著名的学者季羡林在百年校庆时， 曾在报上发表过这样一句感慨，他说在北 京大学的历史上，有两位校长值得记住， 一位是被称为“北大之父”的蔡元培，另 一位就是丁石孙。 ）
苏步青，复旦大学校长（1978-1983）
1902年生于浙江，2003年卒 于上海。中国科学院院士。他 是国际公认的几何学权威，我 国微分几何学派的创始人。早 在20年代，他的仿射不变的四 次（三阶）的代数锥面，被命 名为苏锥面。他的仿射微分几 何的高水平工作，至今在国际 数学界仍享有很高的评价。

2．数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙
在17世纪工业革命时代，弗· 培根（F .Bacon）曾提出“知 识就是力量”的响亮口号，同时还说“数学是打开科学大 门的钥匙”。 例子： 1）马克斯威尔（Maxwell）方程--电磁波理论---现代的通讯 技术； 2）纳维－斯托克司（Navier-stokes）方程---流体力学的理论 基础---航空学； 3）数理逻辑和量子力学---现代的电子计算机； 4）Newton万有引力定律（含行星运动三大定律）---天文学、 物理学和其他自然科学； 5）微积分学---力学和现代的科学技术。
（其专长于解析数论的研究，尤以哥德巴 赫猜想研究著名，与当代著名数学家华罗 庚、王元、陈景润一起成为中国数论派的 代表。）
展涛，山东大学校长（2000-2008）
回族，1963年4月出生，山东兖州 人，中共党员，理学博士，教授， 博士生导师。1979年9月入山东大 学数学系学习；1987年留校。1991 年1月至1992年12月获德国洪堡基 金会奖励基金，赴德国弗莱堡大学 从事合作研究；1993年4月任山东 大学数学系副主任；1995年3月任 山东大学副校长；1996年12月任山 东大学党委常委、副校长；2000年 7月任山东大学党委常委、校长。 2008年11月任吉林大学校长。


著名数学家庞加莱曾说：“科学家研究自然是因为他爱自然， 他之所以爱自然，是因为自然是美好的。如果自然不美，就 不值得理解，如果自然不值得理解，生活就毫无意义。当然 这里所说的美，不是那种激发感官的美，也不是质地美和表 现美．．．．．．我说的是各部分之间有和谐秩序的深刻美， 是人的纯洁心智所能掌握的美。” 数学能陶冶人的美感，增进理性的审美能力。一个人数学造 诣越深，越是拥有一种直觉力，这种直觉力实际上就是理性 的洞察力，也是由美感所驱动的选择力，这种能力有助于使 数学成为人们探索宇宙奥秘和揭示规律的重要力量。正如德 国数学家皮索特和萨马斯基在合著的《普通数学》中所说： “数学是艺术又是科学，它也是一种智力游戏，然而它又是 描绘现实世界的一种方式和创造现实世界的一种力量。”
(妻子胡和生均为中科院院士，苏步青学生。2010 年国家最高科技奖获得者。数学人生：一生尝尽 数学的深奥与抽象。)
潘承洞，山东大学校长（1986-1997）
1934出生，江苏省苏州市人。1997年 12月27日在济南病逝。中国科学院院 士。1981年与其胞弟潘承彪合作编著 的《哥德巴赫猜想》一书，为世界上 第一本全面系统地论述哥德巴赫猜想 研究工作的专著；1982年与王元、陈 景润共同以哥德巴赫猜想的研究成果 获国家自然科学一等奖。
三．数学的诸多定义
1）哲学说 2）符号说 3）科学说 4）工具说 5）逻辑说 6）创新说 7）直觉说 8）集合说 9）结构说（关系说） 10）模型说 11）活动说 12）精神说 13）审美说 14）艺术说
15）万物皆数说
15个“定义” 来自： ---方延明 《数学文化导论》 南京大学出版社 1999
周明儒，徐州师范大学校长（1996—2002）
1963年毕业于徐州师范学院数 学系并留校任教，1980—1981 年在南京大学数学系进修； 1987—1988年在美国密歇根州 立大学数学系访问研究；1993 年8—9月在中国科学院数学研 究所访问研究。1992—1995年 任徐州师范学院副院长； 1996—2002年任徐州师范大学 校长。2001年至今任江苏省数 学会副理事长。
王梓坤，北京师范大学校长（1984-1989）
1929年4月生,江西吉安县人。 1952年毕业于武汉大学数学系。 1955年考入苏联莫斯科大学数学 力学系做研究生，师从于数学大 师 A.N. Kolmogorov和 R. L. Dobrushin, 1952年起先后任南开 大学讲师、教授。1984年以来任 北京师范大学教授。1991年当选 为中国科学院院士。王梓坤是我 国概率论研究的先驱和主要领导 者之一。

4．数学是一门艺术，一门创造性艺术


美国近代数学家哈尔莫斯（P．R．Halmos）说：“数学是 创造性艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创 造性艺术，因为数学家像艺术家一样地生活，一样的思索； 数学是创造性艺术，因为数学家这样对待它。” 1979年美国出版一本轰动世界获得普利策大奖的书《GEB--一条永恒的金带》(这本书指出有一条永恒的金带把数理逻辑、绘画、音乐
《数学思想与数学文化》
1 . 本课程的目的：


1）揭示数学的真实面目；（是什么） 2）挖掘数学学与做的机制；（为什么） 3）探讨生产生活和科技领域的广泛应用 和在人文素养方面所产生的重要影响。 （做什么）
2 . 考试形式：

1）平时成绩占30%（包括5次测试10分，出勤
20分，出勤不足1/3则以缺考论）；

---哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛 的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的 研究对象不同，研究方法也不同.两者虽有相似之处， 但数学不是哲学的一部分, 哲学也不是数学的一部分。 ---现在有人说“哲学从一门学科中退出，意味着这 门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这 门学科的成熟。”
谷超豪，中国科技大学校长（1988-1993）
1926年生于浙江温州。1948年毕 业于浙江大学数学系，1953年起 在复旦大学任教，1957年赴前苏 联莫斯科大学进修，获科学博士 学位。历任复旦大学副校长和中 国科技大学校长。1980年当选为 中国科学院数学物理学部委员。 专长偏微分方程、微分几何和数 学物理。
等不同领域间的共同规律连在一起, 构成了人工智能和生命遗传机制的基础 )。

数学家和文学家、艺术家在思维方法上是共同的，都需要 抽象，也都需要想象和幻想。“美”是艺术家所追求的一 种境界。其实，“美”也是数学中公认的一种评价标准。 当数学家创造了一种简化的证明，找到一种新的应用时， 就会在内心深处获得一种美的享受，数学中的“美”是体 现在简洁性、对称性、和谐性、奇异性上的。


3．数学是一种工具，一种思维的工具
从哲学的观点来看，任何事物都是量和质的统一体，都 有自身量的方面的规律，不掌握量的规律，就不可能对 各种事物的质获得明确的、清晰的认识，而数学正是一 门研究量的科学，它不断地在总结和积累量的规律性， 因而必然成为人们认识世界的有力工具。 例子 1） 晶体结构（1985年Nobel化学奖） 2）人体器官的三维图像（CT扫描，核磁共振成像， 1979年Nobel 生理学和医学奖） 3） 数据压缩技术（Yale大学的研究成果，通讯技术的 重大突破） 4） 一般均衡理论（1972年Nobel 经济学奖）


物理学家伦琴发现X射线而成为1901年开始的Nobel物理 学奖的第一位获奖者，当有人问他需要什么时，他的回 答是：“第一是数学，第二是数学，第三是数学。”
对计算机做出了划时代贡献的冯· 诺伊曼（Von Neumann） 认为：“数学处于人类智能的中心领域．．．，数学方 法渗透支配着一切自然科学的理论分支，它已愈来愈成 为衡量成就的主要标志。” 马克思也说：“一门科学只有当它达到能够成功地运用 数学时，才算真正发展了。”


的语言表述。

结构说（关系说）：强调数学语言、符号的结构
方面及联系方面，“数学是一种关系学”。

模型说：数学就是研究各种形式的模型，如微
积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然 现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非 欧几何是非欧空间的模型。 活动说：“数学是人类最重要的活动之一”。


精神说：“数学不仅是一种技巧，更是一种精神，

符号说：数学是一种高级语言，是符号的世界。
科学说：数学是精密的科学，“数学是科学的 皇后”。 工具说：“数学是其它所有知识工具的源泉”。 逻辑说：数学推理依靠逻辑，“数学为其证明

所具有的逻辑性而骄傲。”

创新说：数学是一种创新，如发现无理数，提
出微积分，创立非欧几何。 直觉说：数学的基础是人的直觉，数学主要是 由那些直觉能力强的人们推进的。 集合说：数学各个分支的内容都可以用集合论

三.数学的诸多定义 附：中国现象
一. 前言


人们对“数学是什么”的问题经历了一个漫长 而艰苦的认识过程。 数学与人类文明共存，有人类文明，就必须有 数学。显然，对数学的认识随人类文明的进步 而不断深化。
前言


恩格斯曾说：“数学是现实世界中的空间形式与数 量关系”。这说明数学的研究对象是“形”与 “数”。 近二三十年来，由于科学技术，特别是信息技术的 迅猛发展，产生了“混沌（Chaos）”、“分形几 何（Fractal Geometry）”等新的数学分支，而这 些内容已经超出一般意义下“形”与“数”的范畴。