一元二次方程根的分布练习和答案及解析

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备《一元二次方程的实根分布问题》

想一想,怎样求函数的零点呢？
求函数的零点有两种方法： ①代数法:求方程f(x)=0的实数根； ②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联
系起来,并利用函数的性质找出零点。
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得 f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
如右图知
O 24 x
f f
(2) (4)
3m 5m
2 4
0 0
m
4 5
问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的取值范围。
条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根的绝对值较大。
y
分析设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
f
(0) m m3
2
0
0
m0
小结
分析设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
(m 3)24m 0
0
m
3
2
2
f (0) m 0
f (2) 3m 2 0
O
2 m1 3
2x
问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析设f(x)=x²+(m–3)x+m
例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根
大于1，试求实数k 的取值范围。

一元二次方程根的分布例题

例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：
x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ① 由题意，方程①在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则当且仅当 f(0)·f(1)<0或 m<0或 m≤3-2且m≠0．故m的取值范围为 (-, 0)∪(0, 3-2]. 例6.3．设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程有解，则的值域．解：（1）原方程为，，时方程有实数解；（2）①当时，，∴方程有唯一解； ②当时，. 的解为；令的解为；综合①、②，得 1）当时原方程有两解：； 2）当时，原方程有唯一解； 3）当时，原方程无解。变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围．解：令，当时，．由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的值．因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为
例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐Байду номын сангаас平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．
例6.3．设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的

微专题11 二次函数根的分布问题(解析版)

微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m<<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n 内有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m为实数，命题甲：关于x的不等式240mx mx+-<的解集为R；命题乙：关于x的方程22200x mx m-++=有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m的取值范围为_______．【答案】(20,0]-【解析】由命题甲：关于x的不等式240mx mx+-<的解集为R，当0m=时，不等式40-<恒成立；当0m≠时，则满足2160mm m<⎧⎨∆=+<⎩，解得160m-<<，综上可得160m-<≤．由命题乙：关于x的方程22200x mx m-++=有两个不相等的负实数根，则满足2121244(20)020200m m x x m x x m ⎧∆=-+>⎪+=<⎨⎪=+>⎩，整理得2200020m m m m ⎧-->⎪<⎨⎪>-⎩，所以45020m m m m <->⎧⎪<⎨⎪>-⎩或，解得204m -<<-．所以甲、乙至少有一个为真命题时，有160m -<≤或204m -<<-，可得200m -<≤，即实数m 的取值范围为(20,0]-．故答案为：(20,0]-．例2．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.【答案】0a ≤或1a =【解析】若方程2210ax x ++=有且仅有一个负实数根，则当0a =时，12x =-，符合题意.当0a ≠时，方程2210ax x ++=有实数根，则440a ∆=-≥，解得1a ≤，当1a =时，方程有且仅有一个负实数根1x =-，当1a <且0a ≠时，若方程有且仅有一个负实数根，则10a<，即0a <.所以当0a ≤或1a =时，关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“0a ≤或1a =”.故答案为：0a ≤或1a =.例3．（2022·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________.【答案】125k ≤-或3k >【解析】首先0k ≠，设方程2330kx kx k ++-=的两根为12,x x ，则12121200,00x x x x x x +<⎧<<⇔⎨>⎩，所以2Δ94(3)03030k k k kkk k⎧⎪=--≥⎪⎪-<⎨⎪-⎪>⎪⎩，又0k ≠，解得125k ≤-或3k >．故答案为：125k ≤-或3k >．例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____．【答案】112m -<<【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得2101021m m m +≠⎧⎪-⎨<⎪+⎩，解得112m -<<.故答案为：112m -<<例5．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b 的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意可得1-和13是方程210+-=ax bx 的两个实根，则11,31113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得3,2a b ==.（2）因为31b a =--，所以()23110ax a x -+-=，由题可知Δ0>，则1a <-或19a >-，由题意，方程有两个负根，即310,10,a a a +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得103-<<a .综上，实数a 的取值范围是109aa ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣.例6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知1x ､2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)若1x ､2x 均为正根，求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不能存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，一元二次方程有两个正根1x ､2x 故20,(4)16(+1)0k k k k ≠∆=-≥，即0k ≤，且121210104x x k x x k +=>⎧⎪+⎨=>⎪⎩，解得：1k <-．（2）由题意，当0∆≥，即0k ≤时，有121211,4k x x x x k++==()()2221212121212129(1)93222+252()92442k k x x x x x x x x x x x x k k ++--=-=+-=-=-=-解得：95k =，与0k ≤矛盾.故不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立题型二：根在区间的分布问题例7．（2022·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________．【答案】5(,2)2--【解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋1，由题意知(0)10(1)20(2)520f f a f a =>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得－52<a <－2.故答案为：5(,2)2--.例8．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=．(1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=，当a 为何值时，该方程：有不同的两根且两根在(1,3)内．【解析】令2()22f x x ax a =-++，因为方程2220x ax a -++=有不同的两根且两根在(1,3)内，所以213Δ44(2)0(1)30(3)1150a a a f a f a <<⎧⎪=-+>⎪⎨=->⎪⎪=->⎩，解得1125<<a ，故答案为：112,5⎛⎫⎪⎝⎭例10．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式22210x tx t -+-≥；(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，求实数t 的取值范围．【解析】（1）设二次函数()2221y x tx t t =-+-∈R 的两个零点分别为1x ，2x ，由已知得120x x +=，而122x x t +=，所以20t =，故0=t ，不等式22210x tx t -+-≥即210x -≥，解得1≥x 或1x ≤-，故不等式的解集为{1x x ≥或}1≤-x .（2）因为方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，所以()()()()222222Δ2t 4t 102t 422t 2t 1042t 4t 10⎧=---≥⎪⎪-<<⎨⎪--⨯-+->⎪-⨯+->⎩，即2240244308150t t t t t ≥⎧⎪-<<⎪⎨++>⎪⎪-+>⎩，解得：13t -<<，即实数t 的取值范围为{}13t t -<<.例11．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221 260.x m x m +-++=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<；(3)至少有一个正根.【答案】(1)1m <-(2)7554m -<<-(3)1m ≤-【分析】设()()22126y f x x m x m ==+-++，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.（1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或．②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-．③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．例12．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）方程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()()2,13,4--【解析】令()()227132f x x a x a a =-++--，因为程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，所以()()()001020f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()22220713202821320a a a a a a a a ⎧-->⎪--+--<⎨⎪-++-->⎩，解得21a -<<-或34a <<，所以实数a 的取值范围为()()2,13,4--.故答案为：()()2,13,4--.例13．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____．【答案】16(5,]3【解析】关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，令()()214f x x a x =--+，则有()()()2Δ1160113216031630a a f a f a ⎧=-->⎪-⎪<<⎪⎨⎪=-≥⎪=-≥⎪⎩，解得1653a <≤，所以实数a 的取值范围是16(5,]3.故答案为：16(5,]3例14．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____．【答案】54a -<≤-【解析】由题意，方程()2250x a x a +=－－－的两根都大于 2，令()()225f x x a x a =+－－－，可得()020222f a⎧⎪≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩，即2165024a a a ⎧≥⎪+>⎨⎪->⎩，解得54a <≤－－．故答案为：54a -<≤-.例15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．【答案】()3,0-【解析】显然0a ≠，关于x 的方程220ax x ++=对应的二次函数()22f x ax x =++当0a >时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向上，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即2030a <⎧⎨+<⎩，解得a ∈∅；②当0a <时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向下，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩，即2030a >⎧⎨+>⎩，解得30a -<<．；综上所述，实数a 的范围是()3,0-．故答案为：()3,0-．例16．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．【答案】()0,1.【解析】方程()()()()2211010x a x a a x a x a ⎡⎤+++=⇒--+=⎣⎦－∴方程两根为12,1x a x a ==+，若要满足题意，则01113a a <<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，故答案为：()0,1.例17．（2022·上海·高一专题练习）方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______【答案】5[2,)2【解析】2240x ax -+=的两个根都大于121520Δ4160a a a >⎧⎪∴->⎨⎪=-≥⎩，解得522a ≤<可求得实数a 的取值范围为5[2,2故答案为：5[2,)2例18．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．2275a -<<B ．25a >C ．27a <-D ．2011a -<<【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a<-，故2011a -<<，故选：D例19．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<；②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：12m =，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于(0,1)，()2(2)4210m m ∆=---=，解得6m =±当6m =+2(2)210x m x m +-+-=的根为2-若6m =-2(2)210x m x m +-+-=2，符合题意综上：实数m的取值范围为{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦故选：D题型三：整数根问题例20．（2022·上海市实验学校高一开学考试）已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.【解析】（1）假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-，95k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立.（2）()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-==-=-=-++，∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，，0k <，235k ∴=---，，.例21．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线，根据题意可得，3640a ∆=->，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21.故选：C例22．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】BC【解析】设()26f x x x a =-+，函数图象开口向上，且对称轴为3x =，因此关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足()()2010f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <≤，又因为a ∈Z ，所以6a =或7或8，故选：BC.例23．（2022·全国·高一专题练习）若方程()22460x kx x --+=有两个不相等的实根，则k 可取的最大整数值是______.【答案】1【解析】方程化为()221860k x x --+=，由()Δ6424210k =-->，12k ≠解得116k <，所以k 最大整数值是1.故答案为：1.题型四：范围问题例24．（2022·上海·高一专题练习）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是___________.【答案】3-【解析】a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，∴可得2a b +=，10ab t =-≥，1t ∴≥，又()4410t ∆=--≥，可得2t ≤，12t ∴≤≤，又()()()()()()222222211121a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++()()()()2221114211a b t t ∴--=--+-+，24t =-，又12t ≤≤，2340t ∴-≤-≤，故答案为：3-．例25．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程240x mx m -+=的两实根分别为12,x x .(1)当1m =时，求1211+x x 的值；(2)若120,0x x >>，求实数m 的取值范围及124x x +的最小值.【解析】（1）当1m =时，方程为2410x x -+=，2(4)4120∆=--=>，所以12124,1x x x x +=⋅=，122112114x x x x x x ∴+⋅+==.（2）因为240x mx m -+=两根120,0x x >>，所以21212Δ1640400m m x x m x x m ⎧=-≥⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得14m ≥.因为12124x x x x +=，120,0x x >>，所以12114x x +=，所以211212121241111194(4)()(5)54444x x x x x x x x x x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当21124x x x x =，即1233,48x x ==时等号成立，此时91324m =>符合题意，124x x ∴+的最小值为94.例26．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（）A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】因为函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=，所以1012200288b c b c +=++-，解得4b =-，所以()224f x x x c -+=，因为方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，所以()Δ168000c f c =-≥⎧⎨=>⎩，解得02c <≤，所以121212112422x x c x x x x c =++==≥，当c =2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B例27．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（）A ．-2B ．23C ．89D ．1【答案】B【解析】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+ ，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得12120·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k .故两个根的倒数和为12121211x x x x x x ++=1331k k k==++，6k ，∴1106k < ，3102k < ，故33112k <+，∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23.故选：B例28．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是()A ．12a x x b <<<B ．12x a b x <<<C ．12a x b x <<<D ．12x a x b<<<【答案】A【解析】由题可得：12x x a b +=+，121x x ab =+.由a b <，12x x <，设1x a m =+，则2x b m =-.所以212()()()1a m b m ab m b a m ab x x =+-=+--=+，所以2()1m b a m --=，21m m b a+=-.又a b <，所以0b a ->，所以0m >.故1x a >，2x b <.又12x x <，故12a x x b <<<.故选：A.例29．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈．(1)若0a =，解不等式()1f x <；(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【解析】(1)当0a =时，原不等式可化为()120x x -⋅-<…①．（ⅰ）当0x ≥时，①式化为220x x --<，解得12x -<<，所以02x ≤<；（ⅱ）当0x <时，①式化为220x x -+>，解得x ∈R ，所以0x <．综上，原不等式的解集为(),2-∞．(2)依题意，()()()2211,11,x a x a x af x x a x a x a ⎧-++--<⎪=⎨-++-≥⎪⎩．因为()10f a =-<，且二次函数()211y x a x a =-++-开口向上，所以当x a ≥时，函数()f x 有且仅有一个零点．所以x a <时，函数()f x 恰有两个零点．所以()()()21,21410,10.a a a a f a +⎧<⎪⎪⎪=+-+>⎨⎪=-<⎪⎪⎩解得3a >．不妨设123x x x <<，所以1x ，2x 是方程()2110x a x a -++--=的两相异实根，则12121,1x x a x x a +=+⎧⎨=+⎩，所以121212111x x x x x x ++==．因为3x 是方程()2110x a x a -++-=的根，且312a x +>，由求根公式得3x =因为函数()g a ()3,+∞上单调递增，所以()332x g >=31012x <<-．所以123111x x x ++．所以a 的取值范围是21,22⎛- ⎝⎭．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·高一专题练习）已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】C【解析】因为2210ax x ++=有一正一负两个根，所以224010a a ⎧∆=->⎪⎨<⎪⎩，解得0a <.因为p 是q 的充分不必要条件，所以0m <，且m ∈Z ，则m 的最大值为1-.故选：C2．（2022·江苏·高一专题练习）已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞【答案】C【解析】令()2(2)5mf x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或则54m -<<-，即(5,4)m ∈--故选：C3．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设方程2610x x -+=的两个不等实根分别为12,x x ，则12||x x -=（）A ．3B ．6C．D．【答案】D【解析】2610x x -+=，364320∆=-=>，故121261x x x x +=⎧⎨=⎩，12||x x -===.故选：D.4．（2021·江苏·高一课时练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）.A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令2()2g x x ax a =-+，由方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解可得244011(1)0(1)0a a a g g ⎧∆=->⎪-<<⎪⎨->⎪⎪>⎩，即011131a a a a <⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩或111131a a a a >⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩，解得103-<<a ，故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是()A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．2a <【答案】C【解析】由题意，不妨设2()21f x ax x =++，因为(0)10=>f ，且()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根，所以2()21f x ax x =++的图像开口向下，即0a <，故对于选项ABCD ，只有C 选项：1a <-是0a <的充分不必要条件.故选：C.6．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）设集合{}2320A x x x =-+<，集合{}2210B x ax x =--=，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞【答案】B【解析】由题意，{}2320{|12}A x x x x x =-+<=<<若AB ⋂≠∅，即方程2210ax x --=存在根在区间(1,2)（1）若102102a x x =∴--=∴=-，不成立；（2）若0a ≠，由于0x =不为方程的根，故0x ≠，则222221211210(1)1x ax x a x x x x+--=⇔==+=+-由于21115(1,2)(,1)(1)1(,3)24x x x ∈∴∈∴+-∈综上，实数a 的取值范围是5,34⎛⎫⎪⎝⎭故选：B7．（2022·全国·高一课时练习）要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{}12a a -<<B ．{}21a a -<<C ．{}2a a <-D ．{}1a a >【答案】B【解析】由题意可得()2211220a a a a +-+-=+-<，解得21a -<<.故选：B.8．（2021·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-【答案】A【解析】因为元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，令2()(1)1f x x m x =+++，则由题意可得(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即10,30,1330,m m >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩解得1333m -<<-，又m Z ∈，可得4m =-.故选：A 二、多选题9．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）.A ．24a b=B ．若不等式2+x ax b c +<的解集为(3,1)-，则7a b c ++=C ．若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为12(,)x x ，且12||4x x -=，则4c =【答案】ABD【解析】由题意，不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，所以240a b ∆=-=，24a b ∴=，所以A 正确；对于B ：2+x ax b c +<变形为2+0x ax b c +-<，其解集为(3,1)-，所以231 314 a b c a b -+=-⎧⎪-⨯=-⎨⎪=⎩，得214a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故7a b c ++=成立，所以B 正确；对于C ：若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21204a x xb =-=-<，所以C 错误；对于D ：若不等式2x ax bc ++<的解集为12(,)x x ，即20x ax b c ++-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21212,4a x x a x x b c c +=-=-=，则12||4x x -==，解得4c =，所以D 正确.故选：D.10．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件是（）A ．4m =B ．5m =C ．1m =D ．12=-m 【答案】ACD【解析】设()24f x x x m =-+，则二次函数()f x 的图象的对称轴为2x =．当4m =时，方程即()224420x x x -+=-=，求得2x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故4m =是方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故A 满足条件；当5m =时，方程即()224521x x x -+=-=-，求得x ∈∅，不满足方程有正实数根，故5m =不是方程240x x m -+=有正数根的充分条件，故排除B ．当1m =时，方程即()224123x x x -+=-=，求得2=±x 但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故1m =方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故C 满足条件；当12=-m 时，方程即24120x x --=，求得2x =-，或6x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故12=-m 方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故D 满足条件，故选：ACD ．11．（2022·湖南湖南·高一期末）若方程220x x λ++=在区间()1,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（）A ．3-B ．18C ．14D ．1【答案】BC【解析】由题意22x x λ=--在(1,0)-上有解．∵(1,0)x ∈-，∴222(1)1(0,1)x x x λ=--=-++∈，故选：BC ．12．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（）A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈<B ．方程()230x m x m +-+=有两个正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤C ．方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}1m m m ∈>D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为0【答案】AB【解析】对A ，当0x =时，函数2(3)y x m x m =+-+的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是{}|0m m m ∈<，故A 正确；对B ，若方程()230x m x m +-+=有两个正实数根1x ，2x ，即()2121234030,0,m m x x m x x m ⎧∆=--≥⎪+=->⎨⎪=>⎩解得：01m <≤，故B 正确；对C ，方程()230x m x m +-+=无实数根，即()2340m m ∆=--<，解得：19m <<，方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}19m m m ∈<<，故C 错误；对D ，当3m =时，方程为230x +=，无实数根，故D 错误.故答案为：AB.13．（2021·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】BC 【解析】设()()2112f x x m x =+++，由12013x x <<<<，可得()()()()10200110110230193102f f m f m ⎧>⎪⎧>⎪⎪⎪<⇒+++<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪+++>⎪⎩，解得：25562m -<<-，又因为m Z ∈，得3m =-或4m =-，故选：BC.三、填空题14．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是：__________________．【答案】a <-2【解析】∵关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，另一根小于1，令2()1=++f x x ax ，则(1)20f a =+<，求得2a <-，故答案为：2a <-15．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．【答案】（52，＋∞）【解析】设2()24f x x ax =-+，由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩，解得52a >，故答案为：5(,)2+∞．16．（2021·上海·复旦附中高一期中）若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______．【答案】(),3-∞-【解析】由题意，关于x 的方程220x kx -+=的一根大于-1，另一根小于-1，设()22f x x kx =-+，根据二次函数的性质，可得()130f k -=+<，解得3k <-，所以实数k 的取值范围为(),3-∞-.故答案为：(),3-∞-.17．（2020·上海·高一专题练习）已知集合()(){}2|320,A x x x x x R =-+-≤∈，{}2|120,B x x ax x R =--≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______________．【答案】[]1,1-【解析】由()()2320x x x -+-≤，得23020x x x ⎧-≥⎪⎨+-≤⎪⎩或23020x x x ⎧-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得13x ≤≤，所以集合{|31A x x =-≤≤-或}13x ≤≤，因为A B ⊆，令()212f x x ax =--，则()()3030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，即9312093120a a +-≤⎧⎨--≤⎩，解得11a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,1-故答案为：[]1,1-四、解答题18．（2022·全国·高一期中）命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题():0,q x ∃∈+∞，2390x mx -+<．(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】（1）若命题q 为假命题，则对()0,x ∀∈+∞，2390x mx -+≥为真命题；239mx x ∴≤+，即93m x x ≤+；96x x +≥（当且仅当9x x =，即3x =时取等号），36m ∴≤，解得：2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2-∞.（2）由（1）知：若命题q为真命题，则2m >；若命题p 为真命题，则Δ1400m m =->⎧⎨>⎩，解得：104m <<；若p 真q 假，则104m <<；若p 假q 真，则2m >；综上所述：实数m 的取值范围为()10,2,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.19．（2022·湖南·高一课时练习）若一元二次方程2570x x a --=的一个根在区间()1,0-内，另一个根在区间()1,2内，求实数a 的取值范围．【解析】令2()57f x x x a =--，则根据题意得(1)057012(0)000(1)0202(2)0201406f a a f a a f a a f a a ->⇒+->⇒<⎧⎪<⇒-⇒⎪⎨<⇒--⇒-⎪⎪>⇒-->⇒<⎩，∴06a <<.故实数a 的取值范围(0,6).20．（2021·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）1.已知()()2213f x x a x =+-+．(1)如果方程()0f x =在()0,3有两个根，求实数a 的取值范围；(2)如果[]1,2x ∃∈，()0f x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)()()2213f x x a x =+-+的对称轴为1x a=-要想方程()0f x =在()0,3有两个根，需要满足()()()100001330f a f a f ⎧-<⎪>⎪⎨<-<⎪⎪>⎩解得：(1,1a ∈--(2)[]1,2x ∃∈，()22130x a x +-+>成立，即3122x a x ⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上有解，只需1a -大于()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小值，其中()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为对勾函数，在x ⎡∈⎣上单调递增，在)x ∈上单调递减，又()131222g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()2372244g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以最小值为()12g =-故12a ->-，解得：1a >-，实数a 的取值范围为()1,-+∞21．（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）设二次函数()2f x ax bx c =++，其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围；(2)若Z a b c ∈、、，且()()01f f 、均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根；(3)若21,21,a b k c k ==-=，当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.【解析】（1）∵()22820440x x x -+=-+>∴()()221940f x ax a x a =++++<在R 上恒成立∵0a ≠，则()()20Δ414940a a a a <⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得12a <-综上所述：a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）∵()()0,1f c f a b c ==++，则c 为奇数，a b +为偶数当Z x ∈时，则有：1.若a b 、均为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根2.若a b 、均为奇数时，则有①若x 为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根②若x 为奇数时，则()2ax bx x ax b +=+为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根综上所述：方程()0f x =无整数根（3）()()2221f x x k x k =+-+由题意可得()()222Δ21402112120k k k f k k ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪=+>⎪⎩，解得2k <-则k 的取值范围为(),2∞--.。

中考数学专项练习一元二次方程的根(含解析)

中考数学专项练习一元二次方程的根（含解析）【一】单项选择题1.假设方程x2-c=0的一个根为-3，那么方程的另一个根为〔〕A.3B.-3C.9D.-2.方程4x2﹣kx+6=0的一个根是2，那么k的值和方程的另一个根分别是〔〕A.5，B.11，C.11，﹣D.5，﹣3.1是关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+1=0的一个根，那么m的值是〔〕A.1B.－1C.0D.无法确定4.以下一元二次方程有两个相等实数根的是〔〕A.B.C.D.5.x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，那么a为〔〕A.1B.2C.3D.-2或16.关于x的方程x2+m2x﹣2=0的一个根是1，那么m的值是〔〕A.1B.2C.±1D.±27.假设方程x2-5x=0的一个根是a，那么a2-5a+2的值为〔〕A.-2B.0C.2D.48.一元二次方程的两根是，那么这个方程可以是()A.B.C.D.9.假设n〔〕是关于x的方程的根，那么m＋n的值为A.1B.2C.－1D.－210.关于的方程的一个根为，那么的值为〔〕A.B.C.D.11.x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，那么m的值是〔〕A.1B.0C.0或1D.0或-112.假设x=2是关于一元二次方程﹣x2++a2=0的一个根，那么a的值是〔〕A.1或4B.1或﹣4C.﹣1或﹣4D.﹣1或413.关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2+6x+m2﹣1=0有一个根是0，那么m取值为〔〕A.1B.﹣1C.±1D.014.假设x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根，那么a+b的值为〔〕A.3B.-3C.9D.-915.一元二次方程ax2+x+c=0，假设4a-2b+c=0，那么它的一个根是〔〕A.-2B.C.-4D.216.以下方程中解为x=0的是〔〕A.2x+3=2x+1 B.5x=3x C.+4=5 x D.x+1=017.假设c〔c≠0〕为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，那么c+ b的值为〔〕A.1B.﹣1C.2D.﹣218. ＝2是关于的方程的一个解，那么2a-1的值是〔〕A.3B.4C.5D.6【二】填空题19.x=1是方程x2+mx+3=0的一个实数根，那么m的值是________．20.假设a是关于方程x2﹣2019x+1=0的一个根，那么a+ =________．21.假设一元二次方程ax2﹣bx﹣2019=0有一根为x=﹣1，那么a+b=__ ______．22.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，那么p的值________【三】计算题23.解方程x2+6x+1=0．24.解方程：2x2+3x﹣5=0．25.解方程组：．26.x=1是一元二次方程〔a﹣2〕x2+〔a2﹣3〕x﹣a+1=0的一个根，求a的值．27.关于x的一元二次方程x2﹣〔k+1〕x﹣6=0的一个根为2，求k的值及另一个根．28.解方程：x2﹣2〔x+4〕=0．【四】解答题29.一元二次方程〔m﹣1〕x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m 的值．30.关于x的方程x2﹣〔k+1〕x﹣6=0的一个根是2，求k的值和方程的另一根．31.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为〝友好方程〞．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+ 5与x2+x+m﹣1=0互为〝友好方程〞，求m的值．【五】综合题32.：x2+3x+1=0．求：〔1〕x+ ；〔2〕x2+ ．33.关于x的一元二次方程x2+2〔k﹣1〕x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕0可能是方程的一个根吗？假设是，请求出它的另一个根；假设不是，请说明理由．34.如图，抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C、〔1〕求点A，点B和点C的坐标；〔2〕在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；〔3〕假设点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【一】单项选择题1.假设方程x2-c=0的一个根为-3，那么方程的另一个根为〔〕A.3B.-3C.9D.-【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=-3代入方程x2-c=0，求得c的值；然后利用直接开平方法求得方程的另一根．【解答】∵方程x2-c=0的一个根为-3，∴x=-3满足方程x2-c=0，∴〔-3)2-c=0，解得，c=9；∴x2=9，∴x=±3，解得，x1=3，x2=-3；故方程的另一根是3；应选A、2.方程4x2﹣kx+6=0的一个根是2，那么k的值和方程的另一个根分别是〔〕A.5，B.11，C.11，﹣D.5，﹣【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解：把x=2代入方程4x2﹣kx+6=0，得4×22﹣2k+6 =0，解得k=11，再把k=11代入原方程，得4x2﹣11x+6=0，解得x=2或，那么k=11，另一个根是x=．应选B、【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到k的值，再计算另外一个根，即可求解．3.1是关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+1=0的一个根，那么m的值是〔〕A.1B.－1C.0D.无法确定【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】由题意把x=1代入方程(m－1)x2+x+1=0即可得到关于m的方程，解出即可。

周末培优8 第八周一元二次方程根的分布

第八周一元二次方程根的分布重点知识梳理设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则1．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根从几何意义上来说就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标，所以研究方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根的情况，可从y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上进行研究．若在(－∞，＋∞)内研究方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根情况，只需考察函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及根与系数的关系，由y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数可判断出Δ，x 1＋x 2，x 1x 2的符号，从而判断出实根的情况．若在区间(m ，n )内研究二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，则需由二次函数图象与区间关系来确定．2．若m ，n 都不是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，则f (x )＝0有且只有一个实根属于(m ，n )的充要条件是f (m )f (n )<0.3．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根都属于区间(m ，n )的充要条件是：⎩⎨⎧ b 2－4ac ≥0af (m )>0af (n )>0m <－b 2a <n .4．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根分别在区间(m ，n )的两侧(一根小于m ，另一根大于n )的充要条件是：⎩⎨⎧af (m )<0af (n )<0. 5．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根都在(m ，n )的右侧(两根都大于n )的充要条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0af (n )>0－b 2a >n ，二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根都在(m ，n )的左侧(两根都小于m )的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4ac ≥0af (m )>0－b 2a <m .6．求解一元二次方程根的分布问题时，可借助函数图象，数形结合来写出相应结论．典型例题剖析例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．【解析】∵二次方程有一正根一负根，∴(2m ＋1)·f (0)<0，即(2m ＋1)(m －1)<0，解得－12<m <1， ∴m 的取值范围为(－12，1)．变式训练已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【解析】∵对应二次方程(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)＝0的一根大于1，一根小于1， ∴(m ＋2)·f (1)<0，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0，解得－2<m <－12， ∴m 的取值范围为(－2，－12). 【小结】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一根大于m ，一根小于m ，若a >0，则只需f (m )<0；若a <0，则只需f (m )>0 .二者综合起来，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一根大于m ，一根小于m ，则只需af (m )<0.例2 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．(2) 若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．【解析】(1)若抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12m ∈R m <－12m >－56，故－56<m <－12， ∴实数m 的取值范围是(－56，－12)．(2)若抛物线与x 轴交点落在区间 (0,1) 内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0，∴－12<m ≤1－2， ∴实数m 的取值范围是(－12，1－ 2 ]．变式训练已知方程2x 2－2(2a －1)x ＋a ＋2＝0的两个根在－3与3之间，求a 的取值范围．【解析】若抛物线与x 轴交点落在区间 (－3,3) 内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)>0，f (3)>0，Δ≥0，－3<2a －12<3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 18＋6(2a －1)＋a ＋2>0，18－6(2a －1)＋a ＋2>0，4(2a －1)2－8(a ＋2)≥0，－52<a <72，，解得－1413<a ≤3－214或3＋214≤a <2611，故a 的取值范围是(－1413，3－214]∪[3＋214，2611)．例3 求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根．【解析】设y ＝f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6.(1)依题意有f (2)<0，即4＋4(m －1)＋2m ＋6<0，得m <－1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋6>0f (1)＝4m ＋5<0f (4)＝10m ＋14>0，解得－75<m <－54. (3)方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0f (0)>02(m －1)－2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1或m ≥5m >－3m <1，∴－3<m ≤－1.②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <－3.③有一个正根，另一根为0，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧6＋2m ＝0－2(m －1)>0， ∴m ＝－3.综上所述，得m ≤－1.变式训练已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[]－1，1上有零点，求a 的取值范围．【解析】函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，即方程2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1,1]上有解，a ＝0时，不符合题意，所以a ≠0.方程2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1,1]上有解，∴f (－1)·f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ af (－1)≥0af (1)≥0Δ＝4＋8a (3＋a )≥0－1<－12a <1，解得1≤a ≤5或a ≤－3－72或a ≥5，即a ≤－3－72或a ≥1. 所以实数a 的取值范围是a ≤－3－72或a ≥1.跟踪训练1．对一元二次方程2 012(x －2)2＝2 013的两个根的情况，判断正确的是( )A ．一根小于1，另一根大于3B ．一根小于－2，另一根大于2C ．两根都小于0D ．两根都大于22．若一元二次方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根大于－2且小于0，另一根大于1而小于3，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－12,0)B ．(－∞，1514)C ．(1514，＋∞)D ．(12，2) 3．已知关于x 的方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3＜m ＜0B ．m ＜－3或m ＞0C ．0＜m ＜3D ．m ＜0 或m ＞34．方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是 ________________．5．若方程mx 2＋2mx ＋1＝0一根大于1，另一根小于1，则实数m 的取值范围为_______．6．已知方程4x 2＋2(m －1)x ＋(2m ＋3)＝0有两个负根，则实数m 的取值范围是________．7．一元二次方程x 2＋(2a －1)x ＋a －2＝0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是______________．8．已知方程7x 2－(m ＋13)x ＋m 2－m －2＝0(m 为实数)有两个实数根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上，则m 的取值范围是 _________________.9．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是_________________．10．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的取值范围是________________．11．已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.12．已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．参考答案1．A ∵2 012(x －2)2＝2 013，∴(x －2)2＝2 0132 012>1， ∴x －2<－1或x －2>1，∴x <1或x >3，∴该方程的两个根一个小于1，一个大于3.2．A 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，根据函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＞0f (0)＜0f (1)＜0f (3)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋10＋a ＞0a ＜03－5＋a ＜027－15＋a ＞0，解此不等式组可得a ∈(－12,0)，即实数a 的取值范围是(－12,0)．故选A.3．A 由题意x 1x 2＜0，x 1＋x 2＜0，Δ＞0，由根与系数的关系x 1x 2＝2m －1m ＋3，x 1＋x 2＝4m m ＋3，因此可知参数的范围选A.4．(－∞，－3)解析设f (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图象开口向上，由题意，得f (2)<0，即22＋(2m －1)×2＋4－2m <0，解得m <－3.5．(－13，0) 6．[11，＋∞)解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －2(m －1)4<0，2m ＋34>0，Δ＝4(m －1)2－16(2m ＋3)≥0，－2(m －1)8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m >－32，m ≥11或m ≤－1，m >1，故m 的取值范围是[11，＋∞)．7．(0，23) 8．(－2，－1)∪(3,4)解析设f (x )＝7x 2－(m ＋13)x ＋m 2－m －2，要使方程7x 2－(m ＋13)x ＋m 2－m －2＝0(m 为实数)有两个实数根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2或m <－1－2<m <4m >3或m <0，则m 的取值范围为(－2，－1)∪(3,4)．9．(12，23) 解析设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>03k －2<04k －1>0， ∴12<k <23. 10．[2，52) 解析因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－2a ×1＋4>0(－2a )2－4×1×4≥0，解得实数a 的取值范围是[2，52)． 11．解析 (1)因为方程有一正一负两根，所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧a －1a <0Δ＝12a ＋4>0，解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．(2)方法一：当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)所示，所以必须满足⎩⎨⎧ a >0Δ>0a ＋1a >1f (1)>0或⎩⎨⎧ a <0Δ>0a ＋1a >1f (1)<0，不等式组无解．所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1.方法二：设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x 1－1)(x 2－1)>0x 1－1＋x 2－1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0x 1＋x 2>2. 所以⎩⎨⎧ a －1a －2(a ＋1)a ＋1>02(a ＋1)a >2⇒⎩⎨⎧a <0a >0，不等式组无解．即不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(3)(4)所示，所以必须满足⎩⎨⎧ a >0f (1)<0或⎩⎨⎧a <0f (1)>0，解得a ＞0. ∴即当a ＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.12．解析 (1)依题意，x 1＝－1，x 2＝1是方程x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2b x 1x 2＝c 即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0c ＝－1，所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题意知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－3)＝5－7b >0g (－2)＝1－5b <0g (0)＝－1－b <0g (1)＝b ＋1>0，解得15<b <57，所以实数b 的取值范围为(15，57)．。

专题一元二次方程根的分布(解析版)

专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围．（1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线．（1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。

2019届高考数学(理)新课堂课件：2.11-一元二次方程根的分布(含答案)

第11讲一元二次方程根的分布
考纲要求
考点分布 2011年新课标第10题考查函数的零点存在性定理； 2013年新课标Ⅰ第2题考查函数的零点存在定理； 2014年新课标Ⅰ第12题以函数零点为背景，考查导数的应用； 2016年天津第8题根据根的分布求参数的范围
考情风向标高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围．另外备考中应该特别注意运用导数来研究函数零点
3m－2 解：(1)方程有一正实数根和一负实数根⇔ <0⇒ 2m＋1 2 －1<m<3. Δ＝－8m＋2m－1≥0， 4m >0， (2)方程有两个负实根⇔2m＋1 3m－2 >0 2 m ＋ 1
2 ⇒m∈3，1∪[－2，－1).
(3)方程正根绝对值大于负根绝对值⇔
图 2-11-5 ⑨方程两根满足k1<x1<k2≤p1<x2<p2
a>0， fk1>0， ⇔fk2<0， fp <0， 1 fp2>0
a<0， fk1<0，或fk2>0， fp >0， 1 fp2<0.
2 x | ax －ax＋1<0 ＝∅，则实数 a 的值的集合是 1.若集合 A＝
Δ＝－8m＋2m－1≥0， 4m <0， 2m＋1 3m－2 <0 2m＋1
⇒m∈(－1,0).
(4)当 m＋1＝0，即 m＝－1 时，原方程化为 4x＋5＝0，故 5 x＝－4； Δ＝－8m＋2m－1≥0，当 m≠－1 时，方程有实根⇔ m＋1≠0 ⇒－2≤m≤1，且 m≠－1. 综上所述，－2≤m≤1 时，方程有实根.

一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案

（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中，没有实数根，故本选项错误；

一元二次方程根的分布(精练)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题课时检测第五讲一元二次方程根的分布（精练）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2022·四川巴中高一专题检测）若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，则m 的取值范围为（）A．((),22-∞---++∞B．(33---+C．((),33-∞---++∞D．(22---+【答案】C 【解析】由关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，所以2(1)40m m ∆=++=，即26+10m m +>解得：3m >-+或3m <--2.（2022·江苏·高一专题检测）一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，则实数m 的范围为（）A．30m -<<B．31m -<≤-C．31m -≤<-D．312m -≤≤【答案】C【解析】因为一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，2164(26)020260m m m m ⎧∆=-+>⎪<⎨⎪+≥⎩，解得31m -≤<-，故选：C 3.（2022·陕西榆林高一专题检测）若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（）A．4m ≤-或4m ≥B．54m -<≤-C．54m -≤≤-D．52m -<<-【答案】B 【解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根，则1（）当()()22450m m ∆=+-+=，即4m =±时，当4m =-时，方程为()210x -=时，1x =，符合题意；当4m =时，方程为()230x +=时，3x =-不符合题意.故4m =-成立；2（）当()()22450m m ∆=+-+>，解得4m <-或4m >，则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩，解得54m -<<-.综上得54m -<≤-.故选B.4．（2022·江苏·高一月考）设1x ，2x 是关于x 的方程2(1)20x a x a +-++=的根．若111x -<<，212x <<，则实数a 的取值范围是()A ．4(,1)3--B ．31(,)42-C ．(2,1)-D ．(2,1)--【解答】解：由题意知，函数2()(1)2f x x a x a =+-++开口方向向上，若111x -<<，212x <<，则函数须同时满足三个条件：当1x =-时，2(1)20x a x a +-++>，代入解得40>，恒成立；当1x =时，2(1)20x a x a +-++<，代入解得220a +<，1a <-；当2x =时，2(1)20x a x a +-++>，代入解得4340,3a a +>>-，综上，实数a 的取值范围是4(,1)3--．故选：A ．5．（2022·广东深圳高一专题检测）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为()A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-【解答】解：一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，令2()(1)10g x x m x =+++=，则(0)0(1)0(3)0g g g >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即10301330m m >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得1333m -<<-，m Z ∈ ，4m ∴=-．故选：A ．二、填空题6.（2022·浙江义乌高一专题检测）若关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(,2)-∞-【解析】关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，令2()f x x x a =++，则()120f a =+<，解得2a <-，7.（2022·江苏·高一专题检测）已知方程x 2－a 2x －a ＋1＝0的两根x 1，x 2满足0＜x 1＜1，x 2＞1.则实数a的取值范围是．【解析】设f(x)＝x2－a2x－a＋1.(0)＝－a＋1＞0，(1)＝1－a2－a＋1＜0，解得a＜－2.8（2022·甘肃景泰二中高一专题检测）若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是．【解析】＝(m－2)2－4(5－m)＞0，－m－22＜2，(2)＝m＋5＞0，解得m＞4.9.（2022·银川一中高一专题检测）关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0两个实根x1，x2满足x1＜2，x2＞4，则实数m的取值范围是．【解析】设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.(2)＝4＋4(m－1)＋2m＋6＜0，(4)＝16＋8(m－1)＋2m＋6＜0，m＋6＜0，m＋14＜0，解得m＜－75.三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10（2022·江苏·高一专题检测）方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两实根都大于1，求实数m 的取值范围．【解析】方法一设函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，作其草图，如图．若两实根均大于1，需m－1)2－32(m－7)≥0，≥25或m≤9，∈R，＞17，解得m≥25.方法二设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝m－18，x1x2＝m－78，因为两根均大于1，所以x1－1＞0，x2－1＞0，＝(m－1)2－32(m－7)≥0，x1－1)＋(x2－1)＞0，x1－1)(x2－1)＞0，)2－32(m－7)≥0，－m－18＋1＞0，解得11．（2022·江西高一第一月考）求实数m 的范围，使关于x 的方程22(1)260.x m x m +-++=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<；(3)至少有一个正根.【解析】（1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或．②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-．③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．12.（2022·湖北武汉高一课时检测）已知关于x 的方程220x x a -+=．(1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．。

2020年高考文科数学总复习：一元二次方程根的分布

2020年高考文科数学总复习：一元二次方程根的分布1．若一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0的两根都是负数，则k 的取值范围为________．答案 (－∞，－125]∪(3，＋∞) 解析依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，k －3k >0，解得k ≤－125或k>3. 2．一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根，则k 的取值范围为________．答案 (0，3)解析依题意有k －3k<0⇒0<k<3. 3．若一元二次方程kx 2＋(2k －1)x ＋k －3＝0有一根为零，则另一根的符号为________．答案负解析由已知k －3＝0，∴k ＝3，代入原方程得3x 2＋5x ＝0，另一根为负根．4．已知方程x 2－11x ＋m －2＝0的两实根都大于1，则m 的取值范围为________．答案 12<m ≤1294解析由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，112>1，f （1）>0即⎩⎪⎨⎪⎧112－4（m －2）≥0，m －12>0 解得12<m ≤1294. 5．若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两个实根都大于－1，则m 的取值范围为________．答案 m<－2或m ≥5＋2 6解析由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m＋12m >－1，Δ≥0，mf （－1）>0解得：m<－2或m ≥5＋26. 6．若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两实根都小于2，则m 的取值范围为________．答案 m<－12或m ≥5＋2 6解析由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ≥0m ＋12m <2，mf （2）>0，解得：m<－12 或m ≥5＋2 6.7．已知方程x 2＋2mx ＋2m 2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m 的取值范围为________．答案－1－22<m<－1＋22 解析由题意得，应满足f(2)<0，即2m 2＋4m ＋1<0，解得：－1－22<m<－1＋22. 8．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0只有一实根在0和1之间，则m 的取值范围为________．答案 12<m<23解析由题意得，应满足f(0)f(1)<0，解得12<m<23. 9．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0的较大实根在0和1之间，则m 的取值范围为________．答案 23<m<6－27 解析由题意得：①⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）>0，－m －22<1；或②⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）>0，0<－m －22<1，f （－m －22）<0，解得①②得23<m<6－27. 10．若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k 的取值范围为________．答案－4＋23≤k<－12解析由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f （－1）>0，f （1）>0.解得：－4＋23≤k<－12. 11．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k 的取值范围为________．答案 12<k<23解析由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0f （1）<0，f （2）>0解得12<k<23. 12．已知关于x 的方程(m －1)x 2－2mx ＋m 2＋m －6＝0的两根为α，β且0<α<1<β，则m 的取值范围为________．答案－3<m<－7或2<m<7解析由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）f （1）<0（m －1）f （1）<0解得－3<m<－7或2<m<7.。

中考数学专题练习一元二次方程的根(含解析)

2019中考数学专题练习-一元二次方程的根（含解析）一、单选题1.若方程x2-c=0的一个根为-3，则方程的另一个根为（）A. 3B. -3C. 9D. -2.方程4x2﹣kx+6=0的一个根是2，那么k的值和方程的另一个根分别是（）A. 5，B. 11，C. 11，﹣D.5，﹣3.已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A. 1B. －1C. 0D. 无法确定4.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A.B.C.D.5.已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则a为（）A. 1B. 2C. 3D. -2或16.已知关于x的方程x2+m2x﹣2=0的一个根是1，则m的值是（）A. 1B. 2C. ±1D. ±27.若方程x2-5x=0的一个根是a，则a2-5a+2的值为（）A. -2B. 0C. 2D. 48.已知一元二次方程的两根是，则这个方程可以是( )A.B.C.D.9.若n（）是关于x的方程的根，则m＋n的值为A. 1B. 2C. －1D. －210.关于的方程的一个根为，则的值为（）A.B.C.D.11.已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是（）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或-112.若x=2是关于一元二次方程﹣x2++a2=0的一个根，则a的值是（）A. 1或4B. 1或﹣4C. ﹣1或﹣4D. ﹣1或413.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1=0有一个根是0，则m取值为（）A. 1B. ﹣1C. ±1D. 014.若x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根，则a+b的值为（）A. 3B. -3C. 9D. -915.一元二次方程ax2+x+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是（）A. -2B.C. -4D. 216.下列方程中解为x=0的是（）A. 2x+3=2x+1B. 5x=3xC.+4=5x D. x+1=017.若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣218.已知＝2是关于的方程的一个解，则2a-1的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题19.已知x=1是方程x2+mx+3=0的一个实数根，则m的值是________．20.若a是关于方程x2﹣2019x+1=0的一个根，则a+ =________．21.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019=0有一根为x=﹣1，则a+b=________．22.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值________三、计算题23.解方程x2+6x+1=0．24.解方程：2x2+3x﹣5=0．25.解方程组：．26.已知x=1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1=0的一个根，求a的值．27.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6=0的一个根为2，求k的值及另一个根．28.解方程：x2﹣2（x+4）=0．四、解答题29.已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．30.关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣6=0的一个根是2，求k的值和方程的另一根．31.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为“友好方程”，求m的值．五、综合题32.已知：x2+3x+1=0．求：（1）x+ ；（2）x2+ ．33.已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．34.如图，抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．答案解析部分一、单选题1.若方程x2-c=0的一个根为-3，则方程的另一个根为（）A. 3B. -3C. 9D. -【答案】A【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=-3代入方程x2-c=0，求得c的值；然后利用直接开平方法求得方程的另一根．【解答】∵方程x2-c=0的一个根为-3，∴x=-3满足方程x2-c=0，∴（-3)2-c=0，解得，c=9；∴x2=9，∴x=±3，解得，x1=3，x2=-3；故方程的另一根是3；故选A．2.方程4x2﹣kx+6=0的一个根是2，那么k的值和方程的另一个根分别是（）A. 5，B. 11，C. 11，﹣D.5，﹣【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解：把x=2代入方程4x2﹣kx+6=0，得4×22﹣2k+6=0，解得k=11，再把k=11代入原方程，得4x2﹣11x+6=0，解得x=2或，那么k=11，另一个根是x=．故选B．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到k的值，再计算另外一个根，即可求解．3.已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A. 1B. －1C. 0D. 无法确定【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】由题意把x=1代入方程(m－1)x2+x+1=0即可得到关于m的方程，解出即可。

一元二次方程根的分布典型例题

一元二次方程根的分布典型例题（原创版）目录一、一元二次方程根的分布概念二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系三、一元二次方程根的分布的求解方法四、典型例题解析五、总结正文一、一元二次方程根的分布概念一元二次方程根的分布是指一元二次方程的实根在数轴上的位置分布。

一元二次方程的根与二次函数图象与 x 轴的交点横坐标相对应，因此，研究一元二次方程根的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来探究。

二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系一元二次方程的根的分布情况与二次函数图象的开口方向、顶点位置以及与 x 轴的交点个数有关。

根据二次函数图象的特点，可以将一元二次方程根的分布分为以下三种情况：1.当二次函数图象开口向上时，一元二次方程有两个实根，且两根分别位于顶点两侧；2.当二次函数图象开口向下时，一元二次方程没有实根；3.当二次函数图象与 x 轴相切时，一元二次方程有一个实根。

三、一元二次方程根的分布的求解方法求解一元二次方程根的分布，需要先确定二次函数图象的顶点位置和开口方向。

具体步骤如下：1.根据一元二次方程的系数，确定二次函数的关系式；2.求解二次函数的顶点横坐标；3.根据顶点位置和开口方向，判断一元二次方程的根的分布情况。

四、典型例题解析例题：已知一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0，求其根的分布。

解：首先，根据方程的系数，得到二次函数的关系式为 y = x^2 - 3x - 10。

然后，通过配方法或公式法求解得到顶点横坐标为 x = -b / 2a = 3 / 2。

由于二次函数图象开口向上，且与 x 轴有两个交点，因此，一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0 有两个实根，且两根分别位于顶点两侧。

五、总结一元二次方程根的分布是初中数学一元二次函数的基础内容。

通过研究一元二次方程根的分布问题，我们可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来更好地理解和掌握一元二次方程的性质。

一元二次方程根的分布练习及答案

一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02cbx ax（0a）的两个实根为1x ，2x ，且21x x 。

【定理1】01x ，02x (两个正根)2121240bac b x x a c x x a，推论：01x ，02x 0)0(0042bcf a ac b或0)0(0042bcf aac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】若一元二次方程0)1(2)1(2mxm xm 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm 0<m <1。

【定理2】01x ，02x 00421212ac x x a b x x ac b，推论：01x ，02x 0)0(0042bcf a ac b或0)0(0042bcf aac b 由二次函数图象易知它的正确性。

【例2】若一元二次方程0332kkx kx的两根都是负数，求k 的取值范围。

（512k或k>3）【定理3】21x x 0ac 【例3】k 在何范围内取值，一元二次方程0332k kxkx有一个正根和一个负根？分析：依题意有3k k<0=>0<k <3【定理4】○101x ，02x 0c 且0ab ；○201x ，02x 0c且0ab 。

【例4】若一元二次方程03)12(2k x k kx有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知k －3=0，∴k =3，代入原方程得32x+5x =0，另一根为负。

二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02cbx ax（0a）的两实根为1x ，2x ，且21x x 。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

直接开平方法求一元二次方程的根练习题及答案

直接开平方法求一元二次方程的根练习题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x 2＝16的解为（）A ．x ＝8B ．x ＝±8C ．x ＝4D ．x ＝±4 2．一元二次方程（x ﹣2）2＝0的解是（） A ．x ＝2 B ．x 1＝x 2＝2C ．x 1＝2，x 2＝﹣2D ．x ＝﹣23．如果关于x 的方程（x ﹣4）2＝m ﹣1可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（） A ．m ≥1 B ．m ＞1 C ．m ＞﹣1 D ．m ≥﹣1 4．关于x 的方程（x ﹣2）2＝1﹣m 无实数根，那么m 满足的条件是（）A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞1D ．m ＜1 5．若一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两根分别是m ﹣1和2m +3，则ba 的值为（）A ．16B ．259C ．25D ．259或256．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x ﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（） A ．17 B ．11C ．15D ．11或157．若x +1与x ﹣1互为倒数，则实数x 为（） A ．0 B ．√2C ．±1D ．±√28．关于x 的一元二次方程（x ﹣k ）2+k ＝0，当k ＞0时的解为（）A ．k +√kB ．k −√kC ．k ±√−kD ．无实数解9．一元二次方程（x ﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（） A ．10 B ．10或8 C ．9 D ．810．配方法解一元二次方程，方程（x ﹣1）2＝m 的一个解为x 1＝5，则另一个解x 2等于（）A ．﹣5B ．﹣4C ．﹣3D ．﹣2二．填空题（共4小题）11．若a 为方程（x −√17）2＝100的一根，b 为方程（y ﹣4）2＝17的一根，且a 、b 都是正数，则a ﹣b ＝．12．已知一元二次方程（x ﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为．13．（1）已知√5是一元二次方程x 2+c ＝0的一个根，则该方程的另一个根是；（2）关于x 的一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则ba = ．14．方程（x +1）2＝k ﹣2有实数根，则k 的取值范围是．三．解答题（共2小题）15．用直接开平方法解一元二次方程（1）2y 2＝8．（2）2（x +3）2﹣4＝0．（3）14（x +1）2＝25 （4）（2x +1）2＝（x ﹣1）2．16．已知关于x 的方程（x ﹣1）2＝4m ﹣1有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．直接开平方法求一元二次方程的根练习题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：x2＝16，x＝±4，所以x1＝4，x2＝﹣4．故选：D．2．【解答】解：x﹣2＝0，所以x1＝x2＝2．故选：B．3．【解答】解：根据题意得m﹣1≥0，解得m≥1．故选：A．4．【解答】解：当1﹣m＜0时，方程无解．即m＞1．故选：C．5．【解答】解：∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13，且x=±√b a ，∴m﹣1+2m+3＝0，解得：m=−2 3，即方程的根是：x1=−53，x2=53，∴ba=(±√ba)2=259，故选：B．6．【解答】解：（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，解得x1＝5，x2＝1．若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．7．【解答】解：由题意得：（x+1）（x﹣1）＝1，去括号得：x2﹣1＝1，移项得：x2＝2，两边直接开平方得：x＝±√2，故选：D．8．【解答】解：（x﹣k）2+k＝0，移项得：（x﹣k）2＝﹣k，∵k＞0，∴﹣k＜0，∴无实数解，故选：D．9．【解答】解：∵（x﹣3）2＝1，∴x﹣3＝±1，解得，x1＝4，x2＝2，∵一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，∴△ABC的周长为：2+4+4＝10；故选：A．10．【解答】解：由题意得，（5﹣1）2＝m，解得m＝16．∴（x﹣1）2＝16，即x﹣1＝±4，∴x1＝5，x2＝﹣3．故选：C．二．填空题（共4小题）11．若a为方程（x−√17）2＝100的一根，b为方程（y ﹣4）2＝17的一根，且a、b都是正数，则a﹣b＝6．【解答】解：∵a为方程（x−√17）2＝100的一根，b为方程（y﹣4）2＝17的一根，∴（a−√17）2＝100，（b﹣4）2＝17，∴a＝±10+√17，b＝±√17+4，∵a＞0，b＞0，∴a＝10+√17，b=√17+4，∴a﹣b＝10+√17−√17−4＝6，故答案为6．12．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为10．【解答】解：∵（x﹣3）2＝1，∴x﹣3＝±1，解得：x1＝4，x2＝2，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形，②当底边长和腰长分别是2和4时，可以构成三角形，∴△ABC的周长为：2+4+4＝10．故答案为：10．13．（1）已知√5是一元二次方程x2+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是−√5；（2）关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则ba=4．【解答】解：（1）∵√5是一元二次方程x2+c＝0的一个根，∴（√5）2+c＝0，解得：c＝﹣5，解方程x2﹣5＝0，得x1=√5，x2=−√5，所以该方程的另一个根是−√5，故答案为：−√5；（2）∵m+1与2m﹣4是一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根，∴m+1+2m﹣4＝0，∴m＝1，∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是±2，∴ba=x2＝4，故答案为：4．14．方程（x+1）2＝k﹣2有实数根，则k的取值范围是k≥2．【解答】解：∵方程（x+1）2＝k﹣2有实数根，∴k﹣2≥0，∴k≥2，故答案为：k≥2．三．解答题（共2小题）15．用直接开平方法解一元二次方程（1）2y2＝8．（2）2（x+3）2﹣4＝0．（3）14（x+1）2＝25（4）（2x+1）2＝（x﹣1）2．【解答】解：（1）2y2＝8y2＝4y＝±2解得：y1＝2，y2＝﹣2．（2）2（x+3）2﹣4＝0（x+3）2＝2x+3＝±√2解得：x1＝﹣3+√2，x2＝﹣3−√2；（3）14（x+1）2＝25（x+1）2＝100x+1＝±10解得：x1＝﹣11，x2＝9．（4）（2x+1）2＝（x﹣1）22x+1＝x﹣1，2x+1＝﹣（x﹣1）解得：x1＝0，x2＝﹣2．16．已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．【解答】解：（1）根据题意得4m﹣1≥0，解得m≥1 4；（2）把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1得（2﹣1）2＝4m﹣1，解得m=12，∴方程化为（x﹣1）2＝1，∴x﹣1＝±1，解得x1＝2，x2＝0，∴方程的另一个根为0．。

根的分布练习题[带答案]

根的分布练习题（含答案）1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

5、方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，求实数m 的取值范围。

6、如方程24260x mx m -++=有且只有一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

7.已知1x 、2x 是方程24420x mx m -++=的两个实根． (1)当实数m 为何值时，2212x x +取得最小值？(2)若1x 、2x 都大于12，求m 的取值范围．1已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的两根均为正，求m 的取值范围？2已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的两根都大于2，求m 的取值范围？3．已知方程)0(023222>=---k k x kx ，若方程的两个实根一个大于1，另一个小于1，求实数k 的取值范围？4. 已知方程)0(023222>=---k k x kx ，若方程的两个实根一个大于3，另一个小于2，求实数k 的取值范围？5. 已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的一个根在（1,2）另一个根在（2,6）内，求m 的取值范围？6. 已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的两根都在（0,5）内，求m 的取值范围？7.已知方程022=+-a x x 在（0,2）内有两个不同的根，求a 的取值范围？8.已知方程,032=++mx x 若两实根满足.41021<<<<x x 求m 的取值范围？1、2、已知集合A={x|x2－7x+10≤0}, B={x|x2－(2-m)x+5-m ≤0},且B A,求实数m 的取值范围. }{{}?,)2?(,)1(03201222的范围则若的范围则若已知a B A a A B x x x B ax x x A ⊆⊆≤--=≤+-=⊆根的分布答案：1、解：由 ()()2100m f +⋅< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。

微专题(一) 一元二次方程根的分布--2025年高考数学复习讲义及练习解析

所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．(1)判别式Δ的符号；(2)对称轴x＝－b2a与所给区间的位置关系；(3)区间端点处函数值的符号．一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类：类型一已知两根与实数k的大小关系例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________．答案[－1＋22，2)解析设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，m－1）2－4（2－m）≥0，，2－m>0，解得－1＋22≤m<2.(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是________．答案－211，解析由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a ＝0可化为x2＋9＝0，令f(x)＝x2＋9，则f(1)＝1＋9<0，解得－211<a<0.当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________．答案(－6，－25]解析令f(x)＝x 2＋(m－2)x＋6－m，＝（m－2）2－4（6－m）≥0，－m－22>2，2）＝4＋2（m－2）＋6－m>0，即≥25或m≤－25，<－2，>－6，解得－6<m≤－2 5.2．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．答案－12，解析解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－2m2m＋1x＋m－12m＋1，则f(0)<0，即m－12m＋1<0，所以(2m ＋1)(m－1)<0，解得－12<m<1.解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝m－12m＋1<0，解得－12<m<1.类型二已知两根所在的区间f（m）<0，另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n(图形分别如下)，需满足的条件是：(1)当a >0m ）<0，n ）<0；(2)当a <0m ）>0，n ）>0.例2已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m 的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m 的取值范围为________．答案－56，－－12，1－2解析设函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则其图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1，由题意，得0）＝2m ＋1<0，1）＝2>0，1）＝4m ＋2<0，2）＝6m ＋5>0，<－12，∈R ，<－12，>－56，解得－56＜m ＜－12.由题意知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得0）＝2m＋1>0，1）＝4m＋2>0，＝4m2－4（2m＋1）≥0，－m<1，>－12，>－12，≥1＋2或m≤1－2，1<m<0，解得－12＜m≤1－ 2.求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值．注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法．3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________．答案(0，1)解析解法一：设f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)，则0）>0，1）<0，3）>0，即（a＋1）>0，2a＋a（a＋1）<0，－3（2a＋1）＋a（a＋1）>0，>0或a<－1，a<1，>3或a<2，所以0<a<1.解法二：由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0，得(x－a)[x－(a＋1)]＝0，所以方程两根为x1＝a，x2＝a＋1，a<1，a＋1<3，解得0<a<1.4．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．答案(－3，0)解析显然a≠0，则方程ax2＋x＋2＝0可化为x2＋xa＋2a＝0，设f(x)＝x2＋xa＋2a，则0）<0，1）<0，，＋1a＋2a<0，解得－3<a<0，所以实数a的取值范围是(－3，0)．类型三可转化为一元二次方程根的分布的问题一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解．(2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数f (x )＝－32cos2x ＋a sin x ＋a ＋92，若方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案(－3，6－62)解析f (x )＝－32(1－2sin 2x )＋a sin x ＋a ＋92＝3sin 2x ＋a sin x ＋a ＋3，x ∈(0，π)，令sin x ＝t ，t ∈(0，1]，h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3，当0<t <1时，sin x ＝t 有两个不相等的实数根，当t ＝1时，sin x ＝t 有且仅有一个实数根，因为方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，所以－a6<1，＝a 2－12（a ＋3）>0，（0）＝a ＋3>0，（1）＝2a ＋6>0，解得－3<a <6－6 2.本题中，令sin x ＝t ，将原问题转化为3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意．5．(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0，若关于x 的函数g (x )＝[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3恰好有六个零点，则实数a 的取值范围是________．答案23－2，32解析作出函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0的图象如图，令f (x )＝t ，则当t ∈(1，2]时，方程f (x )＝t 有3个不同的实数解，所以使关于x 的方程[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0在(1，2]上有两个不同的实数根，令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，则＝（a ＋2）2－12>0，1<a ＋22<2，（1）＝2－a >0，（2）＝3－2a ≥0，解得23－2<a ≤32，故实数a 23－2，32.。