上海民办协和双语学校数学几何图形初步(提升篇)(Word版 含解析)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图1，∠AOB=120°，∠COE=60°，OF平分∠AOE
（1）若∠COF=20°，则∠BOE=________°
（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系
（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF=3∠DOE，且∠BOD=70°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）40
（2）解：∵
∴
∴
（3）解：存在．理由如下：
∵
设
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【解析】【解答】⑴
∴
∵OF平分∠AOE，
∴
∴
∴
故答案为：40。

【分析】（1）根据，∠EOF=∠COE-∠COF=40°，再由角平分线的定义得出∠AOF=∠EOF=40°，最后∠BOE=∠AOB−∠AOE=120°−80°=40°.
（2）由角平分线的定义得出∠AOE=2∠EOF，再利用等量代换得∠AOE=120°−∠BOE=2(60°−∠COF) , 整理得∠BOE=2∠COF；
（3）∠DOF=3∠DOE，设∠DOE=α，∠DOF=3α ，∠AOF=∠EOF=2α ，根据∠AOD+∠BOD=120°，构建一个含α的方程，5α+70°=120°求出α，进而求出∠DOF和∠COF.
2．根据下图回答问题：
（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
【答案】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAM+∠MCD=90°，
理由：如图，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，
∵∠M=90°，
∴∠BAM+∠MCD=90°；
（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH．
理由：过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．
【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，过M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，过点G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．
3．如图1， .如图2，点分别是上的点，且， .
（1）求证： F；
（2）若的角平分线与的角平分线交于点，请补全图形并直接写出与之间的关系为________.
【答案】（1）证明：如图,延长EH，交CD的延长线与M，
（2）∠BFE=2∠P.
【解析】【解答】解:（2）结论：∠BFE=2∠P，理由如下：
如图，设∠B=∠HEF=y.∠BFE=x
=
，
故答案为：∠BFE=2∠P.
【分析】（1）延长EH，交CD的延长线与M，根据平行线的性质及等量代换即可证明；
（2）设∠B=∠HEF=y，∠BFE=x，根据平行的性质结合三角形的内角和定理得出∠BFE=2∠P.
4．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线.
（1）若∠A=40°，∠B=76°，求∠DCE的度数；
（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数(用含α，β的式子表示)；
（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE与α、β的数量关系.
【答案】（1）解：∵∠A=40°，∠B=76°，
∴∠ACB=64°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB ∠ACB=32°.
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠B=14°，
∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD=32°﹣14°=18°；
（2）解：∵∠A=α，∠B=β，
∴∠ACB=180°﹣α﹣β.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB ∠ACB (180°﹣α﹣β).
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，
∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD β α；
（3）解：如图所示.
∵∠A=α，∠B=β，
∴∠ACB=180°﹣α﹣β.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB ∠ACB (180°﹣α﹣β).
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，
∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD β α，
由平移可得：GH∥CD，
∴∠HGE=∠DCE β α.
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据角平分线的定义得到∠ECB的度数，根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B，于是得到结论；（2）根据角平分线
的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB= ∠ACB= （180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；（3）运用（2）中的方法，得到
∠DCE=∠ECB-∠BCD= β- α，再根据平行线的性质，即可得出结论.
5．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为________度。

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为________．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系________.（直接写出结果）
【答案】（1）100°
（2）解：∠APC=α+β，
理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）∠APC=α-β；∠APC=β-α
【解析】【解答】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，
∴∠APE=55°，∠CPE=45°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.
（ 3 ）解：如下图所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD
∴∠APC=∠1-∠PCD，
∴∠APC=α-β，
如下图所示，当P在DB延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α
又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，
∴∠APC=β-α.
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC
（2）过P作PE∥AB，交AC于E，推出 AB∥PE∥CD ，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β
，即可得出答案。

（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β ，即可得出答案。

6．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值.
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D 点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN
的值不变；② 的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值.
【答案】（1）解：由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的处
（2）解：如图：
∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ= AB，
∴
（3）解：② 的值不变.
理由：如图，
当点C停止运动时，有CD= AB，
∴CM= AB，
∴PM=CM-CP= AB-5，
∵PD= AB-10，
∴PN= AB-10）= AB-5，
∴MN=PN-PM= AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以
【解析】【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得
PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有
CD＝ AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝ AB.
7．
（1）如图，已知C为线段AB上的一点，AC=60cm，M、N分别为AB、BC的中点.
①若BC=20cm，则MN=________cm；
②若BC=acm，则MN=________cm.
（2）如图，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC=60°，OM平分∠AOB，射线ON在∠BOC 内，且∠MON=30°，则ON平分∠BOC吗？并说明理由.
【答案】（1）30；30
（2）解：平分
理由：∵OM分别平分∠AOB，
∴∠BOM= ∠AOB
= （∠AOC+∠BOC）
=30°+ ∠BOC.
又∵∠BOM=∠MON+∠BON=30°+∠BON，
∴∠BON= ∠BOC.
∴ON平分∠BOC.
【解析】【解答】解：（1）①∵BC=20，N为BC中点，
∴BN= BC=10.
又∵M为AB中点，
∴MB= AB=40.
∴MN=MB-BN=40-10=30.
故答案为30；
②当BC=a时，AB=60+a，
BN= a，MB= AB=30+ a，
∴MN=MB-BN=30.
【分析】（1）①由已知得到AB=80，根据线段中点求出MB和BN的值，计算MB-BN即可得结果；②分别用a表示出BN、MB，根据MN=MB-BN计算即可；（2）根据OM分别平分∠AOB，用∠BOC表示出∠BOM，再用∠BON表示出∠BOM，两个式子进行比较即可得出结论.
8．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝________；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝∠AOE，求∠BOD的度数？
【答案】（1）30
（2）解：∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线
（3）解：设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．
∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
解得x＝5°，
即∠COD＝5°．
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°
∴∠BOD的度数为65°
【解析】【解答】（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠COB＝60°，
∴∠COE＝30°，
【分析】（1）根据角的和差，由∠COE=∠BOE-∠COB即可算出答案；
（2）根据角平分线的定义得出∠COE＝∠AOE＝∠COA，根据角的和差及平角的定义得出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，根据等角的余角相等得出∠COD＝∠DOB，故 OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x ，根据平角的定义得出5x+90°+x+60°＝180°，求解算出x的值，从而求出∠COD的度数，进而根据∠BOD＝∠COD+∠BOC 即可算出答案。

9．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE=90°，OF平分∠AOD.
（1）当x=19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数.
（2）当x=60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？
（3）当x=60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动.射线OE在转动一周的过程中当∠EOF=90°时，求射线OE转动的时间.
【答案】（1）解：∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=x=19°48′，
∴∠EOC=90°-19°48′=89°60°-19°48′=70°12′，
∠AOD=180°-19°48′=160°12′，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD= ∠AOD= ×160°12′=80°6′；
（2）解：当x=60°，∠EOF=90°+60°=150°
设当射线OE与射线OF重合时至少需要t秒，
10t-4t=360-150，
t=35，
答：当射线OE与射线OF重合时至少需要35秒
（3）解：设射线OE转动的时间为t秒，
分三种情况：①OE不经过OF时，得10t+90+4t=360-150，
解得，t= ；
②OE经过OF，但OF在OB的下方时，得10t-（360-150）+4t=90
解得，t= ;
③OF在OB的上方时，得：360-10t=4t-120
解得，t= .
所以，射线OE转动的时间为t= 或或 .
【解析】【分析】（1）利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数；
（2）先根据x=60°，求∠EOF=150°，则射线OE、OF第一次重合时，则OE运动的度数-OF 运动的度数=360-150，列方程解出即可；
（3）分三种情况：①OE不经过OF时，②OE经过OF，但OF在OB的下方时；③OF在OB的上方时；根据其夹角列方程可得时间.
10．如图1，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上，已知∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°作∠AOD的平分线交边CD于点E。

（1）求∠BOE的度数。

（2）如图2，若点C不落在边OA上，当∠COE=15°时，求∠BOD的度数。

【答案】（1）解：∵∠COD=60°，OE为∠COD的平分线，
∴∠COE=30°，
∴∠BOE=∠AOB+∠COE
=45°+30°
=75°；
（2）解：∵∠COE=15°，
∴∠DOE=∠DOC-∠OCE=60°-15°=45°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×45°=90°，
∴∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°+45°=135°.
【解析】【分析】（1）OE为∠COD的平分线，求出∠COE的度数，则∠BOE的度数等于∠AOB和∠COE的度数之和；
（2）现知∠COE的度数，则∠DOE度数可求，结合OE平分∠AOD，则∠AOD可求，于是∠BOD的度数可得；
11．如图①，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方.
（1）在图①中， ________度；
（2）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图②，若，求的度数；
（3）将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是________秒.（直接写出结果）
【答案】（1）30
（2）解：设∠BON=α，
∵∠BOC=60°，
∴∠NOC=60°-α，
∵∠MON=90°，
∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，
∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，
∵∠NOC= ∠MOA，
∴60°-α= （90°-α），
解得：α=54°，
即∠BON=54°；
（3）3或21
【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB 上，另一边OM在直线AB的上方，
∴∠MON=90°，
∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴∠BON=30°或∠BON=210°，
∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴直线ON平分∠BOC时，旋转的时间是3或21秒，
故答案为：3或21.
【分析】（1）由题意得出∠MON=90°，得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；（2）设∠BON=α，则∠NOC=60°-α，∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-
∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，由题意得出60°-α= （90°-α），解得α=54°即可；（3）求出∠BON=30°或∠BON=210°，即可得出答案．
12．如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N 在一条直线上，指针OA、OB 分别从OM、ON 出发绕点 O 转动，OA 运动速度为每秒 30 ，OB 运动速度为每秒10 ，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为 t 秒，试解决下列问题：
（1）如图①，若OA顺时针转动，OB逆时针转动， =________秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图②，若OA、OB同时顺时针转动，
①当 =3秒时，∠AOB=________ ；
②当为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？________
【答案】（1）4.5
（2）；解：由题意知，
∴∠BON＝10t ，∠AON＝180－30t (0≤t≤6)，∠AON＝30t－180(6<t≤12).
当ON为∠AOB的角平分线时，有
180－30t ＝10t ，
解得：t ＝4.5；
当OA为∠BON的角平分线时，
10t ＝2(30t －180)，
解得：t ＝7.2；
当OB为∠AON的角平分线时，
30t －180＝2×10t ，
解得：t ＝18（舍去）；
∴经过4.5，7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线
【解析】【解答】（1）解：若OA顺时针转动，OB逆时针转动，
∴∠AOM+∠BON=180 ,
∴，
解得：；
∴秒，OA与OB第一次重合；
故答案为：4.5
2）解：①若OA、OB同时顺时针转动，
∴，，
∴；
故答案为：120；
【分析】（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；（2）①利用180 减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案；
②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案.。