本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算1

图.4
（2）用叠加法作内力图 当荷载种类不同或荷载数量不止一个时，常常采 用叠加法绘制结构的内力图。
叠加法的基本原理是：结构上全部荷载产生的内 力与每一荷载单独作用所产生的内力的代数和相等。
例3 叠加法作图示简支梁弯 矩图。
4kN· m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN· m
4kN· m
解: 根据叠加法原理，可把该结构分解为如图所示几种 情况。
Hale Waihona Puke Baidu
相应的弯矩图如下图示：
三种情况弯矩图叠加，则最后弯矩如图所示：
三种情况相应的剪力图如下图示：
相叠加，则最后剪力如图所示：
（3） 绘制弯矩图的步骤 ① 求支座反力 ② 求控制截面的弯矩值，控制截面包括杆的两端、 集中力作用处（求剪力时要取两侧各一个截面）、力 偶作用处两侧、均布荷载的起点、终点和中点等； ③ 若二控制截面间无外力作用，则连以直线。若有 外力作用，则连直线（基线）后叠加上简支梁的弯矩 图。
图2
(2)求指定截面内力 从指定c截面截开梁，取左半为对象，受力如图 示： 由静力平衡条件得： ∑X=0: NC+XA=0 NC=-XA=-4kN ∑Y=0: -QC+YA-q*l=0 QC=YA-q*1=（6-3*1）=3kN ∑MC=0: YA*1-MC-q*1*0.5=0 Mc=YA*1-q*0.5*1=(6-3×0.5) =4.5kN· m
图13
② CE段：将YE反向作用于E点，并与q共同作用可得： ∑MD=0: YC×4-4×4×2+25×1=0 YC=1.75kN ∑Y=0: YC+YD-4×4-25=0 YD=39.25kN ③ FH段：将YF反向作用于F点，并与q=3kN/m共同作 用可得： ∑MG=0: YH×4+YF×1-3×4×2=0 YH=4.75kN
3.3
多跨静定梁的内力计算。
3.1
单跨静定梁的内力计算
静定梁包括单跨静定梁（简支梁、悬臂梁、外伸梁） 和多跨静定梁，分别见图1(a)、(b)、(c)和(d)所示。 静定梁的受力分析是其它杆系结构受力分析的基础， 因此掌握静定梁受力分析的基本方法，将有助于进一步 结合几何组成分析去研究其它杆系结构的内力计算。
由上述例题可知： 梁内某截面上的轴力N等于该截面任一侧所有外力 沿梁轴切线方向所作投影的代数和； (其中：背离截面投影为正，反之为负。) 梁内某截面上的剪力Q等于该截面任一侧所有外力 沿梁轴法线方向所作投影的代数和； (其中：绕截面顺转投影为正，反之为负。) 梁内某截面的弯矩M等于该截面任一侧所有外力对 该截面形心的力矩的代数和。 (其中：下拉为正，反之为负。) 根据上述结论，可以不画隔离体受力图，不列平衡 方程而直接计算截面内力，亦称“直接外力法”
3.2 斜梁的内力计算
工程实际中楼梯等结构常简化为斜梁。 楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿斜梁水 平投影长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量等；另一 种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载，如梁的自重等。 一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分布的 竖向荷载按等值转换为沿水平方向分布的竖向荷载，如 图 (a)所示，梁斜长为l′，水平投影长度为l，沿梁轴 线方向分布的荷载为q′，转换为沿水平方向分布的荷载 为q，则由于是等值转换，所以有：
解：（1）求支座反力 先假设反力方向如图所示，以 整梁为研究对象： ∑X=0: XA-P=0 XA=P=4kN ∑MB=0: YA*l-q*l*0.5*l=0 YA=0.5ql =0.5×3×4kN=6kN ∑Y=0: YA+YB=ql YB=ql-VA =(3×4-6) kN=6kN
YG+YH-YF-3×4=0 YG=12.25kN ④ AC段：将YC反向作用于C点，并与q=4kN/m共同作 用可得： ∑MB=0: YA×4+YC×1+4×1×0.5-4×4×2=0 YA=7kN
∑Y=0: YB+YA-4×5-YC=0 YB=14.7kN
∑Y=0:
图10
图11
图12
3.3.2
多跨静定梁的内力计算
由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不 影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支 座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内 力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层 次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用 于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图 联成一体，即为多跨静定梁的内力图。
第三章 静 定 梁
本章提要
本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分 析计算及内力图的绘制方法。通过本章的学习，主要应 掌握： （1） 梁的内力及其正负号规定； （2） 单跨静定梁内力计算及内力图绘制方法； （3） 多跨静定梁的内力分析计算。
本 章 内 容
3.1 3.2 单跨静定梁的内力计算； 斜梁的内力计算；
3.1.3 内力图的绘制 （1）根据微分关系作图 荷载集度q(x)、剪力Q和弯矩M之间的微分关系：
例2 绘制例1简支梁的内力图。 解: 在例.1中已求出该简支梁的支座反力，下面确定控 制截面上的内力，该梁的控制截面包括支座A、支座B 和梁的中点。 支座A：根据静力平衡条件可求得其剪力 QA=VA=6kN； 该支座为铰支座且该支座处无外力偶作用， 故其弯矩为零。 支座B：同样可求得该处剪力QB=VB=-6kN；MB=0。 跨 中：取跨中截面右侧为隔离体如图3，内力方向 如图中所示。
由此即可绘出其内力图如图 (d)所示。
由上可知：弯矩图为抛物线形，跨中弯矩为 1/8ql2，它与承受相同荷载的水平简支梁完全相同，
Q图与同样条件的水平简支梁的Q图形状相同，但 数值是水平简支梁的cosα倍。
3.3
多跨静定梁的内力计算。
3.3.1 多跨静定梁几何组成 多跨静定梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰联结 而成，并用来跨越几个相连跨度的静定梁。这种梁常 被用于桥梁和房屋的檩条中，如图10所示。其简图如 图11(a)所示。 多跨静定梁按其几何组成特点可有两种基本形式， 第一种基本形式如图11(b)所示；第二种基本形式如图 12(a)所示 ，其层次图如图12(b)所示。

3.1.1 粱内截面上的内力及正负号规定 由材料力学可知，在一般荷载作用下，梁内任一截 面上通常有三种内力，即轴力N、剪力Q和弯矩M。 内力的正负号规定： 轴力N：以拉力为正； 剪力Q：对隔离体顺时针旋转为正； 弯矩M：使杆件下侧受拉为正。
3.1.2 指定截面内力的计算 计算梁指定截面内力采用的基本方法是截面法，即 沿计算截面用一假想截面将构件切开，取任一侧为研究 对象，在荷载和支座反力等外力和截面上内力的作用下， 隔离体处于平衡状态，利用静力平衡方程即可求出三个 内力。 例1 如图3.2a所示简支梁，试计算距A支座距离为1m处C 截面上的内力。
即:
q′l′=ql q=q′l′/l=q′/cosα
下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进 行内力分析，如图(b)所示。 根据平衡条件，可以求出支座反力为： XA=0, YA=YB=1/2ql
则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离体求出。 如图(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方向（t方向）的分 力分别为qxsinα、YAsinα；在梁法线方向（n方向） 的分力分别为：qxcosα、YAcosα。则由平衡条件得： ∑T=0： YAsinα-qxsinα+NX=0 NX=(qx-1/2ql)sinα ∑N=0: YAcosα-qxcosα-QX=0 QX=(1/2ql-qx)cosα ∑MX=0: YAx-qx· x/2-MX=0 MX=1/2qx(1-x)
（2）集中力偶作用下
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
8kN· m
2kN/m
例4 叠加法作图示外伸梁弯 矩图。
3m 3m 2m
4kN· m
（1）悬臂段分布荷载作用下
2kN· m
4kN· m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
6kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
2kN· m
例5 图示外伸梁，承受集中荷载P=4kN，均布荷载q=3kN/m， 叠加法绘制其内力图。
例6 试作出如图13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪 力图。
解：（1） 绘制层次图，如图13(b)所示。
（2） 计算支座反力，先从高层次的附属部分开 始，逐层向下计算：
① EF段：由静力平衡条件得
∑ME=0: ∑Y=0: YF×4-10×2=0 YF=5kN YE=20+10-YF=25kN
图.3
根据静力平衡条件： ∑X=0: ∑Y=0: NX-P=0
NX=P=4kN，方向与原假设相同
QX+VB-q×l/2=0 QX=3×2-6=0
∑MX=0:
MX+q×(l/2)×(l/4)-VB×(l/2)=0
MX=(6×4)/2-(3×4)/2×4/4=6kN· m
由于该梁上承受均布荷载和一固定轴力，因此该梁 各截面上的轴力为一常数，轴力图为一水平直线，剪 力图为一倾斜直线，弯矩图为一抛物线，且在跨中处 为最大值，如图4所示。
(3) 计算内力并绘制内力图 各段支座反力求出后不难由静力平衡条件求出各 截面内力，然后绘制各段内力图，最后将它们联成一 体，得到多跨静定梁的M、Q图，如图14所示。
图14
再 见