离散数学-3-9 集合的划分和覆盖
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三、划分的加细
定义3-9.3 对集合X上的任两种划分{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs}，若对于每一个Aj均有Bk，使得Aj Bk，则{A1, A2, , , Ar}称为{B1, B2,,Bs}的加细。 定理3.9.2 任何两种划分的交叉划分，都是原划分的一种加 细。 证明： 设{A1, A2, , Ar}和{B1, B2, , Bs}的交叉划分为T，对T 中的任意元素Aj Bj，必有Aj Bj Aj , Aj Bj Bj 故T必是原划分的加细。
故总共有1＋1＋3＋6＋4＝15种。
7
二、交叉划分
P129 定义3-9.2 若{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs} 是同一集合A的两种划分，则其中所有AiBj 所组成的 集，称为原来两种划分的交叉划分。 例 P129 所有生物 定理3-9.1 设{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs}是同一 集合X上的两种划分，则其交叉划分也是原Βιβλιοθήκη Baidu合的一种划 分。
第三章 集合与关系
3-9 集合的划分和覆盖 授课人：李朔
Email:chn.nj.ls@gmail.com
1
一、集合的覆盖和划分
在集合的讨论中，常须把一个集合分成若干子集加以讨论， 这就是集的划分问题。如一个班男、女生。一个学院不同 专业。
P128 定义3-9.1 若把一个集合A分成若干个称为分块的非空子集，使
(b)、(c)和(d)表示有两个划分块的划分1,2,3、2,1,3和
3,1,2。(e) 表示有三个划分块的划分1,2,3。
*给定一个集合A，它的划分和覆盖都不是唯一的。
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一、集合的覆盖和划分
例：4个元素的集合A共有多少个不同的划分。
解：A的最大(所有元素），最小划分（各元素单列）都各 有一个 把4个元素分成1，3两部分，有4种可能； 把4个元素分成2，2两部分，有3种可能； 把4个元素分成1，1，2三部分，有6种可能。
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一、集合的覆盖和划分
例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合： S=a,b,b,c Q=a,a,b,a,c D=a,b,c G=a,b,c E=a,b,c F=a,a,c
试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？
得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合 称为A的一个覆盖。
上述定义与下面定义是等价。
令A为给定非空集合，S
2, , m) 且
m
Si A
={S1,
S2,
,
Sm},其中SiA且Si
(i=1,
i1
则称S是集合A的一个覆盖。
*如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的 集叫做A的一个划分（或分划）。即：若有Si Sj = (ij)，则称S为 A的一个划分。
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本课小结
覆盖 划分 交叉划分 划分的加细
10
作业
P130 （2）
11
*划分必是覆盖，覆盖未必是划分
5
一、集合的覆盖和划分
例3 设A=1,2,3，试确定A的所有划分。
解：有一个划分块的划分是：1,2,3 有两个划分块的划分是：1,2,3 2,1,3 3,1,2 有三个划分块的划分是：1,2,3
上图是A的所有划分的示意图。(a)表示有一个划分块的划分1,2,3。
D、G和E是A的覆盖，也是划分； F不是A的覆盖，也不是划分。
4
一、集合的覆盖和划分
例 A={a, b, c}
则 S={{a, b},{b, c}}、Q={{a},{a, b},{a, c}}都 为A的覆盖，而D={{a},{b,c}}、G={{a,b,c}}、 E={{a},{b},{c}}为A的划分。而且称G为A的最小 划分（由集合的全部元素组成），而E为A的最大 划分（每个元素构成一个单元素分块）。
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一、集合的覆盖和划分
例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合： S=a,b,b,c Q=a,a,b,a,c D=a,b,c G=a,b,c E=a,b,c F=a,a,c
试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？ 解：S和Q是A的覆盖，但不是划分；
三、划分的加细
定义3-9.3 对集合X上的任两种划分{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs}，若对于每一个Aj均有Bk，使得Aj Bk，则{A1, A2, , , Ar}称为{B1, B2,,Bs}的加细。 定理3.9.2 任何两种划分的交叉划分，都是原划分的一种加 细。 证明： 设{A1, A2, , Ar}和{B1, B2, , Bs}的交叉划分为T，对T 中的任意元素Aj Bj，必有Aj Bj Aj , Aj Bj Bj 故T必是原划分的加细。
故总共有1＋1＋3＋6＋4＝15种。
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二、交叉划分
P129 定义3-9.2 若{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs} 是同一集合A的两种划分，则其中所有AiBj 所组成的 集，称为原来两种划分的交叉划分。 例 P129 所有生物 定理3-9.1 设{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs}是同一 集合X上的两种划分，则其交叉划分也是原Βιβλιοθήκη Baidu合的一种划 分。
第三章 集合与关系
3-9 集合的划分和覆盖 授课人：李朔
Email:chn.nj.ls@gmail.com
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一、集合的覆盖和划分
在集合的讨论中，常须把一个集合分成若干子集加以讨论， 这就是集的划分问题。如一个班男、女生。一个学院不同 专业。
P128 定义3-9.1 若把一个集合A分成若干个称为分块的非空子集，使
(b)、(c)和(d)表示有两个划分块的划分1,2,3、2,1,3和
3,1,2。(e) 表示有三个划分块的划分1,2,3。
*给定一个集合A，它的划分和覆盖都不是唯一的。
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一、集合的覆盖和划分
例：4个元素的集合A共有多少个不同的划分。
解：A的最大(所有元素），最小划分（各元素单列）都各 有一个 把4个元素分成1，3两部分，有4种可能； 把4个元素分成2，2两部分，有3种可能； 把4个元素分成1，1，2三部分，有6种可能。
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一、集合的覆盖和划分
例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合： S=a,b,b,c Q=a,a,b,a,c D=a,b,c G=a,b,c E=a,b,c F=a,a,c
试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？
得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合 称为A的一个覆盖。
上述定义与下面定义是等价。
令A为给定非空集合，S
2, , m) 且
m
Si A
={S1,
S2,
,
Sm},其中SiA且Si
(i=1,
i1
则称S是集合A的一个覆盖。
*如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的 集叫做A的一个划分（或分划）。即：若有Si Sj = (ij)，则称S为 A的一个划分。
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本课小结
覆盖 划分 交叉划分 划分的加细
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作业
P130 （2）
11
*划分必是覆盖，覆盖未必是划分
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一、集合的覆盖和划分
例3 设A=1,2,3，试确定A的所有划分。
解：有一个划分块的划分是：1,2,3 有两个划分块的划分是：1,2,3 2,1,3 3,1,2 有三个划分块的划分是：1,2,3
上图是A的所有划分的示意图。(a)表示有一个划分块的划分1,2,3。
D、G和E是A的覆盖，也是划分； F不是A的覆盖，也不是划分。
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一、集合的覆盖和划分
例 A={a, b, c}
则 S={{a, b},{b, c}}、Q={{a},{a, b},{a, c}}都 为A的覆盖，而D={{a},{b,c}}、G={{a,b,c}}、 E={{a},{b},{c}}为A的划分。而且称G为A的最小 划分（由集合的全部元素组成），而E为A的最大 划分（每个元素构成一个单元素分块）。
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一、集合的覆盖和划分
例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合： S=a,b,b,c Q=a,a,b,a,c D=a,b,c G=a,b,c E=a,b,c F=a,a,c
试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？ 解：S和Q是A的覆盖，但不是划分；