2017-2018河北省衡水中学高一上学期期末考试数学试题(附答案)

2017-2018河北省衡水中学高一上学期期末考试数学试题（附答案）第I卷（共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

)1.已知集合2 {|4},{|1}A x y xB x a x a==-=≤≤+，若A B A⋃=，则实数的取值范围为（）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B.C. D.2.函数()f x=的定义域为（）A. [)01， B. ()1+∞， C. [)()011⋃+∞，， D. [)0+∞，3.如图所示的Venn图中，,A B是非空集合，定义集合A B⊗为阴影部分表示的集合，若(){},,{lg lg2,3,0xx y R A x y x x B y y x∈==+-==>，则()A B⊗=A. {}02x x<< B. {}12x x<<C. {}012x x x<≤≥或 D. {}012x x x<或4.函数()(010){16102lgx xf xx x<≤=-+>，，，若()()()f a f b f c==且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A. ()110， B. ()56， C. ()1012， D. ()2024，5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R∈，用[]x表示不超过x 的最大整数，则[]y x=称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()112xxef xe=-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是（ ）A. {}0,1B. {}1C. {}1,0,1-D. {}1,0- 6.函数()22x f x x =+的图象为（ ）A. B. C. D.7.函数()f x 为奇函数，定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f =，则( )A. 2-B. 1-C. 0D. 1 8.已知函数()()314,1{log ,1a a x a x f x x x -+<=≥ 满足对任意的实数12xx ≠都有()()12120f x f x x x -<- 成立，则实数a 的取值范围为A. (0,1)B. 10,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时， ()161,02{ 2log ,2xx f x x x ⎛⎫≤< ⎪=⎝⎭≥，若关于x 的方程()()()20,f x a f x b a b R ⎡⎤+⋅+=∈⎣⎦有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭B. ()2,1--C. 52,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 10.已知定义域为R 的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，且 122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()4log 2f x >的解集为（ ）A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭⋃ ()2,+∞ B. ()2,+∞C. 0,2⎛ ⎝⎭⋃)+∞D. 0,2⎛ ⎝⎭11.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．6- B ．7- C ．8- D ．9-12.已知定义在[]2,2-上的函数 ()y f x =和()y g x =的图象如图给出下列四个命题：①方程()()0f g x =有且仅有6个根；②方程()()0g f x =有且仅有3个根； ③方程()()0f f x =有且仅有5个根；④方程()()0g g x =有且仅有4个根； 其中正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

)13.若幂函数()a f x x =的图象经过点139⎛⎫⎪⎝⎭，，则2a -=__________.14.设()442xx f x =+，则12320162017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．15.已知函数()f x 的周期为4，当[)1,4x ∈时， ()32log f x x =，则()7f =__________. 16.下列几个命题正确的有__________（写出你认为正确的序号即可）. ①函数()y f x =的图像与直线1x =有且只有一个交点；②函数()f x 的值域是[-2,2],则函数()1f x +的值域为[-3,1]；③设函数()y f x =定义域为R ，则函数()1y f x =-与()1y f x =-的图像关于直线1x =对称； ④一条曲线23y x =-和直线()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分。

)17. (本题共2个小题，每小题5分，共10分。

)计算：（1）()20.53202564370.1392748π--⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3333322log 2log log 83log 59-+-18. (本题共12分)已知集合11{|216}8x A x +=≤≤， {|131}B x m x m =+≤≤-.（1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.19. (本题共12分)设函数()121log 1axf x x -=+满足()()f x f x -=-， a 为常数. （1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并给出证明.20. (本题共12分)已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()()[]2,1,9g x f x mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．21. (本题共12分)我市某商业公司为全面激发每一位职工工作的积极性、创造性，确保2017年超额完成销售任务，向党的十九大献礼．年初该公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：每季度销售利润不超过15万元时，则按其销售利润的10%进行奖励；当季销售利润超过15万元时，若超过部分为A 万元，则超出部分按()52log 1y A =+进行奖励，没超出部分仍按季销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y (单位:万元)，季销售利润为x (单位:万元). （Ⅰ）请写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；（Ⅱ）如果业务员李明在本年的第三季度获得5.5万元的奖金，那么，他在该季度的销售利润是多少万元?22. (本题共12分)已知二次函数()f x 满足()()121f x f x x +-=-+，且()215f =. （1）求函数()f x 的解析式； （2）令()()()12g x m x f x =--，① 若函数()g x 在区间[]0,2上不是单调函数，求实数m 的取值范围； ②求函数()g x 在区间[]0,2的最小值.参考答案1.C【解析】集合{|{|22}A x y x x ===-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以有2{ 12a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C. 考点：集合间的关系. 2.C【解析】2.函数有意义，则： 220{ 20x x -≠≥，求解不等式组可得函数的定义域为： [)()011⋃+∞，，. 本题选择C 选项. 3.C【解析】3.由Venn 图可知， ()()(){},|lg lg 2UA B A B A B A x y x x ⊗=⋃⋂⋂==+-{}|02x x =<<， {}{}3,01x B y y x y y ===， {}0A B x x ⋃=， {}|12A B x x ⋂=<<，(){| 1UA B x x ⋂=≤或}2x ≥， {}|12{| 1A B x x x x ⊗=<<⋂≤或}2{| 01x x x ≥=<≤或}2x ≥，故选C. 4.C【解析】函数()(010){16102lgx x f x x x <≤=-+>，，的图象如图：∵()()()f a f b f c ==且a ， b ， c 互不相等，∴()()()01,110,1012a b c ∈∈∈，，，，∴由()()f a f b =得lg lg a b =，即lg lg a b -=，即1ab =，∴abc c =，由函数图象得abc 的取值范围是1012（，），故选C. 5.D【解析】5.()()()()()11,2121x xx xe ef x f x f x e e--=-==-++， ()f x ∴为奇函数，函数()1,12x x e f x e =-∴+化简得出： ()11,1121xx f x e e =-+>+， 1011xe ∴<<+， 11112212x e -<-<+， ∴当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()()1,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，当()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()0,1f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，当()0f x =时， ()()0,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦， ∴函数()()y f x f x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故选D.6.D【解析】因为()()()22xf x x f x --=+-=，所以函数是偶函数，图象关于y 轴对称，又当0x =时，()01f =，所以选D.7.D【解析】由题2f x +（） 为偶函数， 22f x f x ∴-+=+（）（），∵f（x ）是奇函数， 22f x f x ∴-+=--（）（），即22f x f x +=--（）（）， 即4f x f x +=-（）（）， 则84f x f x f x +=-+=（）（）（）， 则f x （） 是奇函数， 00f ∴=（），则 ()2016252800f f f =⨯+=（）（），()20172528111f f f =⨯+==（）（） ，则20162017011f f +=+=（）（） ． 故选D ． 8.D【解析】由条件知，分段函数()f x 在R 上单调递减，则()310{013114log 1a a a a a -<<<-⋅+≥所以有13{0 1 17a a a <<<≥，所以有1173a ≤<，故选D9.C 【解析】由题意， ()f x 在(],2-∞-和[]0,2上是减函数，在[]2,0-和[)2,+∞上是增函数， 0x ∴=时，函数取极大值1,2x =±时，取极小值14， 16x ≥时， ()1f x ≥，画出函数()161,02{ 2log ,2xx f x x x ⎛⎫≤< ⎪=⎝⎭≥的图象，如图，关于x 的方程()()()20,f x a f x b a b R ⎡⎤+⋅+=∈⎣⎦有且只有7个不同实数根，设()t f x =，则方程20t at b ++=必有两个根12t t ，结合函数图象， 1212151,,1,,244t t t t a ⎛⎫⎛⎫=∈+=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则552,2,44a a ⎛⎫-<<-∈-- ⎪⎝⎭，故选C.10.A【解析】因为122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以不等式()4log 2f x >，化为 ()41log 2f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数， ()f x ∴在[)0,+∞上是增函数， 441log log 22x ∴>=或4411log log 22x ⎛⎫<-=- ⎪⎝⎭，102x ∴<<或2x >，故选A. 11.B【解析】由题意知251222x g x x x +==+++（），函数f x （）的周期为2，则函数f x （），g x （）在区间[51]-，上的图象如图所示，由图形可知函数f x （），g x （）在区间[]5,1-上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为3-，若设C 的横坐标为t 01t （＜＜） ，则点A 的横坐标为4t --，所以方程f x g x =（）（）在区间[51]-，上的所有实数根之和为347t t -+--+=-（）．故选：B.12.D【解析】根据图象可得2222g x f x -≤≤-≤≤（），（） ，①由于满足方程[]0f g x =（）的g x （）有三个不同值，由于每个值g x （）对应了2个x 值， 故满足[]0f g x =（）的x 值有6个，即方程[]0f g x =（）有且仅有6个根，故①正确． ②由于满足方程[]0g f x =（）的f x （）有2个不同的值，从图中可知， 一个f x （）的值在21--（，）上，令一个f x （）的值在01（，）上． 当f x （）的值在21--（，）上时，原方程有一个解；当f x （）的值在01（，）上时，原方程有3个解．故满足方程[]0g f x =（）的x 值有4个，故②不正确．③由于满足方程[]0f f x =（） 的f x （）有3个不同的值，从图中可知，一个f x （）等于0， 一个21f x ∈--（）（，），一个12f x ∈（）（，）． 而当0f x =（） 时对应3个不同的x 值；当21f x ∈--（）（，）时，只对应一个x 值； 当12f x ∈（）（，）时，也只对应一个x 值． 故满足方程[]0f f x =（）的x 值共有5个，故③正确．④由于满足方程[]0g g x =（）的g x （）值有2个，而结合图象可得，每个g x （）值对应2个不同的x 值，故满足方程[]0g g x =（） 的x 值有4个，即方程[]0g g x =（）有且仅有4个根，故④正确．故选 D ． 13.14【解析】由题意有： 13,29a a =∴=-， 则： ()22124a --=-=. 14.1008 【解析】∵函数()442x x f x =+，∴()()11444411424242424x x x x x x x f x f x --+-=+=+=++++⨯，∴12320162017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 100811008=⨯=，故答案为1008. 15.2【解析】由题意结合函数的周期性可得()()()377432log 32f f f =-===.16.③④【解析】函数()y f x =的图像与直线1x =最多只有一个交点，故①错误；函数()f x 的图象向左平移1个单位得到()1f x +的图象，故其值域不变，故②错误；函数()y f x =-与()y f x =的图象关于直线0x =对称，则函数()()()11y f xf x =-=--与()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，故③正确；∵曲线((22233{ 3x x y x x x x -<<=-=-≤≥，∴直线y a =与曲线23y x =-的交点个数只能是0，2，3，4，故④正确；故答案为③④.17.(1) 原式＝2313222514375937+3=+100+3100.30.134831648⨯-⨯⎛⎫+-+-+= ⎪⎝⎭（）（）（） (2) 3335322log 2log log 83log 59-+- 33332log 4log log 839=-+- 332log 4839⎛⎫=÷⨯- ⎪⎝⎭3log 93=- 231=-=-.18.（1）由已知：，，.（2）若时符合题意； 若时有，即；综上可得：的取值范围为.19. （1）因为()()f x f x -=-， 所以112211log log 11ax ax x x +-=--+， 所以1112221111log log log 01111ax ax ax ax x x x x +-+-+=⋅=-+-+， 所以222111a x x-=-， 所以21a =，解得1a =±当1a =-时， ()121log 1x f x x +=+，定义域为{}1x x ≠-，不满足()()f x f x -=-. 当1a =时， ()121log 1x f x x -=+满足题意. 所以1a =. （2）当1a = 时， ()121log 1x f x x -=+，函数的定义域为{}11x x -<<. ()f x 在()1,1-上为增函数.证明如下：设()12,1,1x x ∈-，且12x x <()()12121211112122221111log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+-=-=⋅++++ 21112211log 11x x x x +-=⋅+- 因为()12,1,1x x ∈-且12x x <， 所以2112111,111x x x x +->>+- 可得211211111x x x x +-⋅>+- 从而21112211log 011x x x x +-⋅<+-， 即()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <因此()f x 在()1,1-上为增函数.20.（1）∵()f x 是幂函数，∴2331p p -+=，解得1p =或2p =，当1p =时， ()1f x x -=，不满足()()24f f <， 当2p =时， ()12f x x=，满足()()24f f <， ∴2,p =∴()12f x x =。