一般周期的函数的傅里叶级数

y
n x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 n x 2 x cos n 2 n 4 cos n n 4 (1) n 1 n x f ( x) sin n 1 n 2
o 2
x
2 0

2
n x sin 2

(0 x 2)
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定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则在函数的连续点处其傅里叶展开式为:
其中
n x 1 l d x (n 0 , 1, 2 ,) an f ( x) cos l l l
1 l n x bn f ( x) sin dx l l l
n x d x ( n 0 , 1, 2 , ) 其中 an f ( x) cos l 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数
收敛于
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例1. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数. 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
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2 2 a0 x d x 2 0

1 (2k 1) x ( 0 x 2 ) f ( x) x 1 2 cos 2 2 k 1 (2k 1) 8
说明: 此式对


也成立,
y
据此有
1 2 (2k 1) 2 8 k 1

o 2
x
由此还可导出
1 n2 n 1
1 2 2 6 n 1 n


2
8
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二. 定义在任意有限区间上的函数的傅里叶展开法
方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba F ( z ) f ( x) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
第十二章 第八节 一般周期的函数的傅里叶级数(14)
一 . 以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开式 二 . 定义在任意有限区间上 函数的傅里叶展开式
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一. 以2 l 为周期的函数的傅里叶展开
周期为 2l 函数 f (x) 变量代换 z
x
l
周期为 2 函数 F(z)
将F(z) 作傅里叶展开 f (x) 的傅里叶展开式
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(x 间断点)
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思考与练习
1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形? 答: 易看出奇偶性及间断点, 从而便于计算系数和写出 收敛域 . 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ? 答: 用系数公式计算 an , bn时 ,如分母中出现因子n－k
则ak 或 bk 必须单独计算.
( 5 z 5)
F (z )
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定
5 5 z 2 5 n z n 10 bn z sin d z (1) 5 0 5 n ( n 1 , 2 , ) n 10 (1) n z F ( z) sin (5 z 5 ) n 1 n 5

ba ba 上展成傅里叶级数 , F (z ) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在 上的傅里叶级数
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方ห้องสมุดไป่ตู้2
令 即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
(n 1, 2 ,)
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证明: 令 z
令
x
l lz f (x) f ( ) , 则
,则
变成

F ( z 2 ) f ( f(
所以
l ( z 2 ) lz

)
) f(
lz

2l )
是以 2 为周期的周期函数 , 且它满足收敛

定理条件, 将它展成傅里叶级数:
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内容小结
周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 a0 f (x) 2
1 l n x l f ( x) cos l d x (n 0 ,1,) l 其中 1 l n x f ( x) sin d x (n 1, 2 ,) l l l 当f (x)为奇 (偶)函数时, 为正弦(余弦) 级数. 变换 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 延拓
( 在 f (x) 的 连续点处 )
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证毕.
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说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处)
n x 其中 bn f ( x) sin dx l 如果 f (x) 为偶函数, 则有
( n 1, 2 , )
(在 f (x) 的连续点处)
( 在 F(z) 的连续点处 )
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其中
1 an

F ( z ) cos nz d z
(n 0 , 1, 2 ,) (n 1, 2 , 3 ,)
1 F ( z ) sin n z d z bn

令z
x
l
1 l n x an f ( x) cos d x (n 0 , 1, 2 ,) l l l 1 l n x bn f ( x) sin d x (n 1, 2 , 3 ,) l l l
F (z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式 在 上的正弦或余弦级数
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例3. 将函数 解: 令 设
展成傅里叶级数.
F ( z ) f ( x) f ( z 10) z
理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故
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(2) 将
作偶周期延拓, 则有
y
n x 2 2 dx an x cos 2 2 0
2 n x 2 x sin n 2 n 4 n
2
o 2
x

2
n x cos 2

2 0
(1) n 1 2
1 (2k 1) x cos f ( x) x 1 2 2 2 k 1 (2k 1) (0 x2) 8
作业:
11.8 1 ; 2 .
本章已讲完,下次课为习题课,请复习.
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