数学史与数学文化1

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KdA 2 ( S )
利用他们的数学成就和许多科学研究结果,希腊人对
宇宙是依据数学设计的, 给出了充分的证明. 数学实质
上存在于宇宙万物之中, 它是关于自然界结构的真理, 或
者如柏拉图所说, 是物质世界的客观存在. 宇宙存在规律
和秩序, 数学是达到这种有序的关键.
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托 勒 密 的 本 轮 │ 均 轮 模 型
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●托勒密相信: 宇宙是按数学规律
运行的. 依此思想
写成了《至大论》 一书.
托勒密 (C. Ptolemy, 公元90年～168年)
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5. 美丽的芭蕾

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芭蕾演员虽然身材修长, 但其腰长与身高之比平均约为0.58, 只有在翩翩起舞时、踮起脚尖, 方能展现0.618的魅力 .
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二 、数学造就艺术美 1. 数学造就绘画美
水是万物的始基！
这一命题开创了人类认识的一个新时代, 拉开了从 哲学角度审视世界的大幕.
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毕达哥拉斯如是说:
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万物皆数(指整数).
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KdA 2 ( S ) 毕达哥拉斯学派的自然哲学很难与实际相吻合，但
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如果說“音乐是听觉的数学”, 那么其数学就是音 律; 反过来, 如果說“数学是理性发出的音乐”, 那么 其音律就是逻辑.
傅立叶定理的发现使音乐中的弦内之音表述清楚而 简单，恩格斯曾说过，傅立叶分析是数学的音乐.
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托 勒 密 的 本 轮 │ 均 轮 模 型 托勒密的天体次序
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托勒密在书中得出了从里到外的如下的顺 序:月亮、水星、金星、太阳、火星、木星、 土星、恒星. 他就假定, 天空中的所有可能高度都被诸行 星占满: 每个行星都有自己时时占据的高度带, 这些高度带相互之间既不重叠, 也没有缝隙.

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向日葵中心种子的排列图 案符合斐波那契数列, 这个 序列以螺旋状从花盘中心 开始体现出来.为了使花盘 中的葵花籽数量达到最多, 大自然为向日葵选择了最 佳的黄金数字.花盘中央的 螺旋角度恰好是137.5度,十 分精确,只有0.1度的变化.
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3. 风景中的数学

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美国纽约罗切 斯特理工大学 数学系学生 Nikki Graziano 的摄影 .
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3. 风景中的数学

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2013年5月22日, 英 国威尔特郡文德米 尔惊现一个奇特的 麦田怪圈，令人惊 叹的是，它竟然展 现了“世界上最美 丽的数学定理”— —莱昂哈德· 欧拉定 理eiπ+1=0 .
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开普勒第一定律:

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每一行星沿一个椭圆轨 道环绕太阳运动,而太阳则处 在椭圆的一个焦点上 .
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开普勒第二定律:

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每一个行星和太阳的联线在相等的时间内扫过相等 的面积 .
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托 勒 密 的 本 轮 │ 均 轮 模 型
P C

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本 轮
E
地球
O
E’ Equant
对应点
均轮
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托 勒 密 的 本 轮 │ 均 轮 模 型
托勒密的宇宙尺度

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绘画艺术中 的黄金比例.
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1. 数学造就绘画美

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2. 数学造就建筑美

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希腊巴台农神庙 埃及金字塔
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开普勒第三定律:

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所有行星绕太阳公转的周期(行星年)的平方跟椭圆轨 道的半长轴的立方的比都相等 . 即
R k 2 T
其中k 的大小与行星无关, 只与太阳质量有关.
3
R
短 轴
长轴
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KdA 2 ( S ) 上帝设计了宇宙，因此可以推测所有的自然现象都
而且, 人类理性
可以洞察这个设计并且揭示其数学结构 .
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希腊人的宗旨——自然是依数学设计的，与文艺复 兴时的信念——上帝是这个设计的作者，融汇在一起， 统治了欧洲，关于这一点最令人信服的证据就是哥白尼 的所创立的“日心说” .

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三 、数学与乐音

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音乐中的 1,2,3 并不是数字而是专门的记号,唱出来 是 do, re, mi, 它来源于中世纪意大利一首赞美诗中前 七句每一句句首的第一个音节. 而音乐的历史像语言 的历史一样悠久, 其渊源已不可考证. 但令人惊异的是 我们可以运用数学知识来解释音乐的许多规则其中包 括音乐基本元素──乐音的构成原理, 也就是说 1, 2, 3……这些记号确实有着数字或数学的背景.
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mM 例如, 万有引力定律: F G 2 r

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牛顿的光辉业绩呈现给人类一个崭新的世界秩序, 和 一个用一套普遍的, 仅用数学表述的物理原理控制的宇 宙. 这是一个包括了石头下落、海洋潮汐、行星及其卫 星运动、彗星挑战性的大尾巴以及恒星辉煌庄严的运动 的宏大的规划. 借助于数学描述进行研究, 十七世纪的学者们发现 了一个量化了的世界. 他们将物理世界的具体事物转换 成数学公式, 从而留给后人一个数学的、定量的世界, 这 就是繁荣至今的自然的数学化的开始 .
Euclid,前325年～前265年
Apollonius, 约前262年～约前190年 前287年～前212年 23
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Archimed,
欧几里得著作具有系统、演绎的形式, 是许多古希 腊人孤立发现的汇合, 其标志是他的著作《几何原本》 的问世 .
《几何原本》是接收了圆锥曲线的理论, 在亚历山 大里亚学习数学的小亚细亚南岸的佩尔加人阿波罗尼乌 斯, 继续其关于抛物线、椭圆和双曲线的研究, 并写出了 这方面的经典著作《圆锥曲线 》. 在亚历山大里亚受教育而生在西西里的阿基米得对 纯几何学知识增添了几本著作《论球和圆柱》, 论《劈 锥曲面体与球体》,《抛物线的求积 》 .

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欢迎大家选修
数学史与数学文化
课程, 预祝每一位同学都有新收获!
主讲：
云南财经大学中华职业学院
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为什么要学习数学呢?
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序
看看我们的美丽世界
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一、自然界里的数学 1. 植物中隐藏的神秘数学
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遵循一个总的规划，上帝极可能用一套基本原理来支配 相联的事物。对于十七世纪致力于揭示上帝的自然设计 的数学家和科学家来说，合乎情理的做法似乎应该是去 寻求控制各种地面物体运动和天体运动的统一规律 . 在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中, 牛顿对 代数、几何、尤其是微积分做出了许多贡献, 而这些仅 仅是为达到其科学目标的辅助工作. 他致力于寻找能导 出一个统一地上物体运动和天体运动的定律的科学原理 , 幸运的是，正如狄德罗(Denis Diderot ,1713～1784)所说 的，自然界把秘密告诉了牛顿.
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他们确言中了后来两条证明是极为重要的信条：第一是 自然界是按数学原理构成的；第二是数学关系决定、统 一并显示了自然的秩序 .
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Sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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希腊哲学家不仅都重视对实质的探讨, 而且从毕达 哥拉斯开始, 所有哲学家都认为世界是依照数学设计的 . 在这个经典时期末期, 上述观点已经确立, 并且开始了 对数学规律的探求. 虽然这个观点并未影响后世所有的 数学家, 但一旦为人接受,它就作用于大多数伟大数学家 的思维, 甚至影响了那些尚未接触过它的人. 希腊人这一 重要思想的最大胜利是他们认为宇宙是按可为人类思维 所能发掘的数学规律运行的 .

傅立叶弦内之音:
utt auxx 0, u(0, t ) u(l , t ) 0 u( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x)
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an an u ( x, t ) (Cn cos t sin t) l l n 1
尼古拉· 哥白尼
约翰尼斯· 开普勒
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哥白尼也确信自然的数学规律, 但他假设每个天体, 无论是月亮还是行星, 都在一个圆周上运动,这个圆的圆 心又在另一个圆周上运动. 开普勒确信存在自然的数学规律, 并在努力寻找和谐 的数学关系时, 却取得了极大的成功, 他最著名也是最重 要的成果就是我们今天所说的开普勒行星运动三定律 . 普勒行星运动三定律 是数学规律.
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4. 闭月羞花

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面部黄金比例.
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4. 魔鬼身材

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人体黄金比例0.618.
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这些都蕴含着 深刻的数学道理 潜藏着神奇的数学奥秘
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为什么是这样而不是那样呢？
我们来聆听古代先贤的教导.
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公元前六世纪的伊奥尼亚的哲学家泰勒斯如是说:
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希腊人欲得到宇宙的数学规律, 他们在这方面成就如 何呢？由欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米得和托勒密 所创立的数学的精华有幸传给了我们。在时间上他们属 于希腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期(前 300年～公元600年) .

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1. 植物中隐藏的神秘数学

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植物的叶片或者花朵或果 壳都有着神奇的对称比例, 一些植物形态中存在的这 些黄金比例实际上就是一 种隐藏的“斐波那契数 列”.
5片花瓣的代 松塔的螺线 : 3 片花瓣的代表：鸭 表：报春花 左旋 13. (下). 跖草 ( 上 ) ，鸢尾 (左),杏花(右) .
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不管自然科学家们在何处巡查,总能发现证明世界具 有设计与和谐行为的规律和数学定律. 自然界具有条理 性、规律性、理性和可预见性. 人类是自然秩序不可分割的一个组成部分,也是上帝 的创造物. 时髦的唯物主义哲学告诉我们, 物质决定意 识，故人的意识与肉体也是物质世界的一部分 . 因此,人 类的行为必然有普遍的自然规律 .
托勒密算出整个宇宙的半径是地球半径的 19,865倍, 或者说120700000公里. 有些现代作者认为这一宇宙图像错得无可救 药, 指出这个宇宙尺度甚至还小于地球到太阳 的真实距离. 但是历史地看, 倒不如说, 正是托勒密首次 把宇宙尺度第一次变得如此巨大, 以至于让人 类心灵难以真正理解它了.
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