3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题

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第21章一元二次方程常见易错易混问题归类人教版数学九年级上册

九年级数学（上）极速提分法
例已知6是关于x的方程x2－(m＋2)·x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长为多少？
解题方法：本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程及三角形三边的关系，掌握数形结合思想是解题关键．
解：把x＝6代入方程得36－6(m＋2)＋2m＝0，解得m＝6，则原方程为x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6. 由这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边的长，可知： ①当△ABC的腰长为6，底边长为2时，△ABC的周长为6＋6＋2＝14；
当x＝5时，x＋25＝30，即这时蚂蚁爬了30 s. 答：分别在10 s，15 s，30 s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450 cm2.
【点易错】解动点问题要弄清点运动的特征，必要时要注意分类讨
论．如蚂蚁甲由A点向B点爬行表示蚂蚁甲既可以在线段AO 上，又可以在线段OB上．
(2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？解：由(1)知(40－x)(20＋2x)＝－2x2＋60x＋800＝－2(x－15)2＋1 250. 因为－2(x－15)2≤0，所以当－2(x－15)2＝0，即x＝15时，－2(x－15)2＋1 250的值最大．即(40－x)(20＋2x)有最大值，为1 250. 答：每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多．
8.如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，蚂蚁甲由A点以2 cm/s的速度向B点爬行，同时蚂蚁乙由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，在什么时刻，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450 cm2?
错解：设 t s 后两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积是 450 cm2.根据题意，得12(50－2t)·3t＝450，整理得 t2－25t＋150＝0，解得 t1＝10，t2＝15. 答：分别在 10 s 和 15 s 时，两只蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积为 450 cm2.

220.九年级新人教版数学上册3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题-精品专题

易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

中考数学培优易错难题(含解析)之一元二次方程含答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--．【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--，即AM 的解析式为112y x =--．2．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-．【解析】【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．3．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：；（3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-，代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．4．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋6，x 2＝1－6(2) x 1＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32. ∴x －1＝±32＝±6. ∴x 1＝1＋6，x 2＝1－6. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m 时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．7．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。

一元二次方程难题、易错题

一元二次方程难题、易错题1.一元二次方程已知关于x的方程mx^2-3(m-1)x+2m-3=0，求证：m取任何实数时，方程总有实数根。

解析：根据一元二次方程的判别式，当判别式大于等于0时，方程有实数根。

将方程化简得到 mx^2-(3m-3)x+2m-3=0，判别式为 (3m-3)^2-8m(m-1) = m^2-2m+1 = (m-1)^2 ≥ 0，因此对于任何实数m，方程都有实数根。

已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+1=0有两个相等的实数根，求ab^2-22(a-2)+b-4的值。

解析：由于方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的求根公式，可得到 b^2-4ac=0，即 b^2-4a=0.将b^2-4a代入ab^2-22(a-2)+b-4中，得到 ab^2-22(a-2)+b-4 = ab^2-22b+44+b-4 = ab^2-21b+40 = (ab-16)(b-5)。

因此，要求的值为(ab-16)(b-5)。

2.方程的实数根1）已知关于x的方程2x^2+kx-1=0，求证：方程有两个不相等的实数根。

解析：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。

将2x^2+kx-1=0的判别式代入得到k^2+8 ≥ 0，即对于任何实数k，方程都有两个不相等的实数根。

2）若方程2x^2+3x+1=0的一个根是-1，求另一个根及k 值。

解析：由于方程的一个根是-1，则另一个根为 -1/2.将-1和-1/2代入方程得到两个方程：2-3+k=0和4+3/2+k=0，解得k=-11/2.3.三角形形状已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x^2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△XXX的形状。

解析：根据三角形两边之和大于第三边的性质，可知bc，b+c>a，a+c>b，因此△ABC是一个等腰三角形。

中考数学复习一元二次方程专项易错题含答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．2．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017．（2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -）=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-，【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，4．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______．（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×6×1=3a （a+1），故答案为3a （a+1）；（6）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×1=()()ab a 1b 14++，故答案为()()ab a 1b 14++；探究三：（8）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

中考数学一元二次方程组（大题培优易错难题）附答案解析

中考数学一元二次方程组（大题培优易错难题）附答案解析中考数学一元二次方程组(大题培优易错难题)附答案解析一、一元二次方程1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12PB?QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12（6﹣t）?t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x13x2=13【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x1，x2=13．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．4．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．5．解方程：x2－2x＝2x＋1.【答案】x1＝2，x2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x=求解即可.试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x＝，∴x1＝2，x2＝26．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），。

九年级一元二次方程易错题(Word版含答案)

九年级一元二次方程易错题（Word版含答案）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x＝90时，“＝”成立，所以，当x＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．2．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆【解析】【分析】（1）设年平均增长率x，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．【详解】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，解得y≤20．答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．3．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2，由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.4．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根．（1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3．（2）tan∠OBA 6．【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A，B分别在反比例函数2yx=-（x＜0），3yx=（x＞0）的图象上，∴S△ACO＝12×2-＝1 ，S△ODB＝12×3＝32．∵∠AOB＝90°，∴∠ AOC＋∠ BOD＝90°，∵∠ AOC＋∠ OAC＝90°，∴∠ OAC＝∠ BOD．又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．∴SSACOODB∆∆＝2OAOB⎛⎫⎪⎝⎭＝23，∴OAOB＝±6（舍负取正），即OAOB＝6．∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝OAOB＝6．5．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）2cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数7．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．8．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的顶点C 的坐标是（6，4），动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC 运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO 运动，当Q 到达O 点时，P ，Q 同时停止运动，运动时间是t 秒（t ＞0）．（1）如图1，当时间t ＝秒时，四边形APQO 是矩形；（2）如图2，在P ，Q 运动过程中，当PQ ＝5时，时间t 等于秒；（3）如图3，当P ，Q 运动到图中位置时，将矩形沿PQ 折叠，点A ，O 的对应点分别是D ，E ，连接OP ，OE ，此时∠POE ＝45°，连接PE ，求直线OE 的函数表达式．【答案】（1）t ＝2；（2）1或3；（3）y ＝12x ．【解析】【分析】先根据题意用t 表示AP 、BQ 、PC 、OQ 的长．（1）由四边形APQO 是矩形可得AP ＝OQ ，列得方程即可求出t ．（2）过点P 作x 轴的垂线PH ，构造直角△PQH ，求得HQ 的值．由点H 、Q 位置不同分两种情况讨论用t 表示HQ ，即列得方程求出t ．根据t 的取值范围考虑t 的合理性．（3）由轴对称性质，对称轴PQ 垂直平分对应点连线OC ，得OP ＝PE ，QE ＝OQ ．由∠POE ＝45°可得△OPE 是等腰直角三角形，∠OPE ＝90°，即点E 在矩形AOBC 内部，无须分类讨论．要求点E 坐标故过点E 作x 轴垂线MN ，易证△MPE ≌△AOP ，由对应边相等可用t 表示EN ，QN ．在直角△ENQ 中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t ．【详解】∵矩形AOBC 中，C （6，4） ∴OB ＝AC ＝6，BC ＝OA ＝4依题意得：AP ＝t ，BQ ＝2t （0＜t≤3） ∴PC ＝AC ﹣AP ＝6﹣t ，OQ ＝OB ﹣BQ ＝6﹣2t （1）∵四边形APQO 是矩形 ∴AP ＝OQ ∴t ＝6﹣2t 解得：t ＝2 故答案为2．（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ∴四边形APHO 是矩形∴PH ＝OA ＝4，OH ＝AP ＝t ，∠PHQ ＝90° ∵PQ ＝5∴HQ 22PQ PH 3-=①如图1，若点H 在点Q 左侧，则HQ ＝OQ ﹣OH ＝6﹣3t ∴6﹣3t ＝3 解得：t ＝1②如图2，若点H 在点Q 右侧，则HQ ＝OH ﹣OQ ＝3t ﹣6 ∴3t ﹣6＝3解得：t＝3故答案为1或3．（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E∴PQ垂直平分OE∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE∵∠POE＝45°∴∠PEO＝∠POE＝45°∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°∴∠MPE＝∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90MPE AOPPE0P︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP（AAS）∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝43∴AM＝43+4＝163，EN＝4﹣43＝83∴点E坐标为（163，83）∴直线OE的函数表达式为y＝12x．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t的值，常规做法是用t表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t 的取值范围考虑方程的解的合理性．9．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝，由条件，知12121211x x x x x x ++==3，即33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤，又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，10．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案②【解析】试题分析：首先设下调的百分率为x，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1-x）2=3240解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去）答：平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520＞316000 ∴方案②更优惠考点：一元二次方程的应用。

九年级上册数学一元二次方程易错题(Word版含答案)

程，
，P 不返回，Q 返回，表示好 PB，CQ 的长，用面积公式列方程，
，两点都返回，表示好 PB，CQ 的长，用面积公式列方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）
，
.
根据三角形的面积公式，得
，
即
，
整理，得
，
解得
，
.
故当为 5 或 7 时，
的面积等于 35 .
（2）根据勾股定理，得
，
整理，得
，
解得
，
平方，把方程②分解因式，建立方程求 n，要注意 n 的值要使方程②的根是整数.
【详解】
若存在 n 满足题意.
设 x1，x2 是方程①的两个根，则 x1+x2=2n，x1x2= 3n 2 ，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2， 4
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若 4n2+3n+2=-n+1，解得 n=- 1 ，但 1-n= 3 不是整数，舍.
九年级上册数学一元二次方程易错题（Word 版含答案）
一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）
1．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．如果 P、 Q 分别从 A、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．
①当 x≥40 时， (x 24)480 20(x 40) 7680 ，
解得： x1 40, x2 48;
②当 x 40 时， (x 24)480 40(40 x) 7680，

一元二次方程难题、易错题(供参考)

一元二次方程已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132=-+--m x m mx求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；（2010年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值。

2．(2009年广东中山)已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(22=+-+x a x a 有两个实数根.例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)049≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且例：222()5()60x x x x ---+=，求x 的值例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）x 2210x kx +-=1-k 042=+-b x xA.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。

中考数学知识点过关培优易错难题训练∶一元二次方程及答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；（2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1=1+3，x 2=1﹣3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1=1+3，x 2=1﹣3．3．关于x 的方程(k －1)x 2+2kx+2=0（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根．（2）设x 1，x 2是方程(k －1)x 2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S 的值能为2，此时k 的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k －1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解； ②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134x +=，2x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得134x +=，234x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.6．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1．【解析】【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0．（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC 的一边长a ＝3，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求k 值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k ＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k ﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x 1＝2k ﹣1，x 2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，然后分别解关于k 的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k +1）2﹣4×4（k ﹣12）＝4k 2﹣12k +9＝（2k ﹣3）2≥0， ∴该方程总有实数根；（2）()2k 12k 3x=2±＋﹣ ∴x 1＝2k ﹣1，x 2＝2， ∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边，∴2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，∴k ＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.8．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a-=求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x＝， ∴x1＝2，x 2＝29．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600．化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。

备战2023年高考数学考试易错题-易错点一元二次不等式及一元二次方程

专题一元二次不等式、一元二次不等式易错知识1．解分式不等式时要注意分母不能为零；2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零； 3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭； 4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错；5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系；易错分析一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错1．不等式2x ＋1≤1的解集是________．【错解】由2x ＋1≤1得2x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1≥0，得(x －1)(x ＋1)≥0，得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |xx ≤－1或x ≥1}．【错因】因为x ＋1为分母，所以x ＋1不等于零。

【正解】由2x ＋1≤1得2x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1≥0，得x －1＝0或(x －1)(x ＋1)>0，得x ＝1或x <－1或x >1，得x <－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |x <－1或x ≥1}．二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错2.若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2]D ．[－2,2]一元二次不等式、一元二次不等式分式不等式忽视分母不为零解一元二次不等式忽视二次项系数的正负一元二次方程根的分布条件列举不全一元二次不等式恒成立忽视区间的开闭解一元二次不等式忽视两根的大小关系【错解】原不等式可整理为(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＞0，(4－2m )2－4×4(2－m )＜0，解得－2＜m ＜2.综上知实数m 的取值范围是(－2,2)，选A ．【错因】没有对二次项系数m 讨论。

2020-2021学年人教版九年级数学《一元二次方程》重点易错题及解析

②
②-①得6 = 12，解得 = 2
3、已知关于 x 的一元二次方程 2 + + = 0，若4 − 2 + = 0，则该方程一定有一个根为
（）
A、0 B、2
C、-2
D、-1
解：①将 0、2、﹣2、﹣1 分别代入原方程，可知 = −2符合题意。
2
②将4 − 2 + = 0化为（ − 2） + （ − 2） + = 0可知： = −2
解：
∵原方程是一元二次方程
∴ ≠ 0
将 m＝2 代入原方程得： 4√7 − 22 − 2 = 0，
2
方程两边同时除以 n 得：4√7 − 2 − = 0
1
整理得： − = 2√7
2 + −2 = 2 +
1
2
2
1
= ( + )2 − 2 = (2√7) − 2 = 26

7、若 m 是方程 2 + − 1 = 0的根，则式子3 + 22 + 2019的值为
4、某商场销售一种商品，每件进价 60 元，每件售价 110 元，每天可销售 50 件，每销售一件需要
支付给商场管理费 3 元，6 月份该商品搞“减价促销”活动，市场调查发现，售价每降价 1 元，每
天销售量增加 2 件，若某一天销售该商品共获利 2590 元，则该商品降价多少元？设该商品降价 x
元，则可列方程为：
取值范围。
解： 2 + 2 = 10 + 8 − 41
2 − 10 + 25 + 2 − 8 + 16 =0
( − 5)2 + ( − 4)2 = 0

中考一元二次方程组易错题50题含答案解析

中考一元二次方程组易错题50题含答案解析一、单选题1．方程2560x x --=的两根之和为（） A ．6-B ．5C ．5-D ．12．已知2是关于x 的方程230x mx m +-=的一个根，则这个方程的另一个根为（） A ．6-B ．6C ．3-D ．33．以﹣2和3为两根的一元二次方程是（） A ．x 2+x ﹣6=0 B ．x 2﹣x ﹣6=0 C ．x 2+6x ﹣1=0D ．x 2﹣6x+1=04．关于x 的一元二次方程2(2)10a x x -+-=，则a 的条件是（） A ．4a ≠B ．3a ≠C ．2a ≠D ．1a ≠5．下列一元二次方程中,没有实数根的是（） A ．2210x x -+= B ．2210x x -+= C ．2210x x --=D ．220x x -=6．下列方程中，属于一元二次方程是 ( ) A ．2x 2﹣y ﹣1＝0B ．x 2＝1C ．x 2﹣x （x+7）＝0D ．211x = 7．一元二次方程220x px +-=的一个根为2，则p 的值以及另一个根为（） A ．1，－1B ．1，1C ．－1，－1D ．－1，18．从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是248cm ，则原来的正方形铁皮的面积是（） A ．28cmB ．29cmC ．264cmD ．268cm9．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x ＋m ）（x ＋n ）＝x 2－5x ＋4，则m ＋n 的值为（）A ．－5B ．5C ．－4D ．410．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m 2﹣7＝0的一个根是﹣2，则m 的值可以是（）A ．﹣1B ．3C ．﹣1或3D ．﹣3或111．下列各式中是一元二次方程的是（） A ．x 2+1＝1xB ．x （x+1）＝x 2﹣3C ．2x 2+3x ﹣1D ．﹣x 2+3x ﹣1＝12．若方程()23630m x x --+=有解，则m 的取值范围是（）A ．6m <B ．6m ≤C ．6m ≤且3m ≠D ．6m <且3m ≠13．某商品原价300元，连续两次降价a%后售价为260元，下面所列方程正确的是（）A ．300（1+a%）2＝260B ．300（1﹣a 2%）＝260C ．300（1﹣2a%）＝260D ．300（1﹣a%）2＝26014．方程x 2+x ﹣6＝0的两个根为（） A ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣2 B ．x 1＝﹣3，x 2＝2 C ．x 1＝﹣2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝3 15．下列方程中是一元二次方程的是（）①ax 2+bx +c ＝0；①231223x x --=；①（x ﹣2）（2x ﹣1）＝0；①2120x x --=；①21y =；①x 2＝8．A ．①①①①B ．①C ．①①①①①①D ．①①①16．若关于x 的一元二次方程2(2)40x a x --+=有两个相等的实数根，则实数a 的值为（） A ．2B ．-2C ．-2或6D ．-6或217．下列方程中是一元二次方程的有（）①2320ax x -+= ①(1)(1)y y x x -=+ ① 2244x x = ①22226x y y x -+=+A ．①①B ．①①C ．①D ．①①①18．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，则常数c 的值为（） A ．±4B ．4C ．±16D ．1619．已知方程22610x x +-=的两个实数根为12,x x ，则1211+x x 的值为（） A ．-3B ．3C ．6D ．-6二、填空题20．已知x ＝1是一元二次方程x 2﹣mx+1＝0的一个解，则m 的值是_____． 21．方程22021x x =的解是 _____．22．已知m 是一元二次方程2250x x --=的一个根，则223-+=m m _________； 23．一元二次方程210x 的解__________．24．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x ，则所列的方程应为_______（不增加其它未知数）． 25．请写出一个以1、2为根的一元二次方程________26-3为根，且二次项系数为1的一元二次方程为_______． 27．一元二次方程223x +=中，=a _______，b =________，c =________． 28．若m 是方程2310x x -+=的一个根，则2262021m m -+的值为_____．29．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．30．方程22430x x +-=和2230x x -+=的所有的根的和等于____．31．若1x ，2x 是方程2x x 20160--=的两个实数根，则312x 2017x 2016+-=______. 32．在等腰ABC 中，顶角36A =︒，点D 在一腰AC 上，连接BD ，线段BD 与底边BC 的长相等．若6BC =．则AD =________；若6AB =，则AD =________．33．如果关于x 的方程x 2-5x + a = 0有两个相等的实数根，那么a=_____. 34．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，那么2017120182x x 的值为________________． 35．已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长为_______________；36．下面这首诗生动的刻画出了周瑜的一生：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符．(注：而立之年表示人到了30岁) 聪明的同学，你一定能算得出周瑜去世时的年龄是__________岁． 37．已知一元二次方程22510x x --=的两根为1x ,2x ，则12x x +=___38．已知关于x 的方程mx 2＋2x ＋5m ＝0有两个不相等的实数根12,x x ，且122x x <<，则实数m 的取值范围为________．39．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式b 2+c 2＝2a 2+16a+14与bc ＝a 2﹣4a ﹣5，那么a 的取值范围是_____．三、解答题40．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？41．解下列方程：2104x --=． 42．据统计，某市2018年某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2020年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2018年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2021年的年产量为多少万辆？43．如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD ，且中间共留两个1米的小门，设篱笆BC 长为x 米．(1)AB=________米（用含x 的代数式表示）；(2)若矩形鸡舍ABCD 面积为150平方米，求篱笆BC 的长；(3)矩形鸡舍ABCD 面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应x 的值；若不可能，则说明理由． 44．解分式方程21211x x x -=++ 45．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．46．材料阅读：材料1：符号“1212a ab b ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为12122112a a a b a b b b =-．如525(4)2(3)1434=⨯--⨯-=---．材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：2320x x ++=．①232(1)(2)x x x x ++=++①(1)(2)0x x ++=．故10x +=或20x +=．因此原方程的解是11x =-，22x =-．根据材料回答以下问题：（1）二阶行列式3642=___________；二阶行列式3321x x =中x 的值为__________．（2）求解241214x x x -=+中x 的值．（3）结合材料，若31x x m x-=，618x n -=，且0m n -<，求x 的取值范围．47．某地特产槟榔芋深受欢迎，某商场以7元/千克收购了3 000千克优质槟榔芋，若现在马上出售，每千克可获得利润3元．根据市场调查发现，近段时间内槟榔芋的售价每天上涨0.2元/千克，为了获得更大利润，商家决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批槟榔芋的贮藏时间不宜超过100天，在贮藏过程中平均每天损耗约10千克．（1）若商家将这批槟榔芋贮藏x 天后一次性出售，请完成下列表格：（2）将这批槟榔芋贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润29 000元？ 48．综合与探究如图，抛物线2y ax x c =++与x 轴交于A ，()4,0B 两点（点A 在点B 的左侧）．与y 轴交于点()0,4C ，直线BC 经过B ，C 两点，点Р是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB ，PC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)设点P 的横坐标为n ，四边形OBPC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，当S 取最大值时，在PC 的垂直平分线上是否存在一点M ，使BPM △是等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．49．已知：如图，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm /s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间t (s )，解答下列各问题：（1）求ABC ∆的面积;（2）当t 为何值是，△PBQ 是直角三角形？（3）探究：是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是ABC ∆面积的八分之五？如果存在，求出t 的值；不存在请说明理由.参考答案：1．B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：一元二次方程的两根之和为：551--=，故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 2．A【分析】把2x =代入方程230x mx m +-=中，得出22230m m +-=，解得4m =，再解一元二次方程即可．【详解】解：把2x =代入方程230x mx m +-=中，得出：22230m m +-=，解得：4m =，①关于x 的方程为：24120x x +-=， ①12x =，26x =-，①这个方程的另一个根为6-，故选：A ．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，得出该方程是解题的关键． 3．B【分析】由一元二次方程根与系数关系,设该方程一般形式中a=1,1x +2x =1=-b;1x 2x = -6 = c,即可得出答案.【详解】解:将1x =2, 2x =-3代入公式,可得到x 2-(2-3)x+2⨯(-3)=0,即x 2﹣x ﹣6=0, 所以B 选项是正确的.【点睛】本题考查了根与系数的关系.解题时熟记一元二次方程的根与系数的关系: 1x +2x =ba-，1x 2x =c a.4．C【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：①2(2)10a x x -+-=是关于x 的一元二次方程， ①20a -≠，即2a ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 5．A【分析】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 逐个求解即可．【详解】A ､224(1)42170b ac ∆=-=--⨯⨯=-<,没有实数根,故A 正确; B ､224(2)4110b ac ∆=-=--⨯⨯=,有两个相等的实数根,故B 不正确;C ､224(1)42(1)90b ac ∆=-=--⨯⨯-=>,有两个不相等的实数根,故C 不正确;D ､224(2)41040b ac ∆=-=--⨯⨯=>,有两个不相等的实数根,故D 不正确．故选:A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况． 6．B【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、含有2个未知数，故选项错误；B 、含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故选项正确；C 、化简后未知数的最高次数是1，故选项错误；D 、是分式方程，故选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．7．C【分析】先设方程的另一个根为t ，再由根与系数的关系得出关于t 、p 的方程组，求解即可得到答案．【详解】设方程的另一个根为t ，由题意得 222t p t +=-⎧⎨=-⎩ 解得11t p =-⎧⎨=-⎩ ∴ p 的值以及另一个根分别为－1，1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 的两个实数根为12,x x ，则1212·b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．C【分析】设原来的正方形铁皮的边长为cm x ，则截去2cm 宽的一条长方形的长为()2cm x -，根据长方形面积公式列方程求出正方形的边长，再用正方形面积公式求解．【详解】解：原来的正方形铁皮的边长为cm x ，则截去2cm 宽的一条长方形的长为()2cm x -，根据题意，得()2=48x x -，解得：18x =，26x =-(不符合题意，舍去)，①原来的正方形铁皮的面积()222864cm x ===，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解是的关键． 9．A【分析】从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出m 、n 的值再求和．【详解】解：根据题意得，m+n=-5，mn =4故选：A．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解例题中的运算过程并发现规律是解题关键．10．C【分析】先把x＝﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7＝0得4﹣2m+m2﹣7＝0，然后解关于m的方程即可．【详解】解：把x＝﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7＝0得4﹣2m+m2﹣7＝0，解得m＝﹣1或3．故选：C．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解及根与系数的关系，解题关键是熟练掌握计算法则.11．D【详解】只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，根据这一定义可以对各选项作出相应的判断.A选项：该方程中含有1x，不是整式方程，故A选项不符合题意.B选项：该方程整理后为x=-3. 整理后的方程为一元一次方程，故B选项不符合题意.C选项：因为本选项的式子不是等式，所以该式子不是方程. 故C选项不符合题意.D选项：在该方程中，等号两侧均为整式，只有x一个未知数且x的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意.故本题应选D.点睛：本题考查了一元二次方程的相关概念. 在判断一个方程是否是一元二次方程的时候，首先应该判断该方程是否是整式方程，如果不是整式方程，则一定不是一元二次方程. 如果原方程是整式方程，则应对原方程进行必要的整理，利用整理后的方程进行判断. 另外，方程是含有未知数的等式. 不是等式的式子一定不是方程，也不可能是一元二次方程.12．B【分析】直接分方程为一次方程和二次方程时分别讨论即可．【详解】当方程为一次方程时，30m-=，解得3m=，当方程为二次方程时，此时30m -≠，即3m =，①方程()23630m x x --+=有解，①()264330m ∆=--⨯≥，解得6m ≤，①6m ≤且3m =，综上所述，m 的取值范围是6m ≤，故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题时注意不要忘记方程为一次方程的情况． 13．D【分析】根据降价后的价格＝原价（1﹣降低的百分率），本题可先表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【详解】解：当商品第一次降价a%时，其售价为300（1﹣a%），当商品第二次降价a%后，其售价为300（1﹣a%）2．故所列方程为：300（1﹣a%）2＝260，故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 14．B【分析】利用因式解法即可求解．【详解】原方程因式分解得：()()320x x +-=，①1232x x =-=，．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．15．D【分析】分析:根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：①当a ＝0时，ax 2+bx +c ＝0不是一元二次方程； ①231223x x --=是一元二次方程；①（x ﹣2）（2x ﹣1）＝0是一元二次方程； ①2120x x--=是分式方程；①21y =不是一元二次方程；①x 2＝8是一元二次方程．①是一元二次方程的是①①①．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，①只含有一个未知数，①所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0（a ≠0）．16．C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出a 的值即可．【详解】关于x 的一元二次方程2(2)40x a x --+=有两个相等的实数根，∴∆2(2)160a =--=，即2(2)16a -=，开方得：24a -=或24a ，解得：6a =或2-．故选：C ．【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．17．C【分析】根据一元二次方程满足的条件：一个未知数、未知数的最高次数为2、二次项系数不为0、整式方程对每小题分析判断即可求解．【详解】①、当a≠0时是一元二次方程，当a=0时是一元一次方程，不符合题意； ①、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；①、是分式方程，不是整式方程，不符合题意①、整理方程为：2260y y -=+，是一元二次方程，符合题意，只有①是一元二次方程，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键，对于一般式20(0)ax bx c a ++=≠，特别要注意a≠0这一条件，这是做题过程中容易忽视的知识点．18．B【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】①方程x 2-4x+c=0有两个相等的实数根，①①=（-4）2-4×1×c=16-4c=0，解得：c=4．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．19．C【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出123x x +=-，1212x x =-，将1211+x x 通分，代入数值即可求解．【详解】①方程2610x x +-=的两个实数根为12,x x ，①123x x +=-，1212x x =-，①121212113612x x x x x x +-+===-，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系、分式的化简求值，熟练掌握根与系数关系是解答的关键．20．2【分析】把x ＝1代入一元二次方程x 2﹣mx+1＝0，可得110,m -+=再解方程可得答案．【详解】解： x ＝1是一元二次方程x 2﹣mx+1＝0的一个解，110,m ∴-+=2.m ∴=故答案为：2.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键． 21．1202021x x ==，【分析】根据因式分解法解该一元二次方程即可．【详解】解：22021x x =220210x x -=(20021)x x -=①0x =或20210x -=①1202021x x ==，故答案为：1202021x x ==，．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键． 22．8【分析】把x m =代入原方程可得：225,m m -= 从而可得答案. 【详解】解： m 是一元二次方程2250x x --=的一个根，2250,m m ∴--=225,m m ∴-=2238.m m ∴-+=故答案为：8.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求代数式的值，掌握方程的解使方程的左右两边相等是解题的关键.23．1x =±【分析】利用直接开平方法求解可得．【详解】解：①x 2-1=0，①x 2=1，则x=±1.故答案为x=±1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．()2300015000x +=．【分析】设这种商品的年平均增长率为x ，根据题意列方程即可．【详解】解：设这种商品的年平均增长率为x ，由题意得：()2300015000x +=，故答案为：()2300015000x +=．【点睛】本题考查增长率问题，解题的关键是明确题意，根据等量关系列出方程． 25．2320x x --=【详解】试题分析：以1、2为根的一元二次方程是(1)(2)0x x --=，即2320x x --=. 考点：一元二次方程的解26．(230x x +--3的和与积，然后根据根与系数的关系求出满足条件的一元二次方程．【详解】解：①33，3--①以-31的一元二次方程为(230x x +-．故答案为：(230x x +-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积是解题的关键．27． 2 -3【分析】先移项把一元二次方程化为一般形式，然后进行求解即可【详解】解：①223x +=，①2230x -=，①2a =，b =3c =-，故答案为：23-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的一般形式为()200ax bx c a ++=≠．【分析】由已知可得2310m m -+=，即有231m m -=-，整体代入易求得2262021m m -+的值．【详解】①m 是方程2310x x -+=的一个根，①2310m m -+=，即231m m -=-，①222620212(3)20212(1)20212019m m m m -+=-+=⨯-+=，故答案为：2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，用整体思想求值更简便． 29．10【分析】设该群一共有x 人，则每人收到（x ﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该群一共有x 人，则每人收到（x ﹣1）个红包，依题意，得：x （x ﹣1）＝90，解得：x 1＝10，x 2＝﹣9（舍去）．故答案为10．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．30．-2．【分析】先利用根的判别式求出根的情况，再利用两根和的公式计算即可得到答案.【详解】在方程22430x x +-=中2442(3)400∆=-⨯⨯-=>，①方程22430x x +-=有两个不相等的实数根；在方程2230x x -+=中2(2)41380∆=--⨯⨯=-<，①方程2230x x -+=没有实数根．设方程22430x x +-=的两个实数根分别为m 、n ，则有422m n +=-=-．故答案为：-2【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式公式，根与系数的关系公式，正确掌握计算公式是解题的关键.【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+2016，再计算x13=x12+2016x1=2017x1+2016，则原式可化简为2017（x1+x2），然后利用根与系数的关系求解．【详解】①x1是方程x2-x-2016=0的两实数根，①x12=x1+2016，①x13=x12+2016x1=x1+2016+2016x1=2017x1+2016，①原式=2017x1+2016+2017x2-2016=2017（x1+x2），①x1，x2是方程x2-x-2016=0的两实数根，①x1+x2=1，①原式=2017．故答案为2017．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，根据已知将原式化简，利用根与系数的关系是解答此题的关键．32．63-+【分析】根据等边对等角和外角的性质证明①ABD=①A，得到AD=BD=BC=6；设AD=x，再证明①ABC①①BDC，得到AB BCBD DC=，解之即可．【详解】解：①①A=36°，AB=AC，①①ABC=①C=（180°-36°）÷2=72°，①BD=BC，①①BDC=①C=72°，①①BDC=①A+①ABD，①①ABD=72°-36°=36°，①①ABD=①A，①AD=BD，①BD=BC=6，①AD=6；若AB=AC=6，设AD=x，则BD=BC=x，①①BDC =①ABC =72°，①C =①C ，①①ABC ①①BDC ， ①AB BC BD DC=，即66x x x =-，解得：x =3-+或3--（负值舍去），经检验：x =3-+①AD =3-+，故答案为：6，3-+【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，外角的性质，解分式方程和一元二次方程，解题的关键是灵活运用等边对等角，从而证明三角形相似． 33．254【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a 的等式，求出a 的值．【详解】①关于x 的方程x 2-5x+a=0有两个相等的实数根，①①=25-4a=0，即a=254．故答案为：254. 【点睛】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．34．23- 【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k 的不等式，利用非负数的性质得到k 的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值．【详解】①方程x 2+kx+239342k k -+＝0有两个实数根， ①b 2-4ac=k 2-4（34k 2-3k+92）=-2k 2+12k-18=-2（k-3）2≥0， ①k=3，代入方程得：x 2+3x+94=（x+32）2=0，解得：x 1=x 2=-32，则2017120182x x =-23．故答案为-23．【点睛】此题考查了根的判别式，非负数的性质，以及配方法的应用，求出k 的值是本题的突破点．35．6或12或15【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x 1=2，x 2=5，根据题意讨论：当腰为2，底边为5时；当腰为5，底边为2时，然后分别计算出等腰三角形的周长．【详解】①x 2-7x +10=0，①（x -2）（x -5）=0，①x -2=0或x -5=0，①x 1=2，x 2=5，当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15．故答案为6或12或15．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．36．36【分析】这是一道数字问题的应用题，等量关系隐于诗词中，及周瑜去世时年龄为两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方等于这两个数，于是可以设个位数字为x ，列出一元二次方程求解．【详解】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x ，则十位数字为x －3，由题意，得 x 2＝10(x －3)＋x ，即x 2－11x ＋30＝0，解得x 1＝5，x 2＝6，当x ＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x ＝6时，周瑜的年龄36岁，符合题意，故答案为36.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．37．52【详解】根据韦达定理，可得，12x x +=5238．−49＜m ＜0 【分析】根据关于x 的方程mx 2＋2x ＋5m ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可以得到m 的取值范围，再根据x 1＜2＜x 2和一元二次方程和二次函数的关系，可以利用分类讨论的方法求出m 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：①关于x 的方程mx 2＋2x ＋5m ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，①2024?50m m m ≠⎧⎨-⎩＞，解得，m ＜0或0＜m ①x 1＜2＜x 2，①当m ＜0时，m ×22＋2×2＋5m ＞0，解得−49＜m ＜0；当0＜m m ×22＋2×2＋5m ＜0，解得m 无解；故答案为：−49＜m ＜0．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、根的判别式、一元二次方程与二次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．39．a ＞﹣1且a≠﹣56且a≠﹣78 【详解】试题解析：222221614,45b c a a bc a a +=++=--，22222()216142(45)4844(1)b c a a a a a a a ∴+=+++--=++=+，即有2(1).b c a +=±+又245bc a a =--，所以b ,c 可作为一元二次方程222(1)450x a x a a ±++--=①的两个不相等实数根，故224(1)4(45)24240a a a a =+---=+>，解得a >−1.若当a =b 时，那么a 也是方程①的解，222(1)450a a a a a ∴±++--=，即24250a a --=或650a --=，解得,a =或5.6a =- 当a =b =c 时，16140450a a +=--=，，解得75,84a a =-=- (舍去)，所以a 的取值范围为1a >-且56a ≠-且a ≠7.8a ≠-故答案为1a >-且56a ≠- 且a ≠7.8a ≠- 40．（1）2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x ，根据该省2018年及2020年公共充电桩，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据该省2021年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论．【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x ，依题意得：2（1+x ）2=2.88，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）2.88×20%=0.576（万个）．答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．41．11x =，21x =- 【分析】利用公式法解一元二次方程，注意解题规范．【详解】解：1a =，b =14c =-. (221Δ441404b ac ⎛⎫=-=-⨯⨯-=> ⎪⎝⎭，方程有两个不相等的实数根，(21x -===⨯即11x =+，21x =. 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．42．（1）25%；（2）125万辆．【分析】（1）设年平均增长率为x ，根据“该品牌汽车2018年和2020年的产量”列出关于x 的一元二次方程，最后求解即可；（2）根据“该品牌汽车2021年的年产量＝2020年的年产量×（1＋增长率）”计算即可．【详解】解：（1）设年平均增长率为x ，依题意，得：64（1＋x ）2＝100，解得：x 1＝0.25＝25%，x 2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：年平均增长率为25%；（2）100×（1＋25%）＝125（万辆）．答：该品牌汽车2021年的年产量为125万辆．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出关于x的一元二次方程成为解答本题的关键．43．(1)（45−3x）(2)篱笆BC的长为10米(3)不可能，理由见解析【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；（2）根据矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-55＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米．【详解】（1）解：设篱笆BC长为x米，①篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门，①AB=43+2−3x=45−3x（米）．故答案为：（45−3x）．（2）解：依题意，得：（45−3x）x=150，整理，得：x2−15x+50=0，解得：x1=5，x2=10．当x=5时，AB=45−3x=30＞20，不合题意，舍去；当x=10时，AB=45−3x=15，符合题意．答：篱笆BC的长为10米．（3）解：不可能，理由如下：依题意，得：（45−3x）x=210，整理得：x2−15x+70=0，①Δ=（−15）2−4×1×70=−55＜0，①方程没有实数根，。

人教版九年级上册数学一元二次方程易错题(Word版含答案)

人教版九年级上册数学一元二次方程易错题（Word版含答案）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 47758．【解析】【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝12×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与△PAD的面积和＝12t2+12×6×（6﹣t），∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，∴12t2+12×6×（6﹣t）＝18×79，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣12t2＝72t2＝8，解得：t1＝477，t2＝﹣477（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝12×6×6﹣12t2﹣12（6﹣2t）2＝12t﹣25t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝45（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝126×6﹣12t2＝8，解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），综上，t的值为477或25时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.2．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L ．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1h 的耗油量为yL ．(1)求y 关于x 的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)； (2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】 (1)∵x +≥2＝4，∴当x ＝时，2(x +)有最小值8．即x ＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x ＝90时，“＝”成立，所以，当x ＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．3．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．问题探究（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积问题解决（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．【答案】（1）4；（2）203；（3）存在，最小值为16216- 【解析】【分析】（1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =1AE BH 2即可求解；（3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可．【详解】（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，∵S △ABC =1BC AM=82∴82AM==44⨯ 即BC 边上的高为4；（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，∵AD BC ∥，90D ∠=︒ ∴∠BCD=∠D=90°=∠F ∴四边形BCDF 为矩形，又∵BC=CD=4∴四边形BCDF 为正方形， ∴DF=BF=BC=4，又∵AD ∥BC ∴∠FAB=∠CBA 又∵∠EAB=∠CBA ∴∠FAB=∠EAB ∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE ∴BH=BF=4，在Rt △BCE 和Rt △BHE 中， ∵BE=BE ，BH=BC=4 ∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ） ∴EH=CE=2同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ） ∴AF=AH设AD=a ，则AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a 由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()22226+=-a a解得8=3a∴AE=6-a=103S △ABE =111020AE BH=4=2233⨯⨯ （3）存在，如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m 整理得8=4+ma m ∴AE=AH+HE=2816444+-+=++m m m m m设△ABE 的面积为y ，则y=()222161116AE BH=42244++=++m m m m ∴()()24216+=+y m m整理得：223240++-=m ym y ∵方程必有实数根∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y整理得2322560+-≥y y∴()()16216162160⎡⎤⎡⎤-----≥⎣⎦⎣⎦y y （注：利用求根公式进行因式分解）又∵面积y ≥0 ∴16216≥-y即△ABE 的面积最小值为16216-．【点睛】本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．4．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．5．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.6．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个实数根．（1）求弦AB的长度；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．【答案】（1）AB=2；（2）S △AOB 33）当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π．【解析】试题分析：（1）OA 和AB 的长度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度；（2）作出△AOB 的高OC ，然后求出OC 的长度即可求出面积；（3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等．试题解析：（1）由题意知：OA 和AB 的长度是x 2﹣4x+a=0的两个实数根， ∴OA+AB=﹣41-=4， ∵OA=2， ∴AB=2；（2）过点C 作OC⊥AB 于点C ，∵OA=AB=OB=2，∴△AOB 是等边三角形，∴AC=12AB=1，在Rt△ACO 中，由勾股定理可得：3△AOB =12AB ﹒OC=1233；（3）延长AO 交⊙O 于点D ，由于△AOB 与△POA 有公共边OA ，当S △POA =S △AOB 时，∴△AOB 与△POA 高相等，由（2）可知：等边△AOB 3P 到直线OA 3，这样点共有3个 ①过点B 作BP 1∥OA 交⊙O 于点P 1，∴∠BOP 1=60°， ∴此时点P 经过的弧长为：1202180π⨯=43π， ②作点P 2，使得P 1与P 2关于直线OA 对称，∴∠P 2OD=60°， ∴此时点P 经过的弧长为：2402180π⨯=83π， ③作点P 3，使得B 与P 3关于直线OA 对称，∴∠P 3OP 2=60°， ∴此时P 经过的弧长为：3002180π⨯ =103π，综上所述：当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识．涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，能综合运用所学知识，选择恰当的方法进行解题是关键．7．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，所以EF＝FG＝GH＝HE2EB＝x，则BF2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE2﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+2﹣x）2＝12解得，x1＝x2＝2 2∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE3，设EB=x，则BF3x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE3﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x 2+x ）2=12，整理得x 2x +1=0，b 2﹣4ac =3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为4，所以EF =FG =GH =HE =2，设EB =x ，则BF =2﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ，∴BF =AE =2﹣x ，在Rt △AEB 中，由勾股定理，得，x 2+（2﹣x ）2=12，整理得2x 2﹣4x +3=0，b 2﹣4ac =16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为n ，所以EF =FG =GH =HE ，设EB =x ，则BF ﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ，∴BF =AE ﹣x ，在Rt △AEB 中，由勾股定理，得，x 2+﹣x ）2=12，整理得2x 2﹣+n ﹣1=0，b 2﹣4ac =8﹣4n ＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的n 倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．9．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝，由条件，知12121211x x x x x x ++==3，即33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤，又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，10．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t≤4）.解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.（3）如图2，把△APQ 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t 使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当BF PC⊥s时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC 的面积平分．（3）存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为137-cm2．【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出APAB=AQAC，代入得出10210t-=28t，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-5 6t2+6t=12×12×8×6，求出此方程无解，即可得出答案.（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、OD、和PD的长度；然后在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8-185t）2-（6-65t）2=（2t）2，求得时间t的值；最后根据菱形的面积等于△AQP的面积的2倍，进行计算即可.解：（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴APAB=AQAC，即10210t-=28t，解得：t=20 9,∴当t=209时，PQ∥BC.（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．∴PD∥BC，∴F ，即B ，解得6PD 6-5t =． 216625S PD AQ t t =⨯=-，假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则有S △AQP = C S △ABC ，而S △ABC =12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12．而S △AQP 2665t t =-， ∴266125t t -=，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ．如答图2所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ，则有PD∥BC，∴D ，即COD ∆，解得：OC ，h ，∴QD=AD﹣AQ=t ．在Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD 2+PD 2=PQ 2，即h ，化简得：13t 2﹣90t+125=0，解得：t 1=5，t 2=t ，∵t=5s 时，AQ=10cm ＞AC ，不符合题意，舍去，∴t=52．由（2）可知，S △AQP =54∴S 菱形AQPQ′=2S △AQP =2×258=3372+cm 2．所以存在时刻t ，使四边形137-cm 2． “点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.。

中考数学复习一元二次方程专项易错题含详细答案

【答案】（1）当且时，方程有两个不相等的实数根；（2）， .
【解析】
【分析】
（1）方程有两个不相等的实数根，，代入求m取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将代入原方程，求解即可.
【详解】
（1）由题意得： = ，解得 .
因为，即当且时，方程有两个不相等的实数根.
（2）把带入得，解得， .
试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤ ；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤ ，∴k＝－3.
2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=- ，但1-n= 不是整数，舍.
②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=- (舍)，综上所述 Nhomakorabean=0.
5．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵ ，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

第二十一章一元二次方程易错必考68题(10个考点)专练(解析版)

第二十一章一元二次方程易错必考68题（10个考点）专练易错必考题一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，则一次项是（）A ．x-B ．1-C ．x D ．1【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义可得36m +=，30m +¹，可得m 的值，再代入原方程，由此即可得结果．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6，∴36m +=，30m +¹，解得：3m =，把3m =代入原方程可得2660x x -+=，∴一次项是x -，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是20(0)ax bx c a ++=¹，其中，2ax 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项．2．（2023春·八年级课时练习）将一元二次方程()11x x -=-化成()200ax bx c a ++=>的形式则a b c ++=．【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【详解】解：将一元二次方程()11x x -=-化成一般形式20(0)ax bx c a ++=>之后，变为210x x -+=，故1,1,1a b c ==-=，1111a b c \++=-+=，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y 的一元二次方程()()223811my m my y y +-=-+，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案】二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -；参数m 的取值范围是22m ¹±【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m 的取值范围．【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：()()22383110m y m y m ---+-=，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件280m -¹，即22m ¹±．可知它的各项系数分别是二次项系数是：28m -，一次项系数是：()31m --，常数项是：31m -．参数m 的取值范围是22m ¹±．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．易错必考题二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）如果关于x 的一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，则代数式2023a b --的值为（）A ．2021-B ．2021C ．2025-D ．2025【答案】D【分析】根据一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，得到20a b ++=即2a b +=-，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =，∴20a b ++=，∴2a b +=-，∴2023202322025a b --=+=，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．5．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=和20cx bx a ++=，其中a ，b ，c 是常数，且0a c +=，如果2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程20cx bx a ++=的根的是（）A ．2B ．2-C ．1±D ．1【答案】B【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．【详解】∵0a ¹，0c ¹，0a c +=，∴a c=-∴1c a =-，∴20b c x x a a++=，210c b x x a a ++=，∴210b x x a +-=，210b x x a--=，∵2x =是方程20ax bx c ++=的一个根，∴2x =是方程210b x x a+-=的一个根，即32b a =-，∴2231102b x x x x a --=+-=，∴2x =-是方程210b x x a --=的一个根，即2x =-时方程20cx bx a ++=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）已知m 为方程2320230x x +-=的根，那么32220262023m m m +--的值为．【答案】4046-【分析】先根据一元二次方程解的定义得到232023m m =-+，再用m 表示3m 得到()2220262023m m m +--，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 为方程2320230x x +-=的一个根，∴2320230m m +-=，∴232023m m =-+，∴()322220262023220262023m m m m m m +--=+--()()32023220262023m m m =-++--23620232023220262023m m m m =--++´--()33202392023m m =--+-+93202392023m m =-´-+4046=-，故答案为：4046-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入的方法是解题关键．7．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知a ，b ，c 是非零实数，关于x 的一元二次方程204c ax bx ++=，204b cx ax ++=，204a bx cx ++=，有公共解，则代数式2c a b ab b a--的值为．【答案】2或1-【分析】设公共解为t ，根据一元二次方程根的定义得到204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加可得：0abc ++=或12t =-，分别代入所求式可解答．【详解】解：设公共解为t ，则204c at bt ++=，204b ct at ++=，204a bt ct ++=，三式相加得()()204abc a b c t a b c t ++++++++=，即()2104a b c t t æö++++=ç÷èø，因为2211()042t t t ++=+³，所以0a b c ++=或12t =-，当0a b c ++=时，c a b =--，\原式222c a b ab--= 22222a ab b a b ab++--= 2=；当12t =-时，110424c a b -+=，110424b c a -+=，22c b a a b \=-=-，a b \=，\原式222244b ab a a b ab-+--=234b ab ab-= 22b b-= 1=-，综上，代数式2c a b ab b a--的值为2或1-．故答案为：2或1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，求代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值．【答案】117【分析】利用一元二次方程的解可得出281x x -=，将其代入24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的化简结果中即可求出答案．【详解】解：∵x 是一元二次方程2810x x --=的实数根，∴281x x -=．24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø()()247137233x x x x x x +=+---+-¸()()2497343x x x x x +--=¸---()()2416343x x x x x +-=¸---()()()()444343x x x x x x +-+=¸---()()()()433444x x x x x x +-=×--+-()()144x x =--21816x x =-+1116=+17∴代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值为117．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键．9．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø；化简，得2240y y +-=；故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2320x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a -+=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2320y y --=(2)()200cy by a c -+=¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，将x y =-代入已知方程2320x x +-=，化简即可得到答案；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，x y \=-，把x y =-代入已知方程2320x x +-=，得()()2320y y -+´--=，化简得，2320y y --=，\这个一元二次方程为：2320y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x=，y 把1x y=代入已知方程()200ax bx c a -+=¹，得2110a b c y y æö-×+=ç÷èø，去分母得，20a by cy -+=，若0c =，则20ax bx -=，于是方程()200ax bx c a -+=¹有一根为0，不符合题意，0c \¹，\所求方程为：()200cy by a c -+=¹．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．易错必考题三、换元法解一元二次方程10．（2023秋·全国·九年级专题练习）若整数x ，y 使()()22221212x y x y +---=-成立，则满足条件的x ，y 的值有（）A ．4对B ．6对C ．8对D ．无数对【答案】C【分析】先化简()()22221212x y x y +---=-可得()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-；然后求得a 的值，最后列举出符合题意的x ，y 的整数值即可解答．【详解】解：由()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû，设22x y a +=，则()()1212a a --=-，∴23100a a --=，即()()520a a -+=，解得：5a =或2a =-（舍弃），∴225x y +=．∴满足条件的x ，y 的整数值有：12x y =ìí=î，12x y =-ìí=î，12x y =ìí=-î，12x y =-ìí=-î，21x y =ìí=î，21x y =ìí=-î，21x y =-ìí=î，21x y =-ìí=-î，共8对．故选C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．11．（2023春·全国·八年级专题练习）用换元法解方程()()22212x x x x +++=时，如果设2x x y +=，那么原方程可变形为（）A ．2120y y ++=B ．2120y y --=C ．2120y y -+=D ．2120y y +-=【答案】D【分析】将原方程中的2x x +换成y ，再移项即可．【详解】解：根据题意，得212y y +=，即2120y y +-=；故选：D ．【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如果关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，那么关于y 的方程()21a y by c b -++=的解是．【答案】12y =，24y =，【分析】根据关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1x y =-，即可得到112211y x y x -=ìí-=î，解这个方程组即可得到答案．【详解】解：∵()21a y by c b -++=,∴()()2110a y b y c -+-+=,Q 关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，令1x y =-，∴112211y x y x -=ìí-=î，∴1111y x -==或2213y x -==，解得12y =，24y =，故答案为：12y =，24y =．【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1y x -=是解决问题的关键．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程210210x x -+=的根为13x =，27x =，则方程2(21)10(21)210x x ---+=的根是．【答案】12x =，24x =【分析】设21x t -=，可得210210t t -+=，根据210210x x -+=的根为13x =，27x =，可得213x -=或217x -=，即可得到答案；【详解】解：设21x t -=，可得210210t t -+=，∵210210x x -+=的根为13x =，27x =，∴213x -=或217x -=，解得：12x =，24x =，故答案为12x =，24x =；【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设21x t -=，得到210210t t -+=，结合方程210210x x -+=的根为13x =，27x =．14．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =，把2y x =，代入已知方程，得21022y y æö+-=ç÷èø．化简，得2240y y +-=，故所求方程为2240y y +-=这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程2210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【答案】(1)2210y y --=(2)20a by cy ++=()0c ¹【分析】（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，代入原方程即可得；（2）设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y =()0y ¹，代入方程20ax bx c ++=整理即可得．【详解】（1）解：设所求方程的根为y ，则y x =-，所以x y =-，把x y =-代入方程2210x x +-=，得：2210y y --=，故答案为：2210y y --=；（2）解：设所求方程的根为y ，则1y x =()0x ¹，于是1x y=()0y ¹，把1x y =代入方程()200ax bx c a ++=¹，得2110a b c y y æöæö++=ç÷ç÷èøèø，去分母，得20a by cy ++=，若0c =，有20ax bx +=，于是，方程20ax bx c ++=有一个根为0，不合题意，∴0c ¹，故所求方程为20a by cy ++=()0c ¹．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读材料：为了解方程()22215140x x ---+=（），我们可以将21x -看作一个整体，设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=①，解得121,4y y ==．当1y =，时，211x -=，∴22x =．∴2x =±；当4y =时，214x -=，∴25x =．∴5x =±．故原方程的解为12x =， 22x =-，35x =，45x =-．解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：()()222540x x x x +-++=；(3)请利用以上知识解方程：42340x x --=．【答案】(1)换元；转化(2)123411711715152222,,,x x x x -+---+--====(3)122,2x x ==-【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；（2）利用换元法解方程即可；（3）利用换元法解方程即可．【详解】（1）解：利用了换元法，体现了转化思想；故答案为：换元，转化；（2）设2x x y +=，原方程可变为2540y y -+=，则()()410y y --=，∴40y -=或10y -=，∴124,1y y ==，当4y =时，24x x +=，解得1172x -±=，当1y =时，21x x +=，解得152x -±=，∴原方程的解为123411711715152222,,,x x x x -+---+--====；（3）设2y x =，原方程可变为2340y y --=，解得124,1y y ==-，∵20x ³，∴24x =，解得122,2x x ==-．【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是理解并掌握换元法解方程．易错必考题四、配方法的应用16．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n \=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x 的一元二次方程新定义：若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22015ax bx -++取的最大值是（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a 与b 的方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【详解】解：∵22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”，∴22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ++-+=+-+，即22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ++-+=+-+++，∴2(2)438a b a -+=-ìí+=î解得510a b =ìí=-î∴22015ax bx -++＝25105201x x -+-＝25(1)2020x -++，则代数式22015ax bx -++能取的最大值是2020．故选：A ．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．18．（2023秋·江苏·九年级专题练习）实数x 和y 满足2212521640x xy y y -+++=，则22x y -= ．【答案】384【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x 与y 的值，代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】解：∵()()()()222222212521641236161646420x xy y y x xy y y y x y y -+++=+++-+++-==，∴60x y +=且420y -=，解得：12y =，3x =-，则22139844x y ==--，故答案为：384．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．（2023秋·全国·九年级专题练习）设m 为整数，且420m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个不相等的整数根，则m 的值是．【答案】12【分析】将方程化为2(23)21x m m -+=+，根据m 为整数，且方程有两个不相等的整数根即可求解．【详解】解：222(23)(23)21x m x m m --+-=+，\[]2(23)21x m m --=+，\2(23)21x m m -+=+，Q 420m <<，92141m \<+<，\2(23)21x m m -+=±+，Q m 为整数，且方程有两个不相等的整数根，\当2125m +=时，符合题意，解得：12m =；故答案：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，求参数的整数问题，掌握方法是解题的关键．20．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++． ②求2611x x ++的最小值．解：原式2691a a =++- 解：原式2692x x =+++2(3)1a =+- 2(3)2x =++．()()3131a a =+-++ 2(3)0x +³Q ，()()24a a =++ 2(3)22x \++³，即2611x ++的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：24a a ++_______________．(2)因式分解：21232a a -+．(3)求2443x x ++的最小值．【答案】(1)4(2)(4)(8)a a --(3)2【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可；（2）将32化成364-，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）将式子进行配方，再利用平方的非负性即可求解．【详解】（1）解：∵()22442a a a ++=+，故答案为：4；（2）解：21232a a -+【答案】（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21()02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 取何实数，二次根式22x x ++都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××- 2152AC AC =-+ 2125(5)22AC =--+21(5)02AC --£Q ，\当5AC =，四边形ABCD 的面积最大，最大值为252．【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值．易错必考题五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()221340a x x a a -+++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．4a =-或1B ．4a =-C ．1a =D ．0a =【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把0x =代入()221340a x x a a -+++-=得2340a a +-=，再解关于a 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a 的值．【详解】解：把0x =代入()221340a x x a a -+++-=，得2340a a +-=，解得1a =或4a =-，而10a -¹，所以a 的值为4-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．23．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 3,55=，因此，{}max 3,53--=-；按照这个规定，若{}2max ,35x x x x -=--，则x 的值是（）A ．5B ．5或16-C ．1-或16-D ．5或16+【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x --=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x --=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>-，∴{}2max ,35x x x x x -==--，即2450x x --=，解得：125,1x x ==-（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x ->>，∴{}2max ,35x x x x x -=-=--，即2250x x --=，解得：116x =+（不符合题意，舍去），216x =-，综上：x 的值是5或16-，故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．24．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列解方程()2923x x -=-的过程，并解决相关问题．解：将方程左边分解因式，得()()()3323x x x +-=-，…第一步方程两边都除以()3x -，得32x +=，…第二步解得=1x -…第三步①第一步方程左边分解因式的方法是，解方程的过程从第步开始出现错误，错误的原因是；②请直接写出方程的根为．【答案】公式法二 3x -可能为0 13x =，21x =-【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；②利用因式分解法求解即可．【详解】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：3x -可能为0，故答案为：公式法，二，3x -可能为0；②∵()2923x x -=-，∴()()()3323x x x +-=-，∴()()()33230x x x +---=，则()()310x x -+=，∴30x -=或10x +=，解得13x =，21x =-，故答案为：13x =，21x =-．【点睛】本题考查因式分解，解一元二次方程．运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．25．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：0a ¹且0b ¹，221003a b ab +-=，那么a b a b +-的值等于．【答案】2-或2【分析】先把已知条件化为2231030a ab b -+=，再利用因式分解法得到30a b -=或30a b -=，然后把3b a =或3a b =分别代入a b a b+-中计算即可．【详解】解：∵221003a b ab +-=，即2231030a ab b -+=，∴(3)(3)0a b a b --=，∴30a b -=或30a b -=，当30a b -=时，即33,23a b a a b a a b a a ++===---；当30a b -=时，即33,23a b b b a b b b a b ++=-==-，∴a b a b+-的值等于2-或2．故答案为：2-或2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．26．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程2430x x k -+=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】(1)43k £(2)95m =【分析】（1）一元二次方程有实数根，则0D ³，由此即可求解；（2）根据（1）中k 的取值范围求出k 的值，由此可求出方程2430x x k -+=的解，把x 的值代入一元二次方程2(2)30m x x m -++-=即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：2(4)430k D =--´³，解得43k £，∴k 的取值范围43k £．（2）解：由（1）可知，43k £，∴k 的最大整数是1，∴方程2430x x k -+=可化为2430x x -+=，解得121,3x x ==，∵一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，2130m m -++-=，解得2m =；当3x =时，(2)9330m m -´++-=，解得95m =，又20m -¹，∴95m =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，掌握一元一次方程的定义，有实根的计算方法，解一元二次方程的方法的知识是解题的关键．27．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为1x ，()212x x x >，且213x x +为整数，求整数m 所有可能的值．【答案】(1)见解析(2)4-或2-或0或2【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10D =>，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）解方程求出方程的两根为m ，1m +，得出11343111x m x m m ++==+++，然后利用有理数的整除性确定m 的整数值．【详解】（1）解：证明：Q 22[(21)]4()10m m m D =-+-´+=>，\无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）22(21)0x m x m m -+++=Q ，即()[(1)]0x m x m --+=，解得：x m =或1x m =+．\一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=的两根为m ，1m +，12x x >Q ，11x m \=+，\11343111x m x m m ++==+++，如果311m ++为整数，则4m =-或2-或0或2，\整数m 的所有可能的值为4-或2-或0或2．【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出m 的整数值．易错必考题六、根据一元二次方程根的情况求参数28．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）若关于x 的一元二次方程2160x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的值可以是（）A ．8B ．8-C ．4D ．10【答案】D【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个不相等的实数根，∴22441160b ac m D =-=-´´>，∴264m >，∴8b >或8b <-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹，若240b ac D =-＞，则原方程有两个不相等的实数根；若240b ac D =-=，则原方程有两个相等的实数根；若240b ac D =-＜，则原方程没有实数根．29．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）若关于x 的一元二次方程()22230k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（）A ．73k £B ．73k >C ．73k <且2k ¹D ．73k £且2k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 20k -¹且224(2)30,k D =--´>然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；【详解】解：根据题意得 20k -¹ 且()2Δ24230k =--´>，解得 73k < 且 2k ¹，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k 的不等式是解此题的关键30．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x 的方程29304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（）．A ．0k ¹B ．1k ³-且0k ¹C ．1k ³-D ．1k >-且0k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：当0k ¹时，990k D =+³，∴1k ³-，当0k =时，原方程是一元一次方程，有实数根，∴1k ³-故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ¹，，，为常数)的根的判别式24b ac D =-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．31．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）已知关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，且a 满足25113a a -<ìí-£î，则a 的取值范围是（）A ．2a £-B ．23a<-C ．223a<-£-D ．233<a<-且2a ¹【答案】C【分析】由所给方程是一元二次方程可知20a -¹，由方程没有实数根可知Δ0<，再解不等组，找出交集即可．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根，\()()212426404a a a a D =+--´=+<，20a -¹，\23a <-，2a ¹，Q a 满足25113a a -<ìí-£î，由251a -<得3a <，由13a -£得2a ³-，\23a -£<，\223a<-£-，故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式、解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式，即Δ0<时，方程没有实数根；Δ0=时，方程有两个相等的实数根；0D >时，方程有两个不等的实数根．32．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知关于y 的一元二次方程2230ky y -+=有实根，则k 的取值范围是．【答案】13k £且0k ¹．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到0k ¹且△22120k =->，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：当0k ¹时，方程是一元二次方程，则△2(2)120k =--³有实数根，解得13k £且0k ¹．故答案为13k £且0k ¹．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根与△=-24b ac 有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．33．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，若关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，则b c +的值为．【答案】3-【分析】先解方程360x -=得2x =，再把2x =代入方程20x bx c ++=得420b c ++=，接着根据方程有两个相等的实数解，得到2(3)4(6)0b c D =--+=，然后通过解方程组求出b 、c ，从而得到b c +的值．【详解】解：解方程360x -=得2x =，Q 关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解，2x \=为方程20x bx c ++=的解，420b c \++=，Q 关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解，\2(3)4(6)0b c D =--+=，把24c b =--代入得2(3)4(246)0b b ----+=，解得121b b ==-，当1b =-时，242c =-=-，123b c \+=--=-．故答案为：3-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式关系：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的根与24b ac D =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．34．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是．【答案】2a <且1a ¹【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，\210Δ(2)4(1)0a a -¹ìí=--->î，解得：2a <且1a ¹．故答案为：2a <且1a ¹．【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．35．（2023·辽宁抚顺·统考三模）若关于x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是．【答案】1-【分析】根据方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，得到()20,240k k ¹--＞，确定符合题意的整数解即可．【详解】∵x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，∴()20,240k k ¹--＞，∴0,1k k ¹＜，∵k 是整数，∴k 的最大整数值是1-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程满足的条件，解不等式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．36．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于x 的方程24m x mx x m -=-．(1)有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)有两个相等的实数根，求m 的值，并求出此时方程的根；(3)有实根，求m 的最小整数值．【答案】(1)12m >-且0m ¹(2)12m =-，122x x ==-(3)0【分析】（1）分两种情况讨论：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =->，求解即可；（2）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-=，求解即可；（3）当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-³，求解即可．【详解】（1）解：24m x mx x m -=-，移项合并同类项得：2(1)04m x m x m -++=，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´>ëû，解得：12m >-；当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；∴m 的取值范围是12m >-且0m ¹；（2）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，只有一个实数根，不符合题意；当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´=ëû，解得：12m =-，把12m =-代入24m x mx x m -=-得：21110822x x ---=，整理得：2440x x ++=，解得：122x x ==-；（3）解：当0m =时，24m x mx x m -=-变成0x =，有一个实数根，符合题意，当0m ¹时，24m x mx x m -=-是一元二次方程，由题意得：()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´³ëû，解得：12m ³-，∴m 的最小整数值是0；【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24Δb ac =-与一元二次方程根的情况是解题的关键．37．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)是否存在k 的值，使k 为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．。

一元二次方程的解法易错点剖析

一元二次方程易错题解析一、在确立一元二次方程时，简单忽视二次项系数a题目 1 对于 x 的方程 (k 2－1) x k2－2k －1＋x ＋ k ＝0 是一元二次方程，求 k 的值．错解： ∵ k 2－2k －1＝2 即 k 2－ 2k －3＝0∴ k 1 ＝3， k 2 ＝－ 1.错因：方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0 （ a 0）为一元二次方程，这里重申 a 0. 当 k 2 ＝－1时，使 k 2 －1＝0，原方程是一元一次方程 . 正解：k 2－2k－＝1 2,∴ k ＝3.k 2－0,1二、在使用一元二次方程根的鉴别式时，简单忽视二次项系数a题目 2 对于 x 的一元二次方程 (m ＋1) x 2＋ 2 3mx ＋ 3m －2＝0 有实根，求 m 的取值范围 .错解： ∵方程有实根，∴ ≥0，即 ( 2 3m)2 －4(m ＋1)(3m －2) ≥0， ∴－4m ＋8 ≥0，∴ m ≤2.错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应知足 m ＋1 0，即 m －1。

正解：(2 3m) 2－ 4(m ＋－2) 0, 1)(3m m ＋1 0,∴ m ≤2，且 m －1.三、忽视根的鉴别式和二次项的系数a应知足的条件题目 3 已知对于 x 的方程 x 2－ mx － n ＝0 的两根之积比两根之和的 2倍小 1，而且两2根的平方和为 22，求 m ， n 的值 .错解：设两根分别为 x 1 ， x 2 ，则 x 1 ＋ x 2 ＝ m ， x 1 x 2 ＝－ n .由题意，得2(x＋－＝ 1＋＝ 1, 1x 2 ) x 1x 2 2 ,即 2m n2x 12＋x 22＝22,m 2＋2n ＝22,m 1＝7,或 m 2＝－3, 解得27n 2＝13n 1＝－ ,.22错因：因为方程有两根，说明根的判断式 ≥0，即 m 2＋4n ≥0，但 m ＝7和 n ＝－27 不知足，应舍去 . 又这里二次项系数 a ＝1是已知的，解题时可不考虑。

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