随机过程-电子科技大学-彭江燕 (8)

计数过程{N(t), t≥0} 为更新(计数)过程.
注 1 设Tn的分布函数为F(x), 总假定
F (0) = P{Tn = 0} ≠ 1,
从而 0 < μ = E(Tn ) = ∫0+∞ tdF (t) < +∞
徐
3
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的非定负义随2.4机.1变设量{T序n, 列n≥, 令1}是Wn相=互∑n 独Ti ,立n ≥同1,分W0布= 0 称 N (t ) = sup{n :Wn ≤ t} i=1
{T1 > t} = {X1 + X2 > t} ={[0, t)内至多到达一个离子}
P{T1 > t} = P{N(t) ≤ 1} = P{N(t) = 0}+ P{N(t) = 1}
= e−4t + 4te −4t
T1,T2 ,"Tn ," 的分布函数均为
FT (t) = P{T ≤ t} = 1 − P{T > t}
X (t ) = ∑Yn,
n=1
t≥0
1) 是独立增量过程.
2) Y1的特征函数为 ϕY1 (u), 则X(t)的一维 特征函数 ϕ X (t, u) = e jt[ϕY1 (u)−1], t ≥ 0.
3）均值函数和方差函数分别为
mX (t) = E[X(t)]= E[N(t)]E(Y1) = λtE(Y1). DX (t ) = D( N )E(Y12 ) = λtE(Y12 ).
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EX.6 若将股票交易次数N(t)看作一个Poisson
过程,ξn表示第n 次与第n－1次易手前后股票
价格差,则X( t ) 就代表直到t 时刻股票的价格变
化. 定义2.4.3 设{N(t),t≥0}是齐次poisson过
程,{Yn, n≥1}是相互独立同分布的随机变量序 列，并与N(t)相互独立, 称
N (t )
X (t) = ∑Yn，t ≥ 0
n=1
为复合poisson过程..
徐
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EX.7 设某仪器受到震动而引起损伤，若震
动次数N(t) 按强度为λ的Possion过程发生,第k
次震动时引起的损伤为Dk, 且D1,D2,…相互独立 同分布,与{N( t ),t≥0}相互独立.
∞
M (t ) = ∑ Fn(t )
n=1 ∞
∞
更新密度(强度) 为 m(t) = ∑ Fn′ (t) = ∑ fn(t)
证:
M (t) = E[N (t)] =
∞
∑
n=1
kP{N
(
t
)
=
n=1
k}
∞
k=0
∞
∑ ∑ = n[Fn (t ) − Fn+1(t )] = Fn (t )
n=0
n=1
徐
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2.4.2 复合泊松过程
EX.5 调查城市人员流动情况,可在关键路
口观察公交车的载客情况，设[0, t)内通过的
公交车数N(t)是一个poisson过程，而每辆车
的载客人数为ξ ，则经公交车通过此路口的 n
人数为：
N (t )
X(t) = ∑ξn
n=1
徐
16
徐
5
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二、更新过程有关分布
结论1 更新过程的更新间距Tn的分布函数 为F(x), Fn(x)为更新时刻Wn的分布函数 , 则
1) Fn (t ) = 1 − FN (t ) (n − 1)
2) P{N (t ) = n} = Fn (t ) − Fn+1(t )
=
⎧ ⎪1 − ⎨ ⎪⎩0,
k −1 i=0
(λt )i
i!
e−λt ,
根据更新过程的结论之2)
t>0 t ≤ 0.
P{N(t) = k} = P{N(t) ≥ k}− P{N(t) ≥ k +1}
= Fwk (t ) − Fwk+1 (t )
= (λ t )k e−λt , (k = 0,1, 2,", λ > 0)
= 1 − e−4t − 4te−4t , t > 0,
非指数 分布
记录下的离子个数不能构成泊松过程.
徐
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三、更新函数
更新过程的更新函数为 M(t) = E[N (t)]
更新密度(强度) 为 m(t) = M′(t)
定理2.4.2 设{N(t ),t≥0}是更新过程, 其更新函数为
徐
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定理2.4.3: 设{X(t),t≥0 }是复合泊松过程
N (t )
X (t ) = ∑Yn,
t ≥ 0 ϕ X (t, u) = e jt[ϕY1 (u)−1],
n=1
t ≥ 0.
证: 2) 由全期望公式
φX (u;t ) = E[e juX (t) ] = E{E[e juX (t) N (t )]} ∞ = ∑ E[e juX (t ) N (t ) = k]P{N (t ) = k}
φ T
(u),
则更新时刻的特征函数为
ϕWk
(u)
=
[ϕ T
(u)]k
徐
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Ex.3 泊松过程是更新过程
强度为λ的泊松过程{N(t), t≥0}其到达时间间
隔序列相互独立同服从参数为λ的指数分布.
若更新计数过程{N(t), t≥0}的更新间距具
有指数分布, 则{N(t), t≥0}是泊松过程.
知,Wk 的密度函数为
f
wk
(t
)
=
⎧ (λ)k
⎪⎨(k −1)! ⎪⎩0,
t
e k−1 −λt
,
t > 0; t ≤ 0.
∑ 分布函数为Fwk
(t)
=
⎧ ⎪1
−
⎨
⎪⎩0,
k −1 i=0
(λt )i
i!
e−λt ,
t>0 t ≤ 0.
徐
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∑ Fwk
(t)
证: 1) 因 {N (t) ≥ n} = {Wn ≤ t}
)
Wn
t
2) P{N(t) = n} = P{N(t) ≥ n}− P{N(t) ≥ n+1}
= P{Wn ≤ t} − P{Wn+1 ≤ t}
= Fn (t ) − Fn+1(t )
徐
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结论1 更新过程的更新间距Tn的分布函数
k=0
k
因
E[e
juX (t )
N (t )
=
k]
=
E[e
ju∑Yn n=1
]
k
∏ = E(e juY1 ) = [φY1 (u)]k n=1
∑ 故ϕ X
(u; t )
=
∞
[φY1 (u)]k
k=0
(λt )k k!
e−
λt
=
e λt[φY1 (u)−1]
徐
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k!
{N(t), t≥0}的一维概率分布为泊松分布,
即N(t)～P(λt).
再由更新过程的零初值性及平稳独立增量
性, 知{N(t), t≥0}是一个泊松过程.
徐
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定理2.4.1 更新计数过程{N(t ),t≥0}是泊松 过程的充要条件是更新间距具有指数分布.
N (t )
Y (t ) = ∑Yn,
n=1
t≥0
徐
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解
N (t )
Y (t) = ∑Yn,
n=1
是复合泊松过程, 有
t≥0
E[Y (t)] = E[N (t)]E(Y1) = λtE(Y1).
E (Y1
)
=
∫0+∞
xf
(
x
)dx
=
1
α
保险公司在[0, t)时间内平均支付的赔偿金为
EX.7: 设某仪器受到震动而引起损伤，若震动次
数N(t) 按强度为λ的Possion过程发生,第k 次震
动时引起的损伤为Dk, 且D1,D2,…相互独立同分 布,与{N( t ),t≥0}相互独立.
1) 设初始Dk损e－伤α为t，Dt≥k ,0经时(α间>0t )后; 衰减为
2）假设各次震动而引起损伤是可叠加的，
Ex.1 设顾客在一个超市收费台排队等待
服务, 第i 位顾客接受服务的时间为 Ti ，i = 1,2,"
相互独立同服从正态分布. 记[0, t)内接受服务的顾客数N(t), 则 {N(t), t≥0}
为更新计数过程, 且有 Ti = Wi − Wi−1 , i = 1, 2,"
其中Wn是第n位顾客的等待服务时间.
证: 因更新间距Tn的概率密度为
f (t)
其特征函数为
=
⎪⎧λe− λt ⎪⎩⎨ 0,
, t
t ≤
> 0.
0;
指数分布
ϕTi
(θ
)
=
ϕT
(u)
=
1
1 −
ju
,
λ
特征函数
徐
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ϕWk
(u)
=
[ϕT
(u)]k
=
1 [1 − ju]k
,
λ
(k = 1,2,")
由特征函数的反演公式及唯一性定理
1
§2泊.4 泊松 过松程过的程推的广 推主广讲教师：彭江艳
2.4.1 更新计数过程
对齐次泊松过程进行推广: 考虑计数过程{N(t), t≥0} 的时间间隔序
列T1,T2,…,Tn, …相互独立同分布的情形.
.
同类型设备的更新，如
一个元件； 一个灯泡； 一个系统…
若各更换对象的寿命具有相同概率密度,则
EX.8 保险公司赔偿金储备问题
设寿命投人的死亡数N(t)是强度为λ的泊
松过程,Yn表示第n 个死亡者的赔偿金额Yn , n=1,2, …相互独立同分布,概率密度为
fFra Baidu bibliotek
(
x)
=
⎧αe −αx
⎨ ⎩0,
,
x x
> ≤
0; 0.
(α > 0)
Y(t)是保险公司在[0, t)时间段内的总赔付
金额, 试求平均赔付金额和D[Y(t)].
2. 给出算法步骤，并说明算法原理.
Ex.4 设[0, t)时间内到达计数器的离子数 形成泊松过程, 平均每分钟到达4个. 某计数 器对到达的离子每隔一个才记录一次. 讨论 记录下的离子个数是否构成泊松过程？
0
徐
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解 设 X1, X2," Xn," 是相继到达的离子之间的时间间隔独立同服
从参数为λ=4 的指数分布 .
0
相继被记录的离子之间的时间间隔
T1 = X1 + X2,T2 = X3 + X4,"Tn = X2n−1 + X2n,"
也独立同分布, 因 {T1 > t} = {X1 + X2 > t}={[0, t)内至多到达一个离子}
徐
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E[Y
(t
)]
=
λtE
(Y1
)
=
λt
1
α
.
D[Y (t)] =
λ tE(Y 2 ) 1
=
λt
2
α2
=
2λ t α2
.
徐
相继两次损坏之间的运行时间T1,T2,…相 互独立同分布.
徐
2
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一、更新过程定义
定义2.4.1 设{Tn, n≥1}是相互独立同分布
的非负随机变量序列, 令
n
Wn = ∑ Ti , n ≥ 1,W0 = 0
i =1
称
N (t) = sup{n :Wn ≤ t}
计数过程{N(t), t≥0} 为更新(计数)过程.
注 2 更新过程是满足零初值性的平稳独立 增量过程.
注 3 事件发生一次称为一次更新,则
Tn: 第n－1到第n次更新相距时间(更新间距). Wn: 第n次更新发生的时刻(更新时刻). N(t) : t 时刻之前发生的总更新次数.
徐
4
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则在t 时刻的总损伤可表示为
D(t )
=
N(t)
∑
Dk e −α(t −Wk
)，t ≥
0
k =1
其中Wk 是第k 次受震动的时刻.
Wk 不具相互独立性.此过程非复合泊松过程.
徐
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定理2.4.3: 设{X(t),t≥0 }是复合泊松过程
则满足:
N (t )
泊松过程的又一种定义方法： 定义2.4.2 计数过程是泊松过程, 若事件相 继发生的时间间隔序列T1，T2, …相互独立, 服从同一参数的指数分布.
思 如何模拟一个参数为λ的Poisson过程
考 题
{N(t),t≥0}？
徐
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提示
1. 结合定理2.4.1，并查找相关资料.
又假设仪器受到震动而引起损伤将随时
间按指数衰减.
分析 1) 设初始损伤为Dk ,经时间t 后衰减为
Dke－αt，t≥0 (α>0);
2）假设各次震动而引起损伤是可叠加的，
则在t 时刻的总损伤可表示为
D(t )
=
N(t)
∑
Dk e −α(t −Wk
)，t ≥
0
k =1
徐
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为F(x), Fn(x)为更新时刻Wn的分布函数 , 则 1) Fn (t ) = 1 − FN (t ) (n − 1) 2) P{N (t ) = n} = Fn (t ) − Fn+1(t )
更新时刻是相互独立同分布随机变量之和
n
Wn = ∑ Ti
i =1
Fn(x)为F(x)的n重卷积.
结论2 更新过程的更新间距的特征函数为