曲率的计算公式讲解
参数方程下的曲率公式
参数方程下的曲率公式曲率的定义是物体的曲度，即当物体在特定的参数方程中，其表面自变量的变化程度。
曲率公式是求取曲率的重要工具，它可以帮助我们计算物体表面的曲度，也可以用于曲面的平面展开，以及几何学中的微分几何。
在几何学中，曲率是一个重要的度量，用它可以衡量曲面、曲线在不同空间上的弯曲程度。
它有助于研究曲面、曲线在空间中的特性和轨迹，也可以应用于其他科学研究中。
在参数方程下，可以计算出曲率的一个公式，即曲率公式。
曲率公式可以表示为：κ = R（1 + h^2）^( 3/2)其中，R是曲率半径，h是曲面中自变量的变化率。
曲率公式的求取基础是参数方程，参数方程是由物体表面的参数方程求取的，因此，了解参数方程是非常重要的。
参数方程有三类：抛物面参数方程、凸反平面参数方程和椭圆回形参数方程。
抛物面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2sin2θ + V2cos2θ其中，A，B，C是物体表面的常数参数，U，V是物体表面的自变量，θ是变量θ的参数值。
凸反平面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + V2cos2θ U2sin2θ它和抛物面参数方程的区别是负号的使用。
椭圆回形参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2cos2θ + V2sin2θ它与抛物面参数方程的区别在于自变量的变化率是相反的。
这三类参数方程可以用来求取曲率公式。
我们可以准备三类参数之后，将物体表面的自变量U、V和参数θ代入曲率公式，就可以计算出物体表面的曲率值了。
由于曲率公式可以用来测量物体表面的曲度，因此，在工程中有着广泛的应用。
例如，它可以应用于构件的强度评估，也可以用于测量地形和气象环境的精细变化；它可以用于太阳能电池板的制造，也可以用于油藏的勘察中。
曲率的公式
曲率的公式
曲率分为数学曲率和物理曲率两大类。
数学曲率是指物体在物理坐标系上表示时所采用的曲率，它舍弃了物质特质，只考虑坐标系中的物体形状。
物理曲率描述物质在其他条件相同的情况下，物理空间中物体形状。
数学曲率和物理曲率之间有着密切的联系，例如，在物体空间中拥有相同的曲率的物体（椭圆体或球体），它们的数学曲率也是相等的。
物理曲率的计算公式是把形状和物理特性结合起来表示的：物体的物理曲率R为曲率半径的负值：R=−1／K，其中K为物体的曲率，又称为弧长所占的角度。
弧长所占的角度可以通过下面公式求得：Δφ＝s／R，而s则表示曲线上两点之间的弧长，故可以得出物理曲率公式：R＝−s／Δφ，当Δφ趋近于0时，R趋近于负无穷大，表明表面形状越来越接近直线。
总之，求物理曲率的公式是R＝−s／Δφ，其中K为曲率半径，s为曲线上两点之间的弧长，Δφ表示弧长所占的角度。
物理曲率的计算方法主要考虑物质在空间中的形状和物质特性，它与数学曲率有着千丝万缕的联系。
多项式曲线曲率计算公式
多项式曲线曲率计算公式
在数学和工程领域，曲率是描述曲线弯曲程度的重要概念。
对于多项式曲线，我们可以使用曲率计算公式来计算其曲率。
曲率是曲线在某一点处的弯曲程度，它可以帮助我们理解曲线的形状和性质。
对于参数方程形式的多项式曲线：
\[ x(t) = a_nt^n + a_{n-1}t^{n-1} + \ldots + a_1t + a_0 \]
\[ y(t) = b_mt^m + b_{m-1}t^{m-1} + \ldots + b_1t + b_0 \]
其中，\(a_i\)和\(b_i\)是多项式系数，\(n\)和\(m\)是多项式的次数。
曲率计算公式可以表示为：
\[ \kappa(t) = \frac{|x'(t)y''(t)
y'(t)x''(t)|}{(x'(t)^2 + y'(t)^2)^{3/2}} \]
其中，\(x'(t)\)和\(y'(t)\)分别表示\(x(t)\)和\(y(t)\)对参数\(t\)的导数，\(x''(t)\)和\(y''(t)\)分别表示\(x(t)\)和\(y(t)\)对参数\(t\)的二阶导数。
这个公式可以帮助我们计算多项式曲线在任意点处的曲率。
通过计算曲率，我们可以了解曲线在不同点处的弯曲程度，从而更好地理解和分析多项式曲线的性质。
在实际应用中，曲率计算公式可以用于计算道路的曲率，分析曲线的形状和特征，以及在计算机图形学和工程设计中的应用等领域。
总之，多项式曲线曲率计算公式是一个重要的数学工具，它可以帮助我们理解和分析多项式曲线的性质，为实际应用提供了重要的数学基础。
曲率及其计算公式
M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设 x ， x+ D x 为 ( a ， b ) 内两个邻近的点 ，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
D s MM D x D x
(
(
D y | MM | | MM | y ， lim 因为 lim 1， 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | D x
ds 2 ． 1 y 因此 dx
ds 由于ss(x)是单调增加函数，从而 > 0 , dx
于是 ds 1 2 d 这就是弧微分公式． x ． y
2
从而，有
a a a a a ．
K da ． ds
| y | K 2 3 2 ( 1 y )
| y | K 2 3 2 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． ( 1 y )
1 由 y ， 得 x 1 2 y ， y ． 2 3 x x 因此，y|x11，y|x12．
(
ds 2 ． 1 y dx
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
M2 N2 )j
N1
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线 C 上从点 M 到点 M 的弧 为 D s ，切线的转角为 D a ．
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
曲线要素计算公式
曲线要素计算公式
曲线是数学中的基本概念，是指在平面上由无数个点连接而成的
连续曲线。
曲线具有许多重要的特征，如长度、弧度、曲率等。
而曲线的要素计算就是计算曲线的各种特征值。
下面，我们就来
介绍曲线要素的计算公式，帮助大家更深入地了解曲线的特征和性质。
一、曲线长度的计算公式：
曲线的长度指的是曲线上所有点之间的直线距离总和。
计算公式为：
L = ∫a b √[1+f’(x)²]dx
其中，a和b为曲线上的两个端点，f’(x)表示曲线的导数。
二、曲率的计算公式：
曲率是曲线某一点处曲线的弯曲程度的量度。
计算公式为：
k = |f’’(x)| / [1+f’(x)²]^(3/2)
其中，f’’(x)为曲线的二阶导数。
三、曲线斜率的计算公式：
曲线的斜率是指曲线在某一点处的切线斜率。
计算公式为：
f’(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx)−f(x)] / Δx
四、曲线弧度的计算公式：
曲线的弧度是指曲线某一段的弧长对半径的比值。
计算公式为：θ = l / r
其中，l为曲线一段的弧长，r为曲线的半径。
以上就是曲线要素计算公式的详细介绍。
掌握这些公式可以涵盖曲线的多方面特征，并为实际问题的解决提供指导和依据。
曲率计算公式参数方程
曲率计算公式参数方程曲率计算是在几何学中，用来表示曲面的曲率的一种方法，曲率的计算是学习几何学的一个重要的概念，不仅可以了解曲率的概念，而且也可以理解曲率参数方程（有时也称为曲率表达式）。
曲率参数方程是一种特殊的公式，用来描述曲面上各点的曲率，曲率参数方程经常以μ（曲率系数）的形式出现，其中μ表示曲率系数，其值依赖于曲率的参数r（曲率半径）。
一般来说，曲率半径由曲率公式计算出来，而曲率的参数方程可以用以下的公式表示：μ[](r)=1/r*[1+(1/2)[(d2F/dr2)2-1]1/2]其中，F(r)表示几何形状的角度，r表示曲率半径，d2F/dr2表示几何形状的曲率。
r是曲率参数，很多时候也是可以调节曲率系数μ的参数。
曲率参数方程主要用来描述几何形状，如圆弧、椭圆、抛物线和曲线的曲率。
这些形状的曲率可以准确地用曲率参数方程来计算。
比如，圆弧的曲率参数方程可以用以下公式来表示：μ(r)=1/(r*sin(θ))其中，θ表示圆弧的弧度，r表示圆弧的曲率半径，即圆弧的直径被分割成圆上任意两点之间的角度。
如果r越小，则θ越小，曲率参数方程中的曲率系数μ也会变小，也就是圆弧越来越尖。
此外，曲率参数方程还可以用来求解其他几何形状的曲率，如椭圆的曲率参数方程可以用以下公式来表示：μ(r)=1/[r1*r2]其中，r1和r2分别为椭圆的两个焦点到椭圆上任意点的距离。
曲率参数方程的另一个应用是，可以用来确定物体的曲率是否超出了安全的界限，如在航空运输、航空和汽车制造中，曲率参数方程可以用来确定机翼外形曲率是否超出了安全界限，这样就可以确保机翼安全地运行。
总之，曲率计算公式参数方程是一种特殊的公式，用来表示曲面上各点的曲率，是几何学中重要概念。
它不仅可以用来描述几何形状的曲率，而且还可以用来确定机翼外形曲率是否超出了安全的界限，从而保证机翼的安全运行。
曲率及其曲率半径的计算
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
有如下关系：
1 1 r ， K ． r K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4 2
O
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8． 把它们代入曲率公式，得
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
）
平均曲率：
曲率的计算公式：
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
曲率公式微分方程
曲率公式微分方程
曲率k=y''/[(1+(y')^2)^(3/2)]，其中y',y"分别为函数y对x的一阶和二阶导数。
1、设曲线r(t)=(x(t),y(t)),曲率k=(x'y"-
x"y')/((x')^2+(y')^2)^(3/2)。
2、设曲线r(t)为三维向量函数,曲率
k=|r'×r"|/(|r'|)^(3/2),|x|表示向量x的长度。
3、向量a,b的外积,若
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)。
曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。
平坦对不同的几何体有不同的意义。
本文考虑基本的情况，欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。
一般意义下的曲率，请参照曲率张量。
在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。
这是关于时空扭曲造成的。
结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
曲率的倒数就是曲率半径。
曲率及其曲率半径的计算
抛物线顶点处的曲率半径为
1 r 1．25． K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过 2．50单位长．
| 2a | | y | K ． 2 32 [1 (2ax b) 2 ]3 2 (1 y ) b b 要使K 最大，只须2axb0， 即 x 对应的点为 ．而 x 2a 2a 抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
M
Dy
Dx
x x+Dx x
Ds MM Dx | MM |
2
Dy 2 1 Dx
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | Dx ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
曲率半径的定义和公式
曲率半径的定义和公式
曲率半径是描述曲线在某一点处弯曲程度的物理量。
它表示了曲线在该点处的
弯曲半径，是一个用于衡量曲线弯曲程度的数值。
曲率半径的定义可以简单解释为：曲线是由一系列连续的点组成的，曲率半径
就是通过这些点构成的曲线在某一点处的弯曲半径。
曲率半径的公式是通过对曲线进行微分来得到的。
对于平面曲线，曲率半径的
公式为：ρ = 1/κ，其中κ代表曲率。
曲率κ是曲线在某一点处的弯曲程度，是曲线
在该点处切线的弯曲程度。
对于空间曲线，曲率半径的公式稍有不同。
在三维空间中，曲率半径的公式为：ρ = cos(θ)/κ，其中θ是曲线在该点处的切线和法线之间的夹角，κ仍然表示曲率。
需要注意的是，曲率和曲率半径是由曲线的形状决定的，而非曲线的方程。
因此，在计算曲率半径时，需要对曲线进行参数化，然后对该参数化曲线进行微分，最终得出曲率和曲率半径。
总结起来，曲率半径是描述曲线弯曲程度的物理量，表示了曲线在某一点处的
弯曲半径。
曲率半径的公式根据曲线的维度和参数化方式而不同，在平面曲线中为ρ = 1/κ，在空间曲线中为ρ = cos(θ)/κ。
要计算曲率半径，需要对曲线进行参数化，然后进行微分计算。
希望以上内容能满足你对于曲率半径定义和公式的描述需求。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
曲率总结范文
曲率总结曲率是描述曲线或者曲面弯曲程度的一个重要概念，在数学和物理学中都得到广泛应用。
虽然曲率的数学定义可能相对复杂，但是在应用中我们可以通过一些简化的方法来理解和计算曲率。
本文将对曲率的概念、计算方法以及应用领域进行总结。
1. 曲率的概念在数学中，曲率是描述曲线或者曲面弯曲程度的一个量。
对于曲线而言，曲率可以理解为曲线在某一点处的弯曲程度；对于曲面而言，曲率可以理解为曲面在某一点处的弯曲程度。
曲率可以用于描述道路的弯曲程度、几何体的表面形状等。
2. 曲率的计算方法2.1 曲线的曲率计算对于曲线，我们可以通过求导数的方式计算曲线在某一点处的曲率。
具体而言，曲线的曲率可以使用以下公式计算：k = |dθ/ds|其中，k表示曲率，dθ表示弧长元素ds对应的角度变化。
2.2 曲面的曲率计算对于曲面，曲率的计算相对复杂一些。
常用的计算曲率的方法有以下两种：2.2.1 主曲率和法向量法主曲率是曲面上曲率最大和最小的两个方向的曲率。
我们可以通过计算曲面上的法向量和曲面上的两个方向的曲率来求得主曲率。
具体而言，主曲率的计算公式如下：k1 = |H + sqrt(H^2 - K)|k2 = |H - sqrt(H^2 - K)|其中，k1和k2分别表示主曲率，H表示平均曲率，K表示高斯曲率。
2.2.2 曲面的切曲率法曲面的切曲率法是通过计算曲面上某一点处曲线的曲率来求得该点的曲率。
具体而言，曲面的切曲率法计算曲率的公式如下：k = (dN/ds) · B其中，k表示曲率，dN表示曲面上法向量的变化量，ds表示曲线上的弧长元素，B表示曲线的切向量。
3. 曲率的应用领域曲率的概念和计算方法在许多领域中都有广泛的应用。
下面简要介绍几个典型的应用领域：3.1 车辆行驶路径规划曲率可以用于车辆行驶路径规划。
在道路设计中，合理的曲率设计可以提高车辆行驶的安全性和舒适性。
通过计算道路曲线的曲率，可以确定适合车辆行驶的最佳速度和转弯半径等参数。
曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
y D y=f(x) ρ M 曲线在M点的曲率半径
1 |DM|= =ρ K
O 曲线在M点的曲率圆
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K ≠0)与曲线在点M处的曲率半径 ρ 有如下关系：
§3．9 曲 率 ．
一、弧微分 弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式 曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径 曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：s=s(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
C M′ ∆s ∆α α+∆α x
s
我们称 K =
曲率：
∆α 为弧段 MM ′ 的平均曲率． ∆s
我们称 K = lim
∆α 为曲线C在点M处的曲率． ∆s →0 ∆s ∆α dα dα lim = K= 在 存在的条件下 ． ∆s → 0 ∆ s ds ds
）
∩
平均曲率：
曲率的计算公式：
K= dα ． ds
| y ′′ | K= =0．8． 2 32 (1 + y ′ )
抛物线顶点处的曲率半径为
1 ρ = = 1．25． K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过 2．50单位长．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y′ =a， y′′ = 0．于是 | y ′′ | K = = 0. 2 3 2 (1 + y ′ ) x = ϕ (t ) 2 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ (t y = ψ (t ) 提示：
曲率及其计算公式
ds 由于ss(x)是单调增加函数，从而 > 0 , dx
于是 ds 1 2 d 这就是弧微分公式． x ． y
(
ds 2 ． 1 y dx
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
M2 N2 )j
N1
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
D s MM D x D x
2
2
2 2 ( M D x ) ( D y ) M | |M M M M 2 2 | M M | ( D x ) | M M | x ) (D
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设 x ， x+ D x 为 ( a ， b ) 内两个邻近的点 ，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
r
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r r
x 曲线在M点的曲率中心
1 1 ， K ． K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
曲率 计算公式
曲率计算公式
曲率计算公式根据不同的数学领域和曲线类型有所不同。
以下是一些常见的曲率计算公式：
1. 平面曲线的曲率计算公式（针对参数方程）：
-曲率公式：k = |r'(t)| / |r''(t)|
其中，r(t)是曲线的参数方程，r'(t)表示曲线的一阶导数，r''(t)表示曲线的二阶导数。
2. 平面曲线的曲率计算公式（针对显式方程）：
-曲率公式：k = |y''(x)| / (1 + [y'(x)]^2)^(3/2)
其中，y(x)是曲线的显式方程，y'(x)表示曲线的一阶导数，y''(x)表示曲线的二阶导数。
3. 空间曲线的曲率计算公式（针对参数方程）：
-曲率公式：k = |r'(t) ×r''(t)| / |r'(t)|^3
其中，r(t)是曲线的参数方程，r'(t)表示曲线的一阶导数，r''(t)表示曲线的二阶导数，×表示向量的叉乘。
需要根据具体的曲线类型和问题背景选择合适的曲率计算公式。
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim Dx0 Dx Dx 0 | MM | M M | MM | ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
C M Ds Da a+Da x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关. 怎样 度量曲线的弯曲程度？
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、弧微分
•曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数. 在曲线yf(x)
上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
曲率 设曲线C是光滑的 曲线上
点M对应于弧s 在点M处切线的
倾角为 曲线上另外一点N对
应于弧sDs 在点N处切线的倾
角为D .
平均曲率：
记 K D
Ds
称 K 为弧段 MN 的平均曲率.
曲率：
记 K lim D 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率.
r
.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用 砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.
y0.8x y0.8
y|x00 y|x00.8. 把它们代入曲率公式 得
K
| y| (1 y2)3 2
K
| 2a |
.
[1(2axb)2]3 2
显然 当2axb0时曲率最大.
曲率最大时 x b 对应的点为抛物线的顶点. 2a
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
讨论：
1. 直线yaxb上任一点的曲率是什么？
2. 若曲线的参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何
首页
上页
返回
下页
结束
铃
( (
一、弧微分
•有向弧段 M0M 的值 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称
弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0.
显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x).
s<0
dx Dx0 Dx Dx0
|Dx|
Dx0
Dx
1 y2 . 由此得弧微分公式
ds 1 y2 dx .
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量
曲线的弯曲程度？ 提示：
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度.
0.8.
抛物线顶点处的曲率半径为
rK11.25.
因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径 不得超过2.50单位长.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
| (1
y| y2)3
2
2 (1(1)2)3 2
1 2
2. 2
首页
上页
返回
下页
结束
铃
曲率的计算公式： K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
.
例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？
解 由yax2bxc 得
y2axb y2a 代入曲率公式 得
Ds0 Ds
首页
上页
返回
下页
结束
铃
曲率的计算公式
在 lim D d 存在的条件下 K d .
Ds0 Ds ds
ds
曲率：
记 K lim D 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率.
Ds0 Ds
首页
上页
返回
下页
结束
铃
曲率的计算公式
在 lim D d 存在的条件下 K d .
2
.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
曲率的计算公式： K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
.
例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率.
解解
由
y
1 x
得
y 1 y 2 .
x2
x3
因此y|x11 y|x12. 曲线在点(1 1)处的曲率为
K
Ds0 Ds ds
ds
设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数.
因为tan y 所以
sec 2dydx
d
y
sec2
dx
1
y
tan2
dx
y 1 y2
dx
.
又知 ds 1 y2 dx 从而得曲y| y2)3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆与曲率半径
设曲线在点M处的曲率为K(K0).
在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为
rK1的圆.
上述圆叫做曲线在点M 处的曲率圆 其圆心叫做曲
曲率半径
曲率中心
率中心 其半径r叫做曲率半
径. 曲率与曲率半径关系
曲率圆
r 1
K
K
1
s>0
首页
上页
返回
下页
结束
铃
弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)
上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以
ds lim Ds lim (Dx)2 (Dy)2 lim 1(Dy)2
计算？
3. 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 提示：
1. 设直线方程为yaxb 则ya y 0. 于是K0.
2.
K
|j(t)y (t) j(t)y (t) | [j2(t)y 2(t)]3/2
.
3. 圆的参数方程为xR cos t yR sin t .