第三章 土中应力分布及计算

如图所示，在半无限土体表面作用一分 布荷载p(x,y)，为了计算土中某点M(x,y,z) 的竖向正应力sz值，可以在基底范围内 取单元面积dF=dxdh，作用在单元面积上 的分布荷载可以用集中力dQ表示， dQ=p(x,y) dxdh。

这时土中M点的竖向正应力sz值可用式（3－7） 在基底面积范围内积分求得，即

其中
这里l、b为基底平面的长边与短边尺寸。 将W的表达式代入（3-4）式得 （3-5） 1）当 e<l/6 时，基底地基反力呈梯形分布， pmin＞0； 2）当e＝l/6 时，基底地基反力呈三角形分布， pmin ＝0； 3）e>1/6 时，即荷载作用点在截面核心外， pmin＜0；基底地基反力出现拉力。由于地基土 不可能承受拉力，此时基底与地基土局部脱开， 使基底地基反力重新分布。

当上层土的压缩性比下层土的压缩性高 时（薄压缩层情况），即E1＜E2时，则 土中附加应力分布将发生应力集中的现 象。当上层土的压缩性比下层土的压缩 性低时（即硬壳层情况），即E1＞E2， 则土中附加应力将发生扩散现象，如图3 －14所示。
图3－14 双层地基中界面上附加应力的分布规律 (a) 应力集中 (b) 应力扩散
min
bl 2 W 6
pmax
N 6e (1 ) lb l

此时，由于地基土不可能承受拉力，此 时基底与地基土局部脱开，使基底地基 反力重新分布。根据偏心荷载与基底地 基反力的平衡条件，地基反力的合力作 用线应与偏心荷载作用线重合得基底边 缘最大地基反力p'max为：
p 'max 2N l 3( e)b 2
式中 （3-6） p——基底地基反力，为区别于附加压力，又称基底总压力； sc ——基底处自重应力； g ——基底标高以上天然土层按 分层厚度的加权重度；基础底面在地下水位以下，地下水 位以下的土层用有效重度计算； d —— 基础理置深度，简称基础埋深。
p0 p s c p g d d

在实际地基中，下卧刚性岩层将引起应 力集中的现象，若岩层埋藏越浅，应力 集中愈显著。在坚硬土层下存在软弱下 卧层时，土中应力扩散的现象将随上层 坚硬土层厚度的增大而更加显著。因土 的泊松比因变化不大，其对应力集中和 应力扩散现象的影响可忽略。

双层地基中应力集中和扩散的概念有着 重要工程意义，特别是在软土地区，表 面有一层硬壳层，由于应力扩散作用， 可以减少地基的沉降，故在设计中基础 应尽量浅埋，并在施工中采取保护措施， 以免浅层土的结构遭受破坏。
2. 分布荷载作用时的土中应力 计算

（1） 基本计算原理 对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时 的土中应力计算，通常可采用如下方法处理： 当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则 时，可以把分布荷载分割为许多集中力，然后 用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力。 当基础底面的形状及分布荷载都是有规律时， 则可以通过积分求解得相应的土中应力。
若地下水位以下的土受到水的浮力作用， 则水下部分土的重度按有效重度g’计算，其计 算方法同成层土体情况。
二、基础底面压力

建筑物荷载通过基础传递给地基的压力 称基底压力，又称地基反力。
1.地基反力分布

基底地基反力的分布规律主要取决于基 础的刚度和地基的变形条件。对柔性基 础，地基反力分布与上部荷载分布基本 相同，而基础底面的沉降分布则是中央 大而边缘小，如由土筑成的路堤，其自 重引起的地基反力分布与路堤断面形状 相同，如图3－3所示。
图3－5 基底反力分布底简化计算 （a）中心荷载下 b）偏心荷载e<l／6时 c）偏心荷载e>l／6时
3. 基底附加压力

基础通常是埋置在天然地面下一定深度的。由于 天然土层在自重作用下的变形已经完成，故只有 超出基底处原有自重应力的那部分应力才使地基 产生附加变形，使地基产生附加变形的基底压力 称为基底附加压力p0。因此，基底附加压力是上 部结构和基础传到基底的地基反力与基底处原先 存在于土中的自重应力之差，按下式计算：

条形分布荷载下土中应力状计算属于平 面应变问题，对路堤、堤坝以及长宽比l ／b≥10的条形基础均可视作平面应变问 题进行处理。

如图3－12所示，在土体表面作用分布宽 度为b的均布条形荷载p 时,土中任一点的 竖向应力sz可采用弹性理论中的 弗拉曼 公式在荷载分布宽度范围内积分得到：
（3-15） 式中应力系数au是n=x/b 及m=z/b 的函数
第三章
土的应力分布及计算

学习目标
掌握土中自重应力计算、基底压力计算以及各种荷载 条件下的土中附加应力计算方法。
学习基本要求
1．掌握土中自重应力计算 2．掌握基底压力和基底附加压力分布与计算 3．掌握圆形面积均布荷载、矩形面积均布荷载、矩形 面积三角形分布荷载以及条形荷载等条件下的土中竖 向附加应力计算方法 4．了解地基中其他应力分量的计算公式
图3－12 均布条形荷载 作用下的土中应力计算
s z au p
3. 成层地基中附加应力的分布 规律

在柔性荷载作用下，将土体视为均质各向同性 弹性土体时土中附加应力的计算与土的性质无 关。但是，地基土往往是由软硬不一的多种土 层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大， 应属于双层地基的应力分布问题。对双层地基 的应力分布问题，有两种情况值得研究：一种 是坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩土层即薄压 缩层情况；另一种是软弱土层上有一层压缩性 较低的土层即硬壳层情况。
4土层中有地下水时的自重应力

当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据 土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用。通 常认为水下的砂性土是应该考虑浮力作用的。 粘性土则视其物理状态而定，一般认为，若水 下的粘性土其液性指数IL＞ 1，则土处于流动 状态，土颗粒之间存在着大量自由水，可认为 土体受到水浮力作用，若IL≤0，则土处于固体 状态，土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻 碍不能传递静水压力，故认为土体不受水的浮 力作用，若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗 粒是否受到水的浮力作用就较难肯定，在工程 实践中一般均按土体受到水浮力作用来考虑。
3z 3 dQ 3z 3 p( x, y)dx dh s z ds z F 2 F R5 2 F [( x x )2 ( y h )2 z 2 ]5/ 2
（3-9） 当已知荷载、分布面积及计算点位置的条件时， 即可通过求解上式获得土中应力值。
（4）均布条形分布荷载下土中 应力计算
sห้องสมุดไป่ตู้cz g 1h1 g 2 h2 ... g n hn g i hi
i 1 n
（3-2） 式中n—— 从天然地面到深度z 处的土层数。
3．水平向自重应力

土的水平向自重应力scx, scy可用下式计算 （3-3） 式中K0为侧压力系数，也称静止土压力系数， 参见第六章
s cx s cy K0s cz
第一节 土的自重应力

由土体重力引起的应力称为自重应力。 自重应力一般是自土体形成之日起就产 生于土中。
1、 均质地基土的自重应力

土体在自身重力作用下任一竖直切面均是对称 面，切面上都不存在剪应力。因此，在深度z 处平面上，土体因自身重力产生的竖向应力scz （称竖向自重应力）等于单位面积上土柱体的 重力W，如图3－1所示。在深度z处土的自重 应力为： W g zF （3-1） s cz g z F F
式中 g —— 土的重度，kN/m3 F —— 土柱体的截面积，m2。
从公式（3-1）可知，自重应力随深度z线 性增加，呈三角形分布图形。
图3－1 均质土的自重应力
2、成层地基土的自重应力

地基土通常为成层土。当地基为成层土 体时，设各土层的厚度为hi ，重度为gi， 则在深度z处土的自重应力计算公式为
图3－3 柔性基础下的基底压力分布
（a）理想柔性基础 （b）路堤下地基反力分布

对刚性基础（如箱形基础或高炉基础等），在 外荷载作用下，基础底面基本保持平面，即基 础各点的沉降几乎是相同的，但基础底面的地 基反力分布则不同于上部荷载的分布情况。刚 性基础在中心荷载作用下，开始的地基反力呈 马鞍形分布；荷载较大时，边缘地基土产生塑 性变形，边缘地基反力不再增加，使地基反力 重新分布而呈抛物线分布，若外荷载继续增大， 则地基反力会继续发展呈钟形分布，如图3－4 所示。
图3－4 刚性基础下压力分布 （a）马鞍形 （b）抛物线形 (c)钟形
2. 地基反力的简化计算
实用上，通常将地基反力假设为线性分布情况 按下列公式进行简化计算： 地基平均反力 F G p (3-3) A 地基边缘最大与最小反力 N M (3-4) pmax

lb W min 式中 F—— 作用在基础顶面通过基底形心的竖向荷载，kN； G—— 基础及其台阶上填土的总重，kN，G=gGAd，其 中gG为基础和填土的平均重度，一般取gG=20kN/m3，地 下水位以下取有效重度，d为基础埋置深度； M——作用在基础底面的力矩，M=(F+G)·e，e为偏心距； W—— 基础底面的抗弯截面模量
三、土中附加应力

土中的附加应力是由建筑物荷载所引起 的应力增量，一般采用将基底附加压力 当作作用在弹性半无限体表面上的局部 荷载，用弹性理论求解的方法计算。
1.集中力作用下土中应力计算

在均匀的、各向同性的半无限弹性体表 面作用一竖向集中力Q时，半无限体内任 意点M的应力（不考虑弹性体的体积力） 可由 布西奈斯克 解计算，如图3－6所示。 工程中常用的竖向正应力sz及地表上距 集中力为r处的竖向位移w（沉降）可表 示成如下形式：