清华大学断裂力学讲义Ch4-2

ys
2(a+r)
2(a+r)
*
【作业题4-4】
K a r
D I
K 2 ys
C I
ar

a cos 2 ys a r
ys , r

a arccos ar
与Irwin修正比较
a
2 2 1 1 2 a 8 ys
r
K I2 r 2 8 ys

L为未知量，在x1=L处有两个定解条件：
（1）裂纹张开位移为零 （2）应力强度因子为零
内聚区模型（Cohesive zone model）
※具体求解步骤（以 Dugdale 模型为例）
ys
最简单的内 聚力模型！
*
2a
2(a+r)
2(a+r)
2(a+r)
B C D K K K 要求 I I I 0
Plane strain Plane stress
【作业题4-5】
u2 a , 0 u 2 a , 0 ln sec E 2 ys


裂尖在x1/s=-1处
附：III型裂纹面上承受集中力
Z III Z III 1 za 1 za za z a
a
dtds
L 还未定，利用扩展裂尖强度因子为零可以定。
Dugdale－Barenblatt带状屈服的内聚力模型 求解思路小结
※如何在 Dugdale－Barenblatt 模型中判断裂纹是否扩展？
裂纹扩展有两重定义 （因为有两个裂尖） xa * 不扩展，否则裂纹会扩展。内聚力曲线下面积等于两倍的 单位面积表面能
2a s
Hutchinson 等理想弹塑性全塑性解 郝苏引入低度硬化和大变形几何学
Dugdale模型中的裂纹张开位移
a cos 2 ys a r
4 x1 E 8 L s L x E x1 s 2 x12
C I
2 z 2 a r 2 a r a2
1 u2 x1 , 0 u x1 , 0 u x1 , 0 Im 4
C 2 D 2
Z
C I
Z dz
D I

8 ys a
3 4 3 1
附：若载荷左右对称，则两端应力强度因子相等 已知无穷大介质中长为 2a 的裂纹的解，作为已知解来求权函数。 * E u h 2 K * a （裂纹长采用 2L 是为了和后面的章节一致） K I L u 2 x1 ,0 , L L2 x12 E 对应的权函数为
2
2
z b i0 Z III

T i z b T i z b
z b i0 Z III
Dugdale模型思路总结
ys
2(a+r)
2(a+r)
*
假设r，则由 KI
D
r KIC r 0
，可得到r ，之后再求位移场，
在实际对裂尖塑性区的观测中，不是所有的塑性区都呈扩散型。
平面应力
平面应变和平面应力的裂尖 塑性滑移模式 Rice 和 Druker 曾 证 明 在 Tresca 屈服条件和平面应力 状态下，屈服区确为带状。
Dugdale-Barenblatt（带状屈服）模型针对的是集聚型塑性区的 情形，而小范围屈服是扩散型塑性区，在模型处理上各有特点
4.4 裂纹尖端张开位移（COD＝Crack Opening Displacement） —又一种延性材料抗断裂指标
脆性材料断裂
延性（韧性）材料断裂
优点：直观， 如何定义和测量？
如何定义和测量裂纹尖端张开位移（COD）？ Alan Wells（1961）建议用原裂纹尖端处的张开位移定义COD
Alan Wells at TWI LTd, UK 但是何为“原裂纹尖端处”？ 原裂尖物质点：便于显微量测，对工程量测可操作性不好 原裂尖空间坐标：科学性差，因为试件可能会随加载而横向漂移
※Wells 的 COD 理论 COD 作为一种新的断裂参量与其他参量有何关系？ Wells 建议在小范围屈服的情况下，平面应力状态下的 I 型裂尖张开位移为

G
s （说明）
在全面屈服的条件下，Wells 提议
2a s Wells 公式
在全面屈服的条件下的 Wells 公式
2 2 1

s
t
s t
2 2
a
dtds
2(a+r)
8 s a ln sec 原裂尖处的COD值为 a E 2 ys
在小范围屈服条件下可取 / ys
【习题4-6】
为小量，作Taylor展开（渐近分析常用手段），可得
2 ys z
2
Z IC z
ar
a
a r b2 db 2 2 2 2 z a r z b
2 ys z
2
a ys z a Z z arccos 2 z2 a r z ar
4.3 节小结
1. 裂 尖 塑 性 区 有 扩 散 型 和 集 聚 型 之 分 ， 本 节 的 Dugdale － Barenblatt 带状屈服的内聚力模型是针对集聚型的裂尖塑性变形 而发展的，一般在薄板断裂时的平面应力状态下容易出现集聚型 塑性区。 2. 该理论的研究方法是假想将裂纹的塑性区剖开代之以内聚力， 在 这个扩展裂纹的外部，仍可采用线弹性断裂力学，但为了消除应 力在扩展裂纹裂尖的奇异性，要求该裂尖应力强度因子为零从而 求出塑性区长度。 x a * 3. 断裂准则为 ,表面能或断裂功为内聚力曲线下面积
第四章：弹塑性断裂力学
背景 小范围屈服理论 Irwin修正 Irwin修正模型的改进（刘彬老师） Dugdale-Barenblatt内聚区模型 CTOD理论
讨论
4.3 Dugdale－Barenblatt内聚区模型（带状屈服模型）—另一种 简化理论模型
Irwin修正模型是对LEFM模型的相对粗略的改进。Dugdale-Barenblatt发展 了strip-yield模型，考虑了更为精确的改进，并得出了封闭解。这一理论 随后促进了内聚区模型的发展，是弹塑性断裂力学中一个经典例子。
如何定义裂纹尖端张开位移（COD）――Rice的t定义
线弹性裂尖场
u2 x1 , 0
1
4
a 2 x12
x1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa
3 4 3 1
Plane strain Plane stress
线弹性裂尖场的t与应力强度因子的关系【习题4-7】
平面应力
塑性区为扩散型 不严格考虑K场与塑性区的 相互作用
假设塑性区为条带状（针对含 裂纹薄板较准确，平面应力） 准确考虑塑性区与弹性场的相 互作用
Dugdale-Barenblatt带状屈服的内聚区模型
内聚力（ cohesive traction ）与 张开位移（separation）的关系
SSY
a 2 G E s s
【习题4-8】 与Wells理论一致
※对比 Dugdale 模型中的裂纹张开位移的 SSY 渐近解和精 确解可得小范围屈服 SSY 适用范围
8 s a a ln sec 精确解： E 2 s
4.4 节裂纹张开位移小结 1. 裂纹张开位移（COD） ，或裂尖张开位移（CTOD）是几何 上十分直观的可以观测的断裂参量，但是如何方便和客 观的测量其值还有一定讲究，Rice 提出的 45 度 COD 2. 裂纹张开位移与其他表征断裂的参量存在关系。Wells 发展了针对 SSY 的关系，还提出全面屈服的条件下的 Wells 公式，但后者存在较大误差。 3. 介绍了 Dugdale 模型下 COD 的计算， 由于 Dugdale 模型 相对简单，可以得到带状屈服的精确解，并与 SSY 下的 渐近解进行对比，进而估算出 SSY 解的适用范围。 4. 裂纹张开位移的断裂准则在英国占主导地位， 但现在其 他国家也开始作为一种综合判断裂纹扩展指标之一
4 x1 E 8 L s L x E x1 s 2 x12
2 2 1 s
x 2 u x , 0 , L ， 外场的位移容易得到， 考虑到 1 而 x1 x1 ， 2 1

t
s t
2 2
b
2(a+r)
2(a+r)
D、C状态的Westergaard函数
Z ID z
Westergaard函数
ZI z
z
z2 a r
2
z 2 a 2 z 2 b2
2 Pz a 2 b 2
Z IC z
ar
a
a r b2 db 2 2 2 2 z a r z b


L h2 x1 ,0 , L L2 x12





x1 0, l
L
K I 2 x1 h2 x1 , 0 , L dx1 2
L 0


L
x1 dx1
L2 x12
a
同时得到两端的应力强度因子，考虑对称性。
如何确定位移场？D的解很简单，C的解可以采用叠加原理得到。
SSY 渐近解：
SSY
a 2 G E s s
一般小范围屈服 （SSY） 在 P 0.5P0 时成立， P0 是裂 纹体达到全面屈服的载 荷。 研究方法可以借鉴之处
实验测量裂纹尖端张开位移（CTOD）
r代表一个旋转因子（rotational factor），通常是一个无量纲常 数（介于0-1）。对于一般材料，rp=0.44。
Z III 0 z
Z III ~ T z b i 0 z b T z b i 0 z b
Z III
T
z a z a z b

T
z 2 a2 z b
Z III ~
Z III
T z 2 a2 z b
a b
过程简单，顺序求解。因为内聚力不随裂纹张开位移而变化，已知。 而对于一般的内聚力本构，所有这些求解是耦合在一起的。
※一般情形 Barenblatt 内聚力模型
内聚力与张开位移的 关系

由于内聚力随张开位移变化，内聚力、张开位移及 L 都为 未知，需要求解一个非线性积分方程。
u a
Grigory Isaakovich Barenblatt http://math.berkeley.edu/~gibar/
2005 – Timoshenko Medal
Dugdale, D.S., “Yielding in Steel Sheets Containing Slits.” Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 8, 1960, pp. 100–104. Barenblatt, G.I., “The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in Brittle Fracture.” Advances in Applied Mechanics, Vol. VII, 1962, pp. 55–129.

P
2K h x ; a E
h2 x1 ,0 , L


L L2 x12


KI 2
L


L
x1 dx1
L2 x12
a
具体做法是利用线力的基本解，可以得到内聚力造成的位移 s t 4 L s 内 u2 x1 , 0 , L dtds 2 2 2 2 x a E 1 s x1 s t