激光模式

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高斯光束的波振面的曲率半径R( z )是随着z而 变化的。曲率半径R( z )，从z = 0开始，在 ± z方向传播时，曲率半径由无限大逐渐变 小，达到最小值后，曲率半径又逐渐变大。 性质: 1、z = 0面 高斯光束的光强分布为高斯函数的平面波 Ε（r,0）=
z →0
E0
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影响激光器纵模个数的因素： （1）与谱线宽度∆υ有关，∆υ D 越大，可能 出现的纵模个数越多 （2）与激光器腔长有关 c ∆υq = 显然L越大∆υq 越小，纵模个数越多 2nL （3）增益系数要大于阈值G (υ ) > Gt
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例：腔长均为1m的气体激光器，n =1 a、CO 210.6µ m激光，谱线宽度(线型函数)∆υ D ≈ 108 Hz 其纵模间隔为： c ∆υq = =1.5 ×108 Hz > ∆υ D 单纵模输出 2nL b、Ar +离子激光器514.5nm谱线，∆υ D =6.0 ×108 Hz 其纵模间隔为： ∆υq = 1.5 ×108 Hz < ∆υ D多纵模激光器 ∆υ D =4 可以输出4个频率的光波 ∆υq
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（2）多纵模的模式竞争 在小信号情况下，υq −1、υq、υq +1均 有增益。由于光强I 增大，出现增益 饱和现象，增益曲线下降。谱线υq −1、
υq、υq +1的增益也随之下降。当光强
增大到I ≥ I1时，增益G (υq +1 ) ≤ Gt , 谱 线υq +1消失。此时谱线υq −1和υq仍有 增益。光强继续增大，当光强增大到 I ≥ I 2时，G (υq −1 ) ≤ Gt，谱线υq −1消失。 最后，光强稳定在I = I 3，G (υq ) = Gt， 最后仅存υq 模。
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模式竞争：通过饱和效应，使某一模式逐渐 把其他模式抑制下去，最后只剩下一个纵模 维持振荡的现象，称之为模式竞争。
空间烧孔效应：由于驻波场而造成的增益在空 间分布不均匀的现象。 原因：由于模式竞争而产生的单纵模υ0是以驻波 的形式沿轴向分布，驻波的波腹表示光强最大值， 而波节表示光强的最小值。光强最大值所在的空 间位置，有较多的光子参与受激辐射过程，使得 该处的反转粒子数浓度以及增益系数变小。
υmnq
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对共焦腔：R1 =R2 =L，g1 = g 2 = 0
υmnq
c L L 1 [q + (m + n + 1)arc cos (1 − )(1 − )] = π 2nL R1 R2 c 1 = [q + (m + n + 1)arc cos(0)] 2nL π c 1 π = [q + (m + n + 1) ] 2nL 2 π c = [2q + (m + n + 1)] (3 − 5 − 4) 4nL
∆φ =kx =
2π n
λ
⋅ 2 L = q ⋅ 2π
(q = 1, 2,3...)
谐振条件：（驻波条件） 2nL=qλ (q = 1, 2,3...) 光波频率 c cq υ= = (q = 1, 2,3...) (3 − 4 − 2) n 2nL 谐振腔具有选频的作用，从频带很宽的光波中， 选出满足谐振条件的光波频率，相对应的模式 称为纵模。
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§3-5 激光的横模及高斯光束
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一、什么是横模 横模：沿光场传播方向的垂直截面上的稳定的 光强分布形式。 激光的模式用符号TEM mnq 表示，q是纵模序数， m和n是横模序数，等于垂直光传播方向内两个 互相垂直方向上光强极小（暗区）的数目。
TE模和TM模： TE模指传播方向上没有电场分量； TM模指传播方向上没有磁场分量。
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相反，在波节处反转粒子数浓度及增益系数是腔 中最大值。如果腔内除单纵模υ0以外，还有其他 一些频率的光波在反射镜之间来回传播，形成驻 波，且υ0的波节点恰与某个频率υ0′驻波的波腹 点重合，则υ0′的光波可能获得较大增益，形成激 光。这种振荡一般较弱，且可能形成多个。 光。这种振荡一般较弱，且可能形成多个。
激光器通常情况下输出的是多横模， 为多种横模相互叠加的光斑。
简并模：由不同横模合成的模式。 TEM =TEM10 + TEM 01
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∗ 01
二、横模的形成 经多次衍射后，平面波渐渐演变成中间强边缘 弱的高斯光束。
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三、横模频率 不同阶横模对应不同的频率，且与腔型有关。横模在 谐振腔镜面之间传播一个来回，只有相位改变为2π的 整数倍时，才能得到稳定的光强分布。通过对波动方 程的求解，结合谐振条件及有关近似，可得一般稳定 球面镜谐振腔的谐振频率为： c 1 L L = [q + (m + n + 1)arc cos (1 − )(1 − ) R1 R2 2nL π （3-5-3）
振幅部分 r2 r2 ) −Φ ( z )] − j[ k ( z + 2R( z) 相位部分 1 2 2
式中 ω(z)=ω0 [1 + (
zλ
πω0
2
) ]
为光斑尺寸，
ω0为束腰半径，是高斯光束的特征参量。
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πω0 2 2 R ( z ) = z[1 + ( ) ] 曲率半径 λz λz Φ ( z ) = arctan 相位 2 πω0
(3) 发散角
1 − 2λ 2 z 2 4 dω ( z ) 2θ = 2 lim = lim π ω0 + z 2 λ 2 ) 2 ( z →∞ z →∞ πω dz dz 0
z = 0时， = 0，没有发散角； 2θ 2θ z → ∞时， = 2λ
πω0
，远场发散角；
πω0 2 2λ 时， = 2θ ，准直距离。 z = z0 = λ πω0
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三、稳定状态的建立过程 (1)G<Gt = α 无激光输出 (2)G = Gt = α 有激光输出， 但输出极弱 (3)G>Gt = α 1 = αi + ln(r1r2 ) −1 2L （实际上激光器总是在 阈值水平以上工作）
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激光稳定状态的建立过程 G = Gt = α 时达到稳定状态 r1r2 I 0 e
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υmnq
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c 横模间隔： ∆υ横 = (∆m + ∆n) 4nL c 纵模间隔： ∆υ纵 = ⋅ ∆q 2nL 1 ∆υ横 = ∆υ纵 2 当m = n = 0时，由（3-5-4）可得 c υmnq = [2q + (0 + 0 + 1)] 4nL 4L TEM 00 q 模的共振条件为： = 2q + 1
§ 3-4 激光的纵模与频率特性
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模式：满足光腔边界条件而可能 在腔内存在的驻波场分布。 沿轴向的为纵模——不同的频率 垂直于轴向的为横模——不同的光斑图样 （光强的空间分布） 一、纵模 光强内的光波入射波和反射 波的相位差为2π的整数倍时， 才能干涉加强而形成激光。
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πω0 2 R(z1 ) = z1[1 + ( ) ] = 2 z1 λ z1
2
πω0 2 ⇒ z1 = λ
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准直距离
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πω0 2 腔长L = 2z1 = 2 λ 1 λL 2 ⇒ 束腰半径ω0 = （ ） = 0.35mm 2π 1 2λ 2λ 2π 2 发散角2θ = = （ ） πω0 π λ L
λ
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当(m + n)数值增加2，q值减少1，则υmnq不变， 表明不同模式可能具有相同的频率，这些模 称为简并振荡模。
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四、基模高斯光束 在凹面镜构成的谐振腔中形成的光束 为高斯光束,其电场强度矢量为： Ε0 − ω 2 ( z ) Ε（r , z）= e e ω(z)
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激光频率降至一定程度时又跳回原来的频率 ——跳模现象 纵模在谐振腔中是以驻波形式出现的。一个 纵模对应于腔内沿纵向的一个稳定的光场分 布。能够形成稳定的光场分布的条件是腔长 布。能够形成稳定的光场分布的条件是腔长 为半波长的整数倍，即 qλ L= （实际就是驻波条件） 2 q称为纵模的序数，表示沿纵向驻波的波节数。
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3、z<0时，为会聚球面波R(-z)=-R(z) 概述：高斯光束是从z<0处沿z方向传播的 会聚球面波，当它到达z=0处变成平面波， 继续传播又变为发散球面波。光束在任意 波阵面光强分布均为高斯分布。
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例：腔长为150cm的共焦腔氩离子激光器，求： 在基模工作时，514.5nm激光光束的束腰半径、 发散角，镜面上的光斑尺寸。 解：R1 =R2 =L=2z1 曲率半径
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q : 纵模序数
相邻纵模频率之差称为：纵模间隔 c(q + 1) cq c ∆υ = υq +1 − υq = − = 2nL 2nL 2nL 例a、腔长L = 10cm的He-Ne激光器,n ≈ 1, 求∆υ c ∆υ = =1.5 × 109 Hz 2nL 但这只是谐振腔允许的谐振频率，真正激光 输出的光波频率还要落在谱线范围之内。
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其中只有落在Ne原子632.8nm谱线 的线宽范围内 1 1 υ0 − ∆υ D < υq < υ0 + ∆υ D 2 2 才能形成激光。 才能形成激光。 ∆υ D ≈ 1.5 ×10 Hz
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单纵模输出条件 1 ∆υ ≥ ∆υ D 2
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b、若腔长L = 30cm， c ∆υq = = 5.0 ×108 Hz 2nL 出现三个纵模(∆υ D / ∆υq =3) ——多纵模激光器 P55 说明(fig. 3.4.2)
2λ =（ ） 2 πL = 0.9 ×10−3 rad
1 2
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镜面上光斑尺寸
ω A = ωB = ω0 [1 + ( λL =( ) π
ω0
exp[
−r 2
ω0
2
]
lim R( z ) = ∞
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平面波
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当r=0（光斑中心）光强最大 E0 Ε（0,0） =
ω0
E0 1 1 当r = ω0时Ε（ω0 ,0） = = Ε（0,0） ω0 e e 1 光强下降为 2 I1 （0,0） e
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2、z>0时，高斯光束的波阵面为球面、 光强分布为高斯函数的球面波。 （1）曲率半径
πω0 2 R( z ) = z[1 + ( ) ] >z λz
2
曲率中心不在原点，且随z变化 z = 0时 R→∞ z → ∞时 R → ∞
πω0 2 πω0 2 准直距离z = z0 = 时，R( z0 ) = 2 = 2 z0 λ λ
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（2）光斑大小
λ 2 1 ) ] 2 > ω0 ω(z)=ω0 [1 + ( πω0 2
' 2( G -α i ) L
= I0
'
1 −1 G =α i + ln(r1r2 ) = Gt = α 2L
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四、均匀加宽谱线的模式竞争 （1）单纵模振荡 当L足够小，∆υq 足够大，使得只有 一个纵模频率υq 落在∆υ H 范围内， 并且增益G>Gt。当υq的光强不断增 加时，导致增益曲线不断下压，最 终使得υq的增益G正好等于Gt，就建 立了一个稳定状态，实现单纵模输 出，激光的单色性好。
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二、激光频率的漂移 根据谐振条件纵模序数为q的频率 qc υq = 2nL 当温度升高时，激光器腔长变长，频 率υq降低。在T1温度时，线型函数g(υ ) 的中心频率为υq，当温度上升到T2时， 腔长变长，频率υq降低，但仍在谱线 宽度内。当温度升为T3时，υq 移到谱 线宽度之外，而υq +1降到谱线宽度以内， 并与温度T1时υq 相同。
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轴对称 TEM 00 （基模） TEM10 TEM13 TEM11
m, n表示x, y方向暗区个数。
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旋转对称 TEM 00 TEM 03
TEM10
m, n表示r,θ 方向暗区个数。 基模为TEM 00 q，其余的为高阶模。
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