介电常数与对称性重点

介电常数与对称性

各向异性介电常数

与对称性的关系

描写电介质的性质以及遵循的电学规律常用三个矢量和两个系数，即极化强度P ，电场强度E ，电位移D 和极化率χ，介电常数ε。

E

D E P P

E D r 000εε=χε=+ε=，

极化强度P

在外电场的作用下，电介质要产生极化。极化强度就是反映电介质的极化强度的物理量，通常用符号P 表示。

极化强度与电偶极矩的关系：在电介质内选取某体积元∆V，没有外电场作用时，电介质不产生极化，这时体积元∆V内所有原子（或分子）的电偶极矩的Σp分量等于零；在电场作用下，由于电介质要产生极化，这时体积元∆V内的电偶极矩的矢量和Σp不等于零。

极化强度P 的定义为：

即极化强度为单位体积内的电偶极矩的矢量和。

V

∆=∑p

P

极化强度与极化电荷的关系 电介质极化后在它的表面上要出现极化电荷（即束缚电荷）。极化电荷的数量与极化程度有关，就是说与极化强度有关。设极化电荷面密度为σ’，则有：

P n 为极化强度在表面元的法线方向的分量。上)式说明电介质的极化电荷面电荷密度在数值上等于极化强度在该面上的法线方向的分量。

n

P )cos(P '=θ=σ

各向同性介质中P 、D 和E 之间的关系 对于各向同性的电介质，实验上发现当介质中电场不是很大时，极化强度P 与电场E 成正比，并且方向相同，即：

式中比例系数χ称为介质的极化率。

E

P χ=

电位移D 与电场E 、极化强度P 之间的关系为：

或 式中，ε0=1/（36π⨯109）≈8.85⨯10-12（法/

米），称为真空介电常数或真空极化率；ε称为介电常数，它们之间的关系为：

P E D +ε=0E

D ε=χ+ε=ε00

ε-ε=χ或

各向异性介质中P 、D 和E 之间的关系 一般晶体都是各向异性的电介质。对于各向异性的电介质实验上发现，P 、D 、E 之间的方向彼此不同，如图所示，但关系D =ε0E +P 式仍然成立；ε和χ与P 、D 、E 的分量方向有关，不是标量而是张量了。

图2-8 充满各向异性介质的平行板电容器

P 与E 的关系

为了得到各向异性介质中极化强度分量（P x 、P y 、P z ）与电场强度分量（E x 、E y 、E z ）之间的关系式，进行如下实验。当介质在x 方向受到电场E x 的作用时，不仅在x 方向出现极化强

度P x (1)，而且在y 方向和z 方向也出现极化强度分量P y (1)和P z (1)，它们与E x 的关系为：

x

31)1(z x 21)1(y x 11)1(x E P E P E P χ=χ=χ=，，

同理，在介质的y 、z 方向，分别受到电场E y 或E z 的作用时，产生的极化强度分量为 ：

y 32)2(z y 22)2(y y 12)2(x E P E P E P χ=χ=χ=，，

z 33)3(z

z 23)3(y z 13)3(x E P E P E P χ=χ=χ=，，

当介质受到任意电场E （E x 、E y 、E z ）的作用时，介质中产生的极化强度P （P x 、P y 、P z ）与E 之间的关系为：

)3(z )2(z )1(z

z )3(y )2(y

)1(y y )3(x )2(x )1(x

x P P P P P P P P P P P P ++=++=++=z 33y 32x 31z z 23y 22x 21y z 13y 12x 11x E E E P E E E P E E E P χ+χ+χ=χ+χ+χ=χ+χ+χ=

上式表示各向异性介质中的极化强度分量与电场强度分量之间的关系。实验上还发现，对于所有的介质都存在χ12=χ21，χ13=χ31和χ23=χ32，即独立的极化率系数只有六个。于是上式可改写为： z

33y 23x 13z z

23y 22x 12y z

13y 12x 11x E E E P E E E P E E E P χ+χ+χ=χ+χ+χ=χ+χ+χ=

极化率的物理意义

式中极化率χ11=（∂P x /∂E x ）Ey,Ez ，为当y 、z 方向电场分量E y 、E z 保持不变时，由于沿x 方向电场分量E x 的变化所引起的x 方向极化强度P x 的变化与E x 变化之比。 或者说，当E y 、E z 保持不变时，E x 改变一个单位时（即δE x =1时）所引起P x 的变化就等于χ11。极化率χ12=（∂P x /∂E y ）Ez,Ex ，为当z 、x 方向电场分量E z 、E x 保持不变时，E y 改变一个单位时（即δE x =1时）所引起P x 的变化。其它极化率的意义与χ11、χ12类似，极化率的大小由材料的介电性质所决定。

It is a tensor, not a vector 由此可见，对于各向异性介质沿x 方向的极化强度

分量P

x 不仅与x方向的电场E

x

有关，而且与y、z方向

电场分量E

y 、E

z

有关，或者说P

x

与E

x

、E

y

、E

z

之间存

在线性关系。同理，P

y 、P

z

也分别与E

x

、E

y

、E

z

之间

存在线性关系。描写电介质材料介电性质的极化率，

有六个独立分量（χ

11、χ

12

、χ

13

、χ

23

、χ

22

、χ

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）。

就是说电介质材料的极化率，即不是标量，也不是矢量，而是二级对称张量，它与E 、P的方向有关。