第八章 参数估计与Matlab讲解

-0.1600 >> var(x,1) ans =
0.4980
1 n
x n i1 xi
B2

1 n
n i 1
( xi

x )2
例5 有一大批糖果，现从中抽取16袋，秤得重量（单位：克）
如下：506、508、499、503、504、510、497、512、
514、505、493、496、506、502、509、496。若袋装糖
解:
1
即

E
1
(X ) x 0 1 0
E(X)
x 1dx
x

dx




1
1
从中解得
E(X)
1 E(X)
由矩估计法,
ˆ1 A1 X
ˆ

1
X X
即为 的矩估计.
求矩估计的一般步骤是：
1. 求数学期望 E( X )
2. 解方程 E( X ) g( ) 求出 3. 将E( X ) 换成X ，得到 ˆ
0,
由 1
2

n i 1
xi

n


0
解得
ˆ

1 n
n
2 2

1
2( 2 )2
n
( xi
i 1

)2

0 解得
ˆ 2

1 n
n
(
i 1
xi
x )2 ,
故 和 2 的最大似然估计量分别为
ˆ X ,
ˆ
2

1 n
n
(Xi
指数分布： [muhat,muci] = expfit(X,alpha)
例10 从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个，测得它们的直径 （单位：mm）为5.52 5.41 5.18 5.32 5.64 5.22 5.76。若钢球
ln


n


xi
i 1
!,
n
令
d
ln L( )
n
xi
i 1

0,
d

解得 的最大似然估计值


1 n
n

i 1
xi

x,
的最大似然估计量为
ˆ

1 n
n

i 1
X
i

X.
这一估计量与矩估计量是相同的.
例9 设总体 X ~ N ( , 2 ), , 2为未知参数,
数 i (i 1,2,, k) 的最大似然估计值 ˆi .
例7 设 X ~ B(1, p), X1, X2 ,, Xn是来自X 的一 个样本,求 p的最大似然估计量.
解 设 x1, x2 ,, xn为相应于样本X1, X2 ,, Xn的 一个样本值,
X的分布律为 P{X x} px (1 p)1x , x 0,1,
x1, x2 ,, xn 是来自X 的一个样本值, 求 和 2
的最大似然估计量.
解 X的概率密度为
f ( x; , 2 )
1
e ,
(
x )2 2 2
2π
X 的似然函数为
n
L( , 2 )
i 1
1 e ,
(
xi 2 2
)2
2π
ln L(,
似然函数的定义
设概率密度为 f ( x; ), 为待估参数, ,
(其中 是 可能的取值范围)
X1, X2,, Xn 是来自总体 X 的样本,
n
则 X1, X2,, Xn 的联合密度为 f ( xi; ).
i 1
又设 x1, x2 ,, xn 为相应于样本 X1, X2 ,, Xn 的 一个样本值.
例3. 设总体X的均值，方差都存在，且 2 0,
但，
2未
知
，
又
设X
1
, ,
X
是
n
一
个
样
本
；
求：, 2的矩估计量。
解： 1 E(X )
2 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由

ˆ1 A1
ˆ2 A2
即
L(
x1
,
x2
,,
xn;ˆ
)

max

L(
x1
,
x2
,,
xn
;
).
(其中 是 可能的取值范围)
这样得到的ˆ 与样本值 x1, x2 ,, xn有关,记为 ˆ( x1, x2 ,, xn ), 参数 的最大似然估计值,
ˆ( X1, X2 ,, Xn ) 参数 的最大似然估计量.
例6
ˆ X
1 X
用Matla计算 的矩估计值： 输入：x=[0.14 0.20 0.17 0.19 0.21 0.23 0.16 0.20 0.25 0.19]
m=mean(x) y=m/(1-m) 输出：m =
0.1940 y= 0.2407
即 θ 的矩估计值 0.2407 。
三、最大似然估计法
i 1
X
)2 .
它们与相应的矩 估计量相同.
求极大似然估计的Matlab命令： 正态分布： [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)
二项分布： [PHAT, PCI]= binofit (X, N, alpha)
泊松分布： [Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, alpha) 均匀分布： [ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, alpha)
果的重量近似服从正态分布 N(μ, σ2)， μ, σ2 未知。求μ, σ2
的矩估计值。
输入：
x=[506 508 499 503 504 510 497 512 514
505 493 496 506 502 509 496];
m=mean(x)；
v=var(x,1);
A=[m,v]
输出：A= 503.7500 36.0625
即 ˆ A1

ˆ 2 ˆ 2

A2
解出 ˆ A1 X
ˆ 2
A2 A12

1 n
n
X
2 i

X
2
i 1

1 n
n i 1
(Xi

X
)2
总体均值和方差矩估计：
1 n
x n i1 xi
B2

1 n
n i 1
( xi

x )2
Matlab命令：mean（X），var（x,1）
解 因为 X 的分布律为
P{ X x} x e , ( x 0,1,2,,n)
x!
所以 的似然函数为
n
L( )
n i 1

xi e
xi !


en
xi
i1
n
,
xi !
i 1
ln
L(
)

n


n

i 1
xi

则随机点 ( X1 , X 2 ,, X n )落在点( x1 , x2 ,, xn )的
邻域(边长分别为dx1 ,dx2 ,,dxn的n维立方体)内
的概率近似地为
n
f ( xi ; )dxi ,
i 1
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) f ( xi; ),
解： 1 E( X )
A1

1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 61) 1.22
250
例2 设总体X的概率密度为
x 1 , 0 x 1
f (x)
0,
其它
其中 0
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
第一章 点 估 计
一、点估计的概念 二、矩估计法 三、最大似然估计法
一、点估计的概念
设总体X的分布函数F( x; )的形式为已知， 是待估参数。X1 X n是X的一个样本，x1 xn是
相应的样本值。
点估计问题：
构造一个适当的统计量ˆ(X1,, Xn )，用它的 观察值ˆ( x1,, xn )来估计未知参数。 我们 称ˆ( X1,, X n )为的估计 量；称ˆ( x1,, xn ) 为 估计值。
1 n
x n i1 xi
B2

1 n
n i 1
( xi

x )2
例4 设总体有均值 及方差，2 今有6个随机样本的观察数
据为：
-1.20 0.82 0.12 0.45 -0.85 -0.30
求 和 2的矩估计。
Matlab命令求解： >> x=[-1.20 0.82 0.12 0.45 -0.85 -0.30]; >> mean(x) ans =
常用的求点估计量的方法有：矩估计法、最大 似然估计法。
二、矩估计法
用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来 估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.
它是基于一种简单的“替换”思想 建立起来的一种估计方法 .是英国统
计学家K.皮尔逊最早提出的。
矩估计的基本思想是用样本矩估计总体矩.
1 E( X )
2 E(X 2)