两条直线的交点坐标

§3.3.1两直线的交点坐标 3.3.1两直线的交点坐标
已知两条直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 相交, 如何求这两条直线交点的坐标 ?
问题1 问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？ 直线的位置关系有何对应关系？
备用: 备用
已知两直线 l1：mx＋y－(m＋1)＝0 和 l2：x＋my－2＝0， 问实数 m 取何值时，l1 与 l2 分别是下列位置关系： (1)相交；(2)平行；(3)重合； (4)垂直；(5)交点在第一象限． 思维突破：可由方程中的未知数的系数取值决定直线的位 置关系．
mx＋y－(m＋1)＝0 解：(1)由方程组 x＋my－2m＝0 ②
4－1.若三条直线 l1：x－y＝0；l2：x＋y－2＝0；l3：5x－ky －15＝0 围成一个三角形，则 k 的取值范围是( A．k∈R 且 k≠±5 且 k≠1 B．k∈R 且 k≠±5 且 k≠－10 C．k∈R 且 k≠±1 且 k≠0 D．k∈R 且 k≠±5 解析：三条直线如果有两条平行或三条直线交于一点时就 不能围成三角形． B )
练习:
1．直线 3x＋5y－1＝0 与直线 4x＋3y－5＝0 的交点是( C ) A．(－2,1) C．(2，－1) B．(－3,2) D．(2，－2)
2．两条直线 2x＋3y－k＝0 与直线 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，那么 k 的值是( C ) A．－24 C．±6 B．6 D．以上都不对
∴点 M 的坐标为(－1,2)．
直线恒过定点问题 例 2：已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1.求证：无论 a 为何值 直线总经过一定点． 证明：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为 a(3x －y)＋(－x＋2y－1)＝0. 1 3 直线 3x－y＝0 与 x－2y＋1＝0 的交点5，5，
讨论两直线的位置关系
例3.已知直线 l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 求 m 的值，使得： (1)l1 和 l2 相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1 和 l2 重合. 解：(1)l1 和 l2 相交⇔1×3－(m－2)m≠0， ⇔ ∴m2－2m－3≠0⇔m≠－1，或 m≠3， ⇔ ∴当 m≠－1 且 m≠3 时，l1 和 l2 相交．
2x＋y＋4＝0 程组 x－2y－3＝0 x＝－1 ，得 y＝－2
.
即点(－1，－2)适合方程 2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0，也就 是适合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.所以，不论λ取何实数 值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0 必过定点(－1，－2)．
1 (2)l1⊥l2⇔1×(m－2)＋m×3＝0⇔m＝2， 1 ∴当 m＝2时，l1⊥l2 .
(3)∵m＝0 时，l1 不平行 l2，
m－2 3 2m ∴l1∥l2⇔ 1 ＝m≠ 6 ，解得 m＝－1.
(4)∵m＝0 时，l1 与 l2 不重合，
m－2 3 2m ∴l1 与 l2 重合时，有 1 ＝m＝ 6 ，解得 m＝3.
一 交 l1, l2相 唯 解 直 l1, l2解 程 无 多 ⇔l1, l2重 线 方 组 穷 解 合 无 l , l 平 解 1 2 行
问题2 问题2：如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系？ 系来判定两直线的位置关系？
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 A1 B1C1 ≠ 0, A2 B2C2 ≠ 0 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0
A B C1 1 = 1= A2 B2 C2 A B C1 1 1 = ≠ A2 B2 C2 A B 1 ≠ 1 A B2 2
l1与 2重 l 合 l1与 2平 l 行 l1与 2相 l 交
判断两直线的位置关系 例 1: 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交 点． (1)l1：2x－y＝7 和 l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0 和 l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0 和 l2：y＝－2x＋3. 思维突破：可依据方程组解的情况来判断两直线的位置关 系．
作业: P47
1—8,11.
m2－m m 当 m2－1≠0，即 m≠±1 时，x＝ 2 ＝ ， m －1 m＋1
2m＋1 ，方程组有唯一的解． 代入方程组得 y＝ m＋1 因此，当且仅当 m≠±1 时，l1 与 l2 相交． (2)由(1)中的方程③知，m＝－1 时得 0＝2 方程无解，即方 程组无解，两直线平行． 因此，当且仅当 m＝－1 时，l1 与 l2 平行． (3)由(1)中的方程③知，m＝1 时得 0＝0，方程有无数多解， 即方程组有无数多解，两直线重合． 因此，当且仅当 m＝1 时，l1 与 l2 重合．
3．如果直线 ax＋2y＋2＝0 与直线 3x－y－2＝0 平行，那么 系数 a 为( B ) A．－3 C．－ 3 2 B．－6 D. 2 3
4．过点(－1,3)且垂直于直线 x－2y＋3＝0 的直线方程为 ( A ) A．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
(m≠±1)，
即 l1 与
m 2m＋1 ， l2 的交点坐标为 . m＋1 m＋1
m >0 m＋1 由题意 2m＋1>0 m＋1
，得 m<－1 或 m>0 且 m≠1.
因此，m<－1 或 m>0 且 m≠1 时，交点在第一象限． (1)用方程组思想解决两直线平行、垂直问 题时，应分有斜率和没有斜率两种情况来解决，不要漏解．(2) 讨论交点位置时要注意方程组有唯一解的条件，如(5)中，易漏 掉m≠±1这一条件．本题也可把方程向斜截式转化再进行讨论．
(4)因为 m≠±1 时，l1 与 l2 相交； 当 m＝0 时，l1 的斜率为 0，l2 的斜率不存在，l1⊥l2；
1 当 m≠0 时，l1、l2 的斜率分别为－m、－m，
1 因为(－m)·－m≠－1，故 l1 与 l2 不垂直．
因此，当且仅当 m＝0 时，l1⊥l2.
x＝ m m＋1 (5)由(1)知，方程组的唯一解为 y＝2m＋1 m＋1
例 4：若直线 x＋a2y＋6＝0 和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0 没 有公共点，则 a 的值是__________．
正解：由题意可得两直线平行，当 a＝0 时，直线 x＋6＝0 和－2x＝0 平行，没有公共点；
a－2 3a 当 a≠0 时，由 1 ＝ a2 得，a＝－1 或 a＝3.
当 a＝－1 时，直线 x＋y＋6＝0 和－3x－3y－2＝0 平行， 没有公共点， 当 a＝3 时，直线 x＋9y＋6＝0 和 x＋9y＋6＝0 重合，有无 数个公共点，不满足题意，应舍去． 综上，a 的值为 0 或－1.
1 3 ∴直线系恒过的定点为5，5.
∴无论 a
1 3 为何值时直线总经过定点5，5.
(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同 次幂的系数为0，从而可求出定点．(2)分别令参数为两个特殊值， 得方程组，求出点的坐标代入原方程，若满足，则此点为定点．
2－1.已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0. 求证：不论λ取何实数值，此直线必过定点． 证明：把直线方程整理为 2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0.解方
①
，
①×m－②得(m2－1)x＝m2－m
③.
小结:
1.如何求两直线的交点 如何求两直线的交点. 如何求两直线的交点 2.两直线方程组成的方程组的系数与直线的位置关系 两直线方程组成的方程组的系数与直线的位置关系. 两直线方程组成的方程组的系数与直线的位置关系 3.直线恒过定点的问题 直线恒过定点的问题. 直线恒过定点的问题
无解，
这表明直线 l1 和 l2 没有公共点，故 l1∥l2.
1－1.求直线 l1：3x＋4y－5＝0 与直线 l2：2x－3y＋8＝0 的 交点 M 的坐标． 解：由 l1 与 l2 的方程联立方程组
3x＋4y－5＝0 2x－3y＋8＝0 x＝－1 ，解得 y＝2
.
2x－y－7＝0 解：(1)方程组 3x＋2y－7＝0
x＝3 的解为 y＝交点坐标为(3，－1)．
2x－6y＋4＝0 (2)方程组 4x－12y＋8＝0
有无数组解，
这表明直线 l1 和 l2 重合．
4x＋2y＋4＝0 (3)方程组 2x＋y－3＝0