数学建模航空预订票策略2(1)

2012-2013秋季学期《数学模型》课程论文

题目：航空公司预订票策略

学院：数学科学学院

年级：2010级

专业：信息与计算科学

姓名：***

学号：********

评卷教师填写页

摘要

在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务,本模型针对预订票业务，建立二元规划订票方案，既考虑航空公司的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得社会美誉。

航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量。于是航空公司预订票模型简化为一个两目标的规划问题，即求航空公司的平均利润

S(m)和被挤掉的乘客数超过j人的概率p j(m)之间的平衡关系，决策变量是预订

票数量的限额m。

建立模型，已知当n很大（>500），p很小（<0.05）时，以n，p作为参数的二项分布可以用泊松分布来逼近。请重新为航空公司制定一个基于泊松分布的预订票策略，比较分析你所得到的结果。

关键词

二项分布；约束条件；泊松分布；最大利润

一.问题重述

在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。

设飞机容量为N，若公司限制只预订m张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会引起那些不能登机的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，导致公司声誉受损和一定的经济损失（如付给赔偿金）。这样，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。

假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、飞机容量、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互独立的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等），确定最佳的预订票数量。

1）对上述飞机容量、费用、迟到概率等参数给出一些具体数据，按你的模型计算，对结果进行分析。

2）对模型进行改进，如增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，迟到则机票作废。

二．符号说明

三．分析假设

（1）航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量，这是一个两目标的规划问题，决策变量是预订票数量的限额。

（2）为了航空公司的经济利益最大化，需要考虑不同的乘客的实际需要，对补偿金模型进行约束条件限制，改进优化后的模型即符合实际要求。

四．模型假设

(1) 航班的飞行成本r 为常数，与乘客人数无关，飞机最大容量为n 。 (2) 客源丰富，不考虑订票不满的情况。

(3) 尽管不同机舱的票价不同，为了简化模型，设机票价格按照g =r/λn 。 预订票乘客不按时前来登机概率为p 。

五．模型建立与求解

5.1 模型一 不考虑任何形式补偿

m 个订票者中有k 个不按时前来登机时利润

S ={(m −k )g −r,m −k ≤n ng −r, m −k >n

（1）

平均利润S (m )为

S (m )=∑p k m

k=0s k =∑p k m−n−1

k=0

(ng −r )+k ∑[p k m

k=m−n

(m −k )g −r]

=∑p k (ng −r )+∑p k m

k=m−n m

k=0

[(m −k )g −r −(ng −r)]

=(ng −r )∑p k +∑p k m

k=m−n

m

k=0

(m −n −k)g

=ng −r −g ∑ip i n

i=0

(2)

要使S 最大，应该p i 尽可能小，因此需要m 越大越好。这个模型的缺点是没有考签补偿金。更合理的模型需要将补偿金因素计入模型。将补偿金因素考虑入模型，得到如下补偿金模型。

5.2 模型二 补偿金模型

每次航班的利润为从机票收入中减去飞行费用和可能发生的补偿金。m 个订票者中有k 个不按时前来登机时利润

S ={(m −k )g −r, m −k ≤n ng −r −(m −k −n )b,m −k >n

(3)

平均利润S (m )为

S (m )=∑p k s k =∑p k [(ng −r )−(m −k −n )b ]+∑p k [(m −k )g −r ]m

k=m−n

m−n−1

k=0

m

k=0

=∑p k m−n−1

k=0

[(n −m +k )g −(m −k −n )b ]+(mg −r)∑p k −g ∑kp k m

k=0

m

k=0

记

∑kp k =mp m

k=0

表示不登机乘客的期望值，则有

S (m )=qmg −r −(g +b)∑(m −k −n)p k m−n−1

k=0

(4)

下面考虑几种特殊情况，验证模型的有效性： 情形一:

p 0=1,p k =0,k ≥1

S =ng −r −b (m −n )

结果表明，当m=n 时，公司利润最大，这与实际是相符的。

情形二：当n 很大，p 很小时，预订票者实际登机的概率服从泊松分布，因此m 个预定票者有k 个不按时前来登机的概率为

p k =p (s =k )=

λk k!e −λ

（5）

S(m)=qmg −r −(b +g)∑p k (m −n −k m−n−1

k=0

)

设m =500, p =0.01时预订票者实际登机概率的泊松分布图像如图一所示。