九年级数学上册 相似图形的性质教案 (新版)华东师大版
【华师版九年级数学上册】23.3.2相似三角形的判定(第1课时)教案(新版)华东师大版
相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1）【知识与技能】会说判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似.会用这种方法判断两个三角形是否相似.【过程与方法】培养学生动手操作能力.【情感态度】在动手推演中感受几何的趣味性.【教学重点】相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算.【教学难点】相似三角形的判定定理1的运用.一、情境导入，初步认识1.两个矩形一定会相似吗？为什么？2.如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例.3.如图△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法.二、思考探究，获取新知同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样.这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索.（1）45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的.（2）30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”.是这样吗？请同学们动手试一试：1.画两个三角形，使它们的三个角分别相等.画△ABC与△DEF，使∠A=∠D，∠B=∠E,∠C=∠F,在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？实际画图中，只画∠A=∠D,∠B=∠E,则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的.2.用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果.3.发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似.4.两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？这是由于三角形具有它特殊的性质.三角形有稳定性，而四边形有不稳定性.于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三角形相似.同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？例1 如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，判断这两个三角形是否相似.解：相似，因为∠C=∠C′，∠A=∠A′，根据相似三角形的判定定理1可知△A′B′C′∽△ABC.例2 在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′=50°，∠B=70°，∠B′=60°，这两个三角形相似吗?解：由三角形的内角和定理知∠C′=180°-∠A′-∠B′=180°-50°-60°=70°，∴∠C′=∠B,又∵∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′C′B′.【教学说明】教师注意引导学生分析∠B不一定与∠B′对应.例3 如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴∠CEF=∠A.∴△ADE∽△EFC三、运用新知，深化理解1.△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形.2.△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC 会相似，你怎样画这条直线?说明理由.和你的同伴交流作法是否一样.【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC2.有两种不同的画法①过D点作DE∥BC,DE交AC于点E②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE=∠C,另一边DE交AC于点E.【教学说明】第2题注意分类讨论.四、师生互动，课堂小结这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑？说说看.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手，通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理1，从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴趣，培养学生的几何推理能力.。
23.5 位似图形 华东师大版数学九年级上册教案
23.5 位似图形※教学目标※【知识与技能】1.了解位似图形及其有关概念.2.了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.【过程与方法】1.利用图形的位似解决一些简单的实际问题.2.在有关的学习和运用过程中发展学生的应用意识和动手操作能力.【情感态度】1.通过学习培养学生的合作意识.2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.【教学重点】探索并掌握位似图形的定义和性质.【教学难点】运用定义和性质进行位似图形的证明和计算.※教学过程※一、情境导入下面每个图形中的四边形A BC D和四边形都是相似图形.分别观察这五个图形，你发现每个图形中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？特征：（1）两个图形相似.（2）每组对应点所在的直线交于一点.二、探索新知1.如果两个相似图形的对应顶点的连线相交于一点，那么这样的相似叫做位似，这个交点叫做位似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.2.位似图形的性质：（1）对应点和位似中心在同一直线上；（2）它们到位似中心的距离之比等于相似比.位似中心的位置根据上面的观察，发现位似中心可以在图形的内部，可以是图形上一点，还可以是图形外的任意一点.【例1】如图，AB、CD相交于点E，AC∥DB.△ACE与△BDE是位似图形吗？为什么？解：△ACE和△BDE是位似图形.∵AC∥BD.∴△ACE∽△BDE.又∵对应点A和B、C和D的连线相交于一点E.∴△ACE和△BDE是位似图形.【例2】如图，把一个五边形ABCDE放大到原来的3倍.画法：（1）在平面内任取一点O;（2）以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE;（3）分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′、E′，使（4）连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.五边形A′B′C′D′E′即为所求.三、巩固练习1.下面每组图形中都有两个图形.（1）哪一组中的两个图形是位似图形？（2）作出位似图形的位似中心.2.画出一个三角形的位似图形，其相似比为2.5.答案：1.图（1）、（3），位似中心是连结各组对应点的直线的交点.2.（答案不唯一）四、归纳小结方法归纳：画位似图形的方法和画平移、旋转、轴对称一样，关键是找出图形上的几个关键点，作出这些点的对应点，然后顺次连结即可.作对应点时要满足对应顶点连线都经过O点，到O点的距离之比都等于位似比.※课后作业※1.教材第82页习题23.5第1题的（1）、第2题.2.已知形如木屋架的五边形ABCDE，如图点O在BC上，以O点为位似中心把ABCDE缩小到原来的.。
华师版九年级数学上册第23章 图形的相似5 位似图形
2．下列关于位似图形的三个表述中正确的有( C ) ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同 一个点，那么这两个图形是位似图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.如图，△OAB 和△OCD 是位似图形，AB 与 CD 平行吗？为什么？
A A′
D′ D O C C′
B B′
A
C′
B
O
B′
C
A′
知识要点2
位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
典例讲解
1
例1..把四边形 ABCD 缩小到原来的 2. (1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上
A
取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得；
OA' OB' OC' OD' 1
B
D
A'
OA OB OC OD 2
B' D'
C
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所
O
C'
得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形
知识要点3
画位似图形的一般步骤 ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
第23章 图形的相似
位似图形
活动一 照相机把人物的影像缩小到底片上，这种相似有什么特征？
重庆市九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.2 相似图形教案 (新版)华东师大版
相似图形
课题名称相似图形
三维目标 1.理解相似图形和相似多边形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。
2.由于需要的不同，要制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察
能力。
难点目标
重点目标理解相似图形和相似多
边形的概念，了解相似形
是两个图形之间的关系
导入示标理解相似图形和相似多边形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系目标三导学做思一：
挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，供同学观
察，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢?
学做思二：
在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图
形。
在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。
同学们你还能
说出哪些相似的图形吗?
想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗?你看过哈哈镜吗?哈哈镜
中的形像与你本人相似吗?
学做思三：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。
1.在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的
值.
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
2.如图，△ADE∽△ABC，AD ＝3cm ，AE ＝2cm ，CE ＝4cm ，BC ＝9cm ，求：
(1)BD 、DE 的长；
(2)求△ADE 与△ABC 的周长比．
E D
C
B
A
达标检测
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习。
初中数学华东师大九年级上册(2023年新编)第23章 图形的相似《2三角形中位线》教学设计
《三角形的中位线》教学设计一、教材分析：1、教材中所处的地位：本节课是华东师大数学教材九年级上册第二十三章第四节内容。
三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。
在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想。
由于解决这一问题需要师生、生生之间的合作与交流，利于发展学生的合作与交流的意识与能力；由于本节课学生需要经历观察、归纳、猜想、推理及应用的全过程，对于今后的学习具有重要的指导意义。
2、教学背景：通过教材和班级的实际情况，对教材中的三个地方需要稍加处理，才更适合我们的学生的实际情况，更符合学生的认知发展规律，抓住学生的最近发展区，提高课堂教学效率。
（1）设计困惑：①课堂上解决“如何把一个三角形分为四个全等的三角形”这个问题过于费时，学生很多想不到，就算是做出来也不明白为什么。
②教材中给出的定理证明方法为中位线倍长法，难度相当大，学生基本上都无法理解。
③中点四边形的证明如何作辅助线、为什么要这样作辅助线学生感到很困难。
（2）教材处理：①我校正在开展协同教育课题研究，学生是通过我校协同平台来完成学习任务的，于是我充分利用资源，让学生登陆协同平台完成我发布的作业，通过三个问题作铺垫：学生很快就搞定了。
②通过动画演示及教具演示，让学生直观感受中位线倍长法与旋转法、平行法的联系。
③通过教具演示，加上温馨提示，学生自然就明白作辅助线的奥妙了。
二、目标分析：1、教学目标：（一）知识目标：（1）理解三角形中位线的定义；（2）掌握三角形中位线定理证明及其应用。
（3）理解三角形中位线定理的本质与核心，培养学生的化归思想。
（新增）（二）能力目标：（1）通过动手操作与合作交流，发展学生的合作交流、实践操作及推理能力。
（2）通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高学生分析问题及解决问题的能力。
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 【教案】相似三角形的应用
相似三角形的应用【知识与技能】会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.【过程与方法】通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力.【情感态度】【教学重点】构建相似三角形解决实际问题.【教学难点】把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决.一、情境导入，初步认识复习1.相似三角形有哪些性质？2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）二、思考探究，获取新知第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.例1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，从而求得OB的长度.解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA,∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°,∴△OAB∽△O′A′B′.答：金字塔的高度OB为137米.例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一这一边上选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD ∽△ECD （两角分别相等的两个三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB=6050120⨯=⨯CD EC BD =100（米）.答：两岸间的大致距离为100米.这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.例3 如图，已知D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE=∠C.求证：AD ·AB=AE ·AC.【分析】把等积式化为比例式ABAC AE AD =,猜想△ADE 与△ABC 相似，从而找条件加以证明.证明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE ∽△ACB （两角分别相等的两个三角形相似）. ∴AB AE AC AD , ∴AD ·AB=AE ·AC.三、运用新知，深化理解1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m ，在这岸离开岸边16m 处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE ∽△ACD,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC 的长.2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C 、D ，然后测出两人之间的距离CD=1.25m ，颖颖与楼之间的距离DN=30m （C 、D 、N 在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m ，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？【答案】1.24m 2.20.8m【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.四、师生互动，课堂小结这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？【教学说明】学生小组讨论，分小组陈述演示，教师归纳板书.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题（相似）来解决,进一步提高学生应用数学知识的能力.。
23.3.3 相似三角形的性质 华东师大版数学九年级上册教案1
相似三角形的性质【教学目标】会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【教学重难点】1．相似三角形中对应线段比值的推导；2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；3．运用相似三角形的性质解决实际问题。
4．相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用。
【教学过程】一、复习1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些？2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗？说明理由。
如果相似，它们的相似比是多少？二、新课讲解1．两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为ACA′C′＝2。
2．相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢？3．一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
4．同学画出上述的两个三角形，作对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，CDC′D′等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：5．相似三角形对应高的比等于相似比。
我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗？两个相似三角形的面积之间有什么关系呢？6．假设三角形（2）的各边长分别是（1）的2倍，（3）的各边长分别是（1）的3倍，所以它们都是相似的，填空：（2）与（1）的相似比为( )，（2）与（1）的面积比为( )；（3）与（1）的相似比为( )，（3）与（1）的面积比为( )；（3）与（2）的相似比为( )，（3）与（2）的面积比为( )。
初中数学华东师大九年级上册图形的相似秋九年级数学上册--相似三角形-(新版)华东师大版
1、所有的直角三角形不都相似，如左图中的两
个直角三角形就不相似；
2、所有的等腰直角三角形都相似。因为每个等
腰直角三角形中都有一个直角，两个45°的角，
2
且两条直角边相等，斜边等于直角边的根号2倍
，所以任意两个等腰直角三角形的对应角相等，
对应边成比例。因此所有的等腰直角三角形都相
似。
2
【3】两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形 呢？为什么？
B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等
1 3
C.△ABC与△A′B′C′的相似比为
1
D.△ABC与△A′B′C′的相似比为
4
我们学了些什么 ？
对应角相等
相 定义 似
对应边成比例
∽ 三 角
表示法：
形 相似比： 对应边的比
课外作业
• 见课本第63页练习第1，2题。
谢谢各位
C.3∠A=4∠D
D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF
）
3、若△ABC与△A′CB′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C’的
度数是（ ）
A.55° B.100° C.250
D.不能确定
4、把△ABC的各边分别扩大C为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列
结论不能成立的是（ ）
A.△ABC∽△A′B′C′
二、认真选一选
1、下列命题错误的是（ B ）
A.两个全等的三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
2、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式
华东师大版九年级数学上册23.2 相似图形课件 (共24张PPT)
例2.矩形 ABCD 纸片的边 A B 长为 2cm ， 动直线 l 分别交 AD、BC于E、F两点， 且 EF∥ AB.
（1）若直线 l 是矩形 ABCD 的对称轴， 且沿着直线 l 剪开后得到的矩形 EFCD与原 矩形 ABCD 相似，试求 A D 的长；
解： 1 矩形EFCD∽矩形CBAD， ADAB.
第23章 图形的相似
23.2 相似图形
情境引入
同学们，请观察下列几幅图片，你能发 现些什么？你能对观察到的图片特点进行归 纳吗？
形状相同，大小不同.
小结
相似图形的定义： 具有相同形状的图形叫相似图形.
思维提升
1.如图，从放大镜里看到的三角尺和 原来的三角尺相似吗？
相似
2.如图，人们从平面镜及哈哈镜里看 到的不同镜像，它们相似吗？
C
课堂小结
通过本节课的学习，同学们获得了哪 些收获？
作业
教材第60页习题23.2的第1～5题.
谢谢大家！
CD CF 设AD2CF2x,又 CDAB2. 2x2.解得：x 2,AD2 2.
2x
（2）若使 AD( 51)cm，试探究，在 A D
边上是否存在点 E ，使剪刀沿着直线 l 剪开
后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形 ABCD
相似的情况.若存在，请求出 A E 的值，并判
断 E 点在边 A D 上位置的特殊性；若不存在，
. . .D . .C
.....
E. . . . .B
.....
A. . . . .
.....
.
.
D.
C ..
. E . . .B .
.....
. A . . . .
思考
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 【教案】相似三角形
相似三角形【知识与技能】1.知道相似三角形的概念；2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长；4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似.【过程与方法】在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.【情感态度】培养学生严谨的数学思维习惯.【教学重点】掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.【教学难点】熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数.一、情境导入，初步认识复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？二、思考探究，获取新知 1.相似三角形的有关概念：由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似.三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？ 如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A=A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，C A AC C B BC B A AB ''=''=''，那么△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”.由于∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，所以A 与A ′是对应顶点，B 与B ′是对应顶点，C 与C ′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记C A ACC B BC B A AB ''=''=''=k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC ∽△A ′B ′C ′，它的相似比为k ，即指B A AB''=k ，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比应是B A AB''，就不是k 了，应为多少呢？同学们想一想. 如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比k=1，你会发现什么呢？C A ACC B BC B A AB ''=''=''=1，所以可得AB=A ′B ′,BC=B ′C ′,AC=A ′C ′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？2.△ABC 中，D 是AB 上任意一点，过D 作DE ∥BC,交AC 边于E ，那么△ADE 与△ABC 是否相似？【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得BC DE AC AE =，通过度量发现ABADBC DE =，所以可以判断出△ADE 与△ABC 相似.思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？（2）若是DE ∥BC,DE 与BA 、CA 延长线交于E 、D ，那么△ADE 与△ABC 还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式.【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.例1 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长.解：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、运用新知，深化理解1.如图所示，DE∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长.2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E 是边AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，BE 的延长线交CD 的延长线于点G.（1）求证：BCAEGB GE =; （2）若GE=2,BF=3，求线段EF 的长.【答案】1.（1）DE ∶BC=2∶5 （2）AE=6,BC=235. 2.（1）证明：∵AD ∥BC ，∴△GED ∽△GBC ，∴BCEDGB GE =.又∵ED=AE, ∴BCAEGB GE =. （2）设EF 的长为x,则由（1）知BCAEGB GE =, 又∵GB GE BC AE =,∴BFEFGB GE =,即3322xx =++,解得x 1=-6（舍去）,x 2=1,∴EF=1.【教学说明】第2题教师适当，小组讨论后独立完成. 四、师生互动，课堂小结你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解.。
华师大版数学九年级上册23 相似图形教案与反思
23.2 相似图形知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》樱落学校曾泽平【知识与技能】知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等.识别两个多边形是否相似的方法.【过程与方法】在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼动手能力.【情感态度】让学生感受数学知识源于生活、用于生活.【教学重点】相似图形的定义和性质.【教学难点】相似图形的性质.一、情境导入，初步认识复习：1.若线段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么线段a,b,c,d会成比例吗？2.两张相似的地图中的对应线段有什么关系？（都成比例）二、思考探究，获取新知相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第58页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流.同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？同学们用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关系（对应边成比例，对应角相等）？由此可以得到两个相似多边形的特征：（由同学回答，教师板书）对应边成比例，对应角相等.实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法.即如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似.识别两个多边形是否相似的标准有：（边数相同），对应边要（成比例），对应角要（都相等）.（括号内要求同学填）填一填：（1）两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？（2）所有的菱形都相似吗？所有矩形呢？正方形呢？例1 矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB=1.5cm,BC=4.5cm，A′B′=0.8cm,B′C′=2.4cm，这两个矩形相似吗？为什么？例2如图所示，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x的值:三、运用新知，深化理解1.矩形ABCD与矩形A′B′C′′中，已知AB=16cm,AD=10cm,A′D′=6cm,矩形A′B′C′D′的面积为54cm2，这两个矩形相似吗？为什么？2.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x、y及角α.【答案】1.这两个矩形不相似，由矩形A′B′C′D′的面积为54知A′B′=54÷6=9（cm）,2.x=14,y=18,α=85°【教学说明】教师引导学生独立完成，让学生演示并讲解，师生共同点评.四、师生互动，课堂小结1.相似多边的性质：对应边成比例；对应角相等.2.相似多边形的判定.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.2”中选取.2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.本节课学生通过动手测量，探究相似图形的有关性质，经历观察、实验归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验数学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.【素材积累】从诞生的那一刻起，我们旧像一支离弦的箭，嗖地直向着生命的终点射去。
天水市第二中学九年级数学上册第23章图形的相似23.5位似图形教案新版华东师大版2
23.5 位似图形1．会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小．2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似图形．重点位似的概念以及利用位似将一个图形放大或缩小． 难点比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律．一、情境引入相似与轴对称、平移、旋转一样，是图形的一个基本变换．要把一个图形放大或缩小，又要保持其形状不变．就是要画相似图形，现在我们先从画相似多边形开始．现在要把五边形ABCDE 放大到1.5倍，即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.现在我们来动手做一做，同学们按以下步骤画出所需的多边形： 画法是：1．任取一点O.2．以O 为端点作射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE.3．在射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE 上分别取点A′，B ′，C ′，D ′，E ′使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝OE′∶OE＝1.5.4．连结A′B′，B′C′，C ′D ′，D ′E′，A ′E ′，即得到所要画的多边形．二、探究新知教师结合课件引导学生动手操作，分析，得出位似变换定义及相关概念． 思考：用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？ 上面的两个多边形相似．(学生回答) 你能否用演绎推理说明其中的理由？A′B′AB ＝B′C′BC ＝C′D′CD ＝D′E′DE ＝A′E′AE＝1.5. 再用量角器量它们的对应角，看看是否相等呢？也可以用平行线的性质推出各对应角是相等的，所以五边形A′B′C′D′E′就相似于五边形ABCDE.位似变换的定义：如上面的画法，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，点O 叫做位似中心．放映电影时，胶片和屏幕上的画面就形成一种位似关系，它们的位似中心是放映机上的凸透镜的光心．利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．位似中心也可以取在多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法．三、练习巩固教师课件展示练习题1，2，3，分小组讨论，小组抢答展示，教师点评．1．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？第1题图第2题图2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．【教学说明】第1小题可根据位似的三要素得出对应线段平行；第2小题可有两种情况，画出其中一种即可．3．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上．①画出位似中心点O；②求出△ABC与△A1B1C1的相似比；③以点O为位似中心，再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于1.5.四、小结与作业小结学生试述，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？布置作业从教材相应练习和“习题23.5”中选取．本课从学生动手画图入手，引入新课，提出问题，猜想，并加以证明，归纳位似的概念，探究位似图形的性质和画法，培养学生良好的数学学习习惯和严谨科学的学习态度．第24章 圆一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图，BD 为⊙O 的直径，AC 为弦，AB AC =，AD 交BC 于E ，2AE =，4ED =． （1）求证：ABE ADB △∽△，并求AB 的长；（2）延长DB 到F ，使BF BO =，连接FA ，判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由.1．解：AB AC =，ABC C ∴=∠∠C D =∠∠，ABC D ∴=∠∠． 又BAE DAB =∠∠，ABE ADB ∴△∽△． AB AEAD AB∴=． ()()224212AB AD AE AE ED AE ∴==+=+⨯=．AB ∴=（舍负）．（2）直线FA 与O 相切．连接OA ．BD 为O 的直径，90BAD ∴=∠．在Rt ABD ∆中，由勾股定理，得BD ====1122BF BO BD ∴===⨯=． 2AB =，BF BO AB ∴==．（或BF BO AB OA ∴===，AOB ∴∆是等边三角形，F BAF ∠=∠．60OBA OAB ∴∠=∠=︒，30F BAF ∠=∠=︒．）90OAF ∴=∠．OA ∴⊥AF ．又点A 在圆上，∴直线FA 与O 相切．2. 已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求DF 的长； （3）求图中阴影部分的面积．2．（1）证明：连接DO .∵ABC ∆是等边三角形 ，∴∠C =60°，∠A =60°， ∵OA =OD ， ∴OAD ∆是等边三角形. ∴∠ADO =60°. ∵DF ⊥BC ，∴∠CDF =30°.∴∠FDO =180°-∠ADO -∠CDF = 90°.∴DF 为⊙O 的切线.（2）∵OAD ∆是等边三角形，∴CD =AD =AO =21AB =2. Rt CDF ∆中，∠CDF =30°，∴CF =21CD =1. ∴DF =322=-CF CD . （3）连接OE ，由（2）同理可知E 为CB 中点，∴2=CE .∵1=CF ，∴1=EF . ∴233)(21=⋅+=DF OD EF S FDOE直角梯形． ∴ππ323602602=⨯=DOES 扇形．∴π32233-=-DOE FDOE S S 扇形直角梯形．3、如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF AD ⊥．（1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若8AB =，求CD 的长．3、（1）证明：连接AC ，如图CF AD ⊥，AE CD ⊥且CF AE ，过圆心OAC AD ∴=，AC CD =，ACD ∴△是等边三角形． 30FCD ∴∠=在Rt COE △中，12OE OC =，12OE OB ∴=∴点E 为OB 的中点（2）解：在OCE t ∆R 中8AB =，142OC AB ∴==又BE OE =，2OE ∴=3241622=-=-=∴OE OC CE 243CD CE ∴==4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC = 60︒，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作OC CD ⊥交PQ 于点D ．FEDCBOACEBODF A（1）求证：△CDQ 是等腰三角形； （2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．4． （1）证明：由已知得∠ACB =90°，∠ABC =30°，∴∠Q =30°，∠BCO =∠ABC =30°. ∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ =∠BCO =30°，∴∠DCQ =∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形. （2）解：设⊙O 的半径为1，则AB =2，OC =1，AC =121=AB ，BC =3. ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ =BC =3.∵AQ =AC +CQ =1+3，AP =23121+=AQ ， ∴BP =AB －AP =2332312-=+- PO =AP －AO =2131231-=-+， ∴BP ∶PO =3.5． 已知:如图, BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点，BC ⊥AE ，交AE 的延长线于点C , 交半圆O 于点E ，且E 为DF 的中点. （1）求证：AC 是半圆O 的切线；（2）若662AD AE ==，，求BC 的长．5.解：（1）连接OE , ∵E 为DF 的中点，∴DE EF =． ∴ OBE CBE ∠=∠.∵OE OB =，∴OEB OBE ∠=∠.∴ OEB CBE ∠=∠.∴OE ∥BC. ∵BC ⊥AC ， ∴∠C=90°. ∴ ∠AEO =∠C =90°. 即OE ⊥AC . 又OE 为半圆O 的半径，∴ AC 是半圆O 的切线. （2）设O 的半径为x ，∵OE AC ⊥，∴222(6)(62)x x +-=. ∴3x =. ∴12AB AD OD OB =++=. ∵OE ∥BC ，∴AOE ABC △∽△.∴AO OE AB BC =. 即9312BC= ∴4BC =.6.如图，ABC △内接于⊙O ，过点A 的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D ，且AB 2=AP ·AD （1）求证：AB AC =；（2）如果60ABC ∠=，⊙O 的半径为1，且P 为弧AC 的中点，求AD 的长.OPDCB6.解：（1）证明：联结BP ．∵ AB 2=AP·AD ，∴ AB AP =ADAB．∵ ∠BAD=∠PAB，∴ △ABD ∽△APB ， ∴ ∠ABC =∠APB，∵∠ACB =∠APB， ∴ ∠ABC =∠ACB．∴ AB=AC.（2）由（1）知AB=AC ． ∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形．∴∠BAC=60°， ∵P 为弧AC 的中点，∴∠AB P =∠PAC=12 ∠A BC=30°，∴∠BAP=90°， ∴ BP 是⊙O 的直径， ∴ BP=2， ∴ AP =12 BP=1，在Rt △PAB 中，由勾股定理得 AB 2= BP 2－AP 2=3， ∴ AD =AB2AP=3．7．如图，在△ABC 中，∠C =90°, AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点, 以OA 为半径的⊙O 经过点D .（1）求证： BC 是⊙O 切线；（2）若BD =5, DC =3, 求AC 的长. 7.（1）证明: 如图1，连接OD .∵ OA =OD , AD 平分∠BAC , ∴ ∠ODA =∠OAD , ∠OAD =∠CAD .∴ ∠ODA =∠CAD . ∴ OD //AC . ∴ ∠ODB =∠C =90︒. ∴ BC 是⊙O 的切线. 图1（2）解法一: 如图2，过D 作DE ⊥AB 于E .∴ ∠AED =∠C =90︒. 又∵ AD =AD , ∠EAD =∠CAD ,∴ △AED ≌△ACD .∴ AE =AC , DE =DC =3.在Rt △BED 中，∠BED =90︒,由勾股定理，得 BE =422=-DE BD . 图2设AC =x （x >0）, 则AE =x .在Rt △ABC 中，∠C =90︒, BC =BD +DC =8, AB =x +4, 由勾股定理，得x 2 +82= (x +4) 2. 解得x =6. 即 AC =6. 解法二: 如图3，延长AC 到E ，使得AE =AB .∵ AD =AD , ∠EAD =∠BAD ,∴ △AED ≌△ABD .∴ ED =BD=5.在Rt △DCE 中，∠DCE =90︒, 由勾股定理，得 CE =422=-DC DE . ………… ……………5分D在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒, BC =BD +DC =8, 由勾股定理，得 AC 2 +BC 2= AB 2.即 AC 2 +82=(AC +4) 2.解得 AC =6.8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC.（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若BE=2，CD=8，求AB 和AC 的长.8、证明：（1）连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，∴． ∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠１＝∠2．即：∠ACO=∠BCD．解：（2）由（1）问可知，∠A=∠2，∠AEC=∠CE B.∴△ACE∽△CBE．∴.CEAEBE CE =∴CE 2=BE·AE． 又CD=8，∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．∴AC=.548022==+CE AE9．如图，已知BC 为⊙O 的直径，点A 、F 在⊙O 上，BC AD ⊥，垂足为D ，BF 交AD 于E ，且BE AE =．（1）求证：AF AB =； （2）如果53sin =∠FBC ，54=AB ，求AD 的长．9．解：（1）延长AD 与⊙O 交于点G ．∵ 直径BC ⊥弦AG 于点D ，∴ ． ∴ ∠AFB =∠BAE ．∵ AE =BE ，∴ ∠ABE =∠BAE ．∴ ∠ABE =∠AFB ． ∴ AB =AF ． （2）在Rt △EDB 中，sin ∠FBC =53=BE ED ． 设ED =3x ，BE =5x ，则AE =5x ，AD =8x ，在Rt △EDB 中，由勾股定理得BD =4x ． 在Rt △ADB 中，由勾股定理得BD 2+AD 2=AB 2．∵ AB =45，∴ 222)54()8()4(=+x x ．AB=GBABCDEO GFOG FH A BC DECBA∴ x =1（负舍）．∴ AD =8x =8．10．如图，已知直径与等边ABC ∆的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边AC 过圆心O 与圆O 相交于点F 、G 。
华东师大版数学九年级上第23章图形的相似 23.3.2相似三角形的判定 课件 (21张PPT)
D 1
E
4C O
3
A
F
2 B
证明： ∵OA＝OB ∴∠3＝∠2 ∵DF＝FB ∴∠1＝∠2 ∵DC∥AB ∴∠3＝∠4 ∴∠1＝∠4 又∵∠DEO＝∠DEC ∴△DEO∽ △CED
课堂总结
相似三角形4种判定方法的综合应用。 （1）先看题中是否有平行条件，如果有平行，就去找“A”型
或“X”型相似。 （2）找是否有两角对应相等。 （3）若没有一组角对应相等，就看三边是否对应成比例。 （4）识别掌握常见的基本图形是寻找和发现相似的有效途径。
证明：∵
AB 6 1 , BC 8 1 , AC 10 1 , AB 18 3 BC 24 3 AC 30 3
∴ AB BC AC AB BC AC
∴△ABC∽△A'B'C'(三边对应成比例的两个三角形相似)
新知讲解
识别相似
看已知条件
选方法
找出识别方法中所 需的条件
相似三角形的判定定理2： 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似。
如果相等的角不 是成比例的两边 的夹角，那么这 两个三角形还相 似吗？画画看， 看看是不是不一
定相似？
新知讲解
A
D
A'
B
C
B'
C'
已知：△A’B’C’ ∽△ABC 在△ABC中，以B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于D， 连结BD，则BD＝BA.求证△A’B’C’ 和△BCD是否相似
那么，除此之外，是否还有其他的办法来判定 两个三角形相似呢？
新知讲解
观察，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与
△ABC相似呢？
C
23.3.5 相似三角形的性质 华师大版数学九年级上册课件
错误．为了避免这些错误，在利用相似三角形的性质解题时，
一定要注意结合图形，搞清面积比与相似比的关系．
知2－讲
【例2】
已知：如图23.3-24， □ ABCD中，E是BC边上
一点，且BE＝
1 2
EC，BD，AE相交于F点．
(1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比；
(2)若△BEF的面积为6 cm2，求△AFD的面积．
警示：不要误认为面积的比等于相似比．
知2－练
1 如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这 两个相似三角形面积的比是( ) A．2∶3 B. 2： 3 C．4∶9 D．8∶27
• 两个相似三角形的相似比为3∶2，面积之差为 25 cm2，求这两个相似三角形的面积．
用相似三角形对应边上的高的比解决三角形内接四边形问 题应掌握两点： 1．常见图形：如右图，即三角形中存在一个矩形． 2．基本方法：利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比
知1－讲
思 考： 如图 23. 3. 15, △ABC和△A'B'C'相似，AD、A'D'分
别为对应边上的中线，BE、B'E'分别为对应角的平分线， 那么它们之间是否有与对应边上的高类似的关系？这两个 三角形的周长又有什么关系呢？
（ห้องสมุดไป่ตู้自教材）
知1－讲
1. 相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
2. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比．
∴△BEF的周长与△AFD的周长之比为1∶3.
(2)由(1)可知△BEF与△AFD的相似比为
1 3
∴S△BEF∶S△AFD＝1∶9.
又∵S△BEF＝6 cm2，∴S△AFD＝54 cm2.
华东师大版九年级上册数学第23章《图形的相似》教案2
课题相似三角形的判定(一)【学习目标】1．初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题；2．经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑协调一致的习惯；3．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值．【学习重点】掌握有两个角相等的相似三角形判定定理．【学习难点】应用三角形相似的判定定理．一、情景导入生成问题问题：1.根据相似多边形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？2．还有判断两个三角形相似的方法吗？3．思考：有没有其他简单的办法判断两个三角形相似？二、自学互研生成能力知识模块一两角对应相等的两个三角形相似阅读教材P64～P67的内容．问题：已知：如右图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1.求证：△ABC∽△A1B1C1.证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.在△ADE与△A1B1C1中，∵∠A＝∠A1，∠ADE＝∠B＝∠B1，AD＝A1B1，∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.问题：如果两个三角形仅有一个角对应相等，那么这两个三角形相似吗？归纳：三角形相似的判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似．知识模块二两角对应相等的两个三角形相似的应用范例：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C与∠C′都是直角，∠A＝∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.∴△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似)．仿例1：如右图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.又∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠B，∴∠ADE ＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似)．仿例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂线交BC于D，交AC于E，交BA的延长线于F，求证：BD·DC＝DE·DF.证明：∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∵FD⊥BC，∴∠BDF＝∠CDE＝90°，∠B＋∠F＝90°，∴∠F＝∠C，∴△BDF∽△EDC，∴BDDE＝DFDC，∴BD·DC＝DE·DF三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一两角对应相等的两个三角形相似知识模块二两角对应相等的两个三角形相似的应用仿例(方法二)还可利用对顶角相等：∠AEF＝∠CED四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________课题相似三角形的判定(二)【学习目标】1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”及“三边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法．3．能够灵活运用三角形相似的条件解决简单的问题．【学习重点】三角形相似的判定方法．【学习难点】三角形相似的判定方法的灵活运用．一、情景导入生成问题到目前为止，我们学会了哪些判定三角形相似的方法？二、自学互研生成能力知识模块一两边成比例且夹角相等的两个三角形相似阅读教材P67～P69的内容．问题：1.观察右图，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与△ABC相似呢？2．图中△ADE与△ABC的一组对应边AD与AB的长度的比值为13，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE等于AC的三分之一时，△ADE与△ABC似乎相似，此时AD∶AB＝__1∶3__．猜想：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．下面我们来证明上述猜想．已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，ABA1B1＝ACA1C1.求证：△ABC∽△A1B1C1.证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC，∴ABAD＝ACAE，∵ABA1B1＝ACA1C1，AD＝A1B1，∴AE＝A1C1，在△ADE和△A1B1C1中，∵AD＝A1B1，∠A＝∠A1，AE＝A1C1，∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.结论：相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．范例：证明如图中的△AEB和△FEC相似．证明：∵AEFE＝5436＝1.5，BECE＝4530＝1.5，∴AEFE＝BECE，又∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB∽△FEC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)知识模块二三边对应成比例的两个三角形相似探索：三边对应相等的两个三角形全等，那么三边对应成比例的两个三角形相似吗？在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数，画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？结论：相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．范例：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试证明△ABC与△A′B′C′相似．证明：∵ABA′B′＝618＝13，BCB′C′＝824＝13，ACA′C′＝1030＝13，∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′.∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′.∴△ABC∽△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形的判定定理2知识模块二相似三角形的判定定理3四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________课题相似三角形的性质【学习目标】1．掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念；2．能运用相似三角形的性质定理来解决有关问题；3．通过由特殊情况猜想到一般情况，渗透由特殊到一般的数学思想，让学生感受数学的和谐美，并进一步养成严谨科学的学习品质．【学习重点】理解相似三角形的性质定理并能初步运用．【学习难点】相似三角形的性质定理的证明．一、情景导入生成问题1．什么叫相似三角形？2．如何判定两个三角形相似？3．相似三角形的对应边有什么特征？对应角有什么特征？二、自学互研生成能力知识模块一相似三角形对应边上的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方阅读教材P71～P72的内容．问题：两个三角形相似，除了对应边成比例，对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如在右图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比是k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？这两个三角形的面积之比又是多少？归纳：△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似，因此ADA′D′＝ABA′B′＝k.由此可以得出结论：相似三角形对应边上的高的比等于相似比．由ADA′D′＝BCB′C′＝k，可得S△ABCS△A′B′C′＝12AD·BC12A′D′·B′C′＝ADA′D′·BCB′C′＝k2.由此可以得出结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识模块二相似三角形对应角的平分线之比等于相似比、对应边上的中线之比等于相似比、周长之比等于相似比思考：如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的平分线，那么它们之间是否有与对应边上的高类似的关系？这两个三角形的周长又有什么关系？以周长为例探究一下：∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝k，∴AB＝kA′B′，BC＝kB′C′，AC＝kA′C′，∴C△ABCC△A′B′C′＝AB＋BC＋ACA′B′＋B′C′＋A′C′＝kA′B′＋kB′C′＋kA′C′A′B′＋B′C′＋A′C′＝k结论：相似三角形对应角的平分线之比等于相似比．相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．相似三角形的周长之比等于相似比．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形对应边上的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方知识模块二相似三角形对应角的平分线之比、对应边上的中线之比、周长之比等于相似比四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：__________________________________________________2．存在困惑：______________________________________________课题相似三角形的应用【学习目标】1．通过例题教学使学生进一步理解和应用相似三角形的判定和性质，并熟练应用这些判定和性质解决实际生活中的有关问题；2．在教学过程中，通过鼓励学生个性化学习和大胆发言，让学生能主动参与、乐于探究、勤于思考．培养其分析问题和解决问题的能力，以及合作交流自主探索的新型学习观；3．通过对生活中数学问题的探讨，使学生经历理论与实际相结合的全过程，体验数学的实践性，知道数学来源于生活，而又服务于生活，从而激发其对数学学习的浓厚兴趣．【学习重点】通过建立相似三角形模型解决实际问题．【学习难点】如何从实际问题中抽象出相似三角形的模型．一、情景导入生成问题问题：1.识别两个三角形相似的方法有哪些？2．相似三角形有哪些性质？二、自学互研生成能力知识模块一相似三角形的应用一阅读教材P72～P74的内容．范例：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′与金字塔的影长AB垂直，即可近拟算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.解：∵太阳光线是平行光线，∴∠OAB＝∠O′A′B′.∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)．∴OBO′B′＝ABA′B′，∴OB＝AB×O′B′A′B′＝274×12＝137(米)．答：金字塔的高度OB为137米．范例：如右图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)．∴ABEC＝BDCD.解得AB＝BD×ECCD＝120×5060＝100(米)．知识模块二相似三角形的应用二范例：如右图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点．且∠ADE＝∠C.求证：AD·AB＝AE·AC.证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)．∴ADAC＝AEAB，∴AD·AB＝AE·AC.仿例1：如图，AE＝12EC，AD＝12DB，测得DE＝20米，求池塘宽BC是多少米？解：∵AC＝12EC，AD＝12DB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AEAC＝13，∵DE＝20米，∴BC＝60米．答：池塘宽BC为60米．仿例2：小明在打网球时，使球恰好能过网，而且落在离网5米的位置上，已知如图，求球拍击球的高度h？(设网球作直线运动)解：∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴DE∥BC，∴DEBC＝ADAB，∵DE＝0.8，AD＝5，AB＝15，∴0.8BC＝515，∴BC＝2.4米．答：球拍击球高度为2.4米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形的应用一知识模块二相似三角形的应用二四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________。
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 相似图形
感悟新知
2．相似多边形的性质：相似多边形的对应边成
比例，对应角相等．
知2－导
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和
角的度数．
活学巧记：
两个相似多边形， 形状相同大小异. 各边对应成比例， 各角对应都相等.
感悟新知
例2 在图所示的两个相似四边形中，求边x的长 度和角α的大小．
知2－练
分析：利用相似多边形的性质和多边形的内角和公 式就可以得到所需结果，在利用相似多边形 的性质时，必须分清对应边和对应角．
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
感悟新知
知2－讲
思考
两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形 呢？两个等边三角形呢？
感悟新知
知2－练
1．若多边形ABCDEF与多边形A′B′C′D′E′F′相似， 且∠A与∠A′为对应角，∠A＝68°，则∠A′ 等于( )
A．22°B．C 112°C．68°D定义可作为判断两个多边形是否相 似的判定，即在多边形中，只有“边数相同” “角分别相等”“边成比例”这三个条件同时成立 时，才能说明这两个多边形是相似多边形． 2.相似比的值与两个多边形的前后顺序有关． 3.相似比为1的两个相似多边形是全等多边形．
仅形状相同，大小也相同．
感悟新知
图中的相似图形有哪些？ 例1
知1－练
感悟新知
导引：本题依据相似图形的定义求解．观察这些图形，虽
然图(6)与图(12)、图(8)与图(11)极为相似，
知1－练
但是它们的形状不相同．图(6)“拉长”而不是整体放大
变成了图(12)，图(8)“压缩”而不是整体缩小变成了图
第22章一元二次方程
第23章图形的相似
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
（二）讲授新知
1.性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-通过几何画板动态展示相似三角形的性质一，让学生直观感知。
-设想一：设计具有启发性的问题，如“相似三角形的对应角有什么关系？”“对应边长是否成比例？”等，引导学生进行探究。
-设想二：组织学生分组讨论，鼓励他们提出自己的猜想，并运用已有知识进行验证。
3.创设互动式课堂，让学生在合作交流中掌握知识，提高解决问题的能力。
-设想一：开展小组合作学习，让学生在讨论、分享中加深对相似三角形性质的理解。
-提高题：结合其他知识点，综合运用相似三角形的性质解决问题。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结相似三角形的性质。
-性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-性质二：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2.教师点评，强调重点，解答学生的疑问。
2.实践应用题：设计一道实际生活中的相似三角形问题，要求学生运用所学性质进行分析和解答。
-例如，测量学校旗杆的高度，通过测量旗杆影子的长度和角度，利用相似三角形的性质求解。
-学生需要将问题解决过程详细记录，包括思路分析、步骤实施和结果验证。
3.拓展思考题：提供一道综合性的相似三角形问题，鼓励学有余力的学生挑战。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的基本性质，理解并运用这些性质解决实际问题。
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相似图形的性质
一、相似图形的性质的数学本质与教学目标
相似这图形的性质一节包括成比例线段和相似图形的性质两个内容，本课时只学习相似图形的性质，其中包括两个内容即相似多边形的性质以及运用性质判定两个图形是否相似。
本节内容的数学本质是是图形间几何关系的研究。
教学目标的制定是教学计划中的重要环节、目标的制定首先要依据的是课程标准的要求,即知识与能力、数学思考、问题解决、情感态度几个方面.同时对于不同的学生来说,目标的制定也应存在一定的差异。
从学生的可接受度和最近发展区进行如下目标的设计：认知目标：
探索相似图形的性质，理解相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
知道相似图形的判别方法，会根据相似图形的性质识别两个多边形是否相似。
能力目标:
进一步发展学生观察、概括，实践等能力，培养学生分析理解数学问题的能力及运用所学知识解决简单数学实际问题的能力；
情感目标:
学生通过将地图问题转化为多边形的问题的过程中，体会化归思想。
学生在主动参与观察、操作活动中，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯。
在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，培养学生的合作习惯。
根据学生的学情和本节内容特点，确定以下教学重难点。
重点：相似多边形的性质。
难点：理解和应用相似多边形的性质
二、本内容的地位与作用
人们生活的空间存在着大量的图形，图形是人们理解自然界和社会现象的重要工具，而
相似图形是现实生活中广泛存在的现象之一。
在本套教材中相似是继学习了图形的对称，平移，旋转之后的另一种图形变换，充分体现了对图形变换这一数学知识学习的螺旋上升。
《图形的相似》这一章立足学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及有关数学内容，从观察和分析生活中大量存在的形状相同的图形入手，直观地认识形状相同的图形，在此基础上，逐步探索和了解相似多边形的性质，探索和理解相似三角形的判定条件。
本节内容作为整章内容的重点，正是学生对这章所学内容从直观发现到自觉说理的重要过渡阶段，承接前面学生已有的初步说理基础，逐步加强逻辑推理的力度，为后面学习画相似图形和图形与坐标做好铺垫。
探索相似图形的一些重要性质的过程，不仅可以使学生更好地认识、描述物体的形状，体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，而且也可以让学生体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，体验数学活动充满的探索性和创造性，同时也可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学意识和合作交流的能力。
三、学习本内容时容易了解与误解的地方
本章是在学习了图形的对称、平移、旋转等图形变换之后，学习的另一种图形变换。
通过本章的学习将使得孩子们对几何的认识来一个飞跃。
在本章前一节认识相似图形的学习过程中，学生已直观的感受相似图形间存在的某种联系，学生知道两个相似图形中的一个图形可以通过放大或者缩小与另一个图形相重合。
但是学习本节内容，估计仍有两点困难：一是前面的几种图形变换都是全等变换，其图形对应边相等，对应角相等的性质给学生造成了一定的思维定势，对理解相似图形对应边成比例，对应角相等的性质有一定障碍；二是学生往往对性质不做深刻的理解，头脑中有一点印象就认为自己学会了，而实际应用起来就会发现有许多不明白的地方，其根源就在于对其性质的真正理解上。
在本课教学中，我会注重在这方面通过对图形的研究，设置问题情境对学生加以恰当、有效的引导，并通过学生对问题情境的合作探究，
加强概念的理解和比较。
在教学中我会进行示范，并结合多媒体、展示平台让学生真正的学有所获．
四、本节课的教法特点及预期效果分析
⒈教法特点
⑴课程标准指出：“数学知识的学习，大都力求从学生的实际出发，用他们熟悉或感兴趣的问题情境，引出学习的主题”.因此，我尽量从学生现实、生活现实中的大量实例出发呈现图形相似的有关内容；
⑵强调学生的动手操作、“在做中学”以及合作交流。
在整个教学过程中，我设计了多个与课题相关的小活动，给学生以充分的时间进行动手实践，观察发现，合作交流。
⑶注意体现处理图形问题的研究方法。
课前设问，呈现本课知识目标。
课前的2个设问，直奔主题，学生对本课应掌握的知识一目了然，重点分明。
在引导学生亲历探索新知的过程中，实现知识的“螺旋”式上升；逐步渗透逻辑推理的思想方法，实现数学思想方法的“螺旋”式上升。
⑷从学生的实际情况出发，注意控制题目的难度，关键是落实对知识本质的理解。
⒉结果预测
通过以上的教学过程，绝大部分学生应该理解所学知识要点，并能在教师的引导下进行简单的应用。
对于极少数同学存在的不同程度地问题可在闲暇的时间进行相关辅导。