高中数学选修2-1第二章 (6)

解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元 二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作 差，构造出中点坐标和斜率的关系． (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一 交点为B(2x0－x,2y0－y)， 则{x2a2＋y2b2＝1，2x0－x2a2＋2y0－y2b2＝1， 两式作差即得所求直线方程．
一、选择题 1．点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是( ) A．－2＜a＜2 C．－2＜a＜2 考点 椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系 答案 A 解析 由题意，得a24＋12＜1，即a2＜2，解得－2＜a＜2. 2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆x24＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A．相交 C．相离 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的位置关系判定 答案 C 3．(2017· 牌头中学期中)斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值 为( ) A．2 B.455 C.4105 D.8105 答案 C 解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由{x2＋4y2 ＝4，y＝x＋t，消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－85t，x1x2＝4t2－15. ∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝2×(－85t2－4×4t2－15＝4255－t2. 当t＝0时，|AB|max＝4105. 4．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径 的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( ) A.63 C.23 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a，b，c的齐次关系式得离心率 答案 A 解析 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2， 该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切， ∴|b×0－a×0＋2ab|b2＋－a2＝a，即2b＝a2＋b2， ∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴c2a2＝23，∴e＝ca＝63. 5．直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是( ) A．m＞1 B．m＞1且m≠3 B.33 D.13 B．相切 D．相切或相交 B．a＜－2或a＞2 D．－1＜a＜1
第2课时 椭圆的几何性质及应用
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线百度文库椭圆的位置关系等知识.3.会判 断直线与椭圆的位置关系．
知识点一 点与椭圆的位置关系 思考 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的 位置关系的判定吗？ 答案 当P在椭圆外时，x20a2＋y20b2>1； 当P在椭圆上时，x20a2＋y20b2＝1； 当P在椭圆内时，x20a2＋y20b2<1. 梳理 设P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示： 位置关系 P在椭圆外 P在椭圆上 P在椭圆内 满足条件 x20a2＋y20b2>1 x20a2＋y20b2＝1 x20a2＋y20b2<1
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(√) (2)直线x2－y＝1被椭圆x24＋y2＝1截得的弦长为5.(√)
(3)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×) (4)直线y＝k(x－a)与椭圆x2a2＋y2b2＝1的位置关系是相交．(√)
当－5＜m＜5时，”＞0，直线与椭圆相交； 当m＝－5或m＝5时，”＝0，直线与椭圆相切； 当m＜－5或m＞5时，”＜0，直线与椭圆相离． 反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式”是解题关键． 跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有 两个不同的交点P和Q，求k的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2， 代入椭圆方程得x22＋(kx＋2)2＝1， 整理得(12＋k2x2＋22kx＋1＝0， 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于”＝8k2－4(12＋k2＝4k2－2＞0，解得k＜－22 或k＞22， 所以k的取值范围为(－∞，－22∪(22，＋∞. 类型二 弦长问题 例3 已知椭圆4x2＋5y2＝20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两 点，求弦长|AB|. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 解 椭圆的标准方程为x25＋y24＝1， a＝5，b＝2，c＝1， ∴直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性，设l过左焦点)． 由{y＝x＋1，4x2＋5y2＝20，消去y，得9x2＋10x－15＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－109，x1x2＝－53， |AB|＝2|x1－x2|＝2· x1＋x22－4x1x2 ＝2· (－1092－4×(－53＝2×8109＝1659. 反思与感悟 求解弦长时，需正确记忆公式内容，其次，准确得到x1＋x2和x1x2的值． 跟踪训练3 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交 于P，Q两点，若|PQ|＝10，求椭圆方程． 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 解 ∵e＝32，∴b2＝14a2， ∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2， 与x＋2y＋8＝0联立消去y， 得2x2＋16x＋64－a2＝0，
类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断 例1 已知点P(k,1)，椭圆x29＋y24＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为____________． 考点 椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系 答案 (－∞，－332∪(332，＋∞ 解析 由题可知k29＋14>1， 解得k<－332或k>332. 引申探究 若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？ 答案 (－∞，－423∪(423，＋∞ 解析 由19＋k24>1，解得k2>329， 即k<－423或k>423. 反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题， 注意求解过程与结果的准确性． 跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，则( ) A．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3,2)在椭圆上 D．以上都不正确 考点 椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系 答案 C 解析 由已知，得9a2＋4b2＝1，只有选项C正确． 命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断 例2 对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1的位置关系． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 解 由{y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y， 得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， ”＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16×(5－m2)．
由”＞0，得a2＞32， 由弦长公式，得10＝54×[64－2(64－a2)]， ∴a2＝36，b2＝9， ∴椭圆方程为x236＋y29＝1. 类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 解 (1)由{4x2＋y2＝1，y＝x＋m， 消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以”＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－52≤m≤52. (2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 所以x1＋x2＝－2m5，x1x2＝15(m2－1)， 所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22 ＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 2[]4m225－45m2－1＝25 10－8m2. 所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x. 反思与感悟 求最值问题的基本策略 (1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点 共线时|PA|＋|PB|取得最值． (2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值 范围． (3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． 跟踪训练4 已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若点A的坐标为(3,0)，|AM→|＝1， 且PM→· AM→＝0，求|PM→|的最小值． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 解 由|AM→|＝1，A(3,0)， 知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM→· AM→＝0且P在椭圆上运动， ∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则|PM→|＝|PA
→|2－|AM→|2 ＝|PA→|2－1 ， ∴当|PA→|min＝a－c＝5－3＝2时，|PM→|min＝3.
1．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值是( ) A．－1 C．－1或1 考点 由椭圆方程研究简单几何性质 题点 由椭圆几何特征求参数 答案 C 解析 易知椭圆x2＋y210＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，所以b＝1或－1. 2．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A．x＋2y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 答案 A 解析 由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y ＝kx＋1－k. 由{x2＋2y2－4＝0，y＝kx＋1－k，消去y， 得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0， 所以x1＋x22＝12×4k2－4k1＋2k2＝1， 解得k＝－12， 所以所求直线方程为y＝－12x＋32， 即x＋2y－3＝0. 3．(2017· 牌头中学期中)设F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦 点，若在直线x＝a2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.(]0，22 B.(]0，33 C.[22，1 D.[33，1 答案 D 解析 方法一 由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，P(a2c，y， ∵PF1的中垂线过点F2，∴|F1F2|＝|F2P|， 即2c＝(a2c－c2＋y2，整理得y2＝3c2＋2a2－a4c2. ∵y2≥0， ∴3c2＋2a2－a4c2≥0， B．2x＋y－3＝0 D．2x－y＋3＝0 B．12 D．－12或12
即3e2－1e2＋2≥0，解得e≥33. 又∵0<e<1， ∴e的取值范围是[33，1. 方法二 设直线x＝a2c与x轴交于M点，则|F1F2|＝|F2P|≥|MF2|，即2c≥a2c－c，整理得13 ≤e2<1， 又∵0<e<1，∴33≤e<1. ∴椭圆离心率的取值范围是[33，1.故选D. 4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆 的长轴长为_____________． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 27 解析 由题意可设椭圆的方程为x2a2＋y2a2－4＝1(a＞2)， 与直线方程x＋3y＋4＝0联立， 得4(a2－3)y2＋83(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0， 由”＝0，得a＝7， 所以椭圆的长轴长为27. 5．椭圆x23＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 答案 322 解析 由{x－y＋1＝0，x23＋y2＝1，得交点为(0,1)，(－32，－12， 则|AB|＝(322＋(1＋122＝322.
知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考 类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系． 答案 有三种位置关系：相离、相切和相交． 梳理 判断直线和椭圆位置关系的方法 直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法： 联立{y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y，得关于x的一元二次方程． 当”＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当”＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当”＜0时，方程无解，直线与椭圆相离． 知识点三 弦长公式 设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交，两个交点 为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．弦 长公式：|AB|＝1＋k2· x1＋x22－4x1x2，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．