专题02 数形结合思想(解析版)

专题02 数形结合思想

思想方法诠释

数形结合思想：是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维.

【典例讲解】

要点一利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题

[解析](1)函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，如图所示，若关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(－∞，－1)．故选B.

(2)方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1

x ＋2与y ＝a |x |的图象有三个不同的交点．在同一

直角坐标系中作出函数y ＝1

x ＋2

与y ＝a |x |的图象，如图所示，由图易知，a >0.当－2

＝－ax 的图象与函数f (x )＝1x ＋2的图象相切于点(x 0

，y 0

)，因为f ′(x 0

)＝－1

(x 0

＋2)

2

，则有⎩⎨⎧

y 0＝－ax 0，

y 0

＝1x 0＋2，1

(x 0

＋2)2

＝a ，

解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)，故选C.

[答案] (1)B (2)C

利用数形结合求方程解、函数零点问题的2个注意点

(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．

(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．

【训练】1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，

其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．

[解析]作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，

∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.

[答案](3，＋∞)

【训练】2．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．

[解析]如图所示，由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．[答案][－1,1]

要点二 利用数形结合思想解决最值问题

[解析] (1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，

y ＋3≥0

对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶

点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，平移直线y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A.

(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝1

2

|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．

因为|OC |＝32＋42＝5，

所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6，故选B. [答案] (1)A (2)B

利用数形结合思想解决最值问题的3点思路

(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解． (2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．

(3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．

【训练】3．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤0，x －y ≤0，

x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y

满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1

x ＋3

的最小值为( )

A ．－1

B ．－52＋17 C.13 D ．－7

5

[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知1

4πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝

x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2

x ＋3，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆

相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|

k 2＋1

＝2，解得k ＝－12

5或k

＝0(舍去)，所以z min ＝1－

125＝－7

5

.故选D.