齐次线性方程组解的结构
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4.5 线性方程组解的结构
0 Ax 0
1
br1
br
,nr
0
0 0
0
0
xn
x1
b11 xr1 b1,nr xn
xr br1 xr1 br ,nr xn
为什么要取下列n-r组数？因为我们要得到线性无关的解
现对 xr1 , , xn 取下列 n r 组数：
xr1 1
B的列向量组只是解向量全体的部分向量组，故
R(B) R 1 2 L s n r
于是有 R(A) R(B) n
例6 设A为n阶方阵，证明(可当结论记住直接用)
n, 当 R A n,
R
A*
1,
当 R A n 1,
0, 当 R A n 1.
证（1）当 R A n时， A 0,
2020/5/6
三、应用-求通解
解：根据非齐次线性方程组的解的结构，可知本题 中 C、E是正确的
例5 证明 当 Amn Bns O时，R(A)+R(B) ≤n
(做题时可直接当结论用)
证明 AB=0，将B按列分块，有：
B 1 2 L s
则B的每一列均是线性方程组Ax=0的解。 若R(A)=r, 解向量的全体为S，则R(S)=n-r.
n R( A)=未知量的个数－系数矩阵的秩
（2）齐次线性方程组基础解系的几个重要特征 基础解系即Ax=0解向量全体的一个最大无关组。 基础解系中的向量共有__n_-_R_(_A_)_个； 基础解系中的向量一定线性_无____关； 基础解系的向量一定是_非__零___向量。 任意n-R(A)个线性无关的满足Ax=0的非零解向量， 都可以构成一个基础解系。
且当 c1, c2 ,L , ck 为任意常数时，
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
齐次线性方程组解的结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：
,，
则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，
，(其右端的都是解向量：若取k
1
其余的k为0，即可看出ξ
为解向量，...。
)
1
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：
对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方
程组的通解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。
§3齐次线性方程组解的结构
§3齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。
其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。
对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推导其解的结构。
首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。
根据矩阵乘法的定义，我们有A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT其中，bT是m维零向量。
这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零空间结构。
我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称为核空间。
零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的阶梯形矩阵U，进而求解。
接下来，我们来看零空间的结构。
假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ...000aₙₙ...aₙₙ0000...aₙₙ其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。
通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ...000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ000...0...00 0其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。
我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。
167;4.4齐次线性方程组解的结构
xr
br1 xr1
br ,nr xn
依次得
x1
b11
,
b12
,
,
b1 ,n r
.
xr br1 br 2
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
br 1
1 1 ,
0
0
b12
b1 ,n r
br
2
2 0 ,
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
1 4
B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
线性表示.
解 要证a1, a2 , a3是R3的一个基，只要证a1, a2 , a3 线性无关，即只要证A ~ E.
(2)证明解空间的任一解都可由 1,2 ,,nr
线性表示.
设x 1 r r1 n T 为上述
方程组的一个解. 再作 1 ,2 ,,nr 的线性组合 ,
r11 r22 nnr
由于 1 ,2 ,,nr 是Ax 0 的解,故 也是Ax 0的
解.
下面来证明 .
r11 r22 nnr
2
x1 x1
x2 x2
3 x3 3 x3
5 x4 2 x4
5x5 0 x5 0
3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0
解 对系数矩阵施 行初等行变换
1 1 1 4 3
A
2 1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1 1 1 4 3 1 1 1 4 3
b11
b12
§4.4齐次线性方程组解的结构
r 11 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故 也是Ax 0的 解.
下面来证明 .
r 11 r 2 2 n n r
b11 b12 b1 ,n r c1 b b b c r r1 r2 r ,n r r 1 1 r 2 0 n 0 r 1 0 1 0 r2 0 0 1 n
3
b1 x11a1 x 21a 2 x 31a 3 , b2 x12a 1 x 22a 2 x 32a 3，
对矩阵( A B )施行初等行变换，若 A能变为E， 则a1 , a 2 , a 3为R 的一个基，且当 A变为E时，B变为 X A1 B.
2 1 1 4 2 ( A B ) 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
1 0 A~ 0 0
0
1
b11 b1, n r br 1 br , n r 0 0
1 0 Ax 0 0 0
§ 4.4 齐次线性方程组解的结构
一、向量空间的基与维数
定义10 设 V 是向量空间，如果r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量 V 的一个
3-4齐次线性方程组解的结构
信息系 刘康泽
信息系 刘康泽
第3-4节 齐次线性方程组解的结构
信息系 刘康泽
一 、齐次线性方程组解的性质 【性质 1】设 1 , 2 是齐次线性方程组 Ax 0 的解， 则 1 2 仍然是 Ax 0 的解。
证明：
A 1 2 A1 A2 0
故 1 2 是 Ax 0 的解。
【性质 2】 设 是齐次线性方程组 Ax 0 的解，则 对任意数 k ， k 仍然是 Ax 0 的解。 0 证明： A 0, A k kA k 0
A1 0, A2 0
故 k 是 Ax 0 的解。
信息系 刘康泽
综合性质 1 与性质 2 得：
信息系 刘康泽
【注 1】 齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系实质上是它 的解向量组的一个极大无关组。
【注 2】基础解系是齐次线性方程组的核心，若知道了 基础解系，则等价于知道了齐次线性方程组的任意一个解， 因为任意一个解向量 都是基础解系的线性组合。
所谓齐次线性方程组解的结构就是它的基础解系的线 性组合： k11 k22 ktt
即可。
由定义知 1 , 2 , t 可以由基础解系1 ,2 ,,t 线 性表示，即：
信息系 刘康泽
k11 k21 ( 1 , 2 , t ) (1 ,2 , ,t ) k r1
可逆，从而：
k12 k1r k22 k2 r kr 2 krr
T
故 1 ,2 ,3 为所求的基础解系。
信息系 刘康泽
或将同解方程组写为：
x 3 x4 5 x5 x1 x 2 2 x 3 2 x 4 6 x5 所以： ， x3 k1 x k2 4 x5 k3 1 1 5 2 2 6 x k1 1 k 2 0 k 3 0 k11 k22 k 33 0 1 0 0 0 1
信息系 刘康泽
第3-4节 齐次线性方程组解的结构
信息系 刘康泽
一 、齐次线性方程组解的性质 【性质 1】设 1 , 2 是齐次线性方程组 Ax 0 的解， 则 1 2 仍然是 Ax 0 的解。
证明：
A 1 2 A1 A2 0
故 1 2 是 Ax 0 的解。
【性质 2】 设 是齐次线性方程组 Ax 0 的解，则 对任意数 k ， k 仍然是 Ax 0 的解。 0 证明： A 0, A k kA k 0
A1 0, A2 0
故 k 是 Ax 0 的解。
信息系 刘康泽
综合性质 1 与性质 2 得：
信息系 刘康泽
【注 1】 齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系实质上是它 的解向量组的一个极大无关组。
【注 2】基础解系是齐次线性方程组的核心，若知道了 基础解系，则等价于知道了齐次线性方程组的任意一个解， 因为任意一个解向量 都是基础解系的线性组合。
所谓齐次线性方程组解的结构就是它的基础解系的线 性组合： k11 k22 ktt
即可。
由定义知 1 , 2 , t 可以由基础解系1 ,2 ,,t 线 性表示，即：
信息系 刘康泽
k11 k21 ( 1 , 2 , t ) (1 ,2 , ,t ) k r1
可逆，从而：
k12 k1r k22 k2 r kr 2 krr
T
故 1 ,2 ,3 为所求的基础解系。
信息系 刘康泽
或将同解方程组写为：
x 3 x4 5 x5 x1 x 2 2 x 3 2 x 4 6 x5 所以： ， x3 k1 x k2 4 x5 k3 1 1 5 2 2 6 x k1 1 k 2 0 k 3 0 k11 k22 k 33 0 1 0 0 0 1
齐次线性方程组的解的结构
(2)
其中 cii 0, i 1,, r, r n . (2)可变形为
c11 x1 c1r xr c1,r 1 xr 1 c1n xn crr xr cr ,r 1
这里 xr 1 , xn是自由未知量。 分别取 ( xr 1, xn ) 为 (1,0,,0),,(0,0,,1), 由(3)得(1)的解为
1 2 0 0
1 2 0 0
1 6 0 0
故原方程组等价于
x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 0 即 x2 2 x3 2 x4 6 x5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0
x1 x2 x3 x4 x5 0 例 求齐次线性方程组 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 的解集。 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 0
解：
1 3 0 5 1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 6 0 1 1 3 0 0 2 6 0 1 2 2 6 0 1 2 2 6 3 1 0 0
齐次线性方程组解的结构
关于齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 a x a x 0 1n n s1 1
(1)
有以下结论
1)它一定有解，因为零向量 0 (0, , 0) 为解； 2)两个解 1 (b1 ,, bn ),2 (c1 ,, cn ) 的和
从而基础解系为
1 (1, 2,1,0,0),2 (1, 2,0,1,0),3 (5, 6,0,0,1)
线性代数齐次线性方程组解的结构
线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数中，齐次线性方程组是由一系列未知数的线性方程组成，其中所有方程的右边都为零。
齐次线性方程组的解的结构是线性无关的向量的线性组合，它们构成了解空间。
首先，考虑一个例子：```2x+3y-z=04x-y+2z=03x+2y=0```我们可以将这个齐次线性方程组写成矩阵的形式：```23-14-12320xyz```将这个矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵如下：```0-7400-2xyz```由阶梯形矩阵可知，z是自由变量，而x和y是基础变量。
基础变量是由自由变量表示的。
因此，解的结构可以用自由变量和基础变量的关系表示。
设z=k，则有：```-7y+4z=0-2z=0```由此可得到z=0.5k，y=-0.5k。
最后，带入原方程组得到x=0.25k。
因此，解的结构可以表示为：```x=0.25ky=-0.5k```可以看出，解是一个形如k倍数的向量，其中k为任意实数。
这说明齐次线性方程组的解空间是一个无限维空间，其中解向量是在基础解向量上的线性组合。
总结起来，齐次线性方程组解的结构可以通过以下步骤得到：1.将方程组写成矩阵形式；2.将矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵；3.根据阶梯形矩阵的形式，确定基础变量和自由变量；4.根据自由变量和基础变量的关系，得到解的表达式。
需要注意的是，齐次线性方程组的解空间要么是一个零向量，要么是一个由基础解向量生成的无限维空间。
这就是齐次线性方程组解的结构。
齐次线性方程组解的结构
都是向量组 () 的极大无关组.
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
线性代数 齐次线性方程组解的结构
18
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 5
分别
1 0 , , 0 6
得到方程组的一个基础解系为
7 1 5 1 1 1 , 2 0 . 2 0 6 0
1 2 2 1 r3 r2 r1 2r2 0 1 2 4 / 3 r2 (3) 0 0 0 0
1 0 2 5 / 3 2 4 / 3 0 1 0 0 0 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
由于 n r ( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。 16
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 4 x 5
分别
1 0 , 0
x r 1 k 1 xr 2 k2 xn
其中，
k1 , k 2 , , k n r
k n r
任意取值。
10
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 性 b1,r 1 b1,r 2 b1n 方 程 b b b 组 r ,r 1 r ,r 2 rn 令 1 1 , 2 0 , , n r 0 , 0 1 0 0 0 1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为 性 方 程 组
第三章 线性方程组 第5节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
因为 r ( A) 2 4 ， 所以齐次线性方程组有无穷多解。 取自由未知量为 x2 , x4 ，
x1 2 x 2 x3 x4 0 原方程组与方程组 同解 7 x3 5 x 4 0 x2 1 对自由未知量分别取 , x = 4 0
因为 r ( A) 2 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为
2 x x2 x3 x4 0 同解 x2 , x3 ，原方程组与方程组 1 x4 0
1 0 对自由未知量为 x2 , x3 分别取 和 ，代入上式得到方程组的一个基础解系 0 1
即 1 2 是其导出组 AX=0 的解。 定理 2：如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解， 则 0 是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解， 且非齐次线性方程组的全部解可表示为：
A(CX 0 ) C ( AX 0 ) C 0 0
即 C X 0 也是齐次线性方程组(1)的解。 由性质(1),(2)可得： (3) 如 果 X 1 , X 2 ,, X s 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 (1) 的 解 ， 则 其 线 性 组 合
C1 X 1 C2 X 2 Cs X s 也是它的解。其中 C1 , C2 ,, C s 都是任意常数。
因为 r ( A) 3 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x4 ，原
4
x1 x3 0 方程组与方程组 x 2 3 x3 x 4 0 同解 3 x3 x 4 0 4
取 自 由 未 知 量 x 4 =1 ， 代 入 上 式 得 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 为 ：
x1 2 x 2 x3 x4 0 原方程组与方程组 同解 7 x3 5 x 4 0 x2 1 对自由未知量分别取 , x = 4 0
因为 r ( A) 2 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为
2 x x2 x3 x4 0 同解 x2 , x3 ，原方程组与方程组 1 x4 0
1 0 对自由未知量为 x2 , x3 分别取 和 ，代入上式得到方程组的一个基础解系 0 1
即 1 2 是其导出组 AX=0 的解。 定理 2：如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解， 则 0 是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解， 且非齐次线性方程组的全部解可表示为：
A(CX 0 ) C ( AX 0 ) C 0 0
即 C X 0 也是齐次线性方程组(1)的解。 由性质(1),(2)可得： (3) 如 果 X 1 , X 2 ,, X s 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 (1) 的 解 ， 则 其 线 性 组 合
C1 X 1 C2 X 2 Cs X s 也是它的解。其中 C1 , C2 ,, C s 都是任意常数。
因为 r ( A) 3 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x4 ，原
4
x1 x3 0 方程组与方程组 x 2 3 x3 x 4 0 同解 3 x3 x 4 0 4
取 自 由 未 知 量 x 4 =1 ， 代 入 上 式 得 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 为 ：
齐次线性方程组解的结构
且 1 ,2 ,
,n-r 满足：
① 1 ,2 , ,n-r 线性无关.
§3.6 线性方程组解的结构
事实上，若 k11 k22 即
(, , , , k1 , k2 ,
kn-rn-r 0,
k11 k22 …… kn rnr
, kn r ) (0,0,
§3.6 线性方程组解的结构
4 基础解系的存在性
定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数
r R( A) . 等于 n r，其中n是未知量的个数，
§3.6 线性方程组解的结构
证： 若 R( A) r n ， 不妨设
a11 a12 ……a1r a21 a22 ……a2r 0, ……………… ar 1 ar2 ……arr
且 i 可由 1 ,2 , 所以 i也为（1）的解向量 ( i 1,2,
任取（1）的一个解向量 ，则 可由 1，2， ，t 线性表出， 从而 可由 1 , 2 , , t 线性表出.
1 , 2 , , t 也是（1）的基础解系.
§3.6 线性方程组解的结构
§3.6 线性方程组解的结构
1 1 1 7 5 4 14 10 8 3 2 0 7 7 5 4 1 7 7 0 0 0
原方程组的解为
2 3 x1 7 x3 7 x4 5 4 x 2 x 3 x4 7 7
2 5 ( x 1, x 0, 令 3 得 1 7 , 7 ,1,0) 4 3 4 ( 令 x3 0, x4 1, 得 1 7 , 7 ,1,0)
cr 11 …… cnn r 也为（1）的解，即 cr 11 cnnr (, , , , cr 1 , , cn )
,n-r 满足：
① 1 ,2 , ,n-r 线性无关.
§3.6 线性方程组解的结构
事实上，若 k11 k22 即
(, , , , k1 , k2 ,
kn-rn-r 0,
k11 k22 …… kn rnr
, kn r ) (0,0,
§3.6 线性方程组解的结构
4 基础解系的存在性
定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数
r R( A) . 等于 n r，其中n是未知量的个数，
§3.6 线性方程组解的结构
证： 若 R( A) r n ， 不妨设
a11 a12 ……a1r a21 a22 ……a2r 0, ……………… ar 1 ar2 ……arr
且 i 可由 1 ,2 , 所以 i也为（1）的解向量 ( i 1,2,
任取（1）的一个解向量 ，则 可由 1，2， ，t 线性表出， 从而 可由 1 , 2 , , t 线性表出.
1 , 2 , , t 也是（1）的基础解系.
§3.6 线性方程组解的结构
§3.6 线性方程组解的结构
1 1 1 7 5 4 14 10 8 3 2 0 7 7 5 4 1 7 7 0 0 0
原方程组的解为
2 3 x1 7 x3 7 x4 5 4 x 2 x 3 x4 7 7
2 5 ( x 1, x 0, 令 3 得 1 7 , 7 ,1,0) 4 3 4 ( 令 x3 0, x4 1, 得 1 7 , 7 ,1,0)
cr 11 …… cnn r 也为（1）的解，即 cr 11 cnnr (, , , , cr 1 , , cn )
齐次线性方程组解的结构
§6.2齐次线性方程组解的结构
一. 齐次线性方程组解的结构
1. 解向量 齐次线性方程组 Ax0,
若 x 1 1 , x 2 1 2 , , 1 x n n 1 为方程A x0的解，则
11
x
1
21
n 1
称为方程组的解向量.
2
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0的解.
A 1 2 A 1 A 2 0
（2）若 x1 为A x0的解，k为实数，则
xk1也是 A x0的解． A k 1 k 1 A k 0 0 .
推广： 齐次线性方程组的解的线性组合
k 1 1 k 2 2 k n n
都是方程组的解 3
2. 基础解系
1 A2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 -2 -3
r2 -2r1 r3 - r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
1 2 2 1
1 0 - 2 -5/ 3
r3 -r2 r2(-3)
0 0
1 0
2 0
4 / 3
r1 -2r2
0
0
0
1 0
2 0
4/ 3
0
(2) 由标准阶梯形得到方程组为 x x12- 22xx33- ((54//33))xx44 00,.
简化 阶梯形矩阵
方程组有无穷多解 可写出一般解 自由未知 量适当取值 基础解系
是
线性组合
方程组有唯一零解
写出全部解
14
习题4.6 3(2)
( 2 )A 0 x 的任1 一 ,2 , ,t线 解. 性 都
即方程组的通解就是
一. 齐次线性方程组解的结构
1. 解向量 齐次线性方程组 Ax0,
若 x 1 1 , x 2 1 2 , , 1 x n n 1 为方程A x0的解，则
11
x
1
21
n 1
称为方程组的解向量.
2
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0的解.
A 1 2 A 1 A 2 0
（2）若 x1 为A x0的解，k为实数，则
xk1也是 A x0的解． A k 1 k 1 A k 0 0 .
推广： 齐次线性方程组的解的线性组合
k 1 1 k 2 2 k n n
都是方程组的解 3
2. 基础解系
1 A2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 -2 -3
r2 -2r1 r3 - r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
1 2 2 1
1 0 - 2 -5/ 3
r3 -r2 r2(-3)
0 0
1 0
2 0
4 / 3
r1 -2r2
0
0
0
1 0
2 0
4/ 3
0
(2) 由标准阶梯形得到方程组为 x x12- 22xx33- ((54//33))xx44 00,.
简化 阶梯形矩阵
方程组有无穷多解 可写出一般解 自由未知 量适当取值 基础解系
是
线性组合
方程组有唯一零解
写出全部解
14
习题4.6 3(2)
( 2 )A 0 x 的任1 一 ,2 , ,t线 解. 性 都
即方程组的通解就是
§3齐次线性方程组解的结构
在实际求解时，我们尽量不做交换列的初等变换. 例如在例2中，当把A用初等行变换变为矩阵
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让 依次取 ， 即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取 为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让 依次取 ， 即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取 为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .
线性代数第三章线性方程组3.5齐次线性方程组解得结构
1
12
由定理3.10可得求解齐次线性方程组通解的步骤 （1）对矩阵 A 进行初等行变换，将其化为行最简形阶
梯矩阵；
（2）将其行最简形阶梯矩阵转化为同解的阶梯形方
程组； （3）由同解的阶梯形方程组写出方程组的一个
基础解系 1 ,2 , ,nr ；
b11
1
br
1
1
,
0
0
b12
2
1
0
B
(1 ,
2
,
3
,
4
,
5
)
0
0
0
0
0
1
18
1 , 2 是B的列向量组的一个极大线性无关组，且有
3 21 2 , 4 1 32 , 5 21 2
21 2 3 0 4 0 5 0
1
32
0
3
4
0
5
0
2
1
2
0
3
0
4
5
0
1
19
1 ,2 是A的列向量组的一个极大线性无关组，且有
xn
1
2
则上述方程组（ 3.12 ）可写成矩阵方程
AX O 性质1 若 1 ,2 是齐次线性方程组（ 3.12 ）的解，则 1 2也是它的解.
证 因为 1 ,2是方程组（ 3.12 ）的解，故
A1 O, A2 O
A1 2 A1 A2 O
故1 2 也是AX O的解.
性质2 若 是齐次线性方程组（ 3.12 ）的解，则对任意
x1 2x2 2x1 3x2
3x3 5x3
0, 0,
x1 x2 ax3 0,
(I
)和
齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组的解具有特定的结构，其中解向量是方程组解的重要组成部分。通过线性组合，可以得到方程组更多的解。而基础解系则是解集合中的一个极大线性无关组，它包含了方程组解组的系数矩阵进行初等行变换，化为标准阶梯形。然后，根据阶梯形矩阵确定自由未知量，并通过代入法求解得到基础解系。基础解系中的解向量个数等于未知量个数减去非零行数，即n-r。通过具体例子，可以清晰地展示求解齐次线性方程组基础解系的整个过程，包括系数矩阵的初等行变换、自由未知量的确定、基础解系的求解以及通解的表示。
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设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1
0
b11
b1, n
r
0 A~
0
1 br1
br ,n r
0
0 0
1
0
b11
b1,nr
x1 x2
0 Ax 0
0
1
br1
br
,nr
0
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
r2r3~(
3) 3
~ r1 r3
0
0 0 xn
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
现对xr1 ,, xn 取下列 n r 组数：
xr1 1
xr2
0
,
xn 0
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
二、齐次线性方程组的解空间
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
若记
（1）
a11
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
1 4
B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
线性表示.
解 要证a1, a2 , a3是R3的一个基，只要证a1, a2 , a3 线性无关，即只要证A ~ E.
r3 r2
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
1 0 0 2 4
0
1
0
3 2
3 1
3
0
0
1
1
2 3
1 0 0 2 4
3 3
~ ( A B)初等行变换 0
1
0
2 3
1
0
0
1
1
2 3
因有A ~ E，故a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且
2 4
3 3
２．齐次线性方程组解的性质
（1）若 x 1 , x 2 为 Ax 0 的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.
证明 A1 0, A2 0
A1 2 A1 A2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1也是 Ax 0 的解．
(1)1 ,2 ,,t是Ax 0的一组线性无关的解; (2)Ax 0的任一解都可由1,2 ,,t线性表
出.
如果1 ,2 ,,t为齐次线性方程组 Ax 0
的一组基础解系,那么, Ax 0 的通解可表示为
x k11 k22 ktt
其中k1 , k2 ,, knr是任意常数.
２．线性方程组基础解系的求法
证明 Ak1 kA1 k0 0.
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax 0 的解空间．
三、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
1,2 ,,t称为齐次线性方程组Ax 0的基础
解系, 如果
(2)证明解空间的任一解都可由 1,2 ,,nr
线性表示.
设x 1 r r1 n T 为上述
方程组的一个解. 再作 1 ,2 ,,nr 的线性组合 ,
r11 r22 nnr
由于 1 ,2 ,,nr 是Ax 0 的解,故 也是Ax 0的
, nr
br
,n r
0 .
1
0
0
1
下面证明 1 ,2 ,,nr 是齐次线性方程组解空 间的一个基．
(1)证明1,2 ,,n 线性无关.
由于 n r 个 n r 维向量 线性无关，
1 0
0
0 ,
1
,
,
0
0 0
1
所以 n r 个 n 维向量 1 ,2 ,,nr 亦线性无关.
xr
br1 xr1
br ,nr xn
依次得
x1
b11
,
b12
,
,
b1 ,n r
.
xr br1 br 2
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
br 1
1 1 ,
0
0
b12
b1 ,n r
br
2
2 0 ,
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
am1 am2 amn
x1
x
x2
xn
则上述方程组（1）可写成向量方程
Ax 0. 若 x1 11 , x2 21 ,, xn n1 为方程 Ax 0 的
解，则
11
x
1
21
n1
称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．
设
b1 x11a1 x21a2 x31a3 ,
b2 x12a1 x22a2 x32a3，
即
x11 (b1 ,b2 ) (a1 ,a2 ,a3 ) x21
x31 记作B AX .
x12 x22 , x32
对矩阵( AB)施行初等行变换，若A能变为E，
则a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且当A变为E时，B变为
X A1B.
(
A
B)
2 2
2 1 1 2
1 0
4 3
1 2 2 4 2
1 3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
1
3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
~ r2 2r1
r3 r1
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基
就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组
1
,
2
,
,
是向量空间
r
V
的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 ,,r R
例 设矩阵
2 2 1