3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
解:设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,
=
5 + = 3,
根据题意,得ቊ
解得൞
+ 5Байду номын сангаас = 2,
=
13
,
24
7
.
24
13
7
答:1个大桶可以盛酒 斛,1个小桶可以盛酒 斛.
24
24
列方程组解决和差倍分问题
4
某工厂第一车间的人数比第二车间人数的 少30,若从第
3 应用二元一次方程组
——鸡兔同笼
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
(1)审:审题,弄清题意及题目中的数量关系;
(2)设:设未知数,可直接设元,也可间接设元;
(3)列:根据题目中能表示全部含义的相等关系,列出方
程组;
(4)解:解所列方程组,求出未知数的值;
(5)检:检验解是否是方程组的解,是否符合题意;
墙砖比2块竖放的墙砖矮40 cm,求每块墙砖的面积.
解:设墙砖的长为x cm,宽为y cm,
3 − = 10,
= 35,
根据题意,得ቊ
解得ቊ
= 15.
2 − 2 = 40,
∴每块墙砖的面积为35×15=525(cm2).
5.用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形,4
个长方形纸片围成如图1所示的正方形,其阴影部分的面积为
+ = 16,
2x+4y=44 .因此,可列方程组为 ቊ
.
2 + 4 = 44
列方程组解决“古代”问题
《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题,原
文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.
第3课时 应用二元一次方程-鸡兔同笼(课件)八年级数学上册(北师大版)
，建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金
300万元；P镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投入
资金1 140万元．
(1)建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金
分别是多少万元？
解：设建设一个A类美丽村庄所需的资金是x万元，建
设一个B类美丽村庄所需的资金是y万元．
(5)解： 解这个方程组，求出未知数的值；
(6)答： 检验所求的解是否符合实际意义，写出答案 .
新知探究
《孙子算经》是我国古代一部较
为普及的算书，许多问题浅显有趣，
其中下卷第31题“雉兔同笼”流传
尤为广泛，飘洋过海流传到了日本
等国.
今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
（1）“上有三十五头”的意思是什么？
根据题意得：
5x+6=y
6x-5=y
解这个方程组，得：
x=11
y=61
答：总共有11个人，61两银。
2．[中考·绥化]国庆节期间，学校组织466名八年级学生参加
社会实践活动，现已准备了49座和37座两种客车共10辆
，刚好坐满，设49座客车有x辆，37座客车有y辆．根据
题意，得(
)A
x＋y＝10，
解：设张强第一次购买香蕉x kg，第二次购买香蕉y kg.
由题意，得0＜x＜25，25＜y＜50.
①当0＜x≤20，25＜y≤40时，可得
x＋y＝50，
x＝14，
解得
6x＋5y＝264，
y＝36.
②当0＜x≤20，40＜y＜50时，可得
x＋y＝50，
x＝32，
3应用二元一次方程组-鸡兔同笼-初中八年级上册数学(教案)(北师大版)
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是运用二元一次方程组解决鸡兔同笼问题，强化数学模型构建和求解的素养；
2.培养学生逻辑思维和推理能力，通过分析问题、列出方程组、求解验证等过程，提高学生的思维品质；
3.培养学生合作交流的意识，通过小组讨论、分享解题思路，增强团队协作和表达能力；
实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现得相当积极。他们通过合作解决问题，不仅加深了对知识的理解，还增强了团队协作能力。不过，我也注意到有些学生在讨论中比较被动，我应该在以后的课堂中更多地鼓励他们参与到活动中来。
学生小组讨论的部分，我尝试作为一个引导者，而不是知识的传授者。我提出了一些开放性的问题，让学生们自己去探索和解决问题。这种方法收到了不错的效果，学生们的思考能力和解决问题的能力得到了锻炼。但是，我也发现有些学生对于开放性问题的回答不够深入，我需要思考如何进一步激发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对方程组解决实际问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用二元一次方程组-鸡兔同笼》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否遇到过需要计算多个物品数量的问题？”比如，我们知道一些物品的总数和总重量，但不知道每种物品各有多少。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索如何用方程组解决实际问题。
2024八年级数学上册第五章二元一次方程组3应用二元一次方程组__鸡兔同笼习题课件新版北师大版
3
二元一次方程组
应用二元一次方程组——鸡兔同笼
CONTENTS
目
录
01
1星题
落实四基
02
2星题
提升四能
03
3星题
发展素养
知识点1用二元一次方程组解决和差倍分问题
1. [2024嘉兴模拟]“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规
则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某校足
球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分.那
书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果
买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱.试问甜苦果
几个？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买
了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四
文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜
果买了 x 个，苦果买了 y 个，根据题意，可列方程组
火柴棍连续搭建了如图所示的正三角形和正方形，学生搭
建正三角形和正方形共用了176根火柴棍，正三角形的个
数比正方形的个数多12个，搭建的正三角形和正方形的个
数分别是多少？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：设搭建了 x 个正三角形， y 个正方形，
− = ，
= ，
根据题意，得ቊ
解得ቊ
= .
题意得60 m ＋80 n ＝540，
化简得3 m ＋4 n ＝27.所以 m ＝9－ n ，取正整数解
= ，
= ，
有ቊ
或ቊ
= .
=
1
2
3
4
5
6
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
4尺
x
4x 尺
兵
1 4尺
y
1 4y 尺
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
解：设有 x 名军官，y 名士兵．根据题意，得 x4＋x＋y＝ 14y1＝01000， 00，解得xy＝ ＝280000.， 所以有 200 名军官，800 名士兵．
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
【归纳总结】列二元一次方程组解决古代数学问题的方法： 解决古代数学问题时，我们首先要弄懂题意，明白古文所讲的 事实，从中找到两个等量关系，进而列出二元一次方程组，再 解方程组即可．
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
【解析】 由“一千官兵一千布”得数量关系“军官的人数＋士兵的 人数＝1000”“官用布＋兵用布＝1000 尺”，另外，本题含有的基 本数量关系是“每人用布数×人数＝该类人用布”，并且按参与对象 可分为官、兵两类，因此可用表格分析如下：
每人用布数 人数 该类人用布
官
谢 谢 观 看！
解：设绳长 x 尺，长木长 y 尺． 依题意得xy－ －y2＝ x＝41..5， 上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正 确答案．
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
解：不正确．理由：绳子对折后的长度应该是原长度的12，而不是原长度的 2 倍．
x－y＝4.5，
设绳长 x 尺，长木长 y 尺．依题意得y－12x＝1.
第五章 二元一次方程组
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
第五章 二元一次方程组
3 应用二元Βιβλιοθήκη 次方程组 ——鸡兔同笼目标突破
总结反思
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
目标突破
目标 会列二元一次方程组解决古代数学问题
2024八年级数学上册第五章二元一次方程组3应用二元一次方程组__鸡兔同笼课件新版北师大版
5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
学习目标
1 课时讲解 列二元一次方程组解应用题
列二元一次方程组解古算题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 列二元一次方程组解应用题
知1－讲
1. 列二元一次方程组解应用题的基本思路： 二元一次方程组 是刻画实际问题的重要数学模型，在现实生活中具有广泛 的应用，用它解决实际问题时，要注意分析问题中的各种 等量关系，引进适当的未知量，建立相应的方程组 .
感悟新知
例2
[母题 教材P115例题 ]我国古典数学文献《增删算法 知2－练
统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲、
乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙
一倍之上 .乙说得甲九只，两家之数相当.” 翻译成现
代文，其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人
心里暗中合计.甲对乙说：“我得到你的九只羊，我
感悟新知
知1－讲
特别提醒 设未知数的方式有两种：一种是直接设未
知数，问什么，设什么，列出二元一次方程组； 另一种是间接设未知数，所设不是所求，而是 一个中间量，通过中间量，得到所求的未知量 .
感悟新知
2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤：
知1－讲
感悟新知
知1－练
例1 某中学为了奖励在学校《诗词大会》上获奖的同学，计 划购买甲、乙两种奖品共 20 件，其中甲种奖品每件 40 元，乙种奖品每件 30 元 . 如果购买甲、乙两种奖品 共花费 650 元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件 .
2-1. 今有人合伙买羊，若每人出5 钱，还差45钱；若每人
出7 钱，还差3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问
八年级数学上册5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
同学们，今天我们学习了用二元一次方程组解决实际问 题，在解决问题的过程中一定要分清等量关系，合理地 设出未知量．
实践性作业：上网查找数学古籍中的数字 题，带来和同学们一起分享，看看谁的问 题更有趣．
特别提醒： ①一般设几个未知数就列几个方程； ②设未知数和写答案时，都要写清单位名称．
知识点2：列二元一次方程组解古代数学题(难点)
古代数学题一般用古文叙述，弄懂题意有一定困难，所以 要先把题目用通俗的文字叙述，然后找出题目中的等量关 系，列出方程组.
【题型一】古代数学题
例1：古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五
3 应用二元一次方程组 ——鸡兔同笼
1. 通过自主学习，学生能解决鸡兔同笼问题，培养学生分 析问题、解决问题的能力．
2．通过合作学习，学生能找到具体问题中的数量关系，并 列出方程，培养学生的逻辑思维能力和运算能力．
3．通过教师讲评，学生能掌握不同类型题目的数学模型， 培养学生总结问题的能力．
旧识回顾 1．什么是二元一次方程组？
人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意
是：每车坐5人，2车空出来；每车坐3人，多出10人无车坐，问
人数和车数各多少？设共有x人，y辆车，则可列出的方程组为
( A)
5（y－2）＝x， 5y－2＝x，
A.3y＋10＝x
B.3y＋10＝x
5y－2＝x，
5（y－2）＝x，
C.3（y＋10）＝x D.3y－10＝x
例4：5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄 比女儿年龄的2倍多6岁，那么现在这对母女的年龄分别是多少？
解：设母亲现在 x 岁，女儿现在 y 岁， 由题意得xx－ ＋51＝ 5＝152（ （yy－ ＋51） 5），＋6，解得xy＝＝73.5， 答：母亲现在 35 岁，女儿现在 7 岁．
3应用二元一次方程组——鸡兔同笼
课题：5.3. 应用二元一次方程组——鸡兔同笼教学目标：1、在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能；2、使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤，让学生亲自经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力;3、进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.4、通过"鸡兔同笼"，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的"趣"；进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心.教学重点：根据等量关系列二元一次方程组解应用题.教学难点：1、读懂古算题;2、根据题意找出等量关系，列出方程.教学方法：自主探究、合作交流教具：多媒体教学过程设计：第一环节：引入课题活动内容1：例1 今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？提问：（1）"上有三十五头"的意思是什么？"下有九十四足"呢？（2）你能解决这个有趣的问题吗？1.用一元一次方程求解解：设有鸡x 只，则有兔（35-x ）只,得.1235.23.462.9441402.94)35(42=-=-=-=-+=-+x x x x x x x所以有鸡23只，兔12只.小结：一元一次方程解法优点： 思维便捷些.一元一次方程解法不足：计算较复杂.2.用二元一次方程求解：解：设有鸡x只，兔y只，则x+①2x+4y=94. ②①×2,得2x+2y=70 , ③②－③,得2y=24,y=12,把y=12 代入①，得x=23.所以有鸡23只，兔12只.小结：用二元一次方程组解答优点：思维快速简单.用二元一次方程组解答不足：计算复杂些.活动内容2：随堂练习1列方程解古算题："今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两"金"，2头牛、5只羊共价值8两"金"，每头牛、每只羊各价值多少"金"？解：设每头牛值"金" x 两，设每只羊值"金" y 两,则有方程：5x+2y=10 , ①2x+5y=8. ②①×2,得10x+4y=20 , ③②×5, 得10x+25y=40 , ④④-③, 得21y=20,解得y=2120, 把y=2021代入②得：x=3421.所以，每头牛值"金" 3421两，设每只羊值"金"2021两.第二环节：典型例题活动内容1：例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？提问：1."将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？2."若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？可以让学生演示.解：设绳长x 尺，井深y 尺，则 3x -y=5 , ① 4x -y=1. ② 联列①，② ①-②，得 3x -4x =4, 12x =4, x=48,将 x=48 代入①，得 y=11.答：绳长48尺，井深11尺.活动内容2：小结列二元一次方程组解应用题的步骤1）审清题意，设未知数; 2）弄清各个量之间的关系，找出等量关系; 3）列出方程，联立方程，得二元一次方程组; 4）解二元一次方程组; 5） 作答.并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程. 活动内容3：随堂练习2古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：隔壁听到人分银，不知人数不知银.只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？第三环节：课堂小结活动内容：1． 通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？2． 这里面应该注意的是什么？关键是什么？3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。
总第37课时——3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
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总第37课时——3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
归类探究
类型之一 二元一次方程组在古代数学问题中的应用 用一根绳子环绕一个圆柱形油桶：若环绕油桶3周，则绳子还多4尺；
若环绕油桶4周，则绳子又少了3尺．这根绳子有多长？环绕油桶一周需要多少 尺？
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总第37课时——3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
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总第37课时——3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
5．某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐 满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：
(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？
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总第37课时——3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
6．小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节．折叠长方形信纸、装入标 准信封时发现：若将信纸按图37-5(1)连续两次 对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8 cm； 若将信纸按图37-5(2)三等分折叠后，同样方法装 入时，宽绰1.4 cm.试求信纸的纸长与信封的口宽．
解：(1)设茶壶和茶杯的单价分别为x元/只，y元/只． 由题意，得xx＋ －140y＝y＝102，20， 解得yx＝＝1750.， 答：茶壶和茶杯的单价分别为70元，15元． (2)共需钱数为70＋0.8×15×9＝178(元)． 答：买1只茶壶和10只茶杯共需178元．
课件目录
x＋y＝100， A.3x＋3y＝100
北师大版八年级上册数学《应用二元一次方程组―鸡兔同笼》二元一次方程组教学说课复习课件
新知探究
列二元一次方程组解应
用题的步骤是什么？
(1)审：审清题意；
(2)设：设出两个未；
(4)列：根据题意列出二元一次方程组；
(5)解：正确地求出二元一次方程组的解；
(6)答：根据实际情况检验方程组的解后写出答案.
新知探究
古有一捕快，一天晚上他在野外的一个
x =25,
y=75.
6. 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块
小长方形地砖的长河宽分别是多少?（单位cm）
解:设有x匹大马, y匹小马,
由题意,得
x+y=60
x=3y
解此方程组得：
x =45,
y=15.
课堂小结
一般步骤：
审、设、列、解、验、答
列方程组解
决问题
关键：找等量关系
深多1尺.问绳长、井深各是多少尺？
问题二：
找出等量关系并完成题目.
新知探究
1
绳长 井深
3
1
4 绳长 井深
等量关系
5
1
解：设绳长x尺，井深y尺，
根据题意，得
x
y 5,
3
x y 1,
4
①
②
解得 x =48，y=11.
答：所以绳长48尺，井深11尺.
x +y=10
则列出方程组为
.
6x+8y=68
2.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子
还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺。这根
绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组.
3x+4=y
4x-3=y
北师大版数学八年级上册3《应用二元一次方程组 ——鸡兔同笼》教案1
北师大版数学八年级上册3《应用二元一次方程组——鸡兔同笼》教案1一. 教材分析《应用二元一次方程组——鸡兔同笼》这一节内容主要让学生学会运用二元一次方程组解决实际问题。
通过鸡兔同笼问题的引入，让学生理解和掌握二元一次方程组的建立和解法，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了二元一次方程，但对解决实际问题的方法还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用已学的二元一次方程知识解决。
三. 教学目标1.理解鸡兔同笼问题的背景和意义。
2.学会将实际问题转化为数学问题，建立二元一次方程组。
3.掌握解二元一次方程组的方法，并能运用到实际问题中。
四. 教学重难点1.难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题，并建立二元一次方程组。
2.重点：掌握解二元一次方程组的方法。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生主动探究，合作交流，从而解决问题。
同时，运用案例分析法，让学生通过分析实际问题，掌握解决方法。
六. 教学准备1.准备鸡兔同笼问题的案例。
2.准备解二元一次方程组的教案和PPT。
3.准备练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个有趣的鸡兔同笼问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现鸡兔同笼问题，让学生观察和分析问题，引导学生将实际问题转化为数学问题。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试建立二元一次方程组，并解方程组。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师及时批改和反馈，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：还有其他方法解决鸡兔同笼问题吗？让学生发挥想象，尝试用其他方法解决问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调解决实际问题的关键步骤。
7.家庭作业（5分钟）布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）设计简洁清晰的板书，总结本节课的主要内容和步骤。
在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
北师大版数学八年级上册5.3《应用二元一次方程组-鸡兔同笼》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过实际操作来验证方程组的解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二元一次方程组的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
其次，在消元求解环节，我发现有些学生在步骤上容易出错。针对这一点，我计划在下一节课中增加一些有针对性的练习，通过反复练习，帮助学生熟练掌握消元法。同时，我也会在课堂上及时纠正学生在解题过程中的错误，并给予他们鼓励和指导。
此外，小组讨论和成果展示环节的效果比我预期的要好。学生们在讨论中积极发言，相互借鉴，共同解决问题。这说明，小组合作学习对于提高学生的数学交流与表达能力有很大帮助。在今后的教学中，我会继续采用这种方式，培养学生的团队协作能力和自主探究能力。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点内容，设计针对性的教学活动，通过讲解、示范、练习和讨论等多种方式，帮助学生深入理解和掌握核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用二元一次方程组-鸡兔同笼》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个朋友一共收集了多少个邮票。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二元一次方程组的奥秘。
八年级数学上册教学课件《应用二元一次方程组——鸡兔同笼》
x+y=35
①
2x+4y=94
②
解法二: （代入消元法）
由①得，x =35- y ③
把③代入②，得2（35- y）+4y=94, y=12.
把y=12代入①，得x=23
所以原方程组的解为
x=23 y=12
所以鸡有23只，兔子有12只．
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5.3 应用二河元源一市次正德方中程学组——鸡兔同笼
归纳： 审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题目中的等量关系； 设：用字母表示题目中的两个未知数； 列：根据找出的等量关系列出方程组； 解：解方程组，求得未知数的值； 验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符 合实际问题的意义，不符合要舍去； 答：写出答案，包括单位名称.
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5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
解
方法2 横着画，把宽分成两段，则长不变
法
D
200m
C 解：过点E作EF⊥BC，交BC
二
x 甲种作物 200x 于点F. 设DE＝xm，AE＝ym.
E
100m
F
根据题意列方程组为
y 乙种作物 200y
x+y=100
A
B
200x:400y=3:4
解得
x=60 y=40
x+y=35
①
2x+4y=94
②
解法一: (加减消元法)
①×2 得： 2x+2y=70 ③ ②-③得：2y=24，y=12. 把 y=12 代入①，得：x=23 原方程组的解是 x=23
y=12 所以有鸡23只，兔12只.
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5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
北师大版八年级数学上册3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 (习题课件)【新版】
x＋y 16， 可得二元一次方程组：___2_0__x＋__5_0__y___5_9_0____.
(3)设买20分的邮票花了x元，买50分的邮票花了y元，由
题意可得二元一次方程组：_____x_＋__y___5_.9_，_______.
然后作答．
返回
2．小明买了50分和20分的邮票共16枚，花了5元9角钱， 20分和50分的邮票各买了多少枚？根据题意完成下 列各题：
(1)设20分的邮票买了x枚，则50分的邮票买了__(1_6_－__x_)__ 枚，由题意可得一元一次方程：2_0_x_＋__(1_6_－__x_)_×__5_0_＝．590
每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性 定客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠．若诗中“众 客”再次一起入住，他们如何定房更合算？
解：(1)设该店有客房x间，房客y人． 根解答据得：题该 xy意店＝ ＝，有68，3得 客. 房879间(xx＋－，71房) 客y,y6.3人．
第五章 二元一次方程组
5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
1
2
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4
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7
8
9
10
11
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知识点 1 列二元一次方程组解决实际问题的步骤
1．用方程组解应用题的一般步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的___数__量__关__系____； (2)设元：用字母表示题目中的未知数，可___直__接___设未
假设文化衫全部售出，共获利1 860元，求黑白两种文化
衫各有多少件．
解：设黑色文化衫有x件，白色文化衫有y件．
5.3应用二元一次方程组鸡兔同笼课件北师大版数学八年级上册
12. 为响应“科教兴国”的战略号召，育才中学计划成立创客实验室，购
买了航拍无人机和编程机器人，已知航拍无人机的数量比编程机器人的数
量少3个，若借出去2个航拍无人机，则编程机器人的数量是剩余的航拍无
人机的数量的2倍，则编程机器人的数量为( C )
A. 8个
B. 9个
C. 10个
D. 11个
13. (一题多变) 13.1 改变长方形数量求拼接图形面积 如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积 为 750 cm2.
《孙子算经》是我国古代一部较为普 及的算书，许多问题浅显有趣，其中 下卷第 31 题“雉兔同笼”流传尤为 广泛，飘洋过海流传到了日本等国.
“雉兔同笼”题如图：
今有雉 (鸡) 兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
方法一： 趣题多解
35×4 = 140 (只) 140 - 94 = 46 (只) 鸡：46 ÷ 2 = 23 (只) 兔：35 - 23 = 12 (只)
随堂练习
2. 小刚有 5 角硬币和一元硬币共有 8 枚，币值共有 6 元 5 角，设 5 角的 有 x 枚，一元的有 y 枚，列出的方程组为
x+ y= 8 __0_.5_x__+__y_=__6_.5__.
3.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群
人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
解此方程组得： x = 45， y = 15.
答：有11个人，61 两银
5.有几个人一起买一件物品，每人出 8 元多 3 元；每人出 7 元，少 4
元.问有多少人？该物品价值多少元？
解:设有 x 人，该物品价值为 y 元，
八年级数学上册 第五章 3应用二元一次方程组——鸡兔同笼例题与讲解 北师大版
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼1．列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方法．它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等．列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程． 【例1】 “甲、乙隔河放牧羊，两人互相问数量，甲说得乙羊九只，我羊是你二倍整．乙说得甲羊八只，两人羊数正相当．”请你帮助算一算，甲、乙各放多少羊？分析：题中有两个未知数：甲放羊的只数和乙放羊的只数．相等关系：(1)甲放羊的只数＋9＝2(乙放羊的只数－9)；(2)甲放羊的只数－8＝乙放羊的只数＋8.解：设甲放羊x 只，乙放羊y 只．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋9＝2(y －9)，x －8＝y ＋8.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝59，y ＝43.所以甲放羊59只，乙放羊43只． 析规律 建模型、列方程组在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，建模过程即可完成，因此解决实际问题的建模过程非常重要．2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系． (2)设：设未知数(一般求什么，就设什么为x ，y )． (3)找：找出能够表示应用题全部意义的两个等量关系．(4)列：根据这两个等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组． (5)解：解所列方程组，得未知数的值．(6)验：检验所求未知数的值是否符合题意，是否符合实际．(7)答：写出答案(包括单位名称)．北师版中的“答”一般用“所以”代替． 点技巧 完善列方程解应用题的步骤(1)“审”和“找”两步在草稿上进行，书面格式中主要写“设”“列”“解”和“答”四个步骤．(2)解应用题时，切勿漏写“答”，“设”和“答”要写清单位名称．【例2】 一张方桌由1张桌面和4条桌腿做成，已知1 m 3木料可以做桌面50张或桌腿300条．现有5 m 3木料，恰好能做成方桌多少张？分析：这是一个产品配套问题．题中已知数有两个：做桌面的木料的方数和做桌腿的木料的方数．相等关系：(1)做桌面的木料的方数＋做桌腿的木料的方数＝木料的总方数；(2)4×桌面的张数＝桌腿的条数．解：设用x m 3木料做桌面，y m 3木料做桌腿，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，4×50x ＝300y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.因为3×50＝150，所以恰好能做成方桌150张．注：读懂题意，找出等量关系式是关键．3．列方程组解决古代问题人们在日常生活中少不了数学运算，在诗歌创作中也时有反映．解决这类问题的关键是读懂题意，将古诗文转化为白话文．【例3－1】 周瑜年华而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个是十位正两倍；哪位学子算得快，多少年华数周瑜？分析：本题有两个等量关系式：十位数字＝个位数字－3；个位数字＝十位数字的2倍．解：设周瑜年龄的个位数字为x ，十位数字为y ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x ＝2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.所以周瑜只活了36岁．点评：解决这类问题的关键在于从实际问题背景中抽象出数学问题的本质，建立方程(组)模型，并能从多种途径出发，通过列方程(组)去求得其解．【例3－2】 二果问价九百九十九文钱，甜果苦果买一千， 甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 试问甜苦果几个？又问各该几个钱？分析：这首古诗词翻译成白话文，即：九百九十九文钱可买一千个甜果和苦果，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买多少个？买甜果、苦果各需多少文钱？解：设甜果x 个，苦果y 个，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 000，119x ＋47y ＝999.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝657，y ＝343.因为119x ＝803，47y ＝196，所以甜果657个需803文钱，苦果343个需196文钱．4．实际问题中的基本数量关系及关键词 常用的数量关系有： (1)路程＝速度×时间；(2)工作量＝工作效率×工作时间；(3)商品的销售额＝商品销售价×商品销售量；(4)商品的总销售利润＝(销售价－成本价)×销售量； (5)商品售价＝标价×折数；(6)商品的利润率＝商品利润商品成本价×100%等等．还要正确理解一些关键词表达的同类量之间的特殊的等量关系，如“提前”“超过”“早到”“迟到”“几倍”“增加了”“相向而行”“同向而行”等．【例4】 8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，求父亲和儿子现在的年龄．分析：题中有两个未知数：父亲现在的年龄和儿子现在的年龄．相等关系：(1)8年前父亲的年龄＝4×8年前儿子的年龄；(2)8年后父亲的年龄＝2×8年后儿子的年龄．解：设父亲现在的年龄是x 岁，儿子现在的年龄是y 岁，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －8＝4(y －8)，x ＋8＝2(y ＋8).解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝16.所以父亲现在40岁，儿子现在16岁．点评：此题易出现x ＋8＝2y 这类错误．原因是认识到父亲增长了8岁，忘记了儿子也应该增长8岁．遇年龄问题时，注意两人年龄同时增长相同岁数．5．列二元一次方程组的应用题常用策略(1)“直接”与“间接”转换：当直接设未知数不便时，转而设间接未知数来求解，反之亦然．(2)“一元”与“多元”转换：当设一个未知数有困难时，可考虑设多个未知数求解，反之亦然．(3)“部分”与“整体”转换：当整体设元有困难时，就考虑设其部分，反之亦然，如：数字问题．(4)“一般”与“特殊”转换：当从一般情形入手困难时，就着眼于特殊情况，反之亦然．(5)“文字”与“图表”转换：有的应用题，用文字语言表达较难，就可以用表格或图形来分析，这样既直观，也易理解题意．【例5】 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A 、B 两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A 型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B 型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．如果全组共有20名同学，若每人各买1支A 型毛笔和2支B 型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A 型毛笔和1支B 型毛笔，共支付129元．这家文具店的A 、B 两种类型毛笔的零售价各是多少？分析：20名学生每人买1支A 型毛笔的钱＋每人买2支B 型毛笔的钱＝145元；20名同学每人买2支A 型毛笔的钱＋每人买1支B 型毛笔的钱＝129元．解：设该家文具店A 型毛笔的零售价为每支x 元，B 型毛笔的零售价为每支y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋15y ＋25(y －0.6)＝145，20x ＋20(x －0.4)＋15y ＋5(y －0.6)＝129.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以这家文具店A 型毛笔的零售价为每支2元，B 型毛笔的零售价为每支3元．。
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1.让学生经历列方程组解决实际问题的过程. 2.通过现实问题情景列方程组，理解解决问题的关键是 分析题意，找出题目中的两个等量关系，列出方程组. 3.在建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方
程组解决现实问题的意识和应用能力.
列一元一次方程解应用题的步骤： （1）审题； （2）找等量关系，设未知数； （3）列方程； （4）解方程； （5）检验并作答.
21
34 答:牛值“金” 21
20 两,羊值“金” 21
两.
3.有三块牧场，草长得一样快，面积分别为 3 1 hm2，
3
10 hm2和24 hm2，第一块12头牛可吃4星期，第二块21头
牛可吃9星期,第三块可供多少头牛吃18个星期？
【解析】设牧场每公顷原有草x hm2，每周新生草y hm2，
每头牛每周吃草a hm2，第三块可供z头牛吃18个星期，根 据题意得：
【例题】
例 以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测 之，绳多一尺.绳长、井深各几何？ 题目大意是：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份， 一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳
长比井深多1尺.问绳长、井深各是多少尺？
解法(1) 等量关系： 绳长的 1 3 绳长的 1
4
-井深=5 -井深=1
3.小刚有5角硬币和一元硬币共8枚，币值共有6元5 角，设5角的有x枚，一元的有y枚，列出的方程组为
x+y=8 0.5x+y=6.5 ______________
4.甲、乙两人参加植树活动，两人共植树20棵，已知甲植
树数是乙的1.5倍.如果设甲植树x棵，乙植树y棵，那么可 列方程组为（ C ）
x y 20 A. x 2.5y x y 20 C. x 1.5y
（2）设两个未知数，找两个等量关系；
（3）根据等量关系列方程，联立方程组； （4）解方程组； （5）检验并作答.
在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问 题的艺术更为重要. —— 康托尔(Cantor)
格分别为A型每台6 000元，B型每台4 000元，C型每台 2 500元，我市东坡中学计划将100 500元钱全部用于从该 电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计 出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.
【解析】设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y
台，C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑：
盆景一共用了2 900朵红花，3 750朵紫花，则y盆，丙有z盆.由题意得15x+10y+10z
=2 900
25x+25z=3 750，即x+z=150，则有15x+10y+10z=5x+
10（x+z）+10y=2 900
即x+2y=280，则黄花的数量为24x+12y+18z=6x+18（x+z）
【解析】设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
x -y=5 ① 3 x -y=1 ② 4 ①-②,得 x - x = 4, 3 4 x =4， 12
x =48. 将x=48代入①，得y=11. 所以绳长48尺，井深11尺.
解法（2） 等量关系：（井深+5）×3=绳长 （井深+1）×4=绳长 【解析】设绳长x尺，井深y尺，则由题意得 3(y+5)=x 4(y+1)=x x=48 y=11
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡
兔各几何？
（1）上有三十五头的意思是 下有九十四足的意思是
鸡、兔共有头35个
鸡、兔共有脚94只
， .
（2）如设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有 （x+y）只； 鸡足有 2x 只；兔足有 4y 只.
x+y=35
（3）根据题意得方程组为
2x+4y=94
.
23 只，兔有____ （4）解方程组得，鸡有___ 12 只.
解得
x 3,
z 33.
（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意：
4 000y + 2 500z = 100 500,
y z 36.
解得
y 7,
z 29.
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电 脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和 C型电脑29台.
列二元一次方程组解实际问题的一般步骤： （1）审题；
（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意：
6 000x+4 000y=100 500,
x y 36.
x 2 1 .7 5 ,
解得
y 57.75.
不合题意，应该舍去.
（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意：
6 000x + 2 500z = 100 500,
x z 36.
所以绳长48尺，井深11尺.
【跟踪训练】
1.设甲数为x，乙数为y，则甲数的2倍与乙数的3倍的和为 15 ，列出方程为 2x+3y=15 .
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共 10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，
x+y=10 6x+8y=68 则列出方程组为_____________.
+12y=6（x+2y）+2 700=1 680+2 700=4 380（朵）
答案：4 380
2.今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八
两．牛、羊各值金几何？ 【解析】设每头牛值“金”x两,每头羊值“金”y两,
由题意,得
5x+2y=10, 2x+5y=8. 解得
34 x= , 21
y= 20 .
x 20 y B. x 1.5y x y 20 D. x y 1.5
1.（重庆·中考）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种
造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花
搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙
种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些
10 10 x 4 y 4 12a , 3 3 10 x 9 10 y 9 21a .
解得
x=10.8a, y=0.9a.
所以24×10.8a+0.9a×24×18=18×za z=36
答：第三块牧场可供36头牛吃18个星期.
4.已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价