专题3.3 利用导数研究函数的最值、极值(解析版)

第三篇导数及其应用
专题3.3利用导数研究函数的极值、最值
【考点聚焦突破】
考点一利用导数解决函数的极值问题
角度1根据函数图象判断函数极值
【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【答案】D
【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
【规律方法】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
角度2已知函数求极值
【例1－2】(2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝1
2时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
【答案】见解析
【解析】(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x
2x ，
令f ′(x )＝0，得x ＝2，
于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.
x (0，2)2(2，＋∞)
f ′(x )＋
0－
f (x )
ln 2－1
故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1
x －a ＝1－ax x
(x >0).
当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a >0时，当x f ′(x )>0，
当x f ′(x )<0，故函数在x ＝1
a
处有极大值.
综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1
a .
【规律方法】
运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数
f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3
已知函数的极(最)值求参数的取值
【例1－3】(2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x .(1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；
(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋m
x 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1
x .
设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1
x 0x ＋ln x 0－1.
把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1.∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1.(2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋m
x (x >0)，
所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－m
x 2＝－mx 2－x ＋m x 2，
令h (x )＝mx 2－x ＋m ，
要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，
则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.
即可，解得0<m <1
2
.
【规律方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
【训练1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －
1的极值点，则f (x )的极小值为(
)
A.－1
B.－2e －3
C.5e －3
D.1
【答案】A
【解析】
f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －
1，
则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －
3＝0⇒a ＝－1，则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，
当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，当－2<x <1时，f ′(x )<0，
所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，则f (x )极小值为f (1)＝－1.
(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围.【答案】见解析
【解析】①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e.
由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.
②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .
若a >1
2，则当x f ′(x )<0；
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.
若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤1
2x －1<0，
所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点.
综上可知，a 考点二
利用导数求函数的最值
【例2】(2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数.(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；
(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值.【答案】见解析
【解析】(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，
当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－x
x ，
令f ′(x )＝0，得x ＝1.
当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.
∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.∴f (x )max ＝f (1)＝－1.
∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1
x
∈1
e ，＋∞①若a ≥－1
e ，则
f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数，
∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.
②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1
a ；
令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1
a <x ≤e.
从而f (x )－1
a
e
上为减函数，
∴f (x )max ＝1＋
令－1＋3，得2，
即a ＝－e 2.
∵－e 2<－1
e ，∴a ＝－e 2为所求.
故实数a 的值为－e 2.【规律方法】
1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【训练2】(2019·合肥质检)已知函数f(x)＝e x cos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间0，π
2上的最大值和最小值.
【答案】见解析
【解析】(1)∵f(x)＝e x·cos x－x，∴f(0)＝1，
f′(x)＝e x(cos x－sin x)－1，∴f′(0)＝0，
∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1.
(2)f′(x)＝e x(cos x－sin x)－1，令g(x)＝f′(x)，
则g′(x)＝－2e x sin x≤0在0，π
2上恒成立，
且仅在x＝0处等号成立，
∴g(x)在0，π
2上单调递减，
∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，
∴f(x)在0，π
2上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝＝－π2 .
考点三利用导数求解最优化问题
【例3】(2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，
根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)＋1(升)，在水底作
业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v
2
(米/单位时间)，每单位时间用氧
量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).
(1)求y 关于v 的函数关系式；
(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.【答案】见解析
【解析】(1)由题意，下潜用时60v (单位时间)＋1×60v ＝3v 250＋60
v (升)，水底作业时的用氧量
为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180
v (升)，
因此总用氧量y ＝3v 250
＋240
v ＋9(v >0).
(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2000）
25v 2，令y ′＝0得v ＝10
32，当0<v <103
2时，y ′<0，函数单调递减；当v >103
2时，y ′>0，函数单调递增.
若c <103
2，函数在(c ，103
2)上单调递减，在(103
2，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少.若c ≥103
2，则y 在[c ，15]上单调递增，∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.【规律方法】
1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；
(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.
2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.
【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚
线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为______.
【答案】415
【解析】
由题意，连接OD ，交BC 与点G ，
由题意，OD ⊥BC ，设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，
S △ABC ＝1
2
·(23x )2·sin 60°＝33x 2，
则三棱锥的体积V ＝1
3S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x
＝3·25x 4－10x 5，
令
f (x )＝25x 4－10x 5，x 则f ′(x )＝100x 3－50x 4，
令f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；
当x f ′(x )<0，f (x )单调递减，
故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415.
∴体积最大值为415cm3.
【反思与感悟】
1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.
2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.
3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.
【易错防范】
1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.
2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.
3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.
【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()
A.(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间
B.(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间
C.函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D.函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
【答案】C
【解析】由函数y＝f(x)导函数的图象可知，f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f(x)在x＝－1，5取得极小值，在x＝3取得极大值，故选项C错误.
2.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则()
A.a <－1
B.a >－1
C.a >－
1e
D.a <－
1
e
【答案】A
【解析】
因为y ＝e x ＋ax ，所以y ′＝e x ＋a .
又函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，当x >0时，－e x <－1，所以a ＝－e x <－1.
3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于()
A.11或18
B.11
C.18
D.17或18
【答案】C
【解析】∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2ax
＋b ，
＋a ＋b ＋a 2＝10，
2a ＋b ＝0，＝－3，＝3＝4，
＝－11.
＝－3，＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去.
∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.4.函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.无数
【答案】A
【解析】
函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1
x －2＝6x 2－2x ＋1x
，
由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0，所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点.
5.(2019·青岛二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x
e (e 是自然对数的底数)，则
f (x )的极大值为(
)
A.2e －1
B.－
1
e
C.1
D.2ln 2
【答案】D
【解析】
由题意知，f ′(x )＝
2e f ′（e ）x －1
e ，∴
f ′(e)＝2f ′(e)－1e ，则f ′(e)＝1
e
.
因此f ′(x )＝2x －1
e
，令f ′(x )＝0，得x ＝2e.
∴f (x )在(0，2e)上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减.∴f (x )在x ＝2e 处取极大值f (2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2.二、填空题
6.函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0，4]的最大值是________.【答案】1e
【解析】
f ′(x )＝e －
x －x ·e －
x ＝e －
x (1－x )，
令f ′(x )＝0，得x ＝1.
又f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －
1＝1e ，
∴f (1)＝1
e
为最大值.
7.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值是________.【答案】－4
【解析】
f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.
由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.
f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.
8.若函数f (x )＝x 33－a 2
x 2
＋x ＋1a 的取值范围是________.
【答案】
【解析】函数f (x )f ′(x )＝0有2由f ′(x )
＝0有2个不相等的实根，得a <－2或a >2.由f ′(x )＝0a ＝x ＋1
x 在x ＋
1x ∈22≤a <103.
综上，a 三、解答题
9.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－1
2相切.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数f (x )在1e ，e
上的最大值.【答案】见解析
【解析】(1)由f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，得f ′(x )＝a
x －2bx ，
∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－1
2相切，
＝a －2b ＝0，＝－b ＝－12，＝1，
＝1
2
.
(2)由(1)知，f (x )＝ln x －1
2x 2，
则f ′(x )＝1
x －x ＝1－x 2x
，
当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1
e ≤x <1，令
f ′(x )<0，得1<x ≤e ，
∴f (x )在1
e ，(1，e]上单调递减，∴
f (x )max ＝f (1)＝－12
.
10.(2018·天津卷选编)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列.
(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若d＝3，求f(x)的极值.
【答案】见解析
【解析】(1)由已知，得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，
故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1，
又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为
y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.
(2)由已知得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.
故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.
令f′(x)＝0，解得x＝t2－3，或x＝t2＋3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，t2－3)t2－3(t2－3，t2＋3)t2＋3(t2＋3，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)极大值极小值
所以函数f(x)的极大值为f(t2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63；函数f(x)的极小值为f(t2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3.
【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.(2019·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数.已知函数f(x)＝(x＋1)e x－x(x＋2)2，则f(x)为()
A.2折函数
B.3折函数
C.4折函数
D.5折函数
【答案】C
【解析】f′(x)＝(x＋2)e x－(x＋2)(3x＋2)
＝(x＋2)(e x－3x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或e x＝3x＋2.
易知x＝－2是f(x)的一个极值点，
又e x＝3x＋2，结合函数图象，y＝e x与y＝3x＋2有两个交点.又e－2≠3(－2)＋2＝－4.
∴函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.
12.若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________.
【答案】
1
【解析】因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又因为f′(x)＝4x－1
x，所以由f′(x)＝0解得x＝
1
2，由题意得
－1<1
2
<k＋1，－1≥0，解得1≤k<
3
2
.
13.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm且以每秒1cm等速率缩短，而长度以每秒20cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.
【答案】4
【解析】设神针原来的长度为a cm，t秒时神针的体积为V(t)cm3，
则V(t)＝π(12－t)2·(a＋20t)，其中0≤t≤8，
所以V′(t)＝[－2(12－t)(a＋20t)＋(12－t)2·20]π.
因为当底面半径为10cm时其体积最大，所以10＝12－t，解得t＝2，此时V′(2)＝0，解得a＝60，所以V(t)＝π(12－t)2·(60＋20t)，其中0≤t≤8.
V′(t)＝60π(12－t)(2－t)，当t∈(0，2)时，V′(t)>0，当t∈(2，8)时，V′(t)<0，从而V(t)在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V(0)＝8640π，V(8)＝3520π，所以当t＝8时，V(t)有最小值3520π，此时金箍棒的底面半径为4cm.
14.设f(x)＝x ln x－ax2＋(2a－1)x(常数a>0).
(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围.【答案】见解析
【解析】(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞).所以g ′(x )＝1
x －2a ＝1－2ax x .又a >0，
当x g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，
当x g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.
∴函数y ＝g (x )(2)由(1)知，f ′(1)＝0.
①当0<a <12时，1
2a >1，由(1)知f ′(x )可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x f ′(x )>0.
所以f (x )在(0，1).所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.
②当a ＝12时，1
2a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，
f (x )单调递减，不合题意.
③当a >12时，0<1
2a <1，当x f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.
所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意.
综上可知，实数a 【新高考创新预测】
15.(试题创新)当x ∈[1，4]时，不等式0≤ax 3＋bx 2＋4a ≤4x 2恒成立，则a ＋b 的取值范围是()
A.[－4，8]
B.[－2，8]
C.[0，6]
D.[4，12]
【答案】A
【解析】
因为x ∈[1，4]，所以不等式0≤ax 3＋bx 2＋4a ≤4x 2等价于0≤ax ＋b ＋4a
x
2≤4，即0≤b ≤4.令t ＝x ＋4
x
2，x ∈[1，4]，
则t ′＝1－8x 3＝x 3－8x 3＝（x －2）（x 2＋2x ＋4）
x 3
，
则t ＝x ＋4
x 2在[1，2)上单调递减，在(2，4]上单调递增，
所以当x ＝2时，t min ＝3，当x ＝1时，t max ＝5，
所以3≤t ≤5，则由0≤at ＋b ≤4≤3a ＋b ≤4，≤5a ＋b ≤4，
所以a ＋b ＝2(3a ＋b )－(5a ＋b )∈[－4，8]，故选A.。