专题3.3 利用导数研究函数的最值、极值(解析版)

第三篇导数及其应用

专题3.3利用导数研究函数的极值、最值

【考点聚焦突破】

考点一利用导数解决函数的极值问题

角度1根据函数图象判断函数极值

【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

【答案】D

【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.

【规律方法】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.

角度2已知函数求极值

【例1－2】(2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).

(1)当a＝1

2时，求f(x)的极值；

(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.

【答案】见解析

【解析】(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x

2x ，

令f ′(x )＝0，得x ＝2，

于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.

x (0，2)2(2，＋∞)

f ′(x )＋

0－

f (x )

ln 2－1

故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1

x －a ＝1－ax x

(x >0).

当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，

即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；

当a >0时，当x f ′(x )>0，

当x f ′(x )<0，故函数在x ＝1

a

处有极大值.

综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1

a .

【规律方法】

运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数

f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3

已知函数的极(最)值求参数的取值

【例1－3】(2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x .(1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；

(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋m

x 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.

【答案】见解析

【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1

x .

设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1

x 0x ＋ln x 0－1.

把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1.∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1.(2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋m

x (x >0)，

所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－m

x 2＝－mx 2－x ＋m x 2，

令h (x )＝mx 2－x ＋m ，

要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，

则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.

即可，解得0

2

.

【规律方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

【训练1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －

1的极值点，则f (x )的极小值为(

)

A.－1

B.－2e －3

C.5e －3

D.1

【答案】A

【解析】

f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －

1，

则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －

3＝0⇒a ＝－1，则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，

当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，当－2

所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，则f (x )极小值为f (1)＝－1.

(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围.【答案】见解析

【解析】①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e.

由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.

②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .

若a >1

2，则当x f ′(x )<0；

当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.

若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤1

2x －1<0，

所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点.

综上可知，a 考点二

利用导数求函数的最值

【例2】(2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数.(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；