微专题24椭圆、双曲线、抛物线的离心率问题(解析)

微专题24 椭圆、双曲线的离心率问题

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题组一 根据条件或几何特征构造a ，b ，c 的齐次等式求离心率

1. 53或54 解析：当m>0，n>0时，n m ＝169，e 2＝m ＋n m ＝259，e ＝53；当m<0，n<0时，

n

m ＝169，e 2＝m ＋n n ＝2516，e ＝54，所以e ＝53或5

4

. 2. 55 解析：直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，联立⎩

⎨⎧x c ＋y

b

＝1，x 2a 2＋y

2b 2＝1，解得点A 的坐标为(2a 2c a 2＋c 2，

－b 3a 2＋c 2)，则点C 的坐标为(2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c ＝b 33a 2c ＋c

3.又k AB ＝－b

c ，由F 1C ⊥AB 得b 33a 2c ＋c 3

·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以 (a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝5

5

.

1. 6－3 解析：由题意设|AB →|＝|AF 2→|＝m ，因为AB →·AF 2→＝0，所以|BF 2→

|＝2m ，所以AF 1＝2m 2，F 1F 2＝6m 2，所以e ＝c a ＝2c 2a ＝F 1F 2

AF 1＋AF 2＝6m

2m ＋

2m

2

＝6－ 3.

题组二 利用曲线自身变量范围或几何特征构造不等关系解决离心率范围问题 1. ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，

6－22 解析：圆M 与x 轴相切于焦点F ，不妨设M(c ，y)，因为M 在椭圆上，所以y ＝b 2a 或y ＝－b 2a ，所以圆的半径为b 2

a ，过点M 作MN ⊥y 轴，垂足为N ，则PN ＝

NQ ，MN ＝c ，所以PN ＝NQ ＝

⎝⎛⎭

⎫b 2a 2

－c 2.因为∠PMQ 为钝角，则∠PMN ＝∠QMN>45°，即PN ＝NQ>MN ＝c ，所以

⎝⎛⎭⎫b 2a 2

－c 2>c ，即b 4

a 2－c 2>c 2，得（a 2

－c 2

）2

a

2

>2c 2，a 2－2c 2＋c 2e 2>2c 2，e 4－4e 2＋1>0，(e 2－2)2－3>0.因为0

6－2

2

. 2. ⎝⎛⎭⎫12，1 解析：设点P(x 0，y 0)，点M(x M ，y M )．因为F 1M →＝2MP →，所以F 1M →＝23F 1P →

＝23

(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，所以M ⎝⎛⎭⎫23x 0－13c ，23y 0，所以F 2M →＝⎝⎛⎭⎫2

3x 0－43c ，2

3y 0.因为PO ⊥F 2M ，

所以⎝⎛⎭⎫23x 0－43c x 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 2

0＝2cx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，解得x 0＝a （a ＋c ）c 或x 0＝a （a －c ）c .因为－a

2

1. (1，2＋1) 解析：由已知及正弦定理知，a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1

，即a PF 2＝c

PF 1，

所以PF 1PF 2＝c a .因为P 在双曲线的右支上，所以PF 1－PF 2＝2a ，所以c

a ·PF 2－PF 2＝2a ，所以PF 2

＝2a 2c －a .由双曲线的几何性质知PF 2>c －a ，所以2a 2

c －a >c －a ，即c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，解得－2＋11，所以双曲线的离心率的范围是(1，2＋1)． 题组三 利用条件构造函数模型求离心率范围

1. ⎣⎡

⎦⎤

22

，63 解析：设左焦点为F 1，连结AF 1，BF 1，可得四边形AF 1BF 是矩形，所以AO ＝OF ＝OB ＝c ，所以AB ＝2c.又AF ⊥BF ，所以AF ＝2c sin α，BF ＝2c cos α.又因为AF 1＝BF ，AF 1＋AF ＝2a ，所以2c sin α＋2c cos α＝2a ，即c a ＝1

sin α＋cos α＝

12sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π

4.因为

α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，所以62≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤2，所以22≤c a ≤63

. 【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2c sin α＋2c cos α＝2a ，然后借助已知条件α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，利用三角函数的图象求解离心率的范围．

1. ⎝⎛⎭⎫22，1 解析：因为椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1，所以a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 2

1＝m ＋2＋n ，e 21＝

m ＋2＋n m ＋2

＝1＋n m ＋2.因为双曲线C 2：x 2m ＋y 2

n ＝1，所以a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，所以由题意得，m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1，所以e 2

1＝1－1m ＋2.因为m>0，所以1－1m ＋2>12，

即e 21

>12，因为0

2

<1. 【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式e 21＝1－1m ＋2，进而根据m 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围．

冲刺强化训练(24)

1. 3 解析： a ＝3，c ＝3＋6＝3，故离心率为 3.

2. 22 解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)，可得焦点为F 1(－

c ，0)、F 2(c ，0)，

其中c ＝a 2－b 2.因为以F 1F 2为直径的圆恰好过短轴的两顶点，短轴端点到原点的距离等于