关于正定矩阵的Hadamand不等式的证明

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Hadamard乘积矩阵的一些性质

gikgjk x j
i= 1 j = 1
i= 1 j= 1
k= 1
r
nn
r
∑ ∑∑ ∑ =
aij ( x i gik) ( x j gj k) = ( Y k′A Y k ) .
k= 1 i= 1 j = 1
k= 1
因为 A 半正定, 所以 Y k ′A Y k ≥0, k= 1, 2, …, r , 所以 X ′( A * B ) X ≥0, 故 A * B 为半定的.
定理2的证明:
设秩 A = r1 , 秩 B= r2 , 由引理1
r1
∑ A = + 11 11 12 12+ …+ = 1r1 1r1
, 1i 1i
i= 1
r2
∑ B =
+ 21 21
22 22+ …+
= , 2r 2 2r 2
2j 2j j= 1
其中 11 , 12 , …, ; 1r 1 21 , 22 , …, 2r2是两组线性无关的列向量组, 11, 12 , …, ; 1r 1 21 , 22 , …,
A* B
=
A A 11
b11D 11 ≥
A A 11
b11
b22…bnnA 11
= b11 b22…bnn A ,
所以
A * B ≥b11 b22…bnn A .
同理可得 A * B ≥a11 a22 …ann B .
为证定理5, 先证下面两个引理.
引理3 A 正定, 令
a11 … a1n x 1
2r 2是两个线性无关的行向量组.
由定理1 及引理2得 :
A* B =
r1

关于半正定矩阵Hadamard积的矩阵不等式

证明: 因 A, B 0, M 为酉矩阵, 则 A = A* , B
= B* , MM* = M* M = I , 并且在 ( 1) 中取 a = 1, b = 0, 即可得到 ( 7) 。
定理 5: 设 A, B, M Cn n , 且 A, B, M 均为酉矩阵, 则
I + A- 1B oB-1A 2 A - 1M oB- 1M M - 1A oM - 1B ( 8)
第 4卷第 1期 2009年 3月
贵阳学院学报 (自然科学版 ) (季刊 ) JOURNAL OF GU IYANG COLLEGE N atural Sc iences ( Quarterly)
Vo.l 4 No. 1 M ar. 2009
*
关于半正定矩阵 H adam ard积的矩阵不等式
曾诚1, 汤凤香2, 何淦瞳 3
A* A oB* B A* oB* A oB ( 3)
证明: 在 ( 1) 中取 a = 1, b = 0, M = I , 即可得
到 ( 3)。
推论 3[ 10] : 设 A, B Cn n , 且 A, B 0, 则
A 2 oB2
A oB 2
( 4)
证明: 因 A, B 0, 则 A = A* , B = B* , 并且
On the M atrix Inequalitiy for the Hadam ard P roduct of Positive Sem idefinite M atrices
ZENG Cheng1, TANG Feng-x iang2, H e G an- tong3
( 1. M aths D epartm ent, G uiyang U n ive rs ity, Gu iy ang Gu izhou 550005; 2. M aths D epa rtm en t, J iam usiU n iversity, J iam usiH e ilong jiang 154007; 3. Co llege o f N atura l Sc ience, G uizhou Un iv ers ity, G uiyang Gu izhou 550025, Ch ina) Abstrac t: T here ex ist great differences between positive sem idefin ite m a trix and positive defin ite m atr ix in the inequa lity research. M oore P enrose inverse is used to rep lace the general reverse w hen positiv e defin ite m atrix is extended to pos-i tive sem idefin ite m atr ix. Based on the m ethod o f b lo ck m atr ix and Schur com plem ent, w e obta in severa lH adam ard product inequalities abou t positive sem idefin ite ma tr ices. K ey word s: Schur comp lement; positive sem idefin ite m atrix; M oo re- Penrose inverses; H adam ard product; m atr ix inequa lities

关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记

关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。

针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。

关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix”Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used.Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality目录1 引言与记号....................................................................... .. (1)2 实矩阵的若干行列式不等式及证明 (1)3 复数域中矩阵的若干行列式不等式 (5)4 结论（结束语） (9)5 参考文献 (9)6 致谢 (10)一引言与记号复（实）矩阵是数学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。

阿达马不等式的证明

㊀㊀㊀１４３㊀数学学习与研究㊀２０２０１５阿达马不等式的证明阿达马不等式的证明Һ王子晗㊀黎㊀雄㊀（北京师范大学数学科学学院，北京㊀１０００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文给出了阿达马不等式的代数证法以及利用拉格朗日乘子的分析证法，同时讨论了阿达马不等式取等号的充要条件．ʌ关键词ɔ二次型；矩阵；条件极值一㊁引言阿达马不等式由法国数学家ＪａｃｑｕｅｓＳｏｌｏｍｏｎＨａｄａｍａｒｄ１８９３年提出．阿达马不等式内容是：设Ａ＝ａｉｊ()为ｎˑｎ实矩阵，则［ｄｅｔ（Ａ）］２ɤᵑｎｉ＝１ðｎｊ＝１ａｉｊ２，并且等号成立当且仅当矩阵Ａ至少有一行为零向量，或者矩阵Ａ的所有行向量两两正交．该不等式不仅描述了行列式的一个代数性质，也具有更为直观的几何意义．我们知道，ｎ阶行列式的几何意义是该行列式的所有行向量所张成的平行２ｎ面体的ｎ维有向体积．阿达马不等式的左边就是这个有向体积的平方，而右边就是组成该２ｎ面体的每个行向量长度的平方的乘积．也就是说，ｎ个向量所张成的平行２ｎ面体的ｎ维有向体积的绝对值小于或等于这ｎ个向量长度的乘积．ｎɤ３的结论是明显的，而ｎȡ４的结论几何上不太容易想象．取等号的情形在这一几何角度来看也很明显．一种情形是ｎ个基向量两两正交，其张成的是ｎ维长方体，其体积等于这ｎ条边长度的乘积；另一种情形是基向量包含零向量，张成的平行体的维数小于ｎ，其ｎ维体积当然为零．本文从‘简明数学分析“中证明该不等式的一道例题入手，不仅给出了原书中利用拉格朗日乘子的方法证明阿达马不等式取等号的充要条件，也利用高等代数中的二次型相关知识证明了阿达马不等式．二㊁代数证法（一）Ａ为可逆矩阵首先讨论Ａ为可逆矩阵的情形．由行列式的乘法可知ｄｅｔＡ()[]２＝ｄｅｔａ１１ａ１２ａ１ｎａ２１ａ２２ａ２ｎ︙︙⋱︙ａｎ１ａｎ２ａｎｎæèçççççöø÷÷÷÷÷ａ１１ａ１２ａ１ｎａ２１ａ２２ａ２ｎ︙︙⋱︙ａｎ１ａｎ２ａｎｎæèçççççöø÷÷÷÷÷ᶄéëêêêêêùûúúúúú＝ｄｅｔａ２１１＋＋ａ２１ｎ∗ ∗∗ａ２２１＋＋ａ２２ｎ ∗︙︙⋱︙∗∗ ａ２ｎ１＋＋ａ２ｎｎæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ｄｅｔＦｎ，其中Ｆｎ是正定实对称矩阵．为了证明阿达马不等式，只需证明任何正定实对称矩阵的行列式小于或等于对角线上元素的乘积．记一般形式的正定实对称矩阵为Ｍｎ＝ｍ１１ｍ１ｎ︙⋱︙ｍｎ１ｍｎｎæèçççöø÷÷÷ｍｉｉ＞０，ｍｉｊ＝ｍｊｉ，ｉʂｊ()．下面用数学归纳法证明ｄｅｔＭｎ()ɤᵑｎｉ＝１ｍｉｉ．当ｎ＝１时，Ｍ１＝（ｍ１１），结论显然成立．若结论对ｎ＝ｋ－１时成立，即ｄｅｔＭｋ－１()ɤᵑｋ－１ｉ＝１ｍｉｉ，则ｎ＝ｋ时，ｄｅｔＭｋ()＝ｄｅｔｍ１１ｍ１ｋ︙ ︙︙ ｍｋ－１()ｋｍｋ１ｍｋｋæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ｄｅｔｍ１１ｍ１ｋ︙ ︙︙ ｍｋ－１()ｋｍｋ１０æèçççççöø÷÷÷÷÷＋㊀ｄｅｔｍ１１０︙ ︙︙ ０ｍｋ１ｍｋｋæèçççççöø÷÷÷÷÷．注意到ｄｅｔｍ１１０︙ ︙︙ ０ｍｋ１ｍｋｋæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ｍｋｋｄｅｔＭ(ｋ－１），. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１４４数学学习与研究㊀２０２０１５由归纳假设只需证明ｄｅｔＢｋ()＝ｄｅｔｍ１１ｍ１ｋ︙︙︙ ｍｋ－１()ｋｍｋ１０æèçççççöø÷÷÷÷÷ɤ０．记Ｙ＝ｍｋ１ｍｋｋ－１()()．既然Ｍｋ－１为正定矩阵，所以Ｍｋ－１可逆，故存在可逆矩阵Ｔ，使得Ｔᶄ００１æèçöø÷Ｍｋ－１ＹᶄＹ０æèçöø÷Ｔ００１æèçöø÷＝ＩＺᶄＺ０æèçöø÷，其中Ｚ＝ＹＴ．则ｄｅｔＢｋ()Ｔ２＝ｄｅｔＩＺᶄＺ０æèçöø÷．所以，ｄｅｔＢｋ()ɤ０等价于ｄｅｔＩＺᶄＺ０æèçöø÷ɤ０．下面利用数学归纳法证明ｄｅｔＩＺᶄＺ０æèçöø÷ɤ０．当ｋ＝２时，ｄｅｔ１ｚ１２ｚ２１０æèçöø÷＝－ｚ２２１ɤ０．若ｋ＝ｌ－１时，该行列式非正，则ｋ＝ｌ时，将行列式ｄｅｔ１０ｚ１ｌ︙ ︙０１ｚｌ－１()ｌｚｌ１ｚｌｌ－１()０æèçççççöø÷÷÷÷÷ｌˑｌ按第一行展开而得到，ｄｅｔ１０ｚ１ｌ︙︙０１ｚｌ－１()ｌｚｌ１ｚｌｌ－１()０æèçççççöø÷÷÷÷÷ｌˑｌ＝ｄｅｔ１０ｚ２ｌ︙ ︙０１ｚｌ－１()ｌｚｌ２ｚｌ（ｌ－１）０æèçççççöø÷÷÷÷÷ｌ－１()ˑ（ｌ－１）＋㊀－１()２ｌ＋１ｚｌ１()２．因此，由归纳假设，对于任意的ｋ，ｄｅｔＩＺᶄＺ０æèçöø÷ɤ０．由此，Ａ为可逆矩阵情形的阿达马不等式证毕．下面探讨矩阵Ａ可逆时阿达马不等式取等号的充要条件．我们宣称ｄｅｔＭｎ()＝ᵑｎｉ＝１ｍｉｉ，当且仅当Ｍｎ为对角矩阵．事实上，若Ｍｎ为对角矩阵，结论显然成立．反之，当ｄｅｔＭｎ()＝ᵑｎｉ＝１ｍｉｉ，若Ｍｎ不是对角矩阵，那么存在元素ｍｉｊʂ０（ｉʂｊ），不妨设ｍ１２ʂ０，其余非对角线上元素全为０，则ｄｅｔＭｎ()＝ｍ１１ｍ１２００ｍ２１⋱００︙０⋱００００ｍｎｎ＝ᵑｎｉ＝１ｍｉｉ－ｍ２１２ｍ３３ｍｎｎ＜ᵑｎｉ＝１ｍｉｉ．因此，阿达马不等式取等号当且仅当Ｆｎ非对角线上元素全为零，也就是矩阵Ａ所有行向量两两正交．（二）Ａ为不可逆矩阵对于Ａ不是可逆矩阵的情形，在原阿达马不等式的左侧为零，右侧为若干个大于等于零的数的乘积时，该不等式显然成立．若要取到等号，也就意味着不等式的右边也要取零，也就是Ｆｎ对角线上至少有一个元素为零．此时，至少有一个ｉɪ｛１，，ｎ｝，使得ａ２ｉ１＋＋ａ２ｉｎ＝０，因此矩阵Ａ的行向量至少有一个是零向量．三㊁分析证法这一部分我们选择适合的函数以及约束条件，利用拉格朗日乘子计算多元函数条件极值的方法，来证明阿达马不等式，并且找到阿达马不等式取等号的充要条件．当ｎ＝１时，阿达马不等式就是等式．当ｎ＞１时，计算函数ｆＡ()＝ｄｅｔ（Ａ）在约束条件ðｎｊ＝１ａ２ｉｊ＝ｋｉ，ｉ＝１，，ｎ下的极值．若存在ｉɪ｛１，，ｎ｝，使得ðｎｊ＝１ａ２ｉｊ＝０，即矩阵Ａ中有一行全为零，阿达马不等式就是等式．下面看矩阵Ａ每一行不全为零的情况．构造拉格朗日函数ＬＡ，λ()＝ｄｅｔＡ()－λＦＡ()，其中ＦＡ()＝（ðｎｊ＝１ａ２１ｊ－ｋ１，，ðｎｊ＝１ａ２ｎｊ－ｋｎ）ᶄ，λ＝（λ１，，λｎ）．在极值点Ａ－＝（ａ－ｉｊ）处，Ａ－ｉｊ＝２λｉａ－ｉｊ，（下转１５７页）. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１５７㊀数学学习与研究㊀２０２０１５业成绩上也有了自身的进步．２０１７年㊁２０１８年㊁２０１９的大部分学科中考成绩百分比对比如下：学科年度优秀良好合格平均分总评朝鲜语文２０１７２２．８６％８７．４３％９７．１４％９８．７５７４．８６％２０１８４３．７１％８８．６２％９６．４１％１０３．１０８０．６０％２０１９３３．４９％９２．８２％９８．５６％１０２．８８７９．０４％数学２０１７２４．００％６２．２９％８０．００％８６．６２６３．２０％２０１８３９．５２％６７．６６％７７．２５％８９．５１６５．９３％２０１９５２．１９％７６．０８％８２．３０％９５．５８７３．２５％英语２０１７４２．２９％７２．００％８３．４３％９４．５１７１．０９％２０１８４８．５０％７７．２５％８７．４３％９８．６０７５．７５％２０１９６１．７２％７９．４３％８７．５６％１０１．１８７９．８１％物理２０１７４９．１４％７２．５７％８０．５７％５３．４５７１．１４％２０１８３７．１３％６３．４７％７３．６５％５０．９１６２．６９％２０１９５４．０７％７５．６０％８１．３４％５６．２１７３．１６％化学２０１７２６．２９％６１．７１％７８．８６％３５．１６６３．０９％２０１８５２．６９％６８．２６％７６．０５％３７．６１６９．０４％２０１９５３．１１％７５．１２％７８．４７％３８．７５７０．８６％汉语２０１７１０．８６％８５．１４％９４．２９％９６．７３６９．２６％２０１８４２．５１％９３．４１％９７．０１％１０４．０３８０．６６％２０１９３１．１０％９１．８７％９８．５６％１０２．９７８．３３％总分２０１７３３．７１％７６．００％８５．１４％５１４．３７６９．７１％２０１８５０．３０％７６．６５％８６．２３％５３０．８６７５．４５％２０１９５３．１１％７７．５１％８７．５６％５４１．４３７７．２２％通过成绩来看，除去每次考试题的难易程度不同，班级个体差异不同等一些不可避免的因素之外，我们看到的结果：除了个别学科以外平均分㊁及格率和优秀率方面都在逐年提高．这些成绩的取得来源于：①教师在教学策略上注重教学活力的同时，关注全员参与，关注个性发展，这样做提高了整体学生的学习积极性和参与度，也提高了实验班级的平均分．②教师利用能焕发活力的教学资源精心设计，提高课堂教学的效率㊁学习能力，因此实验班级中等生渐渐进入优等生行列，提高了优秀率．③激励性评价牵引学困生喜欢学习，也因此我们能看到实验班的及格率也高于对照班级．３．学生的综合素质得到提高．课改的最大受益者是学生．推进课改以来，学生不仅在学习方面有进步，同时也得到了综合发展．学校组织各项有意义㊁有实效的活动，让学生懂得生活㊁懂科学㊁懂爱国主义情怀，让他们的学校生活更富有生命活力．推进课改期间学生在市级以上各类的活动中获得的证书多达１２２项．（二）对于活力课堂课改的反思１．活力课堂课改目标有些过大，下一步可以进一步细化，从小问题切入，研究各个课堂环节会带来更大的收获．２．我们研究过程中发现构建活力课堂的策略大多只能激发学生的短期兴趣．如何把学生的短期兴趣转化为长期兴趣，形成良好的学习品格，成为我们今后研究的方向．㊀（上接１４４页）㊀㊀其中Ａ－ｉｊ为行列式ｄｅｔ（Ａ－）中元素ａ－ｉｊ所对应的代数余子式．注意到ｄｅｔ（Ａ－）＝ðｎｊ＝１Ａ－ｉｊａ－ｉｊ＝２λｉðｎｊ＝１ａ－２ｉｊ＝２λｉｋｉ，所以Ａ－ｉｊ＝２λｉａ－ｉｊ＝ｄｅｔ（Ａ－）ａ－ｉｊｋｉ．故原矩阵Ａ的伴随方阵为（Ａ－∗）ᶄ＝ｄｅｔ（Ａ－）ａ－ｉｊｋｉ＝ｆ（Ａ－）ａ－ｉｊｋｉæèçöø÷ｉ，ｊ＝１，，ｎ．两边同时取行列式，等式左右两边分别为ｄｅｔ（Ａ－∗）ᶄ＝ｆ（Ａ－）[]ｎ－１，㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｄｅｔｆ（Ａ－）ａ－ｉｊｋｉæèçöø÷ｉ，ｊ＝１，，ｎ＝［ｆ（Ａ－）］ｎｋ１㊃㊃ｋｎｆ（Ａ－）＝［ｆ（Ａ－）］ｎ＋１ｋ１㊃㊃ｋｎ．则ｆ（Ａ－）[]ｎ－１＝［ｆ（Ａ－）］ｎ＋１ｋ１㊃㊃ｋｎ．也就是ｆ（Ａ－）[]２＝ᵑｎｉ＝１ｋｉ．由于原约束条件ＦＡ()＝ðｎｊ＝１ａ２１ｊ－ｋ１，，ðｎｊ＝１ａ２ｎｊ－ｋｎ()ᶄ＝０为Ｒｎˑｎ中的有界光滑曲面，故ＦＡ()可以取到最值，考虑到ｄｅｔＡ()＝０的情形，可知该极值为最大值．下面讨论阿达马不等式取等号的条件．由于㊀㊀㊀㊀㊀ðｎｊ＝１ａ－ｉｊａ－ｋｊ＝ðｎｊ＝１Ａ－ｉｊ２λｉａ－ｋｊ＝１２λｉðｎｊ＝１Ａ－ｉｊａ－ｋｊ＝０，ｉʂｋ，因此矩阵Ａ－的所有行向量两两正交．ʌ参考文献ɔ［１］蓝以中．高等代数简明教程（第二版）［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００７．［２］郇中丹，刘永平，王昆扬．简明数学分析（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１８．. All Rights Reserved.。

hadamard不等式的几何解释

hadamard不等式的几何解释Hadamard不等式是数学中的一个重要不等式，它在几何上有着丰富的解释。

以下是关于Hadamard不等式的几何解释的一些内容：1. 向量的长度：Hadamard不等式可以用来证明向量的长度。

对于一个向量的模长为1的向量（单位向量），其内积的绝对值不会超过1。

这可以被解释为单位向量在任意两个方向之间的夹角不会大于180度。

换句话说，Hadamard不等式说明了单位向量在空间中的分布会更加均匀。

2. 几何中心：Hadamard不等式与几何中心有着密切关系。

几何中心是指在给定一组点的情况下，存在一个点使得到该点的距离之和最小。

Hadamard不等式可以用来证明在欧几里德空间中，几何中心存在且唯一。

这意味着Hadamard不等式在几何中心的问题上起到了关键作用。

3. 凸集：Hadamard不等式可以用来证明凸集的性质。

凸集是指包含其任意两点之间的线段的集合。

Hadamard不等式可用于证明一个凸集中的任意两个向量的内积的绝对值不超过这两个向量的模长之积。

这个结果可以被解释为凸集中的向量趋向于平行分布，而不会过于聚集在一起。

4. 极大化最小角度：Hadamard不等式可以应用于极大化最小角度的问题。

给定一组向量，Hadamard不等式可以用来证明最小角度的正弦值不会超过向量模长的最小值。

这意味着通过使向量的模长最小化，可以使最小角度的正弦值最大化。

Hadamard不等式在几何中有着广泛的应用和解释。

它涉及到向量的长度、几何中心、凸集以及极大化最小角度等问题。

这些几何解释帮助我们更好地理解和应用Hadamard不等式。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（写写帮整理）

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（写写帮整理）第一篇：正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（写写帮整理）正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者：袁亮（西安财经大学）摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix, determine, inequality, application目录引言…………………………………………………………………4 2 正定矩阵的判定方法………………………………………………4 2.1 定义判定…………………………………………………………5 2.2 定理判定…………………………………………………………6 2.3 正定矩阵的一些重要推论………………………………………11 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用…………………………15 3.1 证明柯西不等式………………………………………………15 3.2 证明Holder不等式……………………………………………16 3.3 证明Minkowski不等式…………………………………………18 结束语…………………………………………………………………21 参考文献………………………………………………………………22 引言代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛，n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[2]中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意x∈Rn，且x≠0，都有xTMx>0成立[2].本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[3]的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder 不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定设A=(aij),(其中aij∈C,i,j=1,2,…，n), A的共轭转置记为A*=aji 定义1[1]对于实对称矩阵A=(aij),（其中aij∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有XTAX>0,则称A是正定矩阵.定义2[1]对于复对称矩阵A=(aij),（其中aij∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有X*AX>0,则称A是正定矩阵．例1 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B 的转置矩阵，试证 BTAB为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n.证[必要性] 设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有()xTBTABx>0，()即(Bx)TA(Bx)>0.于是Bx≠0，因此，Bx=0只有零解，从而r(B)=n.[充分性] 因(BTAB)=BTATB=BTAB，T即BTAB为实对称矩阵.若秩r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意实n维向量x≠0有Bx≠0.又A 为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TABx>0, 于是当x≠0时，xTBTABx>0.()故BTAB为正定矩阵.例2[3]设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是n×m 实矩阵，B的秩为 m，证明：B'AB 是正定矩阵.证因为（B'AB）'=B'A'B=B'AB, 故B'AB 是实对称矩阵，其次，由于秩B=m，m≤n.故 BX=0 只有零解，因此，若任取非零实列向量 X 必有BX≠0，因 A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量 X，必有X'（B'AB）X=(BX)'A(BX)>0.因此B'AB 是正定矩阵.注意以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若 A 不是方阵，也不对称时，A'A，AA'是正定矩阵，若A 是方阵，但不对称，则A+A'是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定定理1[1]n阶实对称矩阵A正定，当且仅当实二次f(x1,x2,…,xn)=XTAX的正惯性指数为n．证设实二次型f(x1,x2,…,xn)经过非退化线性变换得a1x1+a2x2+…+anxn.（2.1）222由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A正定当且仅当（2.1）是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当ai>0(i=1,2,Λ,n)，因此，正惯性指数为n..⎛d1 定理2[1]实对角矩阵 ⎝(i=1,2,Λ,n).d2⎫⎪⎪⎪正定的充分必要条件是di>0，O⎪dn⎪⎭证由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型f(x1,x2,…，xn)=d1x1+d2x2+…+dnxn.的正惯性指数为n，因此，di>0（i=1,2,…,n,）．例3 设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵.证[充分性]（反证法）反设r(A)<n，则A=0.于是λ=0是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即Ax=0(x≠0)，222所以xTAT=0.所以xT(AB+BTA)x=xTABx+xTBTAx=0，和AB+BTA是正定矩阵矛盾.[必要性] 因为r(A)=n，所以A的特征值λ1,λ2,Λ,λn全不为0.取B=A，则AB+BTA=AA+AA=2A2.22T,2λ2,Λ2λ它的特征值为2λ12n全部为正，所以AB+BA是正定矩阵.定义3 在实二次型f(x1,x2,Λ,xn)的规范形中，正平方项的个数p称为f(x1,x2,Λ,xn)的正惯性指数，负平方项的个数r-p称为f(x1,x2,Λxn)的负惯性指数，它们的差p-(r-p)=2p-r 称为f(x1,x2,Λ,xn)的符号差.定理3[1]实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n．定理4[1]实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…xn)=XTAX的系数矩阵A的所有特征值都是正数，即大于零.证由文献[1]知，实对称矩阵A可对角化为⎛a1 ⎝a2⎫⎪⎪⎪O⎪an⎪⎭其中a1，a2,Λ,an恰好是A的特征值，则二次型XTAX的标准形为：a1x1+a2x2+…+anxn，222而非退化实线性变换保持正定性不变，由f(x1,x2,…，xn)=a1x1+a2x2+…+anxn.正定得ai>0(i=1,2,Λ,n)．例4设A为实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵.222证设A的特征值为λ1,λ2,...,λn(λi为实数)，取t>max{λi}，则A+tE的特1≤i≤n征值λi+t(i=1,2,...,n)全部大于零，因此当t>max{λi}时，A+tE是正定矩阵.1≤i≤n例 5 设A为n阶实对称矩阵，且A3-3A2+5A-3E=0.证明：A正定.证设λ是A的任一特征值，对应特征向量为x≠0，即Ax=λx，代入已知等式A3-3A2+5A-3E=0, 有(A3-3A2+5A-3Ex=λ3-3λ2+5λ-3x=0，)()因为x≠0，故λ满足λ3-3λ2+5λ-3=0.得λ=1或λ=1±2i，因A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有λ=1，即A的全部特征值就是λ=1>0，这就证明A是正定矩阵.定理5[1]实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．证实正定二次型的规范形为x1+x2+Λ+xn.222(2.2.1)而（2.2.1）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．定理6[2]实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C使得A=CTC．证设A为一正定矩阵，当切仅当A与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C，使得A=CTEC=CTC.定理7[1]实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零．证 [必要性] 实对称矩阵A正定，则二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX=∑∑aijxixj是正定的，Ti=1j=1nn对于每一个k,1≤k≤n,令fk（x1,x2,…，xk）=∑∑aijxixj，i=1j=1kk我们来证fk是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数c1，c2，…，ck，有fk（c1，c2，…，ck）=fk（c1，c2，…，ck，0，…,0）>0, 因此，fk是一个k元正定二次型.由充要条件2得fk的矩阵行列式a11Λa1k Λak1Λakk>0,（k=1,2,…,n）.[充分性] 对n作数学归纳法当n=1时，f(x1)=a11x1, 由条件a11>0，显然f(x1)是正定的．假定此论断对n-1元二次型成立，下证n元的情形.令2⎛a11 a12A1= a⎝n-1,1a12a22Λan-1,2a1,n-1⎫⎪Λa2,n-1⎪，⎪Λ⎪Λan-1,n-1⎪⎭Λ⎛a1n⎫⎪a2n⎪，X= ⎪M⎪a⎪⎝n-1,n⎭⎛A1则A= XT⎝X⎫⎪.ann⎪⎭由A的顺序主子式全大于零可知A1的顺序主子式全大于零，由假设A1是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵G，使得GTA1G=En-1, 令⎛G0⎫C1= 01⎪⎪，⎝⎭则C1T⎛GTAC1= 0⎝0⎫⎪1⎪⎭⎛A1 XT⎝X⎫⎛G0⎫⎛En-1GTX⎫⎪.⎪⎪= T ⎪⎪a nn⎭⎝01⎭⎝XGann⎪⎭令⎛En-1C2= 0⎝-GTX⎫⎪, 1⎪⎭则C2C1TT0⎫⎛En-1GTX⎫⎛En-1⎪AC1C2= -XTG1⎪⎪XTGa⎪⎝⎭⎝nn⎭⎛E n-1= 0⎝⎫⎪.TTann-XGGX⎪⎭0⎛En-1 0⎝-GTX⎫⎪ 1⎪⎭令C=C1C2,a=ann-XTGGTX, 则有⎛1⎫⎪1⎪CTAC= .⎪O⎪a⎪⎝⎭两边取行列式得 C2A=a,由条件 A>0 知a>0.由于⎛1⎫⎛1 ⎪1⎪1 ⎪= O1 ⎪a⎪⎝⎭⎝⎫⎛1⎫⎛1⎪⎪⎪1⎪1⎪1⎪1⎪⎪a⎪1⎪⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎪⎪.⎪a⎪⎭因此，A与单位矩阵合同.由定理5得，A是正定矩阵．定理8[2] n阶实对称阵A为正定的充要条件是存在对称正定阵B，使A=B2.证 [必要性] 存在正交阵Q，使。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用一、正定矩阵的判定方法一般而言，正定矩阵是一种特殊的方阵，它是满足下列条件的方阵：1）对于任一非零列向量$\mathbf x$，有$\mathbf x^T\mathbfAx>0$；2）对任一向量$\mathbf y$，有$\mathbf y^T\mathbf Ay\geqslant0$；3）对任一向量$\mathbf z$，$\mathbf z^T\mathbf Az\geqslant 0$，且$\mathbf z^T\mathbf Az=0$当且仅当$\mathbf z=\mathbf 0$。

(1)根据上述定义，可以判断一个矩阵是否为正定矩阵，即可以通过验证上述3个条件是否成立，来判断一个矩阵是否为正定矩阵。

(2)另一种方法是利用一般性的行列式代数秩定理，即一个正定方阵的行列式的秩为整数。

因此，可以根据行列式的秩来判断方阵是否为正定矩阵。

如果行列式的秩为整数，则该矩阵是正定矩阵；如果行列式的秩不为整数，则该矩阵不是正定矩阵。

（1）Cauchy-Schwarz不等式：若$\mathbf u,\mathbf v$是任意二个非零向量，则$\mathbf {u^Tv}\leqslant \sqrt{\mathbf{u^Tu}}\cdot\sqrt{\mathbf {v^Tv}} $。

证明：我们可以构造一个正定矩阵A，其中$A=\begin{bmatrix}\mathbf {u^Tu}&\mathbf {u^Tv}\\ \mathbf {v^Tu}& \mathbf{v^Tv}\end{bmatrix}$根据正定矩阵的定义，可以得到$\mathbf {u^Tv}\leqslant \sqrt{\mathbf {u^Tu}}\cdot\sqrt{\mathbf {v^Tv}} $。

（2）矩阵与向量乘积的定理：设A是$n$阶方阵，$\mathbf u,\mathbf v$是任意$n$个向量，则。

关于正定矩阵的Hadamand不等式的证明

!２＝ & ＝ !! ＝１$即矩阵有 ! 重特征根１$而这等价于
秩（#$%）＝０亦即 &"’ ＝０（" #’） $ 从而当且仅当 ( 是对角矩阵时 !１" 式等号成立 ’ 现看一个例子 $ 设Ａ＝
引理２证
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题设同引理１$ 则 *, 是可对角化的 (
$ % ３５
"１２
(%’ ＝ &’%（#%， ’） ! 因此文［４］ ( + %% +(%’
的证明是完全正确的 ( 作为研究矩阵不等式的专著的文［４］给出的证明较文［１］) 文［２］要有更多的预备知识为前提的 ! 在这个意义上作为教学研究的文［３］给出的证法 ! 笔者认为相对文［１］ ) 文［２］而言是更复杂的证法 ! 虽然文［３］的论证过程的叙述是简单的 ’ 这对于学生来说是不合适的 $(
!!!!!
Ｖｏｌ．１２Ｎｏ．５
２００５年１０月
!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! !"#$%&’ "( )#* +&% ,%+-.$/+*0
!!!!!!!!!!!!!!!! Ｏｃｔ．２００５
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７２－４１４３（２００５）０５－０００５－０３
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hadamard不等式凸函数证明

hadamard不等式凸函数证明摘要：1.哈达玛不等式简介2.凸函数的概念和性质3.哈达玛不等式的证明过程4.哈达玛不等式在实际应用中的例子正文：1.哈达玛不等式简介哈达玛不等式（Hadamard Inequality）是微积分学中的一个基本不等式，由法国数学家皮埃尔·哈达玛（Pierre Hadamard）于19 世纪末提出。

该不等式主要描述了任意两个实数的平方和不小于任意一个实数的平方，即对于任意实数a 和b，都有(a + b) ≥ 2ab 成立。

2.凸函数的概念和性质凸函数是微积分学中的一个重要概念，它在数学、物理和经济学等多个领域都有广泛的应用。

凸函数的定义是：若函数f(x) 在定义域内满足对于任意的x1 和x2，都有f((x1 + x2) / 2) ≤ (f(x1) + f(x2)) / 2，则称函数f(x) 为凸函数。

凸函数具有以下性质：（1）凸函数的图像总是位于其切线的上方；（2）凸函数在定义域内是连续可导的；（3）凸函数的导数在其定义域内恒大于等于0。

3.哈达玛不等式的证明过程为了证明哈达玛不等式，我们可以引入一个凸函数来进行说明。

考虑函数f(x) = x - 2ax + a，其中a 为任意实数。

我们可以发现，该函数的图像是一个开口向上的抛物线，且以直线x = a 为对称轴。

对于函数f(x)，我们可以求导得到f"(x) = 2x - 2a。

令f"(x) = 0，解得x = a。

因此，函数f(x) 在x = a 处取得最小值，即f(a) = a。

由于函数f(x) 是凸函数，根据凸函数的性质，我们有f((x1 + x2) / 2) ≤ (f(x1) + f(x2)) / 2。

将x1 = a 和x2 = a 代入，得到f(a) ≤ f(a)，显然成立。

结合以上分析，我们可以得出结论：对于任意实数a 和b，都有(a + b) ≥ 2ab 成立，即哈达玛不等式成立。

hadamard不等式的几何解释

hadamard不等式的几何解释
Hadamard不等式是一个关于矩阵行列式的不等式，它指出了在正定矩阵中，行列式的值将小于或等于矩阵对应元素的乘积。

几何上，Hadamard不等式提供了一个有关几何体体积的重要结论。

具体来说，对于一个n维空间中的凸包，Hadamard不等式告诉我们凸包的体积将小于或等于以凸包顶点为顶点的n维平行体的体积之积。

进一步解释为，凸包是由一些点组成的多面体，其中的每个点都可以表示为一个n维向量。

凸包的顶点是凸包边界上的极值点，它们决定了凸包的形状和大小。

根据Hadamard不等式，凸包的体积将小于或等于以凸包顶点为顶点的n维平行体的体积之积。

这意味着，凸包的体积受限于凸包顶点的位置和凸包边界的几何形状。

当凸包的顶点位置趋于均匀分布时，体积会趋于最大值。

反之，如果凸包的顶点位置高度集中在某个区域，体积将会减小。

通过这种几何解释，Hadamard不等式提供了一种刻画凸包体积的方法。

它告诉我们，凸包的体积受限于顶点位置的分布，并且给出了一种方法来估计凸包的体积。

这对于在凸包优化问题中的应用非常重要，例如在凸包包络问题、最优化问题和约束优化问题中。

总结起来，Hadamard不等式的几何解释揭示了凸包体积与顶点位置的关系，它为我们理解和应用凸包优化问题提供了重要的几何信息。

哈达玛（Hadamard）不等式的证明

哈达玛（Hadamard）不等式的证明
王文
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】1994(000)003
【摘要】本文用Ｒｎ上积分的方法证明了哈达玛（Ｈａｄａｍａｒｄ）不等式。

【总页数】2页(P77-78)
【作者】王文
【作者单位】中国矿业大学
【正文语种】中文
【中图分类】O178
【相关文献】
1.阿达玛不等式在证明初等不等式中的应用 [J], 徐彦辉
2.关于亚正定矩阵的Hadamard不等式的证明 [J], 翁东东
3.Hadamard不等式的推广与Lavoie不等式的证明 [J], 张锦川
4.关于对角占优矩阵A的n阶Hadamard积的不等式的证明 [J], 翁东东
5.Hadamard—Fischer—Koteljanski不等式的一个直接证明 [J], 高赋勇
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哈达玛不等式证明

哈达玛不等式证明哈达玛不等式是数学中一种重要的不等式，常用于证明概率论中的一些问题。

它的形式可以简单地表达为：对于任意非负实数序列{a1, a2, ..., an}和{b1, b2, ..., bn}，有以下不等式成立：(a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn) ^ (1/n) ≤ (a1^n + a2^n + ... + an^n) ^ (1/n) * (b1^n + b2^n + ... + bn^n) ^ (1/n)在这个不等式中，n表示序列的长度，a和b分别表示两个非负实数序列。

哈达玛不等式的证明过程相对简单，下面我们来详细介绍一下。

我们需要明确的是哈达玛不等式成立的条件，即两个序列都是非负实数序列。

这是因为在不等式的证明过程中，我们会使用到实数的性质，而负数的平方根、n次方等操作是没有定义的。

接下来，我们使用数学归纳法来证明哈达玛不等式。

首先，当n=1时，不等式显然成立，因为此时左右两边都是a1*b1。

假设当n=k时，不等式成立，即对于任意长度为k的非负实数序列{a1, a2, ..., ak}和{b1, b2, ..., bk}，有以下不等式成立：(a1*b1 + a2*b2 + ... + ak*bk) ^ (1/k) ≤ (a1^k + a2^k + ... + ak^k) ^ (1/k) * (b1^k + b2^k + ... + bk^k) ^ (1/k)然后我们考虑当n=k+1时，即序列长度为k+1时，不等式是否成立。

我们可以将序列{a1, a2, ..., ak, ak+1}拆分为两部分：{a1, a2, ..., ak}和{ak+1}，同理将序列{b1, b2, ..., bk, bk+1}拆分为{b1, b2, ..., bk}和{bk+1}。

根据我们的假设，不等式对于长度为k的序列成立，即有以下不等式成立：(a1*b1 + a2*b2 + ... + ak*bk) ^ (1/k) ≤ (a1^k + a2^k + ... + ak^k) ^ (1/k) * (b1^k + b2^k + ... + bk^k) ^ (1/k)我们再考虑长度为1的序列{ak+1}和{bk+1}，根据不等式的定义，有以下不等式成立：(ak+1 * bk+1) ^ (1/1) ≤ (a k+1^1) ^ (1/1) * (bk+1^1) ^ (1/1)即ak+1 * bk+1 ≤ ak+1 * bk+1由于不等式的传递性，我们可以将前面的不等式和后面的不等式相结合，得到以下不等式：(a1*b1 + a2*b2 + ... + ak*bk) ^ (1/k) * (ak+1 * bk+1) ^ (1/1) ≤ (a1^k + a2^k + ... + ak^k) ^ (1/k) * (b1^k + b2^k + ... + bk^k) ^ (1/k) * (ak+1^1) ^ (1/1) * (bk+1^1) ^ (1/1)化简上式得：(a1*b1 + a2*b2 + ... + ak*bk + ak+1 * bk+1) ^ (1/k+1) ≤ (a1^k + a2^k + ... + ak^k + ak+1^k) ^ (1/k+1) * (b1^k + b2^k + ... + bk^k + bk+1^k) ^ (1/k+1)可以看出，当n=k+1时，不等式也成立。

矩阵Hadamard积和Fan积特征值界的不等式

ＬＩＨｕａ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＨｅｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＵｒｂａｎＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，Ｐｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎ４６７０４４，Ｃｈｉｎａ）
关键词：非负矩阵；Ｈａｄａｍａｒｄ积；谱半径；Ｍ矩阵；Ｆａｎ积；最小特征值中图分类号：Ｏ１５１．２１文献标志码：Ａ
ＳｏｍｅＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｔｈｅＨａｄａｍａｒｄＰｒｏｄｕｃｔａｎｄｔｈｅＦａｎＰｒｏｄｕｃｔｏｆＭａｔｒｉｃｓｅ
合为矩阵的谱，记为（Ａ）矩阵Ａ的ｎ个特征值的模的最大值为矩阵的谱半径，记为ｐ（Ａ）。
定义１＿１＿１ ¨ 设Ｚ｛Ａ一（口）ＥＲ，ａ ≤
０，ｉ ≠Ｊ，ｉ，Ｊ一１，２， …，，ｚ｝，则称ｚ ” 中的矩阵Ａ为ｚ一矩阵。
组合论中结合方案及算子理论等多方面的研究中。许多学者关注和研究非负矩阵的Ｈａｄａｍａｒｄ
积的谱半径上界估计和非奇异Ｍ矩阵Ｆａｎ积的最小特征值下界估计Ｉ１］，本工作继续这些界的
第３４卷第３期青岛科技大学学报（自然科学版）Ｖｏｔ．３４Ｎｏ．３２０１３年６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＱｉｎｇｄａｏＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊｕｎ．２０１３

正定矩阵的几种经典证明方法

正定矩阵的几种经典证明方法正定矩阵是指实数矩阵中满足下列矩阵不等式的矩阵：XTAX>0,其中X是任意nxm的非零实矩阵，A是nxn的实对称非奇异矩阵。

正定矩阵的几种经典证明方法有：一、正定矩阵的主成分表示法证明正定矩阵A的主成分表示是将正定矩阵A分解为UΛUT（U是正交矩阵，A是对角矩阵），即A=UAUT,其中U和A必须满足UUT=I （I为单位阵）和A=diag（λ1,λ2,…,λn）°正定矩阵A必须满足：λi>0,i=1,2,...,n o二、正定矩阵的共粗转置证明正定矩阵A的共辄转置证明是指：A之转置与A的共辗相乘结果必须大于0,即AAT>00三、正定矩阵的主元分解证明正定矩阵A的主元分解证明是指：将A分解为1U形式，使用唯一分解性来证明A为正定矩阵。

1和U必须满足1为下三角矩阵，U为上三角矩阵，生成正定矩阵A的正定性。

四、正定矩阵的半正定性证明正定矩阵A的半正定性证明是指：A的秩必须小于n,并且A的剩余半部分必须是正定的。

五、正定矩阵的特征值证明正定矩阵A的特征值证明是指：如果正定矩阵A的所有特征值均大于0,则矩阵A必定是正定矩阵。

可以使用形式化的证明说明特征值必须大于0,即det(A-λD=O,其中λ为特征值,I为单位阵。

六、正定矩阵的行列式证明正定矩阵A的行列式证明是指：首先将A行列式化，然后按下列公式求值：detA=det(A11)det∣A22∣-det(A12)det∣A21∣,其中AI1为A 的一个子矩陪，A22为A的差矩阵，A12和A21为A的列替换矩阵，必须满足det(A)>O,A就是正定矩阵。

以上就是正定矩阵的几种常用证明方法。

本文阐述了这几种方法的基本原理，并且证明了它们在证明正定矩阵的用途。

在科学研究中，正定矩阵的证明方法将占据重要地位，可以起到重要作用。

hadamard行列式不等式证明

hadamard行列式不等式证明
Hadamard不等式是矩阵理论中的一个重要不等式，它给出了一个矩阵的行列式与其所有子矩阵的行列式之间的关系。

假设我们有一个n×n的实对称正定矩阵A，那么对于任意的1≤i1<i2<…<ik≤n，都有
∣Ai1i2…ik∣≤∣A∣
其中Ai1i2…ik是A中由第i1,i2,…,ik行和第i1,i2,…,ik列形成的子矩阵。

证明：
第一步，由于A是实对称正定矩阵，所以存在一个正交矩阵Q，使得
A=QTDQ
其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。

第二步，根据矩阵的行列式性质，我们有
∣Ai1i2…ik∣=Qi1i2…ikTDi1i2…ikQi1i2…ik
第三步，由于Qi1i2…ik是正交矩阵，所以它的行列式为1。

同时，由于Di1i2…ik是对角矩阵，所以它的行列式等于对角线上的元素之积。

因此，我们有
∣Ai1i2…ik∣=∣Di1i2…ik∣
第四步，由于D是对角矩阵，所以它的所有特征值都大于0。

因此，∣Di1i2…ik∣是D的特征值之积，所以它也大于0。

第五步，根据第四步的结论，我们有
∣Ai1i2…ik∣=∣Di1i2…ik∣≤∣D∣=∣A∣。

赫德尔矩阵不等式

赫德尔矩阵不等式摘要：1.赫德尔矩阵不等式的定义和基本概念2.赫德尔矩阵不等式的数学表达式和证明方法3.赫德尔矩阵不等式的应用领域和实际意义4.赫德尔矩阵不等式的发展历程和相关研究成果5.赫德尔矩阵不等式的未来发展趋势和挑战正文：赫德尔矩阵不等式是矩阵论中的一种重要不等式，它是在20 世纪初由德国数学家赫德尔（Hadamard）提出的。

赫德尔矩阵不等式是一种矩阵范数不等式，主要研究了矩阵的奇异值分解与矩阵的行列式之间的关系。

一、赫德尔矩阵不等式的定义和基本概念赫德尔矩阵不等式是指对于任意一个n 阶方阵A，其奇异值分解矩阵U、V 和奇异值对角矩阵Σ的乘积满足：||A|| = ||UΣV||，其中||A||表示矩阵A 的范数，||UΣV||表示矩阵UΣV 的范数。

二、赫德尔矩阵不等式的数学表达式和证明方法赫德尔矩阵不等式的数学表达式为：||A|| = Σ(σi)（i=1,2,...,n），其中σi （i=1,2,...,n）表示矩阵Σ的对角线上的第i 个元素。

赫德尔矩阵不等式的证明方法有多种，其中比较常见的是利用矩阵的奇异值分解和矩阵的范数性质进行证明。

三、赫德尔矩阵不等式的应用领域和实际意义赫德尔矩阵不等式在很多领域都有广泛应用，如线性代数、微积分、概率论、统计学、信号处理等。

它可以用来求解线性方程组、研究矩阵的谱聚类、分析信号的能量等。

赫德尔矩阵不等式对于理解矩阵的奇异值分解和矩阵的行列式之间的关系具有重要意义。

四、赫德尔矩阵不等式的发展历程和相关研究成果赫德尔矩阵不等式自提出以来，得到了很多数学家和工程师的关注。

许多学者对赫德尔矩阵不等式的证明方法、应用领域和改进方法进行了深入研究，取得了丰富的研究成果。

五、赫德尔矩阵不等式的未来发展趋势和挑战随着科学技术的不断发展，赫德尔矩阵不等式在很多领域的应用将更加广泛。

然而，赫德尔矩阵不等式仍面临着一些挑战，如如何提高其求解效率、如何拓展其应用领域等。

关于Hadamard不等式等号成立的充要条件

第 14 卷第 1 期 2011 年 1 月
高等数学研究 ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS
V ol. 14, No . 1 Jan. , 2011
关于 H adamard 不等式等号成立的充要条件
张国铭
( 牡丹江师范学院数学系 , 黑龙江牡丹江 157011) 摘要应用定积分的一个性质 , 对 H adamar d 不等式等号成立的充要条件进行证明 . 凸函数 ; 充分必要条件 ; H adama rd 不等式 O172. 2 文献标识码 A 文章编号 1008 1399( 2011) 01 0013 02
关键词
中图分类号
H adamard 不等式 ( 1893) 上的凸函数, 则对于 a
1 2
设 f 是区间 [ a, b] b, 有
1 2
成立. 可见条件是充分的. 下证必要性 . 由于 f 是 [ a, b] 上的凸函数, 按照凸函数的定义[ 3 ] , 对任何 x 1 , x 2 ∃ [ a, b] 及任意 ∃ [ 0, 1 ] , 有 f ( x 1 + ( 1- )x 2) f (x 1) + ( 1- )f (x2 ). ( 4) 特别地 , 取 x 1 = a, x 2 = b, x = a + ( 1 - ) b, 则 ( 4) 式可化成 f (x ) - f (a) - f (b) - f ( a) (x - a) 0. ( 5) b- a 上式左边为 [ a, b] 上的连续函数, 又其积分是 b f ( a) + f ( b) f ( x ) dx - ( b - a) = 0, a 2 故由文 [ 4 ] 知 , f ( b) - f ( a) f ( x ) - f ( a) ( x - a) % 0, b- a 即在[ a, b] 上 , f ( b) - f ( a) f ( x ) = f ( a) + ( x - a) . b- a 定理 2 若 f 在[ a, b] 上连续, 且为 [ a, b] 上的

赫德尔矩阵不等式

赫德尔矩阵不等式赫德尔矩阵不等式是数学中的一个重要不等式，它与矩阵的特征值、行列式以及迹等概念密切相关。

这个不等式在控制论、优化理论、统计学以及其他许多领域都有着广泛的应用。

下面我们将对赫德尔矩阵不等式进行详细的分析和讨论。

一、赫德尔矩阵不等式的定义赫德尔矩阵不等式给出了矩阵的行列式与其主子式之间的关系。

具体地，对于一个n阶实对称矩阵A，如果它的所有主子式都大于零，则A是正定的，且满足赫德尔矩阵不等式。

二、赫德尔矩阵不等式的性质1.矩阵的正定性：根据赫德尔矩阵不等式的定义，如果一个矩阵的所有主子式都大于零，则这个矩阵是正定的。

正定矩阵在控制论、优化理论等领域有着广泛的应用。

2.行列式与特征值的关系：赫德尔矩阵不等式揭示了矩阵的行列式与其特征值之间的关系。

具体地，一个正定矩阵的行列式等于其特征值的乘积。

这一性质在求解矩阵的特征值问题时具有重要意义。

3.迹与特征值的关系：赫德尔矩阵不等式还表明，一个正定矩阵的迹（即主对角线上的元素之和）等于其特征值之和。

这一性质为我们提供了计算矩阵迹的方法，进而可以求出矩阵的平均特征值。

三、赫德尔矩阵不等式的应用1.控制论：在控制论中，赫德尔矩阵不等式被用来判断系统的稳定性。

具体地，如果一个系统的状态矩阵满足赫德尔矩阵不等式，则该系统是渐近稳定的。

2.优化理论：在优化理论中，赫德尔矩阵不等式被用来判断目标函数的凸性。

如果一个目标函数的Hessian矩阵满足赫德尔矩阵不等式，则该函数是凸函数，进而可以利用凸优化方法进行求解。

3.统计学：在统计学中，赫德尔矩阵不等式被用来判断样本协方差矩阵的正定性。

如果样本协方差矩阵满足赫德尔矩阵不等式，则可以利用该矩阵进行多元统计分析。

4.图像处理：在图像处理中，赫德尔矩阵不等式被用来进行图像降噪和增强等操作。

具体地，可以利用该不等式对图像进行滤波处理，去除噪声并增强图像的对比度。

四、赫德尔矩阵不等式的证明方法证明赫德尔矩阵不等式的方法有多种，其中最常用的是数学归纳法和拉格朗日乘子法。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的。

特征值是指矩阵A经过线性变换后，向量x所在的直线方向仍然不变的那些实数λ，即满足方程Ax=λx的λ值。

具体来说，对于一个n阶方阵A，如果所有特征值均大于零，那么A就是正定矩阵。

正定矩阵在三个不等式证明中有广泛的应用。

这三个不等式分别是半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式。

1.半正定矩阵不等式：给定一个n阶半正定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx≥0，其中x^T表示x的转置。

如果要证明一个矩阵是半正定的，只需要证明它所有的特征值均大于等于零即可。

应用：在工程和经济领域中，半正定矩阵不等式常用于设计稳定的控制系统和优化问题的约束条件。

例如，在线性规划问题中，通过引入半正定矩阵不等式将约束条件加到目标函数中，可以得到更加准确和可行的优化结果。

2.正定矩阵不等式：给定一个n阶正定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx>0。

证明一个矩阵是正定的，需要确保它所有的特征值均大于零。

应用：正定矩阵不等式在数学分析和最优化理论中有广泛的应用。

例如，在函数的变分法中，通过使用正定矩阵不等式可以得到最小化函数的解。

另外，正定矩阵也常用于计算机科学、图像处理和机器学习等领域中的算法设计中。

3.负定矩阵不等式：给定一个n阶负定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx<0。

证明一个矩阵是负定的，需要确保它所有的特征值均小于零。

应用：负定矩阵不等式在控制论、信号处理和优化问题中有重要的应用。

例如，在模拟电路设计中，通过使用负定矩阵不等式可以保证电路的稳定性。

此外，负定矩阵也常用于设计纠错码和密码算法等领域。

总之，正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的，特征值大于零时为正定矩阵。

正定矩阵的应用在半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式中。

它在控制系统、优化问题、信号处理和机器学习等领域中有广泛应用，具有重要的理论和实际意义。

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第１２卷第５期
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文章编号：１６７２－４１４３（２００５）０５－０００５－０３
关于正定矩阵的 "#$#%#&$ 不等式的证明
晏瑜敏 " 张新军 " 杨忠鹏
（莆田学院数学与应用数学系，福建莆田３５１１００）
关键词：正定矩阵；Ｈａｄａｍａｎｄ不等式；对称矩阵摘要：首先指出丁卫平《关于正定矩阵一不等式的简单证明》一文给出的关于正定矩阵的Ｈａｄａｍａｎｄ不等式
% ＝１
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当且仅当 & 是对角矩阵时 "%１& 式等号成立 $ 上述关于正定矩阵的行列式上界估计的不等式 %１&" 就是著名的Ｈａｄａｍａｎｄ不等式 $ 国内使用的最广泛的两本教材［１］’ ［２］都把这个不等式的证明作为基本习题 $ 文［１］将上述不等式作为不涉及到实对称矩阵的特征值问题而列为第五章的习题 " 而［２］虽然安
"１２
(%’ ＝ &’%（#%， ’） ! 因此文［４］ ( + %% +(%’
的证明是完全正确的 ( 作为研究矩阵不等式的专著的文［４］给出的证明较文［１］) 文［２］要有更多的预备知识为前提的 ! 在这个意义上作为教学研究的文［３］给出的证法 ! 笔者认为相对文［１］ ) 文［２］而言是更复杂的证法 ! 虽然文［３］的论证过程的叙述是简单的 ’ 这对于学生来说是不合适的 $(
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莆田学院学报
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设 *＝ , ， !, ＝ , ∈!!!! 都是正 +"’ !"’ -
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排在最后一章 % 按［２］的教材安排 " 在这之前已介绍了矩阵的特征值 &" 但从所提示的方法上看 " 与［１］ (( 所有是相似的 " 即根据正定矩阵的特征性质 ( 主子矩阵是正定的 " 用归纳法可给出证明 $ 新近文［３］给出一个关于正定矩阵的Ｈａｄａｍａｎｄ不等式的简单证明 " 现将文［３］的证明摘录如下 ! 设 &＝ " $%’ $ ∈!!!! 是正定矩阵 " 记 (%’ ＝ )%’ " 则
# ＝ 0ｄｉａｇ（!１（#）， !２（#），&， !!（#））0$１
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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收稿日期：２００５－０４－１１
为 ! 阶正定矩阵 "* 的特征方程为 *＝ " (%’ $
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这里 , 为 ! 阶单位矩阵 "易知 "%２& 的展开式为这里ｔｒ（*）为矩阵 * 的迹 " 方程 %３& 的 ! 个根 !１，!２， #， !! 都为正 " 由方程式的根与系数的关系得
由 !１１ " 及 ./∈! 化的 ( 利用引理１和引理２ $ 可完备［３］的相关证明 ( 此时
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２ & ２ ’ 构造的矩阵Ｂ＝ ’ ３ ’ ５ (
３ )& １２ *’ ＝’ * ５ *’ ３５ +( ５
３ ) ２ * ( 显然 # 不是 * * １ + & , & "’ ""
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可逆的 $ 知此时 *, 是可对角
对称的 $因此 # 不是正定矩阵 ( 这个例子表明文［３］所构造的矩阵 # ＝
#＝
& １＝ｄｉａｇ , , & &
"’ ""
１１
，１，&，１ &２２ &!!
) -
!１２ "
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