关于正定矩阵的Hadamand不等式的证明

ｄｉａｇ
１ , &
１１
， １ ，&， １ &２２ &!!
为前提也可给出其正确的证明 ( 为此先给出两个
的特征根 !１（#）， !２（#）， & ， !!（#） 都是正数 $ 且使 !４ "% !５ "成立 ( 由算术 # 几何平均不等式和 !４ "%!５"%!１２"$
证明需要的预备知识 (
引理 １ 证
这样有
７
第５期 秩 #!"# $＝ 秩! ｄｉａｇ（!１（!）"１， "２（!）"１，% ， #$（!）"１） "#１５& 由 ’１５ &知 !$%（!） ＝１ ! % ＝１，２， % ，$ 当且仅当秩 #!"# &＝ 晏瑜敏 ! 等 " 关于正定矩阵的 Ｈａｄａｍａｎｄ 不等式的证明 显然文 ［３］ 中证明所用的基本方法和基本工具 与文［４］ 是相同的 ! 但在文［４］ 给出的证明中 ! 矩阵 ! 满足 &%’ ＝ ＝( &%’ )
!２ ＝ & ＝ !! ＝１$即矩阵有 ! 重特征根 １$而这等价于
秩（#$%） ＝ ０ 亦即 &"’ ＝ ０（" #’） $ 从 而 当 且 仅 当 ( 是 对 角 矩 阵 时 !１" 式等号成立 ’ 现看一个例子 $ 设 Ａ ＝
引理 ２ 证
$１
题设同引理 １$ 则 *, 是可对角化的 (
$ % ３ ５
!!
!
莆 田 学 院 学 报
!５"
２００５ 年 １０ 月
!９ "
" ＝ １
!! ＝ ｄｅｔ#
"
也是正定的 ( 这样由 !７ "%!８"%!９ "$
１ ２ １ ２
由算术 # 几何平均不等式 $ 并利用 !４ "%!５ "得
ｄｅｔ#"１
!６"
由 !６ " 即 得 !１" 式 $ 再 由 算 术 # 几 何 平 均 不 等 式 中 等号成立的条件知 !６ " 式中等号成立当且仅当 !１ ＝
! % ＝ １
!! ＝ ｔｒ（*） ＝ !
%
%４ &
基金项目： 莆田学院科研基金项目（２００４Ｑ００２）， （２００４Ｑ００３）， （２００５０１８）； 莆田学院教学研究项目（ＪＧ２００４１１）， （ＪＧ２００４１２） 作者简介： 晏瑜敏 （１９７２－ ） ， 女， 江西上高人， 讲师， 硕士。
６
第 １２ 卷 第 ５ 期
!
! ! !! 莆 田 学 院 学 报
中图分类号： Ｏ１５１．２１
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Ｖｏｌ．１２ Ｎｏ．５
２００５ 年 １０ 月
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!!!!!!!!!!!!!!!! Ｏｃｔ． ２００５
文献标识码： Ａ
参考文献：
［１］ 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组． 高等代数 ［Ｍ］． 第二版． 北京： 高等教育出版社， １９８８． ２４１． 郝炳新． 高等代数［Ｍ］． 第三版． 北京： 高等教育 ［２］ 张禾瑞， 出版社， １９８３． ３８０． ［３］ 丁卫平． 关于正定矩阵一不等式的简单证明［Ｊ］． 大学数 学， ２００４， ２０ （６） ： １０９!１１０． 贾忠贞． 矩阵论中不等式［Ｍ］． 合肥： 安徽教育出 ［４］ 王松桂， 版社， １９９４． ［５］ Ｂｅｌｌｍａｎ Ｒ Ｘ ． Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｍａｔｒｉｘ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］． Ｍｃｇｒａｗ－Ｈｉｌｌ Ｂｏｏｋ Ｃｏｍｐａｎｙ， １９７０． １４０． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：
# ＝ 0ｄｉａｇ（!１（#）， !２（#），&， !!（#））0$１
从 !１４ "得
!１４ "
*
$ １ ２
＝ !* "$１ ＝ Ｍ$１ ＝
１ ２
１ １ １ ， ， &， -ｄｉａｇ -Ｔ （ ） （ ） ! * ! * ! . １ . ２ . !（*）
,
-
#$% ＝ 0ｄｉａｇ（!１（#）$１， !２（#）$１， &， !!（#）$１）0$１
我们总约定 !!!!! 为实数域 ! 上 ! !! 矩阵的
!
排在最后一章 % 按 ［２］ 的教材安排 " 在这之前已介绍 了矩阵的特征值 &" 但从所提示的方法上看 " 与 ［１］ (( 所有 是相似的 " 即根据正定矩阵的特征性质 ( 主子矩阵是正定的 " 用归纳法可给出证明 $ 新近文［３］给出一个关于正定矩阵的 Ｈａｄａｍａｎｄ 不等式的简单证明 " 现将文［３］ 的证明摘录如下 ! 设 &＝ " $%’ $ ∈!!!! 是正定矩阵 " 记 (%’ ＝ )%’ " 则
设 *＝ , ， !, ＝ , ∈!!!! 都是正 +"’ !"’ -
定矩阵 $则 *, 的特征根全为正的 ( 由 * 为正定矩阵 $知有正交矩阵 - $ 使 !７"
０ ＜ ｄｅｔ# ＝ ｄｅｔｄｉａｇ １
! " ＝ １ !
１ , &
１１
， １ ，&， １ &２２ &!!
!
ｄｅｔ) ＝ -
* ＝ -ｄｉａｇ（!１（*）， !２（*），&， !!（*））-Ｔ
收稿日期： ２００５－０４－１１
为 ! 阶正定矩阵 "* 的特征方程为 *＝ " (%’ $
ｄｅｔ（*+!,） ＝ ０ !!+ｔｒ（*）!!+１＋# ＋（+１）! * ＝ ０
%２ & %３ &
这里 , 为 ! 阶单位矩阵 "易知 "%２& 的展开式为 这里 ｔｒ（*） 为矩阵 * 的迹 " 方程 %３& 的 ! 个根 !１，!２， #， !! 都为正 " 由方程式的根与系数的关系得
由 !１１ " 及 ./∈! 化的 ( 利用引理 １ 和引理 ２ $ 可完备 ［３］ 的相关证明 ( 此时
!!!
２ & ２ ’ 构造的矩阵 Ｂ ＝ ’ ３ ’ ５ (
３ )& １ ２ *’ ＝’ * ５ *’ ３ ５ +( ５
３ ) ２ * ( 显然 # 不是 * * １ + & , & "’ ""
!１１ "
源自文库
可逆的 $ 知此时 *, 是可对角
对称的 $因此 # 不是正定矩阵 ( 这 个 例 子 表 明 文 ［３］ 所 构 造 的 矩 阵 # ＝
#＝
& １ ＝ ｄｉａｇ , , & &
"’ ""
１１
， １ ，&， １ &２２ &!!
) -
!１２ "
∈!!!! 一般不再是正定矩阵 $ 因而文 ［３］ 中以 # 为
文章编号： １６７２－４１４３（ ２００５） ０５－０００５－０３
关于正定矩阵的 "#$#%#&$ 不等式的证明
晏瑜敏 " 张新军 " 杨忠鹏
（ 莆田学院 数学与应用数学系， 福建 莆田 ３５１１００ ）
关键词： 正定矩阵； Ｈａｄａｍａｎｄ 不等式； 对称矩阵 摘 要： 首先指出丁卫平 《关于正定矩阵一不等式的简单证明》 一文给出的关于正定矩阵的 Ｈａｄａｍａｎｄ 不等式
２ ２ １ ２
从 !１３ "即有 !６ "式成立 $ 从而可得 !１ "式成立 ( 由 !１３" 及算术 # 几何平均不等式等号成立的 !８" 条件知 !６ " 式等号成立当且仅当 !"（#） ＝ １$ " ＝ １， ２， &，! !( 由引理 ２ 可知有可逆矩阵 0∈!!!!$ 使
从 !８ "知 $ 矩阵
*% ＝!(%%
! % ＝ １， ２， * ，$ !! ＝ )+)! 由矩阵的正定性
在合同关系下是不变的 ! 知 ! 是正定矩阵 ( 易见 ’１$ 等价于 ’６$( 注意 ! 的对角元素全为 １( 现在来证明 ’６ $! 应用算术平均与几何平均不 等式 ! 得
１ ２
又 !"（*）＞０$ " ＝１， ２， &，!!$ 由!７"可知有正定矩阵
/&
ｄｅｔ) ＝/!"（#）" １ 0!"（#）＝１ !１３" !"＝１ " ＝ １
""
* ＝.＝ -ｄｉａｇ（ .!１（*） ， .!２（*） ， &， .!!（*） ）-Ｔ ＝ .Ｔ
由此 $* ＝ !* " ＝ !." (
"１ ２
(%’ ＝ &’%（#%， ’） ! 因此文 ［４］ ( + %% +(%’
的证明是完全正确的 ( 作为研究矩阵不等式的专著的文 ［４］ 给出的证 明 较 文 ［１］) 文 ［２］ 要 有 更 多 的 预 备 知 识 为 前 提 的 ! 在这个意义上作为教学研究的文 ［３］ 给出的证法 ! 笔 者 认 为 相 对 文 ［１］ ) 文 ［２］ 而 言 是 更 复 杂 的 证 法 ! 虽然文 ［３］ 的论证过程的叙述是简单的 ’ 这对于学 生来说是不合适的 $(
的证明是不恰当的， 然后按该文的思路， 利用正定矩阵的有关性质给出正确的证明。
’())* )* +,- .#$#%#&$ /&-01#23+4 )* ’)53+36- 7-*3&3+- 8#+(39
ＹＡＮ Ｙｕ－ｍｉｎ， ＺＨＡＮＧ Ｘｉｎ－ｊｕｎ， ＹＡＮＧ Ｚｈｏｎｇ－ｐｅｎｇ
（ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ＆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ， Ｐｕｔｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｐｕｔｉａｎ ３５１１００， Ｃｈｉｎａ ）
集合 "ｔｒ（"） ＝ !$%% 为 & ＝ " $%’ # ∈!!!! 的迹 "ｄｅｔ& 为
# ＝ １
& 的行列式 "且用 !%（&）， % ＝ １， ２，#，! 表示 & 在复数
域上的所有特征根 $ 设 &＝ " $%’ $ ∈!
! !!!
是正定矩阵 "则 & 的行列式 %１&
ｄｅｔ&%&$%%
.$１（*,）. ＝ .Ｔ,. ＝ * ,* ＝ （* , ）（, * ） ＝ （, * ）Ｔ（, * ） !１０ "
为正定矩阵 ( 且由 !１０ "知 $*, 与正定矩阵 * ,* 有相同的特征根 $ 故 *, 的所有特征根为正的 (
１ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２
% ＝ １
$%%
当且仅当 & 是对角矩阵时 "%１& 式等号成立 $ 上述关于正定矩阵的行列式上界估计的不等 式 %１&" 就是著名的 Ｈａｄａｍａｎｄ 不等式 $ 国内使用 的最广泛的两本教材 ［１］’ ［２］ 都把这个不等式的证 明作为基本习题 $ 文［１］ 将上述不等式作为不涉及到实对称矩阵 的特征值问题而列为第五章的习题 " 而 ［２］ 虽然安
正定矩阵为前提的证明是不妥的 ( 我们按着文［３］ 的思路 $但不以 # ＝
!
从)＝ , ∈ !! ! ! 是 正 定 的 知 $ &"" ＞ ０ $ " &"’ -
＝ １， ２， & ， ! $ & ∈! , & "’ "" !!
所以 # 可表成两个正定矩阵 和 ) 之积 ( 由引理 １ 知 $# -
Ｗｅｉｐｉｎｇ＇ｓ ｐａｐｅｒ -.//0 /0 $! %!123)4%56 /0 7/8%5%91 :10%!%51 ;$5.%< ｉｓ ｎｏｔ ｐｒｏｐｅｒ． Ｔｈｅｎ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｔｒａｉｎ ｏｆ ｔｈｏｕｇｈｔ ａｎｄ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ ｗｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ａ ｐｒｏｐｅｒ ｐｒｏｏｆ．
０!当且仅当 ! ＝ # !当且仅当 &%’ ＝ (%’ ＝ ０（#%$’）! 当 (%%
且仅当 (%’ ＝ ０（#%$’）( 由此证明 Ｈａｄａｍａｎｄ 不等式 #１& 的等号条件成 立( 由 上 述 讨 论 可 知 ! 作 为 教 材 ［１］) ［２］ 所 设 计 的 解法所用的矩阵知识是比较少的 ! 因此文 ［３］ 所用 的方法可能会更简单些 ( 正如文 ［４］ 所说 ! 对于 正 定 矩 阵 !Ｈａｄａｍａｎｄ 不 等式是一个很基本的不等式 ! 迄今为止已积累了 上百种不同的证明方法［５］( 文［４］! ３．３ 定理 ３．３．１ 给 出一种证法如下 " 从 (%% ＞ ０! % ＝ １， ２， *，$ !设 ) ＝ ｄｉａｇ（*１， *２， *，*$） !
:-4 ;)($5! ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ； Ｈａｄａｍａｎｄ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ； ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｍａｔｒｉｘ <=5+(#>+ ! Ｆｉｒｓｔ， ｗｅ ｐｏｉｎｔ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ Ｈａｄａｍａｎｄ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ ｉｎ Ｄｉｎｇ
２ ３
由 引 理 １ 证 明 中 的 !１０" 式 知 $ 对 正 定 矩
$ 由 ) 的所有主
阵 . （*,）. 存在着正交矩阵 /$ 使得
子式为正 $知 ) 为正定矩阵 $ 且 &１１ ＝ ２$&２２ ＝ ５ $ 按 ［３］
/$１.$１（*,）./ ＝ （./）$１（*,）（./） ＝ ｄｉａｇ（!１（*,）， !２（*,），&， !!（*,））