弹性与塑性力学基础-第一章应力分析

第一章 应力分析
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
显然，有：
P / A0 c o s

(1-8)
或

1 2 1 2

x
x

1
2
x

y
cos
2
xy
sin 2
y
sin
2
xy
cos 2

(1-9)
消去 后，则得
2 1
x

y



2

2
1 2
x
第一章wk.baidu.com应力分析
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 将式(1-16)代入式(1-15)便可得到Sx的表达式。 S x l x m yx n zx 用同样的方法, 可得到Sy、Sz的表达式，即:
S x l
x
m
yx y yz
S y l x y m S z l x z m
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第一章 应力分析
1.3.1 主方向、主平面、主应力的概念
§1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆
1.3.2 应力不变量的概念
1.3.3 任意方向截面应力的主应力的表达 1.3.4 三维应力状态应力莫尔圆 §1-4 主剪应力
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第一章 应力分析
§1-5 正八面体剪应力 §1-6 应力张量及应力偏量
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况; 整理后，得

x x
cos
2

y
sin cos
y
y
sin
2
2

xy
cos
xy
sin cos
2
sin
2

=0。
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况 如图所示， x－x、 ；y－y、
任意截面上BC：( ，)
设截面BC的面积A， AC面积为Acos ，
AB的面积为Asin 。
边界同时存在正应力、剪 应力时斜截面受力图
设截面BC的面积A， AC面积为Acos，
AB的面积为Asin 。 沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
即：
A ( 1 A cos ) cos ( 2 A sin ) sin
1 cos
2
2 sin
2

(1-4)
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第一章 应力分析
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况按式
(1-11)，线段OA和OB表示主应力主应力
1与x轴正向角度0是ACP1之半；
由图也可以看出，最大剪应力
max

x
2
y

2
2 xy
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
A ( 1 A cos ) sin ( 2 A sin ) cos
即：
( 1 2 ) sin co s

y



2
xy
2
(1-10)
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况
坐标系： － 参 数： x、y和xy
圆
半
心： 轴上点
径： 1
(
1 2
( 1 2 )
2
0
n
(1-13)

2
时，便可确定 =0时，x及y分别获得极值时的值，
即互相垂直的两个主应力值。角0和主应力可以在应力莫尔圆上的确定
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况
在(，)平面内，横坐标轴上取
1.6.1 张量概念
1.6.2 应力张量概念
1.6.3 应力张量球张量与偏张量
1.6.4 应变速率张量
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.1 应力定义
应力是指当物体中一微元面积M趋近于零时，作用在该面积上的内力
ΔP与ΔA比值的极限，即
lim P / A

1 2
1 2
(1-14)
即等于主应力差的一半，并且出现于与主应力截面成π/4 的截面上，故 可知，实际物体中平面之夹角在应力莫尔圆中所对应的平面间圆心角被放大 了一倍。
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§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法
从受力物体中取出任一无穷小四面体
三个面与坐标面平行， 第四个面法线n方向余弦是l、m、n。 正应力总是沿着作用面的法线方向 剪应力两个下标说明所在的面
(用外法线方向表示)与作用方向，
例如yx表示剪应力所在面与y轴垂直， 它的方向与x轴平行。
四面体受力图
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第 一 章
应 力 分 析
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第一章 应力分析
1.1.1 应力定义 1.1.2 应力的方向性 1.1.3 平面应力状态应力关系
§1-1 单向及平面应力状态分析
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、 剪应力表示方法
A 0
(1-1)
当物体受外力P1、P2、P3、…作用时，产生与诸外力相平衡的内力。
作用于变形体 中某一微元面 积的内力ΔP
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单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
应力与方向有关，例如简单拉伸。垂直于轴线
平面上的应力
0 P / A0
(1-2)
P—轴向力； A0——垂直于轴线的横截面面积。
而当所截平面的法线与轴线成α角时，由于斜
面的面积增大(由A0→A0/cosα) ， 相应的轴向应
力为 来越小。
1 P / A 0 cos
(1-3)
随着α增大，截平面越来越倾斜，应力也就越
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
A ( x A c o s ) c o s ( y A sin ) sin
( xy A c o s ) sin ( xy A sin ) c o s
1
x
dydz
1
yx
dxdz
1
zx
2
2
2
dxdy S x dA 0
(1-15)
平面图形 投影几何
关系有
2 1 d zd x m d A 2 1 dxdy n dA 2 1 dydz l dA
(1-16)
四面体受力图
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x
2
y

2
2 xy
(1-11)
根据式(1-9)的第二式，当 =0时，
＝0则可得
tg 2 0 2
xy

x

(1-12)
y
式(1-12)也可参照应力圆直接列出。
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况 如果0为方程式(1-12)的最小正根， 则其他的根1，2 ，3 ，… n ， 可由下式确定 2 2 n n 0 即 n 0 2 当 1
沿BC面的切线方向力的平衡方程为：
A ( x A c o s ) s in ( y A s in ) c o s
( xy A s in ) s in ( xy A c o s ) c o s
边界同时存在正应力、剪 应力时斜截面受力图
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(1-5)
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由式(1-4)和(1-5)，将 消去后，可得：
1 2 1
2
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
2

2

1 4
1

2 2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。
Y轴
-xy - y -zy Sy
Z轴
-xz -yz - z Sz 四面体受力图
1/2dxdy -zx dA Sx
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§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法
在四面体面上的力作用于相应面的重心上。体积力忽略不 计。x轴上力的平衡条件为
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法
作用在四面体四个面上的应力及这些面的面积列于表1-1中。
表1-1 四面体各个面上的应力分布
面的名 外法线 称 方向
YOZ XOZ XOY 倾斜面 -X -Y -Z N
面积
应力投影
X轴
1/2dydz 1/2dzdx - x -yx

2
最大剪应力确定方法：出现于 2
出现在图中的

4

或
2
3 2
的截面上，即
1 2 ( 1 2 )
的截面上，最大剪应力的值为
。
2=0情况下应力圆：应力圆将切于上，最大剪应力值等于 1。
2
1
1= 2 =0 的情况下：应力圆将变成一个点，此时在任一截面上将有
坐标系： －
圆 心： 轴上点 1 ( ) 1 2
2
应力圆
半
1 径： ( ) 1 2 2
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和 的值。
1 2 (
x
y)
做为圆心, 取
1 2
(
x
y)
为
C P1 或 C P ，在 P1 及 P2 处取xy 的值
2
作为纵坐标；在 C P1
1 2
(
x
y ) 点，
取xy为正值，得到应力圆的半径CP1，等于

x
2
y

2
2 xy
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x
y)

2

2 xy
应力莫尔圆
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况
主应力状态1、2和0 的确定 剪应力为零时的正应力的值为
1 2 2
1
x

y


2
( P / A 0 ) c o s sin
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边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界只存在正应力情况
平面应力状态如图所示，假设z=0。 x－1 ，y－2 ，任意截面上BC：(, )
n zx n zy n z
(1-17)
作用在任意倾斜面上的应力分量可以用作用
在相互垂直的三个面上的应力分量来表示。
四面体受力图
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第一章 应力分析
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 如果作用在物体表面上的外部载荷用Fx, Fy, Fz 表示, 于是式(1-17)中的Sx,Sy,Sz都换成Fx, Fy, Fz， 即式(1-17)可作为应力的边界条件。