22.2 解一元二次方程直接开方法
华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
2.直接开平方法和因式分解法(二)PPT课件(华师大版)
解：直接开平方，得 x＋10＝±4， ∴x1＝－14，x2＝－6.
分层作业
1．若方程(x－5)2＝19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列结论中正确的是 ( C ) A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a－5 是 19 的算术平方根 D．b＋5 是 19 的平方根
4x y x －y
交叉相乘积相加得－3xy，凑得中间项，所以分解为 4x2－3xy－y2＝(4x＋y)(x－ y)．
参考以上方法，解方程：4x2－5x＋1＝0.
解：4x2－5x＋1＝0 化为(4x－1)(x－1)＝0， ∴4x－1＝0 或 x－1＝0 故 x1＝14，x2＝1.
分层作业
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参考答案
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(4)x1＝3，x2＝14.
6．解方程： (1)4(x＋3)2＝25(x－2)2；
解：开平方，得 2(x＋3)＝±5(x－2)， 解得 x1＝136，x2＝47；
(2)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.
解：由原方程，得(2x＋3)2＝(x－3)2， 直接开平方，得 2x＋3＝±(x－3)， 解得 x1＝0，x2＝－6.
数学HS版九年级上
第22章 22.2.1.2
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第2课时 直接开平方法和因式分解法(二)
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 1．使学生知道形如(x＋b)2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程． 情景问题引入 小明在解关于 x 的方程(x＋2)2＝4(x＋2)时，在方程两边都除以(x＋2)，得到方程的根 为 x＝2，其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是什么？
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1第1课时直接开平方法
22.2.1 第1课时 直接开平方法1．解方程：x 2＝25.因为x 是25的平方根，所以x ＝________．所以原方程的解为x 1＝________，x 2＝________．2．一元二次方程x 2－4＝0的解是( )A ．x 1＝2，x 2＝－2B ．x ＝－2C ．x ＝2D ．x 1＝2，x 2＝03．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－5＝0; (2)16x 2＝81；(3)5x 2－125＝0; (4)x 2－5＝49.知识点 2 用直接开平方法解形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的一元二次方程4．将方程(2x －1)2＝9的两边同时开平方，得2x －1＝________，即2x －1＝________或2x －1＝________，所以x 1＝________，x 2＝________．5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．x 2－3＝0B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2＝0D ．(x －1)2＝(－2)26．用直接开平方法解下列方程：(1)(x ＋2)2＝27； (2)(x －3)2－9＝0；(3)(2x －8)2＝16； (4)9(3x －2)2＝64.7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝( )A ．－5B ．－4C ．1D ．38．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 39．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x 2－16＋y 2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．11． ［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min {}－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x 2＝1，则x ＝________．1．±5 5 －5 2.A3．解：(1)x 2＝5，x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－ 5. (2)∵x 2＝8116，∴x ＝±8116， 即x 1＝94，x 2＝－94. (3)∵5x 2＝125，∴x 2＝25，∴x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5.(4)x 2－5＝49，x 2＝499，解得x 1＝73，x 2＝－73. 4．±3 3 －3 2 －15．C [解析] x 2－3＝0移项得x 2＝3，可用直接开平方法求解；(x －1)2－4＝0移项得(x －1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x －1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.6．解：(1)∵x ＋2＝±27，∴x ＝－2±3 3，∴x 1＝－2＋3 3，x 2＝－2－3 3.(2)∵(x －3)2－9＝0，∴(x －3)2＝9，∴x －3＝±3，∴x 1＝6，x 2＝0.(3)∵2x －8＝±16，∴2x ＝8±4，∴x 1＝6，x 2＝2.(4)∵(3x －2)2＝649， ∴3x －2＝83或3x －2＝－83， 解得x 1＝149，x 2＝－29. 7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1，∴x 2－4x －4＝1，∴(x －2)2＝9，∴x 1＝5，x 2＝－1.∵a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a >b ，∴a ＝5，b ＝－1，∴a b ＝5－1＝－5. 故选A.8． B [解析] 由函数y ＝x 3得n ＝3，则y ′＝3x 2，∴3x 2＝12，则x 2＝4，∴x ＝±2，∴x 1＝2，x 2＝－2.故选B.9． 3 [解析] (x 2＋y 2－1)2＝4直接开平方得x 2＋y 2－1＝±2.解得x 2＋y 2＝3或x 2＋y 2＝－1.∵x 2≥0，y 2≥0，∴x 2＋y 2＝3. 10．解：根据题意，得x 2－16＝0，y 2－9＝0，所以x ＝±4，y ＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y ＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.11．－ 3 2或－1 [解析] min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x －1)2，x 2}＝1，当x ＝0.5时，x 2＝(x －1)2，不可能得出最小值为1，当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，x－1＝±1，即x－1＝1或x－1＝－1，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1. 综上所述，x的值为2或－1.。
22.2.1直接开平方法解一元二次方程
5
(3)4 x (4) x
2
1
2 2 20x ) 10 ( x 10
梳理
像上题，通过配成完全平方式的 形式解出一元二次方程的根的方法，
叫做配方法。
小技巧: 配方时, 如果二次项系数为1,方 程左右两边应同时加上一次项系数的一 半的平方.如果二次项系数不是1，应先 化为1，再配方
1.直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程，先把 方程左边变成x的平方(或关于x的一次式的平 方),右边变成一个非负常数的形式,再开平方。
化成
(mx+n)2=非负常数
(3)(x 5) 16
2
然后两边直接开平方
( 4)(x 1) 3 0
2
(5) y 4 x 4 3
2
1.直接开平方法
用直接开平方法解一元二次方程， 先把方程左边变成x的平方(或关于x的一 次式的平方),右边变成一个非负常数的形 式,再开平方。
如 果 方 程 能 化 成x p 或
2
（mx n） p( p )的 形 式 ， 那 么 ≥ 0
2
可 得x p或mx n p .
2 2 2
a=-4,b=3,c=-5
2
a=1,b=0,c=-1
2 2
(4) x 3 0; (5)2 x 3x 2 x( x 1) 1; (6) y 0
a=1,b=0,c=3 a=1,b=0,c=0
解一元二次方程 化成 X2=非负常数 然后两边直接开平方
（1）x2-25=0
的一次式)的平方,右边变成非负常数的
形式就可以直接开平方求解了。
方程x2+6x=2如何解？ 1、把下列各式的左边化成完全平方式
222解一元二次方程直接开方法
222解一元二次方程直接开方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知实数，x是未知数。
解一元二次方程的直接开方法是指直接对方程两边进行开方运算，从而求得方程的解。
这种方法适用于方程可以通过开方运算得到解的情况。
一元二次方程的一般解法是使用求根公式，即x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)。
这种方法通过对方程的求根公式进行分析和推导，进而求得方程的解。
下面我们将介绍一元二次方程直接开方法的具体步骤。
步骤一：将方程化为标准形式将给定的一元二次方程化为标准形式，即将方程移项得到ax²+bx+c=0的形式。
确保方程中的系数a、b、c分别对应二次项、一次项和常数项。
步骤二：判断方程的解的情况根据方程的判别式Δ=b²-4ac的值，可以判断方程的解的情况：-如果Δ>0，方程有两个不相等的实数根；-如果Δ=0，方程有两个相等的实数根；-如果Δ<0，方程没有实数根。
步骤三：直接开方运算针对方程的解的情况进行直接开方运算：-如果方程有两个不相等的实数根，可以直接对求根公式中的Δ进行开方运算得到两个根；-如果方程有两个相等的实数根，可以直接对求根公式中的Δ进行开方运算得到一个根。
步骤四：求得方程的解根据直接开方运算得到的结果，可以求得方程的解。
需要注意的是，在进行直接开方运算时，若根号中的数不能直接开方，可以先进行因式分解、配方法等运算，将根号中的数化为可以开方的形式。
举例说明，假设有一元二次方程2x²+5x-3=0。
按照上述步骤，首先将方程化为标准形式2x²+5x-3=0。
判断方程的解的情况，计算其判别式Δ=5²-4(2)(-3)=49，得到Δ>0，说明方程有两个不相等的实数根。
接下来进行直接开方运算，代入求根公式x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)，得到两个根x₁ = (-5 + √49)/(2*2) = (-5 + 7)/4 = 1/2和 x₂ = (-5 - √49)/(2*2) = (-5 - 7)/4 = -3所以方程2x²+5x-3=0的解为x=1/2和x=-3这就是一元二次方程直接开方法的具体步骤和解题过程。
一元二次方程直接开平方和因式分解法
x1=5，x2=－5
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所 以正方体的棱长为5 dm．
方程x2+6x+9=2的左边是完全平方形式，这个方程可以化成 （x+3）2=2，进行降次，得______________ x 3 2 ，所以方程的根为 3 2 ． x1=___________ 3 2 ，x2＝__________
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和
因式分解法
问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰 好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒 子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 2 x +2x－8 =0 方程右边化为零 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个一次因式 的乘积 x－2=0或x+4=0 至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的 ∴ x1=2 ,x2=-4 解
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
9 x 25 0
2
解法一 (直接开平方法):
5 x , 3 5 5 即x1 , x 2 . 3 3
2 9x －25=0
解法二：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0 5 5 x1 , x 2 . 3 3
9X2－25= (3x+5)(3x－5)
22..直接开平方法和因式分解法课件初中数学华师大版九年级上册
3(x – 3) (1 – x) = 0
得
x1 = 3，x2 = 1.
课堂小结
1.对于形如 a(x – k)2 = b(a ≠ 0，b ≥ 0)的方程， 只要把 (x – k) 看作一个整体，就可转化为 x2 = n (n ≥ 0) 的情势用直接开平方法解.
2.当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.
（2）x( x 2 3) 0； x1 0，x2 2 3.
（3）(x – 1)2 = 0；
x1 = x2 = 1.
（4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2
(x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0
[(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0
(3x – 9) (1 – x) = 0
直接开平方，得 ______2___x_=____2_3________.
所以 x1 = __2___2_3__，x2 = __2____23__.
你知道吗？
小张和小林一起解方程
x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0. 小张将方程左边分解因式，得
所以 得
(3x + 2)(x – 6) = 0，
22.2 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法和因式分解法
华东师大版九年级上册
• 学习目标：
1. 会用直接开平方法解形如 a(x - k)2 = b（a ≠ 0， ab ≥ 0）的方程.
2. 灵活应用因式分解法解一元二次方程.
3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用.
• 学习重点：
利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.
22.2一元二次方程--直接开平方法(陈晓辉)
举一反三
解下列方程．
1．x -3=0 2．4x2-9=0 3. 4x2+4x+1=1 4. x -6x+9=5
2
2
趁热打铁
解下列方程：
1. (1－x)2 = 1；
2. (1+x)2－2 = 0； 3. (2x+1) 2+3 = 0； 4. x2－2x+1= 4.
画龙点睛
谈一谈本节课自己的收获和感受？
设计制作：
陈晓辉
复习引入
求出下列各式中 x 的值， 说说你的理由． 并
1． x =9 2． x =5 3． x =a（a>0）
2 2
2
探索新知
一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体
的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？
探索新知
对照上述解方程的过程， 你能解下列方程 吗？从中你能得到什么结论？ （1） (2 x 1)2 5
由应用直接开平方法解形如 x =p（p ≥0），那么 x=± p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n） 2 =p（p≥0）， 那么 mx+n=± p ， 从而达到降次转化之目 的。2 融会贯通A 基础训练
1． 若 8x2-16=0， 则 x 的 值 是 _________．
2 2． 果 方 程 （ x-3）=72， 么 ， 个 一 元 二 次 方 程 的 两 根 是 _______． 如 2 那 这
3． 果 a、 实 数 ， 足 3a 4 +b2-12b+36=0， 么 ab 的 值 是 ______． 如 b为 满 那 4． 若 x2-4x+p=（ x+q） 2， 那 么 p、 q 的 值 分 别 是 （ A．p=4，q=2 B． p=4， q=-2 ）． C． ±3 D． 无 实 数 根 C． p=-4， q=2 ）． D． p=-4， q=-2
22.2.1一元二次方程的解法--直接开平方法
一元二次方程的解法
--直接开平方法
例.用直接开平方法解下面的一元二次方程：
解方程：
一元二次方程的解法
--直接开平方法
解方程：
一元二次方程的解法
--直接开平方法
一元二次方程的解法
--直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫 直接开平方法。
第22章 一元二次方程
22.2.1一元二次方程的解法-直接开平方法一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常可写一成次项如下的一般形式：
系数
二次项系数 ax2+bx+c=0 (a≠0).
二次项 一次项 常数项
一元二次方程的根
一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数
适用方程的基本特点：（1）方程左边为完全平方式； （2）方程右边为非负数.
本节课你的收获是什么？
的值叫做一元二次方程的解。 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
通常，一元二次方程有两个根。
一元二次方程的解法
--直接开平方法
像这样利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
一元二次方程的解法
--直接开平方法
像这样利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
22.2降次——解一元二次方程(共8课时)
22.2降次——解一元二次方程（共8课时）第一课时：配方法（1）一、教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课教学过程设计做一做1．一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？（课件：盒子的棱长）2．对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）2x-=；（2）2692(21)5x x++=．学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到21x-=对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成2xp=或2()(0)m x n p p +=≥的形式，那么可得x =m x n+=课堂练习解下列方程．学生独立思考、独立板书解题1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=03、应用拓展市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=〒1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．课堂小结问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=的．作业31页练习1、2第二课时：配方法（2）教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程一、复习回顾、引入新课用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．二、探究新知、归纳配方法一般过程．学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程探究二：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（课件：配方）学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律． （1）x 2－8x + 1 = 0； （2）2213x x+=；（3）23640x x -+=．（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=；（3）按照（2）的方式进行处理．在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式2a xb xc ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？师生活动设计：学生在独立思考的基础上解决问题，在必要时教师进行适当引导，遇到问题时可以让学生讨论解决．…解答‟设绿地的宽是x 米，则长是（x ＋10）米，根据题意得x （x +10）＝900．整理得210900x x +=，配方得2(5)925x +=．解得1255x x =-+=--由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是5-+的长是5+四、课堂练习解方程x 2-4x-3=0． 解方程2x 2+3=7x ．五、归纳总结、布臵作业1、 在解决问题的过程中你采取了什么方法？2、应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的要点是： (1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数； (3)方程两边各加上一次项系数一半的平方； 作业：习题22．2第1～3题．第三课时：用公式法解一元二次方程。
濠江区四中九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解
(3)(3x－1)2＝(3－2x)2 ; 解：x1＝45 ，x2＝－2 (4)6x＋15＝2x(2x＋5). 解：x1＝－52 ，x2＝32
20．(8分)已知三角形的两边长分别为3和7 , 第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根 , 求这个三角形的周长． 解 : ∵方程x(x－7)－10(x－7)＝0 , ∴x1＝7 , x2＝10 , 当x＝10时 , 3＋7＝10 , 所以x2＝10不符合题意 , 舍去 , ∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17
只得出一个根是x＝4 , 那么被他漏掉的一个根是x＝____．
10．(12分)运用因式分解法解以下方程 :
(1)3x(x－2)＝2(2－x) ;
(3)(2x－1)2－5＝0 ;
解：x1＝2，x2＝－23
解：x1＝3，x2＝35
(2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0 ;
1－ 5
1＋ 5
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
第22章 一元二次方程
22．2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方式和因式分解法
1．假设一元二次方程能化成x2＝p(p≥0)的形式 ,
就可用___直__接__开__平__方__式___去求解．
2．假设一元二次方程的右边为0 , 左边易于分解为两个一次因式的积 ,
就用___因__式__分__解____法求解比较简便．
4．(2分)假设3(x＋1)2－48＝0 , 那么x的值等B于( ) A．±4 B．3或－5 C．－3或5 D．3或5
5．(12 分)用直接开平方法解下列方程．
(1)9x2＝25; (2)x2－ 256 ＝0；
解：(1)x＝±53
解 : (2)x＝±4
(3)(x－3)2－9＝0; (4)(2t－1)2＝9.
22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目 的；
2
一元二次方程配方的一般步骤： 化简：把方程化简为一般形式， 把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方：根据平方根意义,方程两边开平方 求解：解一元二次方程 定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程， 那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且 面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程
华师版九年级数学上册教案：第22章 一元二次方程2 一元二次方程的解法(5课时)
22.2 一元二次方程的解法1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)一、基本目标1．理解直接开平方法和因式分解法,掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤,并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程．2．通过利用已学知识求解一元二次方程,获得成功的体验,体会转化思想的应用． 二、重难点目标 【教学重点】用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程． 【教学难点】根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P20～P25的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．直接开平方法：利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法． 2．因式分解法：利用__因式分解__求出方程的解的方法．3．因式分解法的依据：如果两个因式的积等于0,那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来,如果两个因式中有一个等于0,那么__它们的积__就等于0.4．方程(x －1)2＝1的解为__x 1＝2,x 2＝0__.5．用因式分解法解一元二次方程(4x －1)(x ＋3)＝0时,可将原方程转化为两个一元一次方程,其中一个方程是4x －1＝0,则另一个方程是__x ＋3＝0__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程： (1)(x ＋1)2＝2； (2)(2x ＋1)2＝2x ＋1； (3)－x 2＝4x ； (4)12(x ＋5)2＝9.【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点,确定解方程的方法及一般步骤． 【解答】(1)直接开平方,得x ＋1＝±2. 故x 1＝2－1,x 2＝－2－1.(2)移项,得(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝0.方程左边分解因式,得(2x ＋1)(2x ＋1－1)＝0,所以2x ＋1＝0或2x ＋1－1＝0,得x 1＝－12,x 2＝0.(3)方程可变形为x 2＋4x ＝0.方程左边分解因式,得x (x ＋4)＝0,所以x ＝0或x ＋4＝0,得x 1＝0,x 2＝－4.(4)方程两边同时乘2,得(x ＋5)2＝18.直接开平方,得x ＋5＝±32,所以x 1＝32－5,x 2＝－32－5.【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x 2＝b (b ≥0)或(mx ＋a )2＝b (m ≠0,b ≥0)的形式；②直接开平方,得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项,将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．活动2 巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( D ) A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．x 1＝2,x 2＝－2D ．x 1＝4,x 2＝－42．在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a ﹡b ＝a 2－b 2,根据这个规则,方程(x ＋1)﹡3＝0的解为__x 1＝2,x 2＝－4__.【教师点拨】根据新定义,由(x ＋1)﹡3＝0,得(x ＋1)2－32＝0. 3．解下列方程： (1)4x 2＝25； (2)x (x ＋2)＝x ＋2.解：(1)方程可化为x 2＝254.直接开平方,得x ＝±52,所以x 1＝52,x 2＝－52.(2)移项,得x (x ＋2)－(x ＋2)＝0.方程左边分解因式,得(x ＋2)(x －1)＝0,所以x ＋2＝0或x －1＝0,得x 1＝－2或x 2＝1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】由多项式乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．示例：分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试：分解因式：x 2＋6x ＋8＝(x ＋__2__)(x ＋__4__)； (2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程．【解答】∵x 2－3x －4＝0,即x 2＋(－4＋1)x ＋(－4)×1＝0,∴(x －4)(x ＋1)＝0,则x ＋1＝0或x －4＝0,解得x 1＝－1,x 2＝4.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要把握新定义的内涵,抓住关键词语,合理套用求解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)直接开平方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：平方根的定义形式：方程x 2＝a (a ≥0)的根为x 1＝a ，x 2＝－a因式分解法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0方法：提公因式、完全平方公式、平方差公式请完成本课时对应练习！2 配方法(第2课时)一、基本目标1．理解配方法解一元二次方程的含义,并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． 2．经历利用完全平方公式推导配方法的过程,掌握新的解一元二次方程的方法——配方法．二、重难点目标 【教学重点】用配方法解一元二次方程． 【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x ±h )2＝k (k ≥0)的形式．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P25～P27的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1. (1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝⎝⎛⎭⎫x －！！！！__12__####2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.2．配方法：通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__,右边是一个__非负常数__,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法．环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列方程： (1)x 2－4x －12＝0； (2)22x 2＋4x －6＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)原方程可化为x 2－4x ＝12. 配方,得x 2－4x ＋4＝16,即(x －2)2＝16. 直接开平方,得x －2＝±4, 所以x 1＝－2,x 2＝6. (2)移项,得22x 2＋4x ＝6. 两边同除以22,得x 2＋211x ＝311.配方,得x 2＋211x ＋⎝⎛⎭⎫1112＝311＋⎝⎛⎭⎫1112,即⎝⎛⎭⎫x ＋1112＝34121. 直接开平方,得x ＋111＝±3411,所以x 1＝－1＋3411,x 2＝－1－3411.【互动总结】(学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)变形：将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数,将二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方,把原方程化为(x ±h )2＝k 的形式；(5)求解：若k ≥0,则利用直接开平方法求解；若k <0,则原方程无实数根．活动2 巩固练习(学生独学)1．用配方法解下列方程,配方正确的是( D ) A ．2y 2－4y －4＝0可化为(y －1)2＝4 B ．x 2－2x －9＝0可化为(x －1)2＝8 C ．x 2＋8x －9＝0可化为(x ＋4)2＝16 D ．x 2－4x ＝0可化为(x －2)2＝42．用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( C ) A ．x 2－2x ＝5 B ．2x 2－4x ＝5 C ．x 2＋4x ＝3D ．x 2＋2x ＝53．用配方法解方程2x 2－x ＝4,配方后方程可化为⎝⎛⎭⎫x －142＝__3316__. 4．用配方法解下列方程：(1)x 2＋6x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋12＝0.解：(1)x 1＝22－3,x 2＝－22－3. (2)x 1＝5＋34,x 2＝－5＋34. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】试用配方法说明：无论x 取何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,并指出当x 取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x 2－4x ＋5进行配方→确定代数式的最小值．【解答】x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1. ∵(x －2)2≥0, ∴(x －2)2＋1≥1,∴不论x 为何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,且当(x －2)2＝0,即x ＝2时,代数式x 2－4x ＋5有最小值,最小值为1.【互动总结】(学生总结,老师点评)已知代数式是一个关于x 的二次三项式且含有一次项,在求它的最值时,通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式,再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)配方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2形式：方程(x ±h )2＝k (k ≥0)的根为x 1＝k ±h ，x 2＝－k ±h请完成本课时对应练习！3 公式法(第3课时)一、基本目标1．理解求根公式的推导过程,能正确推导出一元二次方程的求根公式．2．理解b 2－4ac ≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分,当b 2－4ac <0时,方程无解．3．理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤,并能正确运用公式法解一元二次方程．二、重难点目标 【教学重点】用公式法解一元二次方程． 【教学难点】 求根公式的推导过程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P28～P31的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是x ＝__－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)__.将一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接代入这个公式,就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.2．用公式法解方程2x 2－3x －1＝0时,a ＝__2__,b ＝__－3__,c ＝__－1__,则b 2－4ac ＝__17__,代入求根公式,得x ＝__3±174__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程：(1)5x 2－4x －1＝0； (2)3x 2＋5(2x ＋1)＝0.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)∵a ＝5,b ＝－4,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×(－1)＝16＋20＝36, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝4±362×5＝4±610,∴x 1＝1,x 2＝－15.(2)将方程化为一般形式,得3x 2＋10x ＋5＝0. ∵a ＝3,b ＝10,c ＝5,∴b 2－4ac ＝102－4×3×5＝100－60＝40, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－10±402×3＝－5±103,∴x 1＝－5＋103,x 2＝－5－103.【互动总结】(学生总结,老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)确定a 、b 、c 的值；(3)求出b 2－4ac 的值；(4)判断b 2－4ac 的符号．当b 2－4ac ≥0时,把a 、b 及b 2－4ac 的值代入求根公式,求出x 1、x 2；当b 2－4ac <0时,b 2－4ac 无意义,此时方程无解．活动2 巩固练习(学生独学)1．以x ＝b ±b 2＋4c2为根的一元二次方程可能是( D )A ．x 2＋bx ＋c ＝0B ．x 2＋bx －c ＝0C ．x 2－bx ＋c ＝0D ．x 2－bx －c ＝02．方程3x 2－5x ＋1＝0的解,正确的是( B ) A ．x ＝－5±136B ．x ＝5±136C ．x ＝－5±133D ．x ＝5±1333．用公式法解下列方程： (1)3x 2－6x －1＝0； (2)(x －1)(x ＋3)＝12； (3)x 2－x ＋3＝0.解：(1)x 1＝3＋233,x 2＝3－233.(2)x 1＝－5,x 2＝3. (3)方程没有实数解． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】我们规定一种运算：⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,例如：⎪⎪⎪⎪24 35＝2×5－3×4＝10－12＝－2.按照这种运算的规定,当x 取何值时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0?【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程．【解答】由⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0,得2x 2－1×(0.5－x )＝0. 整理,得4x 2＋2x －1＝0,则a ＝4,b ＝2,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝22－4×4×(－1)＝20, ∴x ＝－2±202×4＝－1±54,∴当x ＝－1＋54或－1－54时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0.【互动总结】(学生总结,老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题,解这类题的关键是根据新定义得到方程,再解方程即可．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)公式法⎩⎪⎨⎪⎧定义—求根式公：－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)推导过程—配方法一般形式—方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根为x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)请完成本课时对应练习！4 一元二次方程根的判别式(第4课时)一、基本目标1．了解根的判别式,掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况．2．经历思考、探究一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的过程,学会合作交流,并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法．二、重难点目标 【教学重点】由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况． 【教学难点】推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的b 2－4ac 的符号与其根的关系．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P31～P32的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的__b2－4ac__叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“__Δ__”来表示．2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况：当Δ__>0__时,方程有两个不相等的实数根；当Δ__＝0__时,方程有两个相等的实数根；当Δ<0时,方程__没有__实数根．3．一元二次方程x2－5x－78＝0根的情况是__有两个不相等的实数根__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】不解方程,判定下列方程的根的情况：(1)16x2＋8x＝－3；(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)2x2－9x＋8＝0；(4)x2－7x－18＝0.【互动探索】(引发学生思考)不解方程,要判断方程的根的情况,结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系,各个方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？【解答】(1)原方程可变形为16x2＋8x＋3＝0,则a＝16,b＝8,c＝3.∵Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝64－192＝－128<0,∴方程没有实数根．(2)a＝9,b＝6,c＝1.∵Δ＝b2－4ac＝62－4×9×1＝36－36＝0,∴方程有两个相等的实数根．(3)a＝2,b＝－9,c＝8.∵Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0,∴方程有两个不相等的实数根．(4)a＝1,b＝－7,c＝－18.∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝49＋72＝121>0,∴方程有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)不解一元二次方程,由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac与0的大小；(5)得出结论．活动2巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x2＋3x＋5＝0的根的情况是(C)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断2．若关于x 的一元二次方程x 2＋x －m ＝0有实数根,则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥14B ．m ≥－14C ．m ≤14D ．m ≤－14【教师点拨】若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实数根,则b 2－4ac ≥0. 3．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根,则p 与q 的关系是__p 2＝4q __. 4．不解方程,试判断下列方程的根的情况： (1)2＋5x ＝3x 2；(2)x 2－(1＋23)x ＋3＋4＝0. 解：(1)方程有两个不相等的实数根． (2)方程没有实数根．5．已知关于x 的方程kx 2－6x ＋9＝0,问k 为何值时,这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：(1)当k ＜1且k ≠0时,方程有两个不相等的实数根． (2)当k ＝1时,方程有两个相等的实数根． (3)当k ＞1时,方程没有实数根． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由．【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a 、b 、c 的数量关系→确定三角形的形状． 【解答】△ABC 是直角三角形．理由如下：∵关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0有两个相等的实数根, ∴Δ＝0,即(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0, ∴a 2＝b 2＋c 2,∴△ABC 是直角三角形．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,先根据根的情况得到判别式的符号,再推出系数之间的关系,进而解决问题．【例3】如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【互动探索】方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根→确定m 的取值范围→分类讨论确定方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【解答】∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m (m ＋5)＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m )＝4(4－m )＜0,∴m ＞4.对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0,当m ＝5时,方程有一个实数根；当m ≠5时,Δ1＝[－2(m －1)]2－4m (m －5)＝12m ＋4.∵m ＞4,∴Δ1＝12m ＋4＞0,∴此时方程有两个不相等的实数根．综上,当m ＝5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m ＞4且m ≠5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此题时,不要忽略对方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0是否为一元二次方程进行讨论,此方程可能是一元一次方程．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)一元二次方程根的判别式⎩⎪⎨⎪⎧ 定义——Δ＝b 2－4ac 与ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)实数根的关系⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0↔有两个不相等的实数根Δ＝0↔有两个相等的实数根Δ<0↔没有实数根请完成本课时对应练习！5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)一、基本目标1．理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.2．能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题．二、重难点目标【教学重点】一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系．【教学难点】一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P33～P35的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】1．一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则有x 1＋x 2＝__－b a __,x 1x 2＝__c a __. 特殊形式：若x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝__－p __,x 1x 2＝__q __.2．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2－6x －15＝0的两根,则x 1＋x 2＝__6__,x 1x 2＝__－15__.3．已知实数x 1、x 2满足x 1＋x 2＝11,x 1x 2＝30,则以x 1、x 2为根的一元二次方程是__x 2－11x ＋30＝0__.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,不解方程,求下列代数式的值．(1)(x 1－x 2)2； (2)x 2x 1＋x 1x 2. 【互动探索】(引发学生思考)方程x 2＋6x ＋3＝0的根与系数的关系怎样？所求代数式与它们的关系有什么联系？【解答】∵x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,∴x 1＋x 2＝－6,x 1x 2＝3.(1)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－6)2－4×3＝24.(2)x 2x 1 ＋ x 1x 2＝x 22 ＋ x 21x 1x 2＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10. 【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)解此类题时,先根据根与系数的关系得到两根和与两根积,再把所求代数式变形,最后利用整体代入法计算即可．(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：①x 21 ＋ x 22＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ④x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2； ⑤(x 1＋k )(x 2＋k )＝x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋k 2；⑥|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.活动2巩固练习(学生独学)1．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是(C)A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1,x2＝2,则这个方程可能是(C) A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x＋2＝0 D．x2－2x＋3＝03．已知关于x的方程5x2＋kx－6＝0的一个根2,则k＝__－7__,另一个根为__－35__.4．设a、b是方程x2＋2x－2019＝0的两个不相等的实数根．(1)a＋b＝__－2__,ab＝__－2019__,2a2＋4a＝__4038__；(2)求代数式a2＋3a＋b的值．解：a2＋3a＋b＝a2＋2a＋a＋b＝2019－2＝2017.5．请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：(1)若x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3,求b和c的值；(2)设方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2,不解方程,求1x1＋1x2的值．解：(1)b＝－1,c＝－6.(2)1x1＋1x2＝3.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】设一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根分别为x1、x2.(1)若x1＝2,求x2的值；(2)若k＝4,且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,试求Rt△ABC的面积．【互动探索】(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根．(2)分析法：Rt△的面积→与两直角边的乘积相关,即x1x2的乘积关系→根与系数的关系,确定x1x2的值．【解答】(1)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,且x1＝2,∴x1＋x2＝－(－6),即2＋x2＝6,∴x2＝4.(2)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,k＝4,∴x1·x2＝k＝4.又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,∴S Rt△ABC＝12x1·x2＝12×4＝2.【互动总结】(学生总结,老师点评)求(2)问时,弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)一元二次方程的根与系数的关系：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝c a. 特殊地,x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－p ,x 1x 2＝q .请完成本课时对应练习！。
华师大版数学九年级上册22.直接开平方法和因式分解法课件
22.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法和 因式分解法
1 课堂讲授 2 课时流程
形如x2＝p(p≥0)和（mx＋n）2 ＝p (p≥0)型方程的解法
用因式分解法解一元二次方程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
试一试
解下列方程：
(1) x2 =4；
(2) x210.
所以 得
（2）移项，得
x＝0或3x＋2＝0.
x1＝0，x 2
2 3
.
x2－3x＝0.
方程左边分解因式，得
x(x－3)＝0.
所以x＝0或x－3＝0.
得x1＝0，x2＝3.
知2－练
1 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可 以运用因式
分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个
一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的
解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
2
A．转化思想
B．函数思想
3
C．数形结合思想
D．公理化思想
知2－练
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( ) A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
2 一元二次方程4x2－9＝0的解为( )
A. x 3 2
3
3
C.
x1
, 2
x2
2
B. x 2 3
2
2
D.
x1
, 3
x2
3
知1－练
22.2.1_一元二次方程的解法---直接开平方法--
随堂练习1
（1）. (2x+3)²=5 ;
(2)42x 32 7
（2）. 2x²=128 ;
（3）. (x + 1)2 – 4 = 0
1.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
2.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
解的方法叫直接开平方法。
1、利用直接开平方法解下列方程:
(1). χ2=25
解：（1） χ2=25
开平方，得χ=±5
∴ χ1=5，χ2=－5
(2). χ2－900=0
（2）移项，得 χ2=900 开平方，得 χ=±30
∴χ1=30 ，χ2=－30
解下列方程：
1、x2=9
3、x2-16=0；
2、x2－5=0； 4、x2 =0;
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
用直接开平方法求解的方程
课本第31页练习题的六个小题。
22.2 一元二次方程 的解法
方法一：
人教新课标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直接开平方法
(1).χ2=4 (2).χ2－1=0
对于方程(1),可以这样想: ∵ χ2=4
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,利用 平方根的定义直接开平方求一元二次方程的
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析： 我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
解一元二次方程(直接开平方、配方法、配方法的应用)(解析版)
解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）【知识梳理】一．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.二．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【考点剖析】题型一、用直接开平方法解一元二次方程例1.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64， 2222()a ab b a b ±+=±所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．例2.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得x=10．由x-3=-7，得x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；2；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵x2=361，∴x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．题型二、用配方法解一元二次方程例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x2-7x＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x＝+或x＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2＝0； (2)x2+6x+8＝0.【答案】(1)方程变形为x2-4x＝2．两边都加4，得x2-4x+4＝2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2＝n 的方程，即有(x-2)2＝6．解这个方程，得x-2＝或x-2＝-．于是，原方程的根为x ＝2+或x ＝2-． (2)将常数项移到方程右边x2+6x ＝-8．两边都加“一次项系数一半的平方”＝32，得 x2+6x+32＝-8+32，∴ (x+3)2＝1．用直接开平方法，得x+3＝±1，∴ x ＝-2或x ＝-4．例4.用配方法解方程：22330x x −−=． 【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+ ， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴1233,44x x +== ．【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．【变式】 用配方法解方程 （1）2x 2+3=5x （2）【答案】（1） ()()20x m n n +=≥20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−. （2）①当时，此方程有实数解， ；②当时，此方程无实数解.例5．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数 【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.例6．用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】 25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p p x px q ++=−+224()24p p q x −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜221078M a b a =+−+2251N a b a =+++M N −22221078(51)M N a b a a b a −=+−+−+++2222107851a b a a b a =+−+−−−−29127a a =−+291243a a =−++2(32)30a =−+>x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.【变式1】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.【变式2】用配方法证明的值小于0．【答案与解析】 证明：． ∵ ，∴ ，即．故的值恒小于0． 【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【变式3】求证：代数式3x 2﹣2x+4的值不小于． 【答案】 解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x ﹣）2+ 21074x x −+−22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫−+−=−+−=−−− ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=−−+−− ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=−−−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=−−+−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2710020x ⎛⎫−−≤ ⎪⎝⎭271111002040x ⎛⎫−−−< ⎪⎝⎭210740x x −+−<21074x x −+−11323191313113∵3（x ﹣）2≥0，∴3（x ﹣）2+≥，即代数式3x2﹣2x+4的值不小于．例7.已知2226100a b a b +−++=，求100123a b −⋅−⋅的值．【思路点拨】采用配方法求出,a b 的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：由题意可得：2221690a a b b −++++=()()22130a b −++=∴10a −=，30b +=∴1,3a b ==−将1,3a b ==−代入得：(11002133213−⨯−⨯−=+=【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．例8.若实数满足，则）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C ； 【解析】对已知等式配方，得，∴．．故选Ｃ．【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 1313113113113x y ，224250x y x y +−−+=132+3+3−2210x y −+−=2（）（）21x y ==，3====+【变式】（1）2x 2+6x −3的最小值是 ；（2）−x 2+4x +5的最大值是 .【答案】（1）； 所以2x 2+6x −3的最小值是 （2）所以−x 2+4x +5的最大值是9.例9. 分解因式：．【答案与解析】．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．【过关检测】一、单选题 1．（广东清远·九年级统考期末）将方程2420x x ++=配方后，原方程变形为（ ）A ．2(22)x +=B ．2(4)3x +=C ．2(2)3x +=−D ．2(2)5x +=−【答案】A【分析】用配方法解一元二次方程即可．【详解】解：由题意知，方程2420x x ++=配方后，方程变形为2(22)x +=， 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+−=+−=++−−=+−⎢⎥⎣⎦152−22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x −++=−−+=−−+−+=−−+42221x x ax a +++−42221x x ax a +++−4222221x x x ax a =+−++−4222212x x x ax a =++−−+（）（）2221x x a =+−−（）（）22(1)(1)x x a x x a =++−+−+A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．【详解】解：228=0x x −−228x x −=22181x x −+=+()219x −=∴13x −=±解得：124,2x x ==−,丁同学是错的，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程2420x x =＋＋时，配方后得到方程()22x c +=，则c 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．2− 【答案】C【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求得c.【详解】解：2420x x ++=，242x x ∴+=−， 2442x x ∴++=，()222x ∴+=，2c ∴=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答关键.4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n −的值为（ ） A ．6− B ．3− C ．0 D ．2【答案】B 【分析】由2630xx ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n −，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =， ∴3m n −=−， 故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值． 5．（2023·江苏扬州·统考一模）已知2240y x −+=，则222x y x ++的最小值是（ ） A ．8 B ．8− C ．9− D ．9【答案】A【分析】由已知得224y x =−，注意x 的取值范围，代入222x y x ++再配方，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵2240y x −+=，∴224y x =−，且240x −≥即2x ≥，∴2222422x y x x x x +=−+++ 2448x x +=+−()228x =+−， ∵()220x +≥，2x ≥∴当2x =时，222x y x ++的最小值是8，故选：A ．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x 的取值范围是解决问题的关键．6．（2022·山东德州·统考中考真题）已知2P x x =−，2Q x =−为任意实数，则P Q −的值( ) A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P Q −()2=110x −+>，即可求解．【详解】解：∵2P x x =−，2Q x =−∴P Q −()()222222110x x x x x x =−−−=−+=−+> ∴P Q −的值大于0， 故选：A ．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【答案】D【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：221210x x −+=二次项化系数为1得：21602x x −+=移项得：2162x x −=−配方得：216992x x −+=−整理得：()21732x −=故选：D ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．二、填空题8．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程2450x x −−=配方后得()2x m n −=，则m n +的值为 _____． 【答案】11【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m 、n 的值，再进行计算即可．【详解】解：移项得245x x −=，配方得24454xx −+=+，即()229x −=，∴2m =，9n =， ∴11+=m n ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．9．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）代数式2613a a −+可化为()2269434a a a −++=−+；无论a 取何值()230a −≥，所以()a −+≥2344，即()234a −+有最小值为4．仿照上述思路，代数式248a a −+−的最大值为__________． 【答案】4−【详解】解：248a a −+−()2444a a =−−+−()224a =−−−，∵无论a 取何值，都有()220a −≥，∴()2244a −+≥， ∴()2244a −−−≤−，即()224a −−−有最大值4−，∴248a a −+−的最大值为4−，故答案为：4−．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．【答案】 16 4 36 6【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方； （2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±得出结论．【详解】解：（1）22816(4)x x x ++=+．故答案为：①16； （2）22933()42x x x −+=−故答案为：②94；（3）221236(6)x x x −+=−故答案为：③36，④6．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小． 11．（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）用配方法将方程220x x +=进行配方得___________．【答案】2(1)1x +=【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解．【详解】解：220x x +=，方程两边加上1，2211x x ++=，即()2x 11+=，故答案为：()2x 11+=．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．12．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程2820x x −−=，配方后可变形为 ____．【答案】()2418x −=【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：282x x −=，281618x x −+=，()2418x −=，故答案为：()2418x −=．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．13．（2022秋·全国·九年级专题练习）当=a _____时，代数式269a a −−有最小值为______． 【答案】 3 18−【分析】根据偶次方的非负性可知2(3)0a −≥，当30a −=时有最小值，进而可求解． 【详解】解：2269(3)18a a a −−=−−， 2(3)0a −≥∴当30a −=时代数式269a a −−取得最小值，最小值为18−，即3a =时，代数式269a a −−的最小值为18−，故答案为：3；18−．【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．14．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知实数a ，b 满足1b a =+，则代数式2265a b a +−+的最小值等于__________． 【答案】3【分析】将1b a =+代入代数式，根据配方法即可求解． 【详解】解：∵1b a =+∴2265a b a +−+()22165a a a =++−+247a a =−+()223a =−+，∵()220a −≥， ∴()2233a −+≥，故答案为：3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．15．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）将方程2890x x −−=化为()2x h k +=形式，则h =______，k =______．【答案】 4− 25【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可．【详解】解：∵2890x x −−=，∴289x x −=，配方得2816916x x −+=+，即()2425x −=，∴4h =−，25k =， 故答案为：4−，25．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次方程时，先将常数1，然后进行配方．16．（2022秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）若将方程261x x +=化为()210x m +=，则m =___________． 【答案】3【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：在方程261x x +=的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得222631+3x x ++=，配方，得2310x +=（）．所以，=3m ． 故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．掌握配方法解是解题的关键．17．（2023·浙江台州·统考一模）已知点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，则23a b ++的最小值为______． 【答案】1 【分析】将点(),A a b 代入一次函数解析式得出，21b a =−，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，∴21b a =−∴23a b ++2213a a =+−+2211a a =+++()2111a =++≥故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【答案】4【分析】将22326x y x +=适当变形得到用含有x 的代数式表示22x y +的形式，再利用配方法变形后，根据x 的取值范围即可解答．【详解】解：∵22326x y x +=，∴()22226x y x x +=−+，∴222211923(3)222x y x x x +=−+=−−+，∵22326x y x +=，22362x xy −+∴=，∵20y ≥23602x x −+∴>∴02x ≤≤ ∴当2x =时22x y+的最大值为()21923422−−+=．故答案为4．【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键． 三、解答题19.（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0． 【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可． 【解答】解：（1）4x2＝49， x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0， （2x ﹣1）2＝25， ∴2x ﹣1＝±5， ∴x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a （a ≥0）；ax2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x+a ）2＝b （b ≥0）；a （x+b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 20．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：2410x x ++=【答案】12x =−22x =−【分析】先利用配方法得到()223x +=，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：2410x x ++=，移项得：241x x +=−，配方得：24414xx ++=−+，即()223x +=，开平方得：2x +=解得：12x =−22x =−．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键． 21．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题． 已知2226100m m n n ++−+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690.m m n n +++−+=即22(1)(3)0m n ++−=．2(1)0m +≥，2(3)0n −≥，且和为0，2(1)0m ∴+=且2(3)0n −=，1m ∴=−，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++−+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+−且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)2x =−，1y =(2)5c =或c =【分析】1（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解； 2（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得a b 、的值，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）解：∵224250x x y y ++−+=，()()2244210xx y y +++−+=，即()()22210x y ++−=，∵()220x +≥，()10y −≥2，且()()22210x y ++−=，∴()220x +=且()210y −=，2x ∴=−，1y =；（2）解：∵228625a b a b +=+−，方程变形为()()22430a b −+−=，∴()240a −≥，()230b −≥，∴4a =，3b =，ABC 为直角三角形，∴当4a =，3b =是直角边时，则5c =；当4a =是斜边，3b =是直角边时，则c =5c ∴=或c =【点睛】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)t=32，S 最大值【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．（2）先求s ，再利用配方求最值即可．【详解】（1）证明：（1）247y x x =−+2443x x =−++()223x =−+．∵()220x −≥．∴033y ≥+=．∴0y >．∴y 是正数．（2）解：∵2AP t =，CQ =，62PC t =−．0t ⎛ ⎝≤ ∴12S PC CQ =⋅ ()1622t =−2=+)23t t =− 232t ⎫=−⎪⎭ ∵2302t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭．∴当32t =时，S【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 23．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料数学课上，韦老师在求代数式245x x −+的最小值时，利用公式()2222a ab b a b ±=±＋，对式子作如下变形∶()2224544121x x x x x −+=−++=−+，∵()220x −≥，∴()2211x −+≥当2x =时，()2211x −+=，∴当2x =时，()221x −+有最小值1，即245x x −+的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶(1)当x =___________时，代数式()2254x −+有最小值为___________ (2)代数式 221x x ++的最小值为___________(3)当x 取何值时，代数式263x x −++的有最大或最小值，并求出最大或最小值．【答案】(1)5，4(2)0(3)当3x =时，263x x −++有最大值，最大值是12【分析】（1）由22(5)0x −…可得()22544x −+≥，从而判断它在5x =时取最小值； （2）配方可得2(1)x +，根据2(1)0x +…，即可得出结论； （3）提取1−，然后配方得2(3)12x −−+，根据2(3)0x −−…可得结论． 【详解】（1）解：（1）22(1)0x −…， ()22544x −+≥∴，当5x =时，取到等号，∴当5x =时，22(1)4x −+有最小值，最小值为：4；故答案为5，4；（2）解：2221(1)x x x ++=+，当=1x −时，221x x ++有最小值，最小值为：0；故答案为0；（3）解：263x x −++2(69)93x x =−−+++2(3)12x =−−+，2(3)0x −−…，2(3)1212x ∴−−+…，当3x =时，取到等号，∴当3x =时，263x x −++有最大值，最大值为12．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【答案】(1)2ax b +(2)①240b ac −≥,②ba −；c a(3)见解析【分析】（1）根据完全正确平方公式求解即可；（2）根据二次根式有意义条件求解即可；（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分别代入计算即可12x x +与12x x 计算即可求解．【详解】（1）解：∵2222444a x abx b ac b +++=，∴()2242c a b b x a =−+；（2）解：①一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有实根的条件是：240b ac −≥；②12x x +2b b b a a −−==−，12x x =()2224b a −−=244ac c a a −=−=；（3）解：2410x x −−=，241x x −=，24414x x −+=+，()225x −=，2x −=12x =22x =∴12224x x +=，(22122221x x ==−=−．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键． 时，22x y +=时，22x y +=时，x 时，x 【答案】(1)=(2)222x y xy +≥，理由见解析；(3)代数式224+x x 的最小值为8．【分析】（1）求得2218x y +=，218xy =，得到222x y xy +=； （2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【详解】（1）解：当3x =，3y =时，2218x y +=，218xy =，222x y xy ∴+=， 故答案为：=；（2）解：222x y xy +≥，理由如下，∵2222()0x xy y x y −+=−≥，∴222x y xy +≥；（3）解：∵222x y xy +≥，∴22224428x x x x +≥⋅=，∴代数式224+x x 的最小值为8． 【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．()212122⨯++= ()3131232⨯+++= 1234+++=(1)第4个图形对应的等式为______；【答案】(1)()515123452⨯+++++=(2)10【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，第四个图形总点数可列为：()515123452⨯+++++=， 故答案为：()515123452⨯++++=； （2）解：由题意可得，每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，∴第n 个图形的点数为：(1)(11)(1)(2)1234.....(1)22n n n n n n ++++++++++++==，∴()()12662n n ++=， 整理得+−=231300n n ，解得110n =，213n =−（舍去），∴n 的值为10；【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．。
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22.2 直接开平方法(直接开方法)
教学内容
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．
重难点关键
1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义
解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=
（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8c m 2？
B C
A
Q
P 老师点评：
问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（
2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2
则PB=x ，BQ=2x
依题意，得：
12x ²2x=8
x 2=8
根据平方根的意义，得x=±
即x 1x 2=
可以验证，12
x ²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以PBQ 的面积等于8c m 2．
二、探索新知
上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±
即
方程的两根为t 112，t 2=-12
例1：解方程：x 2+4x+4=1
分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住
房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10
（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2
解：设每年人均住房面积增长率为x ，
则：10（1+x ）2=14.4
（1+x ）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材P36练习．
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+1
2
）2=2.56，即（x+
3
2
）2=2．56
x+3
2
=±1.6，即x+
3
2
=1.6，x+
3
2
=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
五、归纳小结
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=
形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=
六、布置作业
1．教材P45复习巩固1、2．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3．用配方法解方程x2-2
3
x+1=0正确的解法是（）．
A．（x-1
3
）2=
8
9
，x=
1
3
±
3
B．（x-1
3
）2=-
8
9
，原方程无解
C．（x-2
3
）2=
5
9
，x1=
2
3
x2
D．（x-2
3
）2=1，x1=
5
3
，x2=-
1
3
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？
答案:
一、1．B 2．D 3．B
二、1．9或-3 3．-8
三、1．当n≥0时，x+m=x1，x2．当n<0时，无解
2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，
依题意，得：x（40-2x）=180
整理，•得：•x2-20x+90=0，x1=x2
同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．
（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，
所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．。