第二十二届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

１
不 超 过 １５００ 元
３％
０
２ 超过１５００元至４５００元部分 １０％ １０５
３ 超过４５００元至９０００元部分 ２０％ ５５５
４ 超过９０００元至３５０００元部分 ２５％ １００５
５ 超过３５０００元至５５０００元部分 ３０％ ２７５５
６ 超过５５０００元至８００００元部分 ３５％ ５５０５
７
１６．４８μｇ／ｍ３．
１° 根 据 回 归 方 程 （Ⅰ ）和 （Ⅲ ），温 度 每 变
动 １℃ ，
７月 ２ 日 的 臭 氧 浓 度 变 化：１９．４２／１０５．４８×
１００％ ＝１８．４１％ ；
１１ 月 ２ 日 的 臭 氧 浓 度 变 化：２．９１／１６．４８×
１００％ ＝１７．６５％ ．
２° 根 据 回 归 方 程 （Ⅱ ）和 （Ⅳ ），湿 度 每 变 动 １％ ，
８５００＝１５００＋３０００＋４０００， 个税上交额
Ｍ旧 ＝１５００×３％ ＋３０００×１０％ ＋４０００× ２０％ ＝１１４５（元 ）；
按 新 税 法 ，应 税 所 得 额 Ｄ新 ＝１５０００－３０００－５０００＝７０００（元）， 将 Ｄ新 按新税率表分段，即
７０００＝３０００＋４０００， 个税上交额
７ 月 ２ 日 的 臭 氧 浓 度 变 化：４．７２／１０５．４８×
１００％ ＝４．４７％ ；
１１ 月 ２ 日 的 臭 氧 浓 度 变 化：０．８０／１６．４８×
１００％ ＝４．８５％ ．
因 此 ，就 温 度 而 言 ，盛 夏 的 温 度 对 臭 氧 浓 度 变
化 影 响 大 一 些 ；就 湿 度 而 言 ，深 秋 的 湿 度 对 臭 氧 浓
王同学在 网 站 上 浏 览 北 京 综 合 检 测 值 变 化 时，感觉到臭氧 的 浓 度 变 化 似 乎 与 温 度 和 湿 度 变 化 有 关 ．为 了 研 究 在 不 同 季 节 ，温 度 和 湿 度 对 臭 氧 浓度的影 响，王 同 学 记 下 了 ２０１８ 年 ７ 月 ２ 日 （代 表 盛 夏 ）和 ２０１８ 年 １１ 月 ２ 日 （代 表 深 秋 ）的 数 据 ， 见 表 １ 和 表 ２．请 依 此 回 答 下 面 的 问 题 ：
度变化影响大一些．
三、（满分２０ 分）将 一 个 ８×８ 的 棋 盘 分 割 成
四个部分，其中 两 个 是 梯 形，另 外 两 个 是 三 角 形，
表 ２ ２０１８ 年 １１ 月 ２ 日 北 京 市 臭 氧 浓度变化与温度和湿度变化
时间
２：００ ３：００ ４：００ ５：００ ６：００ ７：００ ８：００ ９：００ １１：００ １２：００ １３：００ １４：００ １５：００ １６：００ １７：００ １８：００ １９：００ ２０：００ ２１：００ ２２：００ ２３：００
２４
７５
２５
７２
２６
７０
２８
６４
２９
５６
３１
５０
３０
５３
３１
５０
３１
５１
３１
５０
３０
５１
２９
５９
２８
５９
２８
５９
２７
６２
时间
２：００ ３：００ ４：００ ５：００ ６：００ ７：００ ８：００ ９：００ １１：００ １２：００ １３：００ １４：００ １５：００ １６：００ １７：００ １８：００ １９：００ ２０：００ ２１：００ ２２：００ ２３：００
臭 氧 浓 度 （μｇ／ｍ３）
５ ４ ４ ３ ３ ３ ３ ５ １７ ２７ ３３ ３８ ４１ ４３ ３３ １２ ８ ８ ７ ６ ６
温度（℃） 湿度（％）
５
８０
４
８２
４
８３
３
８７
３
８９
４
８７
６
７９
８
６６
１１
５５
１３
４９
１４
４６
１６
４３
１６
ｎ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
ａｎ ０ ３０００ １２０００ ２５０００ ３５０００ ５５０００ ８００００
ｒｎ ３％ １０％ ２０％ ２５％ ３０％ ３５％ ４５％
设 Ｔ 表示 应 税 额，Ｔ∈ （ａｎ，ａｎ＋１），Ｑ 表 示 对 应 应 交 的 个 人 所 得 税 额 ，于 是 Ｑ ＝（Ｔ－ａｎ）ｒｎ＋［（ａｎ－ａｎ－１）ｒｎ－１＋（ａｎ－１－ａｎ－２）
解 （１）臭 氧 浓 度 关 于 温 度 、湿 度 变 化 的 散 点 图如下：
从图中可以看 出，四 个 图 的 样 本 点 均 呈 条 状
分 布 ，臭 氧 浓 度 与 温 度 、湿 度 都 有 比 较 好 的 线 性 相
关关系，因 此 可 以 用 回 归 直 线 ｙ＝ａｘ＋ｂ 来 近 似
刻画它们的关 系．计 算 回 归 方 程 的 斜 率 与 截 距 的
（３）请计算出表 ２ 内 的 数 Ｘ，并 给 出 各 级 “速 算 扣 除 数 ”的 递 推 算 法 的 一 般 表 达 式 ．
表 １ 个 人 所 得 税 税 率 表 （执 行 至 ２０１８ 年 ９ 月 ３０ 日 ）
级数
月应税额所在区间 （对 应 起 征 额 ３５００ 元 ）
速算扣除 税率
数 （元 ）
超 过 ８００００ 元 部 分
４５％ １３５０５
表 ２ 个 人 所 得 税 税 率 表 （２０１８ 年 １０ 月 １ 日 起 试 行 ）
级数
月应税额所在区间 （对 应 起 征 额 ５０００ 元 ）
速算扣除 税率
数 （元 ）
１
不 超 过 ３０００ 元
３％
０
２ 超过３０００元至１２０００元部分 １０％ ２１０
公式为：
ｎ
∑ 烄
（ｘｉ －ｘ珚）（ｙｉ －ｙ珔）
ａ ＝ ｉ＝１ ｎ
，
烅
∑（ｘｉ －ｘ珚）２
ｉ＝１
烆ｂ ＝ｙ珔－ａｘ珚． 设ｘ１ 为７月２日北京市的温度，ｘ２ 为 ７ 月 ２ 日北京的湿 度，ｘ３为 １１ 月 ２ 日 北 京 市 的 温 度，ｘ４ 为１１月２日北京市的湿度；ｙ１ 为７月２日北京市 的臭氧浓度，ｙ２ 为１１月２日北京市的臭氧浓度．
二、（满分２０ 分）在 晴 空 万 里，蓝 天 白 云 的 天 气下，也 许 你 看 到 的 是 “假 蓝 天 ”，原 因 是 臭 氧 （Ｏ３）污 染．城 市 近 地 层 臭 氧 是 典 型 的 二 次 污 染 物 ，主 要 是 由 人 类 活 动 排 放 的 挥 发 性 有 机 物 、氮 氧 化物和一氧化碳在太阳光的作用下经过一系列复 杂的光化学反 应 生 成 的，其 带 来 的 温 室 效 应 影 响 着全球的臭氧 浓 度 变 化．空 气 中 少 量 的 臭 氧 使 人 有一种“新鲜”的 感 觉，因 为 臭 氧 有 杀 死 某 些 细 菌 和微生物的能 力，但 是 过 量 的 臭 氧 对 人 体 和 生 物 都是有害的．
Ｍ新 ＝３０００×３％＋４０００×１０％＝４９０（元）， 则有
Ｍ新 － Ｍ旧 ＝４９０－１１４５＝－６５５， 即执行新税法 之 后，小 王 比 原 来 每 月 少 交 个 人 所 得 税 ６５５ 元 ． （注：若 不 考 虑 “五 险 一 金 ”，所 得 结 论 为 Ｍ新 － Ｍ旧 ＝７９０－１８７０＝ －１０８０（元），即 执 行 新 税 法 之 后，小王比原来 每 月 少 交 个 人 所 得 税 １０８０ 元．也 算 对 ．）
３ 超过１２０００元至２５０００元部分 ２０％ １４１０
４ 超过２５０００元至３５０００元部分 ２５％
Ｘ
５ 超过３５０００元至５５０００元部分 ３０％ ４４１０
续表
级数
月应税额所在区间 （对 应 起 征 额 ５０００ 元 ）
速算扣除 税率
数 （元 ）
６ 超过５５０００元至８００００元部分 ３５％ ７１６０
表 １ ２０１８ 年 ７ 月 ２ 日 北 京 市 臭 氧 浓度变化与温度和湿度变化
ｂ１ ＝ （ｒ１ －ｒ０）ａ１ ＝７％ ×３０００＝２１０（元 ）， ｂ２ ＝ （ｒ２ －ｒ１）ａ２ ＝１０％ ×１２０００＋２１０＝１４１０（元 ）， ｂ３ ＝ （ｒ３ －ｒ２）ａ３ ＝５％ ×２５０００＋１４１０＝２６６０（元 ）， ｂ４ ＝ （ｒ４ －ｒ３）ａ４ ＝５％ ×３５０００＋２６６０＝４４１０（元 ）， ｂ５ ＝ （ｒ５ －ｒ４）ａ５ ＝５％ ×５５０００＋４４１０＝７１６０（元 ）， ｂ６＝（ｒ６－ｒ５）ａ６＝１０％×８００００＋７１６０＝１５１６０（元）．
７
超 过 ８００００ 元 部 分
４５％ １５１６０
解 （１）查 阅 税 法，“五 险 一 金 ”为 不 计 税 所 得 ，假 设 小 王 的 “五 险 一 金 ”是 ３０００ 元 ．
按 旧 税 法 ，应 税 所 得 额 Ｄ旧 ＝１５０００－３０００－３５００＝８５００（元）， 将 Ｄ旧 按旧税率表分段，即
５０
数学通报 ２０１９年 第５８卷 第１期
由此可以得到 Ｘ＝ ２５０００（２５％ －２０％）＋１４１０ ＝１２５０＋ １４１０＝２６６０（元）． 一般推导如下：设ａｎ表 示 应 税 额 依 次 分 段 的 端点，ｒｎ表示应税额区间（ａｎ，ａｎ＋１）对 应 的 所 得 税 率，ｂｎ表示应 税 额 区 间 （ａｎ，ａｎ＋１）对 应 的 “速 算 扣 除 数 ”，其 中 ｎ∈ ｛１，２，３，４，５，６｝． 由表２得到：
（２）应税所得额是１００００元时，在新个人所得税 法下对应的所得税是１００００×１０％－２１０＝７９０（元）．
（３）由 上 面 的 案 例 可 以 发 现 ： 本 级 的 “速 算 扣 除 数 ”＝ 上 一 级 最 高 应 纳 税 所 得额×（本级税率 － 上 一 级 税 率）＋ 上 一 级 的 “速 算 扣 除 数 ”．
经计算，
ｙ１ ＝ １９．４２ｘ１ －４２５．３４
（Ⅰ）
ｙ１ ＝ －４．７２ｘ２ ＋４０８．３４
（Ⅱ）
ｙ２ ＝ ２．９１ｘ３ －１１．５２
（Ⅲ）
ｙ２ ＝ －０．８０ｘ４ ＋７０．４０
（Ⅳ）
（２）２０１８ 年 ７ 月 ２ 日 平 均 臭 氧 浓 度 为
１０５．４８μｇ／ｍ３，２０１８年１１月２日平均臭氧浓度 为
４２
１７
４３
１５
５１
１１
６５
１０
７４
９
７７
８
８０
７
８４
７
８２
２０１９年 第５８卷 第１期 数学通报
５１
（１）分别画 出 每 一 天 臭 氧 浓 度 关 于 温 度 变 化 的散点图和臭 氧 浓 度 关 于 湿 度 变 化 的 散 点 图，并 分别建立回归方程；
（２）在 盛 夏 和 深 秋 ，哪 个 季 节 温 度 变 化 对 臭 氧 浓度变化的影响大一些？哪个季节湿度变 化 对 臭 氧浓度变化的影响大一些？
２０１９年 第５８卷 第１期 数学通报
４９
第二十二届北京高中数学知识应用竞赛初赛 试题及参考解答
一 、（满 分 ２０ 分 ）从 ２０１８ 年 １０ 月 １ 号 我 国 开 始执行的新的 个 人 所 得 税 法，使 个 人 所 得 税 税 负 水平更趋合理．
（１）小 王 在 北 京 某 高 新 技 术 产 业 工 作 ，税 前 收 入 每 月 １５０００ 元 ．执 行 新 税 法 之 后 ，小 王 比 原 来 每 月少交多少个人所得税？
臭 氧 浓 度 （μｇ／ｍ３）
４０ ３３ ２９ ２４ ２２ ２２ ３０ ３８ ６２ ８５ １２１ １４６ １６２ １７０ １７９ １７９ １７５ １７８ １６７ １２０ １０５
温度（℃） 湿度（％）
２４
７６
２３
８２
２３
８５
２３
８４
２３
８４
２３
７８
·ｒｎ－２＋ … ＋ （ａ１ －ａ０）ｒ０］ ＝Ｔ·ｒｎ－［（ｒｎ－ｒｎ－１）ａｎ ＋ （ｒｎ－１ －ｒｎ－２）ａｎ－１ ＋
… ＋ （ｒ１ －ｒ０）ａ１］． 定 义 “速 算 扣 除 数 ”ｂｎ ＝ ［（ｒｎ －ｒｎ－１）ａｎ ＋ （ｒｎ－１ －ｒｎ－２）ａｎ－１ ＋ … ＋ （ｒ１ －ｒ０）ａ１］，于 是 得 到 Ｑ ＝ Ｔ·ｒｎ －ｂｎ ，ｂｎ ＝ （ｒｎ －ｒｎ－１）ａｎ ＋ｂｎ－１ ． 由此算出：
（２）有一种速算个税的办法：应税所得额 × 对 应档的税率－ 对 应 档 的 “速 算 扣 除 数”．如 应 税 所 得额是１００００元，它 对 应 的 所 得 税 在 旧 个 税 方 案 下是：１００００×２５％ － １００５＝１４９５（元）．
请按照这 一 算 法，算 出 应 税 所 得wk.baidu.com额 是 １００００ 元 时 ，在 新 个 人 所 得 税 法 下 对 应 的 所 得 税 是 多 少 ？