刚体力学习题课

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用角动量原理解更简单！
2 M f mgR 3
M f t 0 J 0
3 R 0 t 4g
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【例题5】如图所示，有一质量为 M、长为 l 的均匀细杆静止在 光滑的水平桌面上，可绕通过细杆一端的竖直光滑钢钉转动。有 一质量为 m 的小球以垂直于杆的水平速度 v0 与杆的另一端碰 撞，碰撞后小球以速度 v反向弹回。设碰撞时间很短，求碰撞后 细杆转动的角速度；若碰撞前拔去钢钉，碰撞后细杆的角速度又 如何？ O
a 0 r 0 0.02(m s - 2 )
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【例题2】计算下列刚体对O轴的转动惯量JO: O m 、l M、 R
1 2 1 J O ml MR 2 M ( l R ) 2 3 2
O
l m1、 v ) Ml
说明：对自由刚体，只有质心轴和瞬时轴的角动量可以 表示成转动惯量和角速度的乘积。
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【例题6】如图所示，有一质量为 m、半径为R的均匀圆柱体上 绕有细绳。现在用力F 拉该圆柱体，使其从静止开始在水平面上 作纯滚动，试判断摩擦力的方向。 解：假设没有摩擦力
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三、刚体转动定律： 转动惯量 J 是一个新的概念，应熟练掌握其定义 和计算方法，它具有可加性。要记住几种常用的绕质 心轴的转动惯量，并会用平行轴定理和补偿原理来求 解各种复合刚体的转动惯量。
M J
解决刚体动力学问题，力的隔离体分析仍然是关 键，特别是系统中既有质点平动又有刚体转动的联 动问题，必须将牛顿定律和转动定律联合。
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刚体可以看成由许多质量元组成的一个系 统，在其作定轴转动的过程中各质量元的位移、 速度和加速度等线量是可以各不相同的，但是 各质量元的角位移、角速度和角加速度等角量 却是相同的。 掌握刚体运动的这种特性是解决问题的关 键，因为角量是刚体整体运动特征的描述，而 线量则是刚体上各个质量元运动的描述。
1 m孔 m 3
2 2 1 1 1 1 2 m总 R m孔 R m孔 R 2 2 2 2
13 mR 2 24
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试计算通过均匀球壳（质量为M， 半径为R）中心轴的转动惯量
F
F macm F acm m 加速度 acm的方向为 :
P
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1 FR mR 2 2 2F R m P 角加速度 的方向为 : a p acm R; 而 R的方向为 : R R acm 合加速度 a p 的方向为 :
试计算通过均匀球（质量为M，半径为R）中心轴的 转动惯量
I

r 2d m
z
r
分割成薄球壳： 2 dJ dm r 2 dm 4 r 2dr 3 分割成薄圆盘： 1 dJ d m r 2 dm r 2 d z 2 dz R sin d r R sin
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O

R
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试计算通过均匀平板（质量 为M，尺寸见图）中心且与 平板垂直轴的转动惯量
M dm dx b 1 dI c dm a 2 12 1 dI dm a 2 dm x 2 12 b 1 1 2 2 2 I b dm a dm x M (a 2 b 2 ) 12 12 2
2
l m 2、 2
2 2
1 l 1 l l l J O m1 m 2 m 2 3 2 12 2 2 4
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剩余部分 的质量为 m
R
O
O
4 m总 m , 3 J 0 J1 J 2
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若拔去钢钉，细杆成为 水平桌面上的自由刚 体，故碰撞后细杆的运 动为随质心的平动和绕 质心的转动，因此水平 方向的动量守恒和对质 心轴的角动量守恒。 O
m、v0
M、 l
v
mv0 MvC mv l l mv0 J C mv 2 2
( m 2 m1 ) g a m m m1 m 2 A B 2 2
A
T3
T3
T2
B
T1
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【例题3】（1）计算下列刚体系统中m1、m2的加速度和绳子的 张力； （2）求m2从静止开始下降h后的速度。
( 2)、v 2ah
t 0.5s
1(rad s -1 ) 2(rad s -2 )
an 2 r 0.01(m s - 2 )
2 an 0 0 r 0.04(m s - 2 )
a r 0.02(m s - 2 )
t0
0 2(rad s -1 ) 0 2(rad s -2 )
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四、质心运动（代表整个刚体与外界的作用及运动） 如计算轴对刚体的作用力等问题时特别有用
F ma ix Cx Fi maC F ma iy Cy
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mg T macm
mgb J
1 J mR 2 mb 2 2
R2 T mg 2 2b R 2
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T

mg
acm b
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【问题】 哟哟（yo-yo）球是20世纪90年代风行 世界的小玩具。它是在一个扁圆柱体的中间圆周 槽内紧绕一细线构成。哟哟球从静止开始释放， 下降到最低点后再自动上升。设哟哟球质量为 m，半径为R，槽圆周的半径为b（b<R），设细 线的总长度为H，质量忽略不计。求哟哟球运动 的全过程中细线所受的拉力。 哟哟球从下降变为上升的转变点处其质心速度为零。这时球绕质 心转过/2，所需时间为/2 T m(0 vC ) (mg T )t 1 1 2 2 mgH mvC J vC b mg 2 2 mvC 8 Hb mg[1 T mg ] 2 2 t ( 2b R )
m A、RA
或：用机械能守恒定律 来解 1 1 2 m2 gh m1 gh m2v m1v 2 m1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ) B ( m A R A ) A ( mB RB 2 2 2 2 v A R A B RB
m B、RB
m2
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【例题3】（1）计算下列刚体系统中m1、m2的加速度和绳子的 张力； （2）求m2从静止开始下降h后的速度。
m A、RA T1 a m1 g m2 g T2 m1
a
m B、RB
A
m2
T3
T3
T2
B
T1
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【例题4】一个质量为 m、半径为 R 的均匀薄圆盘在水平桌 面上绕中心轴转动，开始角速度为 0，当圆盘与桌面的摩擦 系数为 时，问经过多长时间才能停下来？
解：本题的关键是求出 圆盘转动过程中的摩擦 力矩 取一半径为 r、宽度为 dr的小圆环， 则小圆环受的摩擦力矩 为 dM f dmg r g 2rdr r M f
F
所以摩擦力 f的方向为 :
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如果拉力 F 作用在离圆心 R/4 处，则摩擦力的方向又 如何？
F
P
F R 1 2 F mR ; R ; 4 2 2m R R acm ; a p : , f :
m、v0
M、 l
v
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解：由于质点与有转轴 的细杆，轴对杆有冲 力，故动量不守恒，但 对O点冲力矩为零，对 O点的角动量守恒 O
m、v0
M、 l
v
1 mv0l Ml 2 mvl 3 3m(v v0 ) Ml
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五、刚体的机械能及守恒定律：（在计算速度 v、 升降距离 h、转过角度 和作功等问题很方便！）
刚体的动能 1 2 EK J（定轴） 2 1 1 2 2 J C mvC 2 2
刚体的势能 用质心的势能来代表 E P mghC
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六、刚体的角动量及守恒定律： （质点和刚体碰撞时特别有用） ①质点和定轴刚体的碰撞，系统动量不守恒，角动 量守恒； ②质点和自由刚体的碰撞，系统动量、角动量均守 恒。
质点： L mvr 刚体： L J
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哟哟（yo-yo）球
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【问题】 哟哟（yo-yo）球是20世纪90年代风行 世界的小玩具。它是在一个扁圆柱体的中间圆周 槽内紧绕一细线构成。哟哟球从静止开始释放， 下降到最低点后再自动上升。设哟哟球质量为 m，半径为R，槽圆周的半径为b（b<R），设细 线的总长度为H，质量忽略不计。求哟哟球运动 的全过程中细线所受的拉力。 解：球下降或上升过程中细线的拉力
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一、刚体的运动描述： 平动→质点的运动处理 转动→定轴转动→角量描述 、 、 的定义及计算，而且其 变化规律与 质点平动时的变化规律 非常相似 二、刚体定轴转动中的线量与角量关系：
v r a r 2 an r
R 0
2 g 2 r dr mgR 3
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2 M f mgR 3
相应的角加速度为 Mf Mf 4 g 1 3R J mR 2 2 所需时间为 0 3 R 0 t 4 g
【例题1】一圆盘可绕通过圆心并垂直盘面的光滑轴自由转动。 从某一时刻起，有一外力矩作用在盘上，使其运动方程为 =8+2t-t2，求经过0.5s后，盘上离轴r=0.01m处质点的切向加速度 和法向加速度？在刚开始时该点的切向加速度和法向加速度？ 解：先求角量，后求线量 d d 2 2t , 2 dt dt
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T1 m1 g m1a m 2 g T2 m 2 a 1 T3 R A T1 R A m A R 2 A A 2 1 T2 RB T3 RB mB R 2 B B 2 T1 a m1 g m2 g T2
a
a A R A B RB
I

r 2d m
r R sin θ d m 2 r d l M 2 R sin R d θ 2 4 R
I
0 R sin θ
π
2
M 2 2 R sin R d θ MR 2 4 R 3
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