绝对值的几何意义
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
绝对值的几何意义公式(二)
绝对值的几何意义公式(二)绝对值的几何意义公式绝对值在数学中是一个重要的概念，它表示一个数与零之间的距离。
在几何意义上，绝对值可以表示为一条有向线段的长度。
本文将列举一些与绝对值相关的公式，并给出解释和示例。
绝对值的定义绝对值是一个数的非负值，表示该数离零的距离。
绝对值的定义如下：|x| = x，如果x ≥ 0 |x| = -x，如果x < 0绝对值的几何意义公式1. 绝对值的定义表示根据绝对值的定义，可以将绝对值表示为一条线段的长度。
公式： |x| = AB，其中A是原点，B是点x的坐标位置示例：考虑点A(0, 0)和点B(3, 0)，则|3| = AB = 3。
2. 绝对值的线段平移绝对值函数|x - a|表示点x距离a的距离。
公式： |x - a| = PA，其中P是点a的坐标位置示例：考虑点P(2, 0)，点Q(5, 0)，则|Q - 2| = PQ = 3。
3. 绝对值的线段缩放绝对值函数|kx|表示点x与原点的距离缩放到原来的k倍。
公式： |kx| = k * |x|示例：对于点A(2, 0)，如果k = 3，则|3x| = 6.4. 绝对值的线段合并绝对值函数|x - a| + |x - b|表示点x到a，b两点的距离之和。
公式： |x - a| + |x - b| = PA + PB示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|5x - 16| + |3x - 8| = PA + PB。
5. 绝对值的线段交换绝对值函数|a - x| = |b - x|表示点x与a，b两点的距离相等。
公式： |a - x| = |b - x|示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|2 - x| = |6 - x|。
总结绝对值的几何意义公式在解决各种几何问题中起到了重要的作用。
通过几何意义公式，我们可以更好地理解绝对值的概念，并将其运用于实际问题中。
这些公式包括绝对值的定义表示、线段平移、线段缩放、线段合并和线段交换。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的几何意义
.绝对值的几何意义的几－b||a【知识要点】大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直、b何意义是：数轴上表示数a 观简捷，事半功倍．【例题精讲】的绝对值点的距离，这是，|a|可以理解为|a-0|表示数a到原【例题】我们知道点、B两表示，那么A分上两个点A．B，别用a，b几何意义．进一步地，数轴问题：论，回答以下之间的距离为AB=|a-b|，利用此结两5的上数轴表示-2和3的两点之间的距离是______，（1）数轴上表示8和 __________；之间的距离是，数轴上表示-3和-7的两点点之间的距离是___________轴用数何意义是_____________，利上点A用a表示，则|a-3|=5的几（2）数轴___________________；出a的值是绝及对值的几何意义写是小值能取得的最对值的几何意义写出该式(3) 利用数轴及绝_____________.点拨】【思路案；式，可得答距据数轴上两点间的离公（1）根值；，可得a的点距离相等的点有两个（2）根据到一案．小，可得答两端点的距离的和最（3）根据线段上的点与线段析】【解的和5上表示-2的距离是 5，数轴解：（1）数轴上表示8和3的两点之间；离是 4间和-7的两点之的距两点之间的距离是 7，数轴上表示-3两3表示a和何意义是数轴上2）数轴上点A 用a表示，则|a-3|=5的几（；-2或8义意写出a的值是是5，利用数轴及绝对值的几何离点之间的距-2x与离与点点x与-1的距出|x+1|+|x+2|表示的几何意义数上轴3 （）说意义写出该式能取得的最小绝对值的几何值是 1，和距离的，利用数轴及故答案为：5，7，4；数轴上表示a与3两点之间的距离是5，-2或8；数轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1．【总结升华】本题考查了绝对值，（1）数轴上两点间的距离公式，（2）到一点距离相等的点有两个；（3）线段上的点与线段两端点的距离的和最小．【例题】阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x-x|表示在数轴上数x，x对应点之间的距离；2211在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x-1|＞2．如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；..：问题解答下列参考阅读材料，；为____________________程|x+3|=4的解（1）方 9；等式|x-3|+|x+4|≥解（2）不围．的取值范x都成立，求aa （3）若|x-3|-|x+4|≤对任意的】仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．路点拨【思析】【解x4的点对应的表示求在数轴上与-3的距离为解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4 -7．的值为1或，-4的距离为7（2）∵3和因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．当x在3的右边时，如图，x≥4．易知的左边时，如图，x在-4当-5．易知x≤-5或x≤∴原不等式的解为x≥4 |x-3|-|x+4|最大值．（3）原问题转化为：a大于或等于 -7，x≥3时，|x-3|-|x+4|应该恒等于当的增大而减小，，|x-3|-|x+4|=-2x-1随xx当-4＜＜3 ，x≤-4时，|x-3|-|x+4|=7当．|x-3|-|x+4|的最大值为7即故a≥7．本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何】结升华【总同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，意义，结合本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们不要产生畏结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，惧心理．【巩固练习】1、我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x-x|表示在数轴上x，x对应点之间的距离；2211例1解方程|x|=2，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2 例2解不等式|x-1|＞2，如图，在数轴上找出|x-1|＞2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1、3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或X＞3参考阅读材料，解答下列问题：.._____________________. 不等式|x+3|＞4的解为下列问题：轴与绝对值的知识回答2、结合数点和2的两间的距离是____________；表示-31（）数轴上表示1和4的两点之，般地间的距离是_________；一是之间的距离___________；表示-5和-4的两点之 __________．之间的距离等于数数轴上表示数m和n的两点．是3，那么a=____________距表示数a和-2的两点之间的离2（）如果 |a+4|+|a-2|，求的值；数a的点位于-4与2之间上（3）若数轴表示【答案】）|＞4，1、解：∵|x+3|=|x-（-3 -7、1，即到-3的距离为4的点对应的数为用数轴表示为：．＞1＞|x+3|4的解为x＜-7或x∴不等式 |1-4|=3，12、解：（） |-3-2|=5，|=1，|-5-（-4） |m-n|，；5；1；|m-n|；故答案为：3 （-2）|=3，（2）|a- a+2=3或a+2=-3，所以，，或a=-5解得a=1 ；1故答案为：-5和，之间与点示3（）∵表数a的位于-42 ＜＞a+40，a-20，∴（）（∴|a+4|+|a-2|=a+4+[-a-2]=a+4-a+2=6）；.。
绝对值 几何意义
绝对值几何意义：在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值（absolute value）．如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5，又如指在数轴上表示1.5的点与原点的距离，这个距离是1.5，所以1.5的绝对值是1.5，代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0互为相反数的两个数的绝对值相等绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”．如：|－2|读作－2的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，,绝对值是非负数≥0。
特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作|0|=0|3|=3 |-3|=3（相反数绝对值互为倒数）两个负数比较大小，绝对值大的反而小比如:若|2(x—1）—3+|2y—4）|=0，则x=___,y=____。
（|是绝对值）答案:2(X-1)-3=0X=5/22Y-4=0Y=2一对相反数的绝对值相等：例+2的绝对值等于—2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等) 绝对值的几何意义和代数意义：几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（在数轴上表示数a的点与原点的距离一定是非负数）代数定义：|a|={a>0 a=a{a<0 a=-a{a=o a=0关于绝对值的题目：已知|x|=3，|y|=1/2,且|x-y|=y-x,求y-x解：因为|x-y|>0 或=0，且|x-y|=y-x，所以x<0，x只能等于-3。
y=-1/2 或=1/2。
设y=1/2，则原式=1/2-（-3）= 3又1/2。
设y=-1/2，则原式=（-1/2）—（-3）=2又1/2。
答：y-x等于3又1/2或2又1/2。
|x-1|+|x-2|+|x-3|.....|x-5|的最小值为多少，可以用几何意义来做，要想最小就要取中间的也就是x-3=0即x=3原式=6，为最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|则取2，3中间任意一点，得4公式|m-n|-|n-m|=0m/n可以是任何数2. 绝对值的有关性质无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
绝对值几何意义及动点问题(一)
绝对值几何意义及动点问题(一)绝对值几何意义及动点问题在几何学中，绝对值是一个常见的概念，它表示一个数到零的距离。
在这篇文章中，我们将探讨绝对值的几何意义以及与动点相关的问题。
绝对值的几何意义绝对值可以用几何的方式来解释。
首先，我们可以将绝对值看作一个点到零点的距离。
例如，对于实数x，绝对值|x|表示点x到零点的距离。
如果x是负数，则绝对值表示x在数轴上的投影到零点的距离。
绝对值的性质绝对值具有以下性质： - |x| >= 0：绝对值永远大于等于零。
- |x| = 0 当且仅当 x = 0：只有当x等于零时，绝对值才等于零。
- |x * y| = |x| * |y|：绝对值的乘积等于各个数的绝对值的乘积。
绝对值的动点问题在几何学中，动点问题是一类常见的问题，它涉及到点在运动中的位置、轨迹等特性。
绝对值可以应用在动点问题中，通过求解动点到其他点的距离。
以下是一些与绝对值和动点相关的问题： 1. 给定一个动点A和两个固定点B、C，求动点A到点B和点C的距离之和的最小值。
2. 已知动点A在直线L上运动，点B为直线L上的固定点，求动点A到点B的距离的最大值。
3. 给定一个动点A和一个固定点B，在直线L 上构建一个点C，使得动点A到点B和点C的距离之和最小。
这些问题都可以通过绝对值的几何意义来解决。
我们可以使用点到点的距离公式，通过求解绝对值来得到问题的答案。
绝对值在几何学中具有重要的意义，它可以帮助我们解决许多与动点相关的问题。
通过理解绝对值的几何意义，我们可以更好地应用它来解决各种几何问题。
希望通过这篇文章，你对绝对值的几何意义及动点问题有更深入的理解。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义绝对值是数学中一个重要的概念，它具有代数意义和几何意义。
在代数中，绝对值表示一个数与零之间的距离，而在几何中，绝对值表示一个点在数轴上的位置。
代数意义：在代数中，绝对值常用符号“，x，”表示，其中x表示任意实数。
绝对值的定义是：x，=x,当x>=0x，=-x，当x<0绝对值的代数意义是表示一个数与零之间的距离。
无论一个数是正数还是负数，它与零的距离都是一个非负数。
例如，对于数-5来说，它与零的距离为5，即，-5，=5、对于数8来说，它与零的距离也是8，即，8，=8、因此，绝对值可以将负数转化为正数，而保持正数不变。
绝对值在代数中有多种应用。
首先，绝对值可以用来定义两个实数的大小关系。
例如，对于实数a和b来说，如果，a，<，b，则a的绝对值小于b的绝对值，即a的绝对值离零更近。
其次，绝对值还可以用来确定一个数的符号。
如果一个数的绝对值是正数，则该数为正数；如果一个数的绝对值是负数，则该数为负数。
几何意义：在几何中，绝对值被用来表示一个点在数轴上的位置。
数轴是一个直线，可以将实数一一对应地映射到数轴上的点。
绝对值表示一个点到原点的距离，且方向无关。
通过绘制一个数轴，我们可以将绝对值的几何意义更加直观地理解。
假设有一个点A在数轴上，它与原点O之间的距离为，x，点A在数轴上的位置取决于该点到原点的距离。
如果x>=0，则点A在原点的右侧距离为x；如果x<0，则点A在原点的左侧距离为-x。
无论点A在哪一侧，它的距离始终是非负数。
除了数轴，绝对值的几何意义还可以应用到平面几何中。
在平面几何中，绝对值可以表示一个点到原点的距离，在二维坐标系中常用来计算两个点之间的距离。
例如，对于点P(x1,y1)和Q(x2,y2)来说，它们之间的距离可以表示为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，sqrt表示平方根运算。
由于平方根运算的结果始终是非负数，因此绝对值用于确保距离始终是非负数。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值是数学中使用最广泛的概念之一，在代数中，它被定义为数值或表达式的绝对值，容易被视为一种量度，它可以衡量一个数的大小，而不必考虑它的符号。
一、代数意义
1. 绝对值是数值和表达式的数学量度，衡量数值的大小，不受它的符号（正负）的影响。
即|x| = x,如果x>0；|x| = -x,当x<0时。
2. 绝对值函数y=|x|是一个凸函数，它的图象关于y轴对称，当x变化时，y曲线上各点的变化率一定为正。
3. 两个相等负数的绝对值相等，因此绝对值函数不满足函数的单值定理。
4. 当x ≠ 0时，|x|不能表示为0，因为如果这样的话，将会发生抵消，而它的本来
意义就是衡量数值大小。
二、几何意义
1. 在几何中，它表示一点到原点的距离，也表示函数的最大值或最小值。
2. 对于向量的绝对值，表示的是向量的模长或长度，它是一个实数。
3. 绝对值用来描述点(x，y)到原点(0，0)之间的距离，即|(x，y)|=根号[x2 +y2]。
4. 对于复平面中点(z)，其绝对值|z| = 根号[(a+bi)2] = 根号[a2+b2]。
以上可以看出，绝对值在代数和几何中都有着各自独特而重要的意义，它们在理解数学概念中都具有十分重要的作用。
绝对值的几何意义
绝对值的几何意义知识要点大家知道,|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解,直观简捷,事半功倍．例题精讲例题我们知道,|a|可以理解为|a-0|表示数a到原点的距离,这是绝对值的几何意义．进一步地,数轴上两个点A．B,分别用a,b表示,那么A、B两点之间的距离为AB=|a-b|,利用此结论,回答以下问题：1数轴上表示8和3的两点之间的距离是______,数轴上表示-2和5的两点之间的距离是___________,数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是__________；2数轴上点A用a表示,则|a-3|=5的几何意义是_____________,利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是___________________；3 利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是_____________. 思路点拨1根据数轴上两点间的距离公式,可得答案；2根据到一点距离相等的点有两个,可得a的值；3根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小,可得答案．解析解：1数轴上表示8和3的两点之间的距离是5,数轴上表示-2和5的两点之间的距离是7,数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是4；2数轴上点A用a表示,则|a-3|=5的几何意义是数轴上表示a和3两点之间的距离是5,利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是-2或8；3说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义数轴上点x与-1的距离与点x与-2距离的和,利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是1, 故答案为：5,7,4；数轴上表示a与3两点之间的距离是5,-2或8；数轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1．总结升华本题考查了绝对值,1数轴上两点间的距离公式,2到一点距离相等的点有两个；3线段上的点与线段两端点的距离的和最小．例题阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离；在解题中,我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的x=±2；例2：解不等式|x-1|＞2．如图,在数轴上找出|x-1|=2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1,3,则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；参考阅读材料,解答下列问题：1方程|x+3|=4的解为____________________；2解不等式|x-3|+|x+4|≥9；3若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立,求a的取值范围．思路点拨仔细阅读材料,根据绝对值的意义,画出图形,来解答．解析解：1根据绝对值得意义,方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7．2∵3和-4的距离为7,因此,满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．当x在3的右边时,如图,易知x≥4．当x在-4的左边时,如图,易知x≤-5．∴原不等式的解为x≥4或x≤-53原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．当x≥3时,|x-3|-|x+4|应该恒等于-7,当-4＜x＜3,|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小,当x≤-4时,|x-3|-|x+4|=7,即|x-3|-|x+4|的最大值为7．故a≥7．总结升华本题是一道材料分析题,通过阅读材料,同学们应当深刻理解绝对值得几何意义,结合本题是一道材料分析题,通过阅读材料,同学们应当深刻理解绝对值得几何意义,结合数轴,通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大,同学们不要产生畏惧心理．巩固练习1、我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1,x2对应点之间的距离；例1解方程|x|=2,容易看出,在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2,即该方程的解为x=±2例2解不等式|x-1|＞2,如图,在数轴上找出|x-1|＞2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1、3,则|x-1|＞2的解为x＜-1或X＞3参考阅读材料,解答下列问题：不等式|x+3|＞4的解为_____________________.2、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：1数轴上表示1和4的两点之间的距离是____________；表示-3和2的两点之间的距离是___________；表示-5和-4的两点之间的距离是_________；一般地, 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于__________．2如果表示数a和-2的两点之间的距离是3,那么a=____________．3若数轴上表示数a的点位于-4与2之间,求|a+4|+|a-2|的值；答案1、解：∵|x+3|=|x--3|＞4,即到-3的距离为4的点对应的数为-7、1,用数轴表示为：∴不等式|x+3|＞4的解为x＜-7或x＞1．2、解：1|1-4|=3,|-3-2|=5,|-5--4|=1,|m-n|,故答案为：3；5；1；|m-n|；2|a--2|=3,所以,a+2=3或a+2=-3,解得a=1或a=-5,故答案为：-5和1；3∵表示数a的点位于-4与2之间,∴a+4＞0,a-2＜0,∴|a+4|+|a-2|=a+4+-a-2=a+4-a+2=6；。
绝对值及其几何意义
绝对值及其几何意义文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]绝对值及其几何意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。
如：|5|=5；|-5|=5；|0|=0绝对值的几何意义：可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到___________的距离。
如|a|表示数轴上表示数a的点到________的距离，推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数______的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数_______ 两点的距离之和。
对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。
例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。
解法一(代数法，分类讨论)(“零点分段法”)：解法二(几何法)：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示数x的点到_________的距离为_____，结合数轴不难发现这样的点共有______个，分别是____和____，故x=_______.例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。
解法一(代数法)(“零点分段法”)：解法二(几何法)：由绝对值的几何意义可知，分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。
解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到_______的距离，∣x+2∣表示数轴上点x到_________的距离。
实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上__________________________________的点，且最短距离为______________，即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为_______。
推广：①：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为___________。
绝对值的几何意义
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；。
绝对值的几何意义
绝对值的几何意义绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容，它伴随着我们学习代数知识的全过程。
我们知道：一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
即：这是绝对值的代数意义。
绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如∣a∣表示数轴上a点到原点的距离，推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b 两点的距离之和。
对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。
下面通过几个例题谈谈绝对值的几何意义的妙用。
例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。
解：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示x到4的距离为3，结合数轴不难发现到4这个点的距离为3的点共有二个，分别是1和7，故x=1或7.例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。
分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。
解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到1的距离，∣x+2∣=∣x-（-2）∣表示数轴上点x到-2的距离。
实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为3。
此题实际上也说明了这么一个结论：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为∣a-b∣。
通过分析我们亦不难理解，∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值∣a-b ∣。
我们再看下面的一个问题：例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么？解：由∣∣x+1∣-∣x-2∣∣的几何意义可知，它表示数轴上一点x到-1和2两点距离之差的绝对值，它有一个最大值为3即∣∣x+1∣-∣x-2∣∣≤3，而∣∣x+1∣-∣x-2∣∣恒小于k，所以k＜3 我们再看一个问题：例4：如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？分析：本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以，-1≤x≤3。
绝对值的几何意义公式(一)
绝对值的几何意义公式(一)
绝对值的几何意义公式
1. 基本公式
•绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值记作| x | ，表示x 与原点之间的距离。
•绝对值的几何意义：绝对值表示一个数到原点的距离。
2. 几何意义公式
数轴上的绝对值公式
•公式1：对于任意实数x，有| x |=x或者|x |=- x 。
–解释：若x≥0，则x与原点之间的距离为x本身；若x<0，则x与原点之间的距离为-x，即与x绝对值相等。
平面直角坐标系中的绝对值公式
•公式2：对于平面直角坐标系中的两点A(a, b)与B(c, d)，有| AB |=√(c-a)^2+ (d-b)^2。
–解释：两点A(a, b)和B(c, d)之间的距离就是线段AB的长度，而绝对值| AB |表示线段AB的长度。
三维空间中的绝对值公式
•公式3：对于三维空间中的两点A(x1, y1, z1)与B(x2, y2, z2)，有| AB |=√(x2-x1)^2+ (y2-y1)^2+ (z2-z1)^2。
–举例：设点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，计算| AB |的值。
–解答：根据公式3，计算得到| AB |=√(4-1)^2+ (5-
2)^2+ (6-3)^2=√27≈。
3. 结论
•绝对值的几何意义公式包括数轴上的绝对值公式、平面直角坐标系中的绝对值公式和三维空间中的绝对值公式。
这些公式用于计
算点之间的距离，并在几何学中具有重要的应用价值。
绝对值几何意义及动点问题
绝对值几何意义及动点问题
在数学中，绝对值有一个几何意义。
绝对值表示一个数距离原点的距离，既可以是正数，也可以是零。
在数轴上，绝对值表示一个点到原点的距离。
如果一个数的绝对值为3，则表示它在数轴上距离原点为3的位置。
绝对值也可以用来解决动点问题。
在动点问题中，通常涉及到一个或多个变化的变量，而我们需要找到满足特定条件的变量的取值。
利用绝对值可以将这些条件转化为等式或不等式，从而解决问题。
例如，假设有一个点P(x,y)，我们希望找到离原点(0,0)的距离为5的点。
可以将这个条件表达为|x|+|y|=5。
这个等式代表了所有满足条件的点的集合。
我们可以将这个等式进一步简化为两个不等式|x|≤5和|y|≤5，来确定满足条件的点的位置。
另一个例子是求两个点之间的距离。
假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们希望找到它们之间的距离。
可以使用绝对值表达式来表示：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
这个公式将两个点的坐标差的平方和开方，得到它们之间的距离。
综上所述，绝对值在几何中具有重要的意义，并且可以应用于解决动点问题。
初一上绝对值的几何意义及应用
初一上绝对值的几何意义及应用
初一上绝对值的几何意义及应用如下：
1. 绝对值的几何意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。
2. 绝对值在数学上的意义是：绝对值表示的是一个数的点到原点的距离，所以在几何意义上绝对值可以看作是长度。
3. 绝对值的代换应用：代数式中出现的绝对值，其运算规律为：取绝对值后通常先去括号，再合并同类项；而方程中出现的绝对值，一般会使方程更简单。
综上，绝对值在数轴上表示点到原点的距离，几何意义中长度为绝对值代换后的结果。
在数学运算中绝对值具有便捷性，是解决某些方程式和代数问题的重要工具。
绝对值的几何意义
绝对值的几何意义绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“ | |”来表示。
|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
下面是店铺给大家整理的绝对值的几何意义，希望对大家有所帮助!绝对值的几何意义绝对值的几何意义是表示数轴上一点到另外一点的距离,|x|表示的才是数轴上x到原点的距离.比如|a+b|就是a、b之和的绝对值.也就是a+b的结果,如果是负数的话,就不要绝对值后到原点的距离.而|a|+|b|就是他们的绝对值相加,他们的值一定会大于等于0的.例：|X+3|=5,那在数轴上就是到-3的距离为5，那就是2或-8。
绝对值的应用举例正数的绝对值是它本身。
负数的'绝对值是它的相反数。
0的绝对值还是0。
特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数，写作|0|=0。
任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都≥0。
任何纯虚数的绝对值是就是虚部的绝对值(如：|2i|=2;|-ei|=e)。
0的绝对值还是0。
|3|=3 =|-3|当a≥0时，|a|=a当a<0时，|a|=-a这是|a|=a吧存在|a-b|=|b-a|两个负数比较大小，绝对值大的反而小比如:若 |2(x—1)—3|+|2(y—4)|=0，则x=___,y=____。
(| | 是绝对值)。
答案:2(X-1)-3=0 ，且2Y-8=0解得X=5/2 ，且Y=4 。
一对相反数的绝对值相等：例+2的绝对值等于-2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等)绝对值的有关性质无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
(2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。
(3)绝对值等于同一个正数的数有两种，这两个数互为相反数或相等。
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
(5)正数的绝对值是它本身。
(6)负数的绝对值是它的相反数。
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绝对值的几何意义
【知识要点】大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．
【例题精讲】
【例题】我们知道，|a|可以理解为|a-0|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A．B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB=|a-b|，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示8和3的两点之间的距离是______，数轴上表示-2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上点A用a表示，则|a-3|=5的几何意义是_____________，利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是___________________；
(3) 利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是_____________.
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间的距离公式，可得答案；
（2）根据到一点距离相等的点有两个，可得a的值；
（3）根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案．
【解析】
解：（1）数轴上表示8和3的两点之间的距离是5，数轴上表示-2和5的两点之间的距离是7，数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是4；
（2）数轴上点A用a表示，则|a-3|=5的几何意义是数轴上表示a和3两点之间的距离是5，利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是-2或8；
（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义数轴上点x与-1的距离与点x与-2距离的和，利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是1，故答案为：5，7，4；数轴上表示a与3两点之间的距离是5，-2或8；数轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1．
【总结升华】本题考查了绝对值，（1）数轴上两点间的距离公式，（2）到一点距离相等的点有两个；（3）线段上的点与线段两端点的距离的和最小．
【例题】阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即
|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；
在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；
例2：解不等式|x-1|＞2．如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|=4的解为____________________；
（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；
（3）若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．
【思路点拨】仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．
【解析】
解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x 的值为1或-7．
（2）∵3和-4的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．
当x在3的右边时，如图，
易知x≥4．
当x在-4的左边时，如图，
易知x≤-5．
∴原不等式的解为x≥4或x≤-5
（3）原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．
当x≥3时，|x-3|-|x+4|应该恒等于-7，
当-4＜x＜3，|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小，
当x≤-4时，|x-3|-|x+4|=7，
即|x-3|-|x+4|的最大值为7．
故a≥7．
【总结升华】本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．
【巩固练习】
1、我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离；
例1解方程|x|=2，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2
例2解不等式|x-1|＞2，如图，在数轴上找出|x-1|＞2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1、3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或X＞3
参考阅读材料，解答下列问题：
不等式|x+3|＞4的解为_____________________.
2、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是____________；表示-3和2的两点之间的距离是___________；表示-5和-4的两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于__________．
（2）如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么a=____________．
（3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值；
【答案】
1、解：∵|x+3|=|x-（-3）|＞4，
即到-3的距离为4的点对应的数为-7、1，
用数轴表示为：
∴不等式|x+3|＞4的解为x＜-7或x＞1．
2、解：（1）|1-4|=3，
|-3-2|=5，
|-5-（-4）|=1，
|m-n|，
故答案为：3；5；1；|m-n|；
（2）|a-（-2）|=3，
所以，a+2=3或a+2=-3，
解得a=1或a=-5，
故答案为：-5和1；
（3）∵表示数a的点位于-4与2之间，
∴a+4＞0，a-2＜0，
∴|a+4|+|a-2|=（a+4）+[-（a-2）]=a+4-a+2=6；。